Véc tơ trong khơng gian
Chương III
VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN
§1.VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN .
I. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VỀ VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
1. Đònh nghóa
Véc tơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng .Ký hiệu , chỉ rõ véc tơ có
điểm đầu là A và điểm cuối là B.Véc tơ còn được ký hiệu :
* Các khái niệm về giá của véc tơ,độ dài của véc tơ, sự cùng phương ,cùng hướng
của hai véc tơ ,véc tơ -không ,sự bằng nhau của hai véc tơ được đònh nghóa tương tự
như trong mặt phẳng .
1. Phép cộng ,phép trừ véc tơ trong không gian
.
* Phép cộng và phép trừ hai hay nhiều véc tơ
trong không gian ,được đònh nghóa tương tự như
phép cộng và phép trừ hai véc tơ trong mặt
phẳng . Phép cộng véc tơ trong không gian
cũng có các tính chất như phép cộng véc tơ
trong mặt phẳng .Khi cộng véc tơ trong không
gian ta vẫn có thể áp dụng quy tắc 3 điểm ,quy
tắc HBH,như đối với véc tơ trong mặt phẳng .
Ví dụ : Cho tứ diện ABCD
1. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD .Chứng tỏ rằng
2.Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm tứ diện ABCD khi và chỉ khi
Với mọi điểm P
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608 Trang 1
A
B
C
D

D'
C'
B'
Véc tơ trong khơng gian
Bài giải :
Như ta dã biết ,trong tam giác BCD ,nếu G là trọng tâm thì :
Theo quy tắc ba điểm ta có :( Kết quả của ví dụ 1).
b) Cũng theo quy tắc ba điểm ,ta có ba kết quả sau :
II. ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VÉC TƠ
1. Khái niệm đồng phẳng của ba véc tơ trong không gian
* Trong không gian cho ba véc tơ . Nếu từ một điểm O bất kỳ ta vẽ
,khi đó có thể xảy ra hai trường hợp :
• Trường hợp OA,OB,OC không cùng nằm trong một mặt phẳng ,khi đó ta nói
rằng ba véc tơ không đồng phẳng .
• Trường hợp OA,OB,OC cùng thuộc một mặt phẳng ,thì khi đó ta nói ba véc tơ
đồng phẳng . Trong trường hợp này giá của ba véc tơ luôn song song với
một mặt phẳng .
2. Đònh nghóa
Trong không gian ba véc tơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng song song
với một mặt phẳng .
* Ví dụ 3 : Cho tứ diện ABCD .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Chứng minh ba véc tơ đồng phẳng .
Bài giải :
Gọi P,Qlần lượt là trung điểm của AC và
BD .Ta có PN // MQ và PN=MQ=1/2 AD.
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608 Trang 3
A
B DC
A
M

các đường thẳng AD và BC .
Vậy suy ra ba đường thẳng MN,AD,BC cùng // với mặt phẳng .Do đó ba véc tơ
đồng phẳng .
3. Điều kiện để ba véc tơ đồng phẳng
Đònh lý 1
Trong không gian cho hai véc tơ và đều khác véc tơ không và không cùng phương
,với một vec tơ .Khi đó ba véc tơ gọi là đồng phẳêng khi và chỉ khi có cặp số
m,n sao cho . Ngoài ra cặp số m,n là duy nhất .
Ví dụ 4.
Cho tứ diện ABCD .Gọi M và N lần lượt là trung
điểm của AB và CD .Trên các cạnh AD và BC lần
lượt lấy P và Q sao cho .
Chứng minh bốn điểm M,N,P,Q cùng thuộc một mặt
phẳng .
Bài giải :
Ta có : Theo kết quả của ví dụ 1 :
.
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608 Trang 4
y
M'
B
O
z
M
C
c
x
Õ
M'
A

B
C
D
NQ
C
D
N
x
y
A
B
C
D
D'
x
y
z
A
B
D
D'
A
D
B'
A
B
B
C
D
C'

ba cạnh là AB,AC,AD .
Tương tự ,G là đỉnh thứ 4 của hình bình hành
ABGC ,còn F là đỉnh thứ 4 của hình bình hành
ADGF. (cách xác đònh chúng như hình vẽ )
Bài 6. Cho tứ diện ABCD.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC .Chưng minh rằng :
Bài giải :
Theo giả thiết ,nếu G là trọng tâm tam giac ABC thì :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608 Trang 7
A
B
C
D
M
N
A
B
C
D
G
E
E
F
Véc tơ trong khơng gian
Do (1).
Bài 7. Gọi M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AC và BD của tứ diện ABCD.Gọi
I là trung đoạn của đoanj thẳng MN và P là một điểm bất kỳ trong không gian .Chứng
minh rằng :
Bài giải :
a) Nếu M và N là trung điểm của AC và BD . F là trung điểm của MN thì :
b) Theo quy tắc ba điểm :

TRONG HH-11-NÂNG CAO (Trang 91)
Bài 2. Cho hình chóp S,ABCD.
a) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì . Điều
ngược lại có đúng hay không ?
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD .Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và
chỉ khi .
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608 Trang 9
B
A
C
D
E
E
F
G
H
K
I
Véc tơ trong khơng gian
Bài giải :
a) Nếu ABCD là hình bình hành thì gọi O là giao hai đường chéo AC và BD thì :
Ngược lại ,từ giả thiết :
.
Chứng tỏ điều ngược lại cũng đúng .
b) Từ (1) suy ra hệ thức véc tơ :
Bài 3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của
tam giác ABC và A'B'C'. I là giao điểm của đường thẳng AB' và A'B .Chứng minh
rằng các đường thẳng GI và CG' song song nhau .
Bài giải :
Gọi M và N thứ tự là trung điểm của hai cạnh

x+y+z=1 sao cho ,với mọi điểm O.
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608 Trang 11
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
M
N
Véc tơ trong khơng gian
b) Ngược lại ,nếu có một điểm O trong không gian sao cho
,trong đó x+y+z=1 thì điểm M thuộc mặt phẳng (ABC).
Bài giải :
Nếu M thuộc mặt phẳng (ABC) thì ba véc tơ đồng phẳng .Nghóa là tồn
tại hai số p,q sao cho : . Do đó với một điểm O bất kỳ .
Nếu đặt :
Thì :
Và :
Ngược lại : Nếu ,và x+y+z=1 thì : x=1-y-z thay vào ta có :
Chứng tỏ ba véc tơ , đồng phẳng .Nhưng ba véc tơ này chung gốc là A
,cho nên M thuộc mặt phẳng (ABC).
Bài 6.Cho hình chóp S.ABC .Lấy các điểm A',B',C' lần lượt thuộc các tia SA,SB,SC
sao cho SA=aSA' , SB=bSB' ,SC=cSC' ,trong đó a,b,c là các số thay đổi .Chứng minh
rằng mặt phẳng (A'B'C') đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a+b+c=3.
Bài giải :
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì :
Và :

Với một điểm O bất kỳ ta có :
Nếu đặït 1-k=m ,k=n ;thì m+n=1-k+k=1 và
Các em hãy chú ý đến thứ tự của A,B,C trong công thức
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608 Trang 14
Véc tơ trong khơng gian
I. Trong BTGT -11-Nâng cao
Bài 1 (tr-113). Cho tứ diện ABCD ,M và N là các điểm lần lượt thuộc AB và CD sao
cho , Các điểm I,J,K lần lượt thuộc AD,MN,BC sao cho
. Chứng minh các điểm I,J,K thẳng hàng .
Bài giải :
Ta áp dụng công thức (1)
Từ (5) ta có :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608 Trang 15
A
B
C
D
M
N
I
K
J
Véc tơ trong khơng gian
Chứng tở I,J,K thẳng hàng .
Bài 2(tr-114-BTGT11-NC)
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Các điểm M,N lần lượt thuộc các cạnh CA và DC' sao
cho .Xác đònh m để các đường thẳng MN và BD' song song
nhau .Khi ấy ,tính MN biết và BA=a,BB'=b ,BC=c.
Bài giải
Đặt : Ta biểu biễn các véc tơ theo các véc tơ :

Véc tơ trong khơng gian
Từ (*) chứng tỏ A,I,J,K cùng thuộc một mặt phẳng .
Bài 5. (Tr-114-BTHH 11-NC).Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. có các cạnh bằng m ,các
góc tại A bằng . Gọi P và Q là các điểm xác đònh bởi
Chứng minh đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB'. Tính độ dài của đoạn
thẳng PQ ?
Bài giải :
Đặt :
.
( Do các cạnh của hình hộp bằng m ).Theo giả thiết
: P,A,D' thẳng hàng và A là trung điểm của PD'.
Tương tự C' là trung điểm của QD. Để chứng minh
đường thẳng PQ đi qua trung điểm M của BB' thì
trước tiên ta đi biểu diễn các véc tơ theo
ba véc tơ .
Ta có ,từ giả thiết :
Chứng tỏ đường thẳng PQ đi qua trung điểm M của BB' ( ba điểm P,M,Q thẳng
hàng ).
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608 Trang 18
C
A B
D
A' B'
C'
D'
Q
P
A B
D
A' B'

Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608 Trang 20
DDD
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
Véc tơ trong khơng gian
Do đó :
Từ (*),ta có :
Bài 12.(tr115-BTHH 11-NC).
Cho hai đường thẳng d và d' cắt ba mặt phẳng song song tại A,B,C và A',B'C'. Với
một điểm O bất kỳ trong không gian ,đặt Chứng
minh ba điểm I,J,K thẳng hàng .
Bài giải :
Theo đònh lý Ta -Lét trong không gian
Do vậy với một điểm O bất kỳ ta có :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608 Trang 21
Véc tơ trong khơng gian
Từ (*) và
Nên ba điểm I,J,K thẳng hàng .
Bài 14. (tr-115-BTHH 11-NC).
Cho tứ diện ABCD.Lấy các điểm M,N,P,Q lần lượt thuộc AB,BC,CD,DA sao cho
Hãy xác đònh k để bốn điểm P,Q,M,N cùng nằm trên một mặt phẳng .
Bài giải :
Đặt : Ta biểu diễn các véc tơ theo ba véc tơ .
Từ (1) ,(2) (3) và (4) ta có :

M
N
I
K
J
Véc tơ trong khơng gian
Từ (5) ta có :
Chứng tỏ I,J,K thẳng hàng .
Ví dụ 2 : Bài 5. (Tr-114-BTHH 11-NC).Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. có các cạnh
bằng m ,các góc tại A bằng . Gọi P và Q là các điểm xác đònh bởi
Chứng minh đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB'.
Tính độ dài của đoạn thẳng PQ ?
Bài giải :
Đặt :
.
( Do các cạnh của hình hộp bằng m ).Theo giả thiết
: P,A,D' thẳng hàng và A là trung điểm của PD'.
Tương tự C' là trung điểm của QD. Để chứng minh
đường thẳng PQ đi qua trung điểm M của BB' thì
trước tiên ta đi biểu diễn các véc tơ theo
ba véc tơ .
Ta có ,từ giả thiết :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608 Trang 24
C
A B
D
A' B'
C'
D'
Q