TRUNG TAM GIA Sệ ẹặNH CAO CHAT LệễẽNG
SẹT: 0978421673-TP HUE
CHUYấN
HM S
12
LUY
N THI
T
T NGHIP TRUNG HC PH THễNG, I HC, CAO NG
Hueỏ, thaựng 7/2012
* Bi
n lun s nghim phng trỡnh
* Phng tr
ỡnh ti
p tuyn
* Tng giao, ti
p xỳc v h ng cong
* i
m c bit, khong cỏch
, tõm-tr
c i
x
n
g
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ớc
D
ạng 4:
Tìm nh
ững điểm trên đồ thị
: ( )C y f x
sao cho t
ại đó tiếp tuyến
c
ủa (C) song song hoặc vuông góc với một
đường thẳng d cho trước
D
ạng 5:
Tìm nh
ững điểm trên đường thẳng d hoặc trên (C) mà từ đó kẻ được
1,2,3 ti
ếp tu
y
ến với đồ thị
Dạng 6: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị
(C): y = f(x) và 2 ti
ếp tuyến đó vuông góc với nhau
D
ạng 7:
L
ập tiếp tuyến chung của hai đồ thị
D
ạng 8:
S
(C) hãy v
ẽ đồ thị
hàm s
ố
(C
’
)
ax
xU
y
ho
ặc
ax
xU
y
D
ạng 3:
Cho hàm s
ố
xfy
(C) hãy v
ẽ đồ thị hàm số (C’) :
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
2
D
ạng 3:
Tìm c
ặp điểm trên đồ thị (C):y=f(x
) đ
ối xứng qua điểm I(a;b)
V
ấn đề 6: Họ đường cong
D
ạng 1:
Tìm
đi
ểm cố định của họ đường cong
D
ạng 2:
Tìm
điểm họ đồ thị không đi qua
Dạng 3: Tìm điêmt mà một số đồ thị của họ đồ thị đi qua
Vấn đề 7: Tâm đối xứng -Trục đối xứng
V
ấn đề 8: Khoảng cách
Luy
ện tập
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
3
V
ấn đề 1:
D
ựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình
Khi đó (1) có th
ể xem là phươn
g trình hoành
độ
giao đi
ểm của hai đường:
( ): ( ); :C y f x d y m
d là đư
ờng thẳng cùng ph
ương v
ới trục
hoành.
D
a) B
ảng biến
thiên Đ
ồ thị:
y
c.
x
m
c.
A
c.
(C)
c.
(d) : y = m
c.
y
CĐ
y
CT
x
A
c.
D
ạng 1
:
( , ) 0 ( )F x m f x m
(1)
D
ạng 2
:
m=9 ho
ặc
5
3
m
: phương tr
ình có 2 nghiệm
5
9
3
m
: phương tr
ình có 3 nghiệm
Bài 2. Cho hàm s
ố
2
1
x
y
x
có đ
ồ thị (C)
a) Kh
ảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Bi
ện luận
03log4
3
24
axx
có 4 nghi
ệm thực
phân
bi
ệt .
Hư
ớng dẫn:
Phương tr
ình tương đương với
x
4
– 4x
2
+ 3 =
a
3
log
Theo đ
ồ thị câu 1 bài toán yêu cầu tương đương
1
a
3
log
< 3
1log
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
6
9
4
4
12
9
log 12 144 12
4
m m
Bài 5. Cho hàm s
ố:
4 2
6 5y x x
1. Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
2. Tìm m
để phương trình:
4 2
2
6 log 0x x m
có 4 nghi
ệm phân biệt trong
đó 3 nghi
1. Kh
ảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. D
ựa vào đồ thị
(C ), biện luận theo m số nghiệm thực của phương
trình
4 2
2 0 (*)x x m
Bài 2. Cho hàm s
ố
3 2
3y x x
1. Kh
ảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)
2. Dùng (C) tìm k để phương trình :
3 2 3 2
3 3 0x x k k
có 3 nghiệm
phân bi
ệt.
Bài 3. Cho hàm s
ố
3
2y x mx m
, v
ới m
là tham s
ố
1. Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số khi m =3.
y
4
5
1-1
.
.
.
.
.
x
o
y
4
5
1-1
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
7
Bài 5 . Cho hàm s
ố
4 2
2 3 ( )y x x C
1
2 3
2
y x x
b) Bi
ện luận theo m số nghiệm của ph
ương trình
4 2
1
2 0
2
x x m
c) Tìm k
để phương trình
4 2
4 6 2x x k
có 6 nghi
ệm phân biệt
Bài 3.
a) Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị hàm số sau:
2 4
3
x
y
x
Đình Cư
8
c)
3 3 2
3 1; 3 2 2 0y x x x x m m
d)
3 3
3 1; 3 4 0y x x x x m
e)
4
2 4 2
2 2; 4 4 2 0
2
x
y x x x m
f)
4 2 4 2
2 2; 2 2 0y x x x x m
Bài 5. Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ
đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra
đ
ồ thị (T). Dùng đồ thị (T) biện luận
theo m s
ố nghiệm của phương trình:
1.
3 2 3 2 3 2
( ): 3 6; ( ): 3 6 ; 3 6 3 0C y x x T y x x x x m
2.
3
3 ( 2) 2 0x m x m
Bài 7. Cho hàm s
ố
1
( )
1
x
y f x
x
.
a) Kh
ảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) c
ủa hàm số.
b) Vi
ết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng
2 0x y
.
c) Dùng đ
ồ thị (C),
bi
ện luận theo m số nghiệm của
2
2 ( 1) 1 0x m x m
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
).
N
ếu cho y
0
thì tìm x
0
là nghi
ệm của
phương tr
ình f(x) = y
0
.
Tính y
= f
(x). Suy ra y
(x
0
) = f
(x
0
).
Phương tr
ình tiếp tuyến
;0M x
; điểm
M Oy
thì tọa độ của M là
0;M y
VÍ D
Ụ:
Vi
ết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
3 2y x x
1. T
ại
đi
ểm
(2; 2)
2. T
ại
điểm có hoành độ
1x
3. Tại điểm có tung độ
2y
4. Tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng
1y x
.
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Vi
ết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
ại D(0; 3)
Bài 2. Vi
ết ph
ương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
D
ẠNG 1: VIẾT PH
ƯƠNG
TRÌNH TI
ẾP TUYẾN TẠI
ĐI
ỂM M(x
0;
y
0
)
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
10
a) (C):
2
3 3
2
x x
y
x
t
ại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
d) (C):
3
3 1y x x
t
ại điểm uốn của (C).
e) (C):
4 2
1 9
2
4 4
y x x
t
ại các giao
đi
ểm của (C) với trục hoành.
Bài 3. Vi
ết ph
ương tr
ình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường
đư
ợc chỉ ra:
a) (C):
3 2
0 0
2 3 2
0 0 0 0 0 0
0 0
M ; ( ), Phöông trình tieáp tuyeán taïi M:
y= 6 6 12 2 3 12 1
Tieáp tuyeán ñi qua O(0;0) neân 1 12
x y C
x x x x x x x
x y
BTTT: Tìm m
để tiếp tuyến của đồ thị hàm số
3 2
1 3 1 2y x m x m x m
t
ại
điểm có hoành độ bằng 1 đi qua
2; 1A
.
Đáp s
ố:
2m
Bài 6. Tìm m đ
x m
y
x
t
ại điểm B có
1
B
x
và S =
9
2
.
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
11
c) (C):
3
1 ( 1)y x m x
tại điểm C có
m
m
Ox A m Oy B OA OB
m
m
Bài 7 . Tính di
ện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại
đi
ểm được chỉ ra: (C):
5 11
2 3
x
y
x
I là giao đi
ểm của các đường
ti
ệm cận. Tìm toạ độ điểm
M sao cho đư
ờng tròn ngoại tiếp tam giác
IAB có di
ện
tích nh
ỏ nhất.
Hư
ớng dẫn:
Ta có:
0
0 0
0
2 3
; , 2
2
x
M x x
x
,
To
ạ độ giao điểm A, B của
và hai ti
ệm cận là:
0
0
0
2 2
2; ; 2 2;2
2
x
A B x
x
Ta th
ấy
0
0
2 2 2
ện tích
S =
2
2 2 2
0
0 0
2
0
0
2 3
1
( 2) 2 ( 2) 2
2
( 2)
x
IM x x
x
x
Do đó có hai đi
ểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)
Bài 9. Cho hàm s
ố
2 1
1
x
y
x
. Tìm t
ọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm
( 1;2)I
t
ới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn n
h
ất .
Hư
ớng dẫn:
N
ếu
0 0 0
3( ) ( 1) ( 2) 3( 1) 0x x x y x
Kho
ảng cách từ
( 1;2)I
t
ới tiếp tuyến là
0 0 0
4 4
2
0
0
0
2
0
3( 1 ) 3( 1) 6 1
6
9
9 ( 1)
9 1
( 1)
( 1)
x x x
d
x
x
x
x
6
khi
2
2
0 0 0
2
0
9
( 1) 1 3 1 3
( 1)
x x x
x
.
V
ậy có hai
điểm M :
1 3;2 3M
ho
ặc
1 3;2 3M
Bài 10. Cho hàm s
ố
1
1
x
đi
ểm M.
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
13
3. Tích kho
ảng cách từ từ
điểm M đến hai tiệm cận là không đổi
Hư
ớng dẫn câu 2
G
ọi
0
0 0 0 0
0
1
; ( ) ( 1)
1
x
M x y C y x
x
A = () TCĐ => A=
0
0
3
1;
1
x
x
; B = () TCN => B =
0
2 1;1x
IA =
0
4
1x
; IB =
0
2 1x
.
Do đó: S
IAB
=
1
2
.
Phương tr
ình ti
ếp tuyến tại điểm M có dạng
0
0
2
0
0
1
:
1
1
x
y x x
x
x
Chuy
ển
v
ề dạng phương trình tổng quát. Dùng công thức tính khoảng cach từ 1
đi
1
x
y C
x
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số
2. Tìm trên đồ thò (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai
tiệm cận một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng
2
Hướng dẫn:
0
0
0
2 1
Gọi M ;
1
x
x C
x
. Phương trình tiếp tuyến tại M cắt hai đường tiệm cận
lần lượt tại
Bài 13. Cho hàm số
4 2
2 , m là tham sốy x mx m
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số khi m=1
2. Biết A là điểm thuộc đồ thò hàm số có hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng
từ điểm
3
;1
4
B
đến tiếp tuyến tại A là lớn nhất.
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
15
Phương pháp: Vi
ết phương trình tiếp tuyến
(x
0
) = k (1)
Gi
ải phương trình (1), tìm được x
0
và tính y
0
= f(x
0
). T
ừ đó viết phương trình của
.
Cách 2: Dùng đi
ều kiện tiếp xúc.
Phương tr
ình đường thẳng
có d
ạng: y = kx + m.
ti
ếp xúc với (C)
khi và ch
ỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
( )
'( )
ƯƠNG TR
ÌNH TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
16
+
vuông góc v
ới đường thẳng d: y = ax + b (a
0) thì k =
1
a
+
t
ạo với
đư
ờng thẳng d: y = ax + b một góc
thì
tan
Hoành đ
ộ giao điểm của (C) với trục hoành
2
0
1
, 0; ;1
3 1 3
m m
x m
m
2
0
2
0
2
2
4
' , ' 1
3
1
3 1
1
Bài 2. (Đại học A2011). Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
Ch
ứng minh rằng với mọi m đường thẳng
y x m
luôn c
ắt đồ thị (C) tại hai điểm
phân bi
ệt A và B. Gọi
2 2
2 2 ( 1) 1 0, m m m m
Phương tr
ì
nh (1) luôn có 2 nghi
ệm nên d luôn cắt (C) tại hai điểm A, B.
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
17
Hoành độ tiếp điểm tại A, B là
1 2
;x x
là nghiệm của phương trình (1)
1 2
x x m
và
1 2
1
.
2
m
2 1m
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Vi
ết ph
ương trình tiếp tuyến
c
ủa (C), biết
có h
ệ số góc k
được chỉ ra:
a) (C):
3 2
2 3 5y x x
; k = 12 b) (C):
2 1
2
x
y
x
; k = –3
c) (C):
2
3 4
1
x x
y
y x
c) (C):
2
2 3
4 6
x x
y
x
; d:
2 5 0x y
d) (C):
4 2
1 3
3
2 2
y x x
;
: 4 1d y x
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết vuông góc với đường thẳng d
cho trư
ớc:
a) (C):
3
2
2 3 1
3
x
2
x x
y
x
;
: 2d y x
Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tạo với chiều dương trục Ox
góc :
a) (C):
3
2 0
2 4; 60
3
x
y x x
b)(C):
3
2 0
2 4; 75
3
x
y x x
TRUNG TM GIA S
2 0
2 4; : 3 7; 45
3
x
y x x d y x
b) (C):
3
2 0
1
2 4; : 3; 45
3 2
x
y x x d y x
c)
0
4 3
( ): ; : 3 ; 45
1
x
C y d y x
x
d)
, bit tip tuyn ú
c
t trc honh, trc tung ln lt ti hai im phõn bit A,B sao cho tam giỏc OAB
cõn t
i O.
H
ng dn:
Vỡ tam giỏc OAB cõn t
i O nờn ng thng AB phi song song vi
m
t trong hai ng thng cú phng trỡnh
y x
ho
c
y x
Ta cú:
2
1
' 0, 1.
1
y x
x
G
i
0 0 0
Bi 8. Cho hm s
3 2
1 1
2 4
3 3
y x x m x m
, m l tham s
1. Kh
o sỏt s bin thiờn v v th
hm s
khi m=1
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
19
2. Tìm m
để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của hàm số đi qua
3; 1A
20
Phương pháp: Vi
ết phương trình tiếp tuyến
c
ủa (C): y = f(x), biết
đi qua đi
ểm
( ; )
A A
A x y
.
Cách 1: Tìm to
ạ
độ tiếp điểm.
G
ọi M(x
0
; y
0
) là ti
ếp điểm. Khi đó: y
0
= f(x
0
), y
0
0
= f
(x
0
).(x
A
– x
0
) (2)
Gi
ải phương trình (2), tìm được x
0
. T
ừ đó viết phương trình của
.
Cách 2: Dùng đi
ều kiện tiếp xúc.
Phương tr
ình đường thẳ
ng
đi qua
( ; )
A A
A x y
và có h
ẬP MẪU:
Bài 1. Cho hàm s
ố
x 2
y C .
x 2
Viết phương trình tiếp tuyến của
C
, biết tiếp tuyến đi qua điểm
A 6;5 .
Hư
ớng dẫn:
Phương tr
ình đường thẳng đi qua
A 6;5
là
d : y k x 6 5
.
D
ẠNG 3: VIẾT PH
ƯƠNG TR
ÌNH TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM
x 2
x 6 5
k x 6 5
x 2
x 2
x 2
4
4
k
k
x 2
x 2
4x 24x 0
4 x 6 5 x 2 x 2 x 2
x 0;k 1
4
4
1
k
k
x 6;k
x 2
4
x 2
Suy ra có 2 ti
ếp tuyến là
:
1 2
x 7
d : y x 1; d : y
4 2
BÀI T
ẬP ÁP DỤNG:
Bài 1. Vi
ết ph
ương tr
ình tiếp tuyến
c
ủa (C), biết
đi qua đi
ểm
đư
ợc chỉ
ra:
a) (C):
x
; E(–6; 5) f) (C):
3 4
1
x
y
x
; F(2; 3)
g) (C):
2
3 3
2
x x
y
x
; G(1; 0) h)
2
2
1
x x
y
0
).
Vì
// d nên f
(x
0
) = k
d
(1)
ho
ặc
d nên f
(x
0
) =
1
d
k
(2)
Gi
ải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x
0
. T
ới đường phân giác thứ hai của gốc hệ tọa độ.
Hư
ớng dẫn:
2
2
'( ) , '( ) 1 2
m
f x f x m
x m
Bài 2. Cho hàm s
ố
3
1 2
3 3
y x x
có đ
ồ thị (C). Tìm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó
c
ủa đồ thị vuông gốc với đường thẳng
1 2
3 3
y x
Bài 3. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng
d cho trư
ớc:
a) (C):
y
x
; d là đư
ờng thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của
DẠNG 4: TÌM NHỮNG ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ
: ( )C y f x
SAO CHO
TẠI ĐÓ TIẾP TUYẾN CỦA (C) SONG SONG HOẶC V UÔNG GÓC
V
ỚI MỘT ĐƯỜNG THẲNG d CHO TRƯỚC
www.VNMATH.com
TRUNG TÂM GIA SƯ Đ
ỈNH CAO CHẤT L
ƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ
Chuyên đ
ề LT
ĐH
Tr
ần
Đình Cư
23
(C).
d) (C):
2
1x x
y
ẳng d cho trước:
a) (C):
2
(3 1)
( 0)
m x m m
y m
x m
t
ại điểm A có y
A
= 0 và d:
10y x
.
Bài 6. Tìm m
để tiếp tuyến
c
ủa (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường
th
ẳng d cho trước:
a) (C):
2
(2 1) 2
1
x m x m
y
x
Tr
ần
Đình Cư
24
PHƯƠNG PHÁP:
Gi
ả sử d: ax + by +c = 0. M(x
M
; y
M
)
d.
Phương tr
ình đường thẳng
qua M có h
ệ số góc k: y = k(x
– x
M
) + y
M
ti
ếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( ) (1)
'( ) (2)
M M
f x k x x y
ẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C). Hãy viết phương trình tiếp
tuy
ến ấy.
2. Ch
ứng minh rằng khơng có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp
tuyến qua A của (C) nói trên
Hư
ớng dẫn:
3 2
2
1) Gọi d là đường thẳng đi qua A(1;0) d: 1 . d là tiếp tuyến của (C)
3 2 1
1
. Vậy có 1 tiếp tuyến
3
3 6
2) Gọi là tiếp tuyến khác của (C) song song với ti
y k x
x x k x
x
k
x k
án tại A
Bài 2. Cho hàm s
ố
1
1
x
y
x
có đ
ồ thị (C). Tìm những điểm trên trục tung mà từ
m
ỗi
điểm ấy chỉ có thể kẻ đúng một tiếp tuyến với (C)
D
ẠNG 5: TÌM NHỮNG ĐIÊM TRÊN ĐƯỜNG THẲNG d HOẶC TRÊN
(C) MÀ T
Ừ ĐĨ KẺ ĐƯỢC 1,2,3,… TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ
(C):y=f(x)
www.VNMATH.com
Copyright: Tài liệu đại học ©