G
iải

tích

12

August 16 ,2009
/>Nhấn space bar hay click chuột để xem các dòng và trang kế tiếp
Biên tập PPS : vinhbinhpro
Phần VIII : Bài toán thường gặp về đồ thị
http:my.opera.com/vinhbinhpro
Phần VIII
Bài toán thường gặp về đồ thị
/>Vấn đề 1 : Tìm giao điểm của hai đồ thị
vinhbinhpro
Vấn đề : Gọi :
1 2
;( ) ( )CC
là đồ thị của hàm số y = f(x) và y = g (x)
Nêu cách tìm giao điểm của
1 2
;( ) ( )CC
Hướng dẫn :
0 0
( ; )M x y∗
là giao điểm của :
1 2
;( ) ( )CC
( )
0 0

 
=
∈


là nghiệm của p.trình
(( )) ()f g xx = ∗
* Do đó muốn tìm hoành độ giao điểm của 2 đồ thị ta đi giải pt ( *) và pt ( * )
gọi là phương trình hoành độ giao điểm của
1 2
;( ) ( )CC
* Số nghiệm của phương trình ( * ) = Số giao điểm của 2 đồ thị
1 2
;( ) ( )CC
Bài toán 1 : Tìm giao điểm của hai đồ thị
/>Ví dụ 1 : Tìm điểm chung của 2 đồ thị hàm số :
3 2
( ) : 3 ; ( ') : 4C y x x C y x x= − = + −
Hướng dẫn :
B1: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (C’)
33 22
4 4 0 (*3 )4x x x xx x x− = + − + =⇔ −−
Phân tích pt (*) bằng cách đặt
nhân tử chung hay dùng sơ đồ
Horner
( )
( )
( )
2
2


= − = −


(C) và (C’) có 3 điểm chung (1 ; -2) ; (2 ; 2) ;
(-2 ; 2)
f(x)=x^3-3*x
f(x)=x^2+x-4
Series 1
-6 -4 -2 2 4 6
-6
-4
-2
2
4
6
x
f(x)
Bài toán 1 : Tìm giao điểm của hai đồ thị *

vinhbinhpro
Với giá trị nào của m , đường thẳng y = m cắt đường cong
4 2
2 3y x x= − −
tại 4 điểm phân biệt ?
Hướng dẫn :
Hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là nghiệm của phương trình :
4 2 4 2
2 3 2 3 0 (*)x x m x x m− − = ⇔ − − − =
2

2
4
x
f(x)
Đồ thị của hàm số y = m là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.
Dựa vào số giao điểm của 2 đồ thị để kết luận
- 3
y = - 3
y = - 4
( 3 điểm chung )
(2 điểm chung )
y = m ( -4 < m < -3 )
( 4 giao điểm phân biệt )
Vấn đề 2 : Sự tiếp xúc của hai đường cong
vinhbinhpro
Vấn đề : Gọi :
1 2
;( ) ( )CC
là đồ thị của hàm số y = f(x) và y = g (x)
Nêu cách tìm tiếp điểm của
1 2
;( ) ( )CC
Hướng dẫn :
0 0
( ; )M x y∗
là tiếp điểm của :
1 2
;( ) ( )CC
1 2
0 0

f
k f

∈ =

=

 
⇔ ∈ ⇔ = ⇔
  
=

 
= =


(có M là điểm chung và có tiếp tuyến
chung tại M )
1 2
;( ) ( )CC
tiếp xúc nhau  Hệ phương trình :
( ) ( )
( ) )'' (
x x
x x
g
g
f
f
=

 
− = − − =
 
Vậy hai đường cong tiếp xúc nhau tại điểm M ( 1 ; 0)
( )
' 1 2
ttcM
k y= =
b) Hệ số góc của của tiếp tuyến chung tại M
Phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tại M là y = 2x - 2
f(x)=x^3-x
f(x)=x^2-1
f(x)=2x-2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-2
2
4
x
f(x)
y

=

2
x

-

2

2
(*)
2
ax bx c px p
ax b p

+ + = +

+ =

có nghiệm
( ) ( )
2
4 0b p c c q⇒ − − − =
* Chứng minh phần đảo lại ta có kết quả tương tự
mà phương trình:
( )
2 2
(*) : ( ) 0 ; ( ) 4ax b p x c q b p a c q+ − + − = = − − −∆
Vậy : (D) tiếp xúc (P)
( ) ( )
2
4 0b p c c q∆ = − − − =⇒
( D) là tiếp tuyến của (P)  Pt (*) :
( )
2
0ax b p x c q+ − + − =
có nghiệm kép
B
ài tập

−
− + −
−
* Hoành độ tiếp điểm của (P) và (C) là nghiệm của hệ:
( )
2
2
2
1 3 1 (1)
1
2
1 2 3 (2)
1
x x x
x
x
x

− + − = − −

−



− + = −
−


Phương trình (2) 
( )

A
- 3
t
i
ế
p

t
u
y
ế
n

c
h
u
n
gy

=

x
-

5
Bài tập 2
Cho :

a
a
Pt x x
x
=

⇔ − − = ⇔

− =

* x = 0 không phải là nghiệm của pt (1) nên không phải là nghiệm của hệ
* Thay a vào phương trình (1) , ta có :
( )
4 2 2 2 2
2 1 2 2 3 2 2x x x x x x− + = − − ⇔ = ⇔ = ±
( nghiệm của hệ )
* Vậy khi a = 2 thì (P) và (C) tiếp xúc nhau
* Hoành độ tiếp điểm là :
2x = ±
Bài tập 2*
b) Tiếp tuyến chung của (P) và (C) chính là tiếp tuyến với (C) tại
2x = ±
2 1x y= ± ⇒ =
=> Tiếp điểm :
1 2
( 2 ;1) ; ( 2 ;1)A A −
21
HSG '( 2) ; HSG '(k 42k )4 2 2
ttAttA
y y= = = −= −

=> yₒ , rồi thay vào phương trình :
0 0
( )
d
y y k x x− = −
* Chú ý : Thường gặp :
0 0
1
TT( ) '( ) ; TT( ) '( )//
d
d
t d f x k t d f x
k
⇔ = ⇔ = −⊥
c) Loại 3 : Tiếp tuyến với đồ thị (C) đi qua 1 điểm cho trước
( ; )
A A
A x y
* Gọi
0 0
( ; ) ( )x y C∈
là tiếp điểm của tiếp tuyến ( t ) phải tìm , ta có :
( )
0 0 0
( ) : '( )t y y y x x x∗ − = −
( )
0 0 0
( ) '( ) (*)
A A
A t y y y x x x∈ ⇔ − = −

A A
A
A
x x
a A C y
x
ba a
a
b
b
− +
 
∗ − ∈ ⇒ = ⇔ = ⇔ + = −
 ÷
− −
 
* Tiếp tuyến của (C) tại O có HSG = - 3
( )
2
0 0
2
0
2
HCS '(0) 3 3 3
1
tt
ax a
b
x b
k y

b
− +
− == − ⇒
−
=
* Tập xác định :
{ }
\ 1D R=
* Giới hạn - Tiệm cận - Chiều biến thiên
lim ; lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= −∞ = +∞g
1 1
lim ; lim
x x
y y
+ −
→→
= +∞ = −∞g
=> x = 1 là tiệm cận đứng
2
2 3 1
2 1
1 1
x x
y x
x x
− +

x
− + −
= ∆ = − < ⇒ − + − < ∀
−
g
' 0 ; 1y x⇒ < ∀ ≠
Hàm số nghịch biến trên txđ D và không có cực trị
Bài tập 3** ( Tiếp tuyến với đường cong)

vinhbinhpro
x
y
y’
1 +∞- ∞
- ∞
+∞

* Đồ thị :
Điểm đặc biệt :
0 0
0
0
3/ 2
x y
x
y
x
= ⇒ =
=


ê
n

y

=

-

2
x

+

1

điểm đặc biệt ( 3/2 ; 0 )
Đón xem phần IX : ÔN TẬP CHƯƠNG I
Biên tâp tập PPS này với hy vọng các bạn học sinh phần nào rèn luyện được
khả năng tự học và tự mở rộng vấn đề . Chúc các bạn thành công.
Phần góp ý và chỉnh sửa xin các bạn comment bên dưới chiếu hình trực tuyến. vinhbinhpro