GV: Nguyễn Bá Trình
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP LÝ THUYẾT 12
A . HÌNH HỌC PHẲNG
I.TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ VECTƠ:
Cho A(x
A
;y
A
) ; B(x
B
;y
B
) ;
→
a
= (a
1
;a
2
) ;
→
b
= (b
1
;b
2
)
1.
→
AB
= (x

BA
M
BA
M
−
−
=
−
−
=
1
;
1
4.Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì tọa độ điểm G là :
3
;
3
CBA
G
CBA
G
yyy
y
xx
x
++
=
++
=
5.Tính chất :

1
.b
1
+ a
2
.b
2
• Cos(
→
a
;
→
b
) =
2
2
2
1
2
2
2
1
2211
.

bbaa
baba
++
+
•

b
1
= 0 hay
=
1 2
1 2
a a
b b
• Để chứng minh ba điểm thẳng hàng A,B,C ta cần chứng minh :
→→
= ACkAB
6.Chú ý :Khi tìm tọa độ của điểm thường dùng các quan hệ sau :
Song song ; hai vectơ cùng phương ; hai vectơ vuông góc ; hai vectơ bằng nhau ;hai đoạn thẳng bằng nhau.
II.VECTƠ PHÁP TUYẾN ; VECTƠ CHỈ PHƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG
Cần nhớ :
Cho đường thẳng d : ax + by + c = 0 (a,b không đồng thời bằng không )
* Khi đó :
→
n
= (a,b) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d

→
a
= (b; - a) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d
* Vectơ pháp tuyến là vectơ nằm trên đường thẳng vuông góc với đường thẳng d
* Vectơ chỉ phương là vectơ nằm trên đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng d
* VTPP :
→
a
= (a,b) thì VTPT :

( , )
M M
ax by c
d M
a b
+ +
∆ =
+
với
∆
: ax + by + c = 0
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang 1
GV: Nguyễn Bá Trình
1.Dạng 1 :Viết phương trình đường thẳng d :
*





=
→
);(_
);(_
00
yxMDDQ
BAnVTPT

⇒
Phương trình tổng quát d : A(x –x

PTCT :
b
yy
a
xx
00
−
=
−
⇒
PTTQ:b(x – x
o
) = a(y – y
0
)
2. Dạng 2 : Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng : Ax + By + C = 0 và qua M(x
o;
y
o
)
B1:PTĐT d có dạng : Ax + By + n = 0 ( n
≠
C)
B2 :Thay M(xo;yo) vào đường thẳng d để tìm n
B3: Kết luận phương trình đầy đủ của đường thẳng d
3.Dạng 3 : Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với đường thẳng : Ax + By +C = 0 và qua M(x
o
;y
o
)



= −

III.ĐƯỜNG TRÒN VÀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG TRÒN
6.Dạng 6 :Viết phương trình đường tròn :
a) Đi qua 3 điểm A,B,C :
PP : Thay 3 điểm A,B,C vào phương trình : x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0 ta được hệ phương trình
Giải hệ phương trình tìm a , b ,c .
b) Đi qua hai điểm M,N và có tâm thuộc đường thẳng
PP : Thay hai điểm M,N vào phương trình : x
2
+ y
2
- 2ax - 2by + c = 0
Thay tâm I(a , b) vào phương trình đường thẳng .Giải hệ phương trình tìm a , b , c .
c) Tiếp xúc với : Trục Ox
⇔
b
= R ; trục Oy
⇔
a
= R
Có tâm thuộc đường thẳng thì ta thay tâm vào đường thẳng .Giải hệ để tìm a,b,R
d) Có tâm I(a,b) và tiếp xúc với đường thẳng d :
PP : K/c(I,d) = R

);(/
)(
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang 2
GV: Nguyễn Bá Trình
7. Dạng 7 :Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn có tâm I(a,b),bán kính R
a) Tại điểm M(x
M
, y
M
) là
d :





−−==
→→
);(
);(:
byaxIMn
yxMQua
MMd
MM
b) Khi biết dạng của tiếp tuyến :
* Tìm dạng của tiếp tuyến : (a) : ax + by + c = 0 .
* Điều kiện tiếp xúc : d(I ; (a)) = R
6. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELÍP :
Phương pháp chung :Tìm a , b thay vào phương trình :
.1

2
(a ; 0) ; B
1
(0 ; - b) ; B
2
(0 ; b) .
 Tiêu cự :F
1
F
2
= 2c ; tiêu điểm F
1
(- c ; 0) ; F
2
( c ; 0) .
 Chiều dài của hình chữ nhật cơ sở là 2a ; chiều rộng của hình chữ nhật cơ sở là 2b .
 Bán kính : MF
1
= a +
a
c
.x
M
; MF
2
= a -
a
c
.x
M

b. A
1
(-a ; 0) ; A
2
(a ; 0) đỉnh của Hypebol .Độ dài trục thực 2a ; trục ảo 2b .
c. Hình chữ nhật cơ sở có kích thước 2a , 2b .
d. Phương trình 2 tiệm cận :
b
y x
a
= ±
. Chính là đường chéo hính chữ nhật CS
e. Phương trình đường chuẩn :x =
f. e =
a
ba
a
c
22
+
=
( tâm sai của hypebol )
g. MF
1
; MF
2
là bán kính qua tiêu điểm .
Bán kính nhánh phải:
1
2

a
2
±=±
8) PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC PARABOL : y
2
= 2px .( với p > 0 )
a) Tiêu điểm F(
2
p
; 0)
b) Phương trình đường chuẩn : x = -
2
p
.
* Viết phương trình của parabol:
Phương pháp chung : Tìm p và thay vào phương trình Parabol :y
2
= + 2px hoặc x
2
= + 2py .
1) Parabol nhận trục Ox làm trục đối xứng thì Parabol có dạng : y
2
= + 2px .Nếu tiêu điểm F(
2
p
; 0)
hoặc phương trình đường chuẩn :x = -
2
p
thì ta thay p vào phương trình y

22
=+
b
yy
a
xx
MM
* Của Hybebol
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
là :
1

22
=−
b
yy
a
xx
MM
* Của Parabol y
2

* Của Hybebol:
1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
với đường thẳng d : a
2
.A
2
- b
2
.B
2
= C
2
.
* Của Parabol :y
2
= 2px với đường thẳng d :p.B
2
= 2AC .
B.HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
A.Viết phương trình mặt phẳng
1) Mặt phẳng (P) đi qua A và có vectơ pháp tuyến

AQua
ACABn ];[
3) Mặt phẳng (P) đi qua A và song song với (Q) : ax + by + cz + d = 0 .
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang 4
GV: Nguyễn Bá Trình
Phương Pháp :





==
→→
AQua
cbann
QP
);;(
)()(
4) Mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của MN .
Phương Pháp :





=
→→
IQua
MNn
Với I là trung điểm của MN .



=
→→→
OQua
jOMn ];[
PP :





=
→→→
OQua
kOMn ];[

7) Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với đường thẳng d .
Phương Pháp :





==
→→→→
AQua
nnun
d
],[

a
xx
PTCT
tczz
tbyy
taxx
PTTS
cbauVTCP
MQua
MMM
M
M
M
−
=
−
=
−
⇒





+=
+=
+=
⇒



P
=
=
→
→
và vectơ chỉ phương của đường thẳng d là
],[
)()( QPd
nnu
→→→
=⇒
.
* Muốn lấy 1 điểm thuộc đường thẳng ta chỉ cần cho z = 0 để tìm x và y .
3) Đường thẳng d qua M , N .
Phương Pháp :





=
→→
MNu
MQua
4) Đường thẳng d qua M và song song đường thẳng a.
Phương Pháp :





unn
aPQ
],[
)()(
* Phương trình hình chiếu d là giao tuyến của mp(P) với mp(Q) .
7) Phương trình đường thẳng d
⊂
(P) , đi qua giao điểm của đường thẳng a với mp(P) đồng thời
vuông góc với đường thẳng a .
Phương Pháp :





∩=
=
→→→
)(
],[
)(
PaIQua
nuu
Pad
8) Đường thẳng d song song với a và cắt hai đường thẳng b và c .
Phương Pháp :
o Viết phương trình mặt phẳng
( )α
chứa (b) và song song với (a) :
a b

( )
α

α ∩ β ⇔

β

9) Đường thẳng d qua M và cắt 2 đường thẳng a và b .
Phương Pháp :
* Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M và chứa đường thẳng a :
(P) a
n [u ;AM]

=


∈


uuuur
r
r
Điểm đi qua A (a)
.
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang 6
GV: Nguyễn Bá Trình
* Lập phương trình mặt phẳng (Q) qua M và chứa đường thẳng b .
* Đường thẳng d là giao tuyến của mp(P) với mp(Q) .
10) Đường thẳng d
⊂

)

=


∈


uuuur
r
r
2
Điểm đi qua là A (d
* Đường thẳng cần tìm : (d) = (P)
∩
(Q) .
12) Viết phương trình đường vuông góc chung d của hai đường thẳng chéo nhau a và b.
Phương pháp :
* Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và vuông góc đường thẳng b :
(P) b
n u=



∈


r
r
Điểm đi qua là A (a)

=
→→
MQua
nu
PMN )(
* Tọa độ hình chiếu N là giao điểm của NM với mp(P) .
4) Tìm tọa độ hình chiếu N của M lên đường thẳng a .
Phương Pháp :
* Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với đường thẳng a :





=
→→
MQua
un
aP)(
* Tọa độ hình chiếu N là giao điểm của a với mp(P) .
5) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua (P) .
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang 7
GV: Nguyễn Bá Trình
Phương Pháp :
* Viết phương trình đường thẳng NM và vuông góc với mp(P) :






Chú ý:
1.Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng :
Cho điểm M
0
(x
o
;y
o
;z
o
) và mp(
α
): Ax + By + Cz + D = 0 thì khoảng cách d từ M tới mp(
α
) là :

2 2 2
( , )Δ
o o o
Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +
=
+ +
2.Khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng :
Cho điểm M
0
(x
o

1 2 3 1 2 3
( ; ; ) ( ; ; )a a a a b b b b
= =
r r
Và M(x
1
;y
1
;z
1
)
∈
d , N(x
2
;y
2
;z
2
)
∈
d’ thì :

, .
( , ')
,
a b MN
d d d
a b
 
 

và mp(
α
) có VTPT :
( ; ; )n A B C=
r
thì ta có :

.
sin( ^ ) cos( , )
.
n a
d n aα
n a
= =
r r
r r
r r
6.Góc giữa hai mặt phẳng :
Cho hai mặt phẳng có VTPT lần lượt là
1 2
1 1 1 2 2 2
( ; ; ); ( ; ; )n A B C n A B C= =
r r
5thì ta có :

1 2
1 2
.
cos( , )
.

1
D hai góc bằng nhau .Tính các góc này .
Hướng dẫn:A(0;0;0) ,B(a;0;0) , C(a; a; 0) , D(0; a; 0 ) , A
1
(0 ; 0; a ) , B
1
(a; 0 ; a) , C
1
(a; a; a ) , D
1
(0 ; a ; a )
ĐS : a)
2
π
α
=
; K/C =
6
a
b)
3
/;
10
1
cos
a
CK ==
β
.
C.GIẢI TÍCH :

xgxf
xgxf
* Chú ý :
 Phương trình đường thẳng d qua A(x
A
; y
A
) có dạng : y – y
A
= k(x – x
A
) .
 Nếu đường thẳng d có dạng : ax + by + c = 0 .thì :
o d //d
1
: ax + by + m = 0 ( m
≠
c) .
o d
⊥
d
1
: bx – ay + n = 0 .
3.Dạng 3:Đường cong : y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d cắt Ox tại ba điểm phân biệt khi :
 ax
3

GV: Nguyễn Bá Trình
5.Dạng 5:Tìm tọa điểm uốn :
B
1
: y’’ = 0 có nghiệm x
o

⇒
y
o
= f(x
o
) .
B
2
: Tọa độ điểm uốn : U(x
o
;y
o
) .
6.Dạng 6:Tìm điều kiện của tham số để hàm số :
Đạt cực tiểu tại x
o




>
=
⇔

; x
2
; … thuộc [a ; b]
Tính y(x
1
) ; y(x
2
) ; … ; y(a) ; y(b) .Số lớn nhất là giá trò lớn nhất ; số nhỏ nhất là giá trò nhỏ nhất .
9.Dạng 9:Điều kiện để hàm số có cực trò là y’ = 0 có nghiệm phân biệt .
• Có 1 cực trò khi y’ = 0 có 1 nghiệm phân biệt hoặc có 1 nghiệm đơn và một nghiệm kép
• Có 2 cực trò khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt hoặc có 2 nghiệm đơn và một nghiệm kép .
• Có 3 cực trò khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt hoặc có 3 nghiệm đơn và một nghiệm kép .
10.Dạng 10:Chứng minh đồ thò hàm số nhận điểm M(x
M
; y
M
) làm tâm đối xứng :
B
1
: Đặt



+=
+=
Yyy
Xxx
M
M
thay vào hàm số y = f(x) và đưa về dạng Y = F(X)

2
=
)(
)(
xg
xf
.
Phương pháp :
B
1
: Điều kiện để có cức đại và cức tiểu là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt .
B
2
:Giả sử có hai nghiệm x
CĐ
; x
CT
thì y
CĐ
=
)('
)('
CD
CD
xg
xf
và y
CT
=
)('

x
93
1
+
] +
a
cbad
x
a
bac
9
9
.
9
)3(2
2
−
+
−
.
B
3
:Giả sử có hai nghiệm x
CĐ
; x
CT
thì y
CĐ
=
a

+
−
B
4
:Kết luận :đường thẳng qua cức đại và cực tiểu là :y =
a
cbad
x
a
bac
9
9
.
9
)3(2
2
−
+
−
.
12.Dạng 12:Vẽ đồ thò hàm số có chứa dấu giá trò tuyệt đối .
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang
10
GV: Nguyễn Bá Trình
1) Hàm số y = f(|x|) .
Phương pháp :
B
1
: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) .
B

=
)(
)(
mgy
mfx
.
B
2
:Khử tham số m giữa x và y ta có phương trình quỹ tích .
B
3
:Giới hạn quỹ tích là dựa vào điều kiện của tham số m , suy ra điều kiện của x và y .
14.Bài toán : Tìm 1 cấp số cộng biết đồ thò hàm số y = ax
4
+ bx
2
+ c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có
hoành độ lập thành 1 cấp số cộng .
Phương pháp :
B
1
:Phương trình hoành độ giao điểm của ( C) với trục hoành là ax
4
+ bx
2
+ c = 0 (1).
Đặt t = x
2
(điều kiện :t > 0) .Khi đó phương trình (1) trở thành : at
2

3
:p dụng đònh lí viet :



=
=+
Pmn
Smn
.
(4) .
Kết hợp (3) và (4) để tìm m và n .Từ đó suy ra cấp số cộng :
mnnm ;;;−−
.
15.Bài toán :Tìm 2 điểm thuộc hai nhánh đồ thò sao cho khoảng cách đó là ngắn nhất .
Phương pháp :
B
1
: Từ y =
)(
)(
xg
xf
đổi hệ trục toạ độ Y =
X
a
(với a là hằng số ).
B
2
: Lấy A

Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang
11
GV: Nguyễn Bá Trình
T
1
n n 1
k
k.x .dx x C
n 1
+
= +
+
∫
2
k
.dx k.ln | x | C
x
= +
∫

3
k k.ln | ax b |
.dx C
ax b a
+
= +
+
∫
4
n n 1

1
cos(ax b).dx .sin(ax b) C
a
+ = + +
∫
8
2
k
.dx k.tgx + C
cos x
=
∫
9
2
k
.dx k.cot gx C
sin x
= − +
∫
10
tgx.dx ln | cos x | C= − +
∫
11
1
tg(ax b).dx ln | cos(ax b) | C
a
+ = − + +
∫
12
cot gx.dx ln | sin x | C= +

−
= +
+
−
∫
17
1
1 2 1 2 2
x x
k k
.dx ln C
(x x )(x x ) x x x x
−
= +
− − − −
∫
* Các dạng toán tính tích phân :
Dạng 1 : Tích phân trực tiếp :
 Phương pháp : * Dùng bảng nguyên hàm để tìm nguyên hàm giả sử là F(x) .
* Áp dụng công thức để tính :
b
b
a
a
f (x).dx F(x) | F(b) F(a)= = −
∫
 Thường sử dụng các các kiến thức sau :
Lý thuyết ôn tập thi tốt nghiệp 12 năm học 2008 – 2009 Trang
12
GV: Nguyễn Bá Trình

a
I f (x).dx=
∫
 Phương pháp 1:B
1
: Đặt x = g(t)
⇒
dx =
g '(t)
.dt.
B
2
: Đổi cận : x = a
⇒
t =
α
x = b
⇒
t =
β
B
3
:Tính
I u(t).dt
β
α
=
∫
 Phương pháp 2: B
1

(không chứa biểu thức nào khác hoặc có bậc chẵn) . Ta đặt x = atgt
o Nếu có dạng
2
x k+
(không chứa biểu thức nào khác hoặc có bậc chẵn) .
Ta đặt t = x +
2 2
a x+
o Những dạng khác , ta đặt ẩn phụ bởi cả căn , lnf(x) , hoặc cả biểu thức dưới mẫu … sao cho khi
vi phân thì ra biểu thức còn lại .
Dạng 3: Tính tích phân từng phần : I =
b
a
h(x).g(x).dx
∫
 Phương pháp : Đặt
u h(x) du h '(x).dx
dv g(x).dx v G(x)
= =
 
⇒
 
= =
 
Tính : I =
b
b
a
a
u.v | v.du−

b
ax b
a
sin(ax b).e .dx
+
+
∫
;
b
ax b
a
cos(ax b).e .dx
+
+
∫
.Đặt u = e
ax+b
còn lại là dv ( phải đặt 2 lần ).
III.Đại số tổ hợp :
1) Quy tắc cộng :Nếu có m
1
cách chọn x
1
, m
2
cách chọn x
2
, . . . , m
n
cách chọn x

N) .Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được
gọi là một hoán vò của n phần tử đó . KH : P
n
= n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)…3.2.1
Chú ý : 0! = 1 .
4) Chỉnh hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi bộ gồm k (0 < k < n) , phần tử sắp thứ tự của tập hợp A
được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của n phần tử của A .
KH :
k
n
n!
A
(n k)!
=
−
(với k , n
∈
N và n > 1) .
5) Tổ hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi tập con gồm k (0 < k < n) phần tử của A được gọi là một tổ
hợp chập k của n phần tử đã cho .
KH :
k
n
n!
C
(n k)!.k!
=
−
(với k , n
∈

.
 Số hạng tổng quát thứ k + 1 có dạng : T
k + 1

=
k
n
C
a
n – k
.b
k
.
 2
n
= (1 + 1)
n
=
0
n
C
+
1
n
C
+
2
n
C
+ . . . +