Sở gdđt quảng bình
TRƯờNG THPT Số 1 Bố TRạCH
SáNG KIếN KINH NGHIệM
Đề TàI
ứng dụng tích phân
để giải các bài toán tổ hợp
Giáo viên thực hiện:
Nguyễn Hữu Quyết
Tổ:
Toán
Năm học:
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết
2
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, các bài toán của Đại số tổ hợp thường xuất hiện
trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều. Trong nội dung này
có một số bài toán ứng dụng tích phân để giải quyết. Tuy nhiên, tích phân được học
ở trong chương trình lớp 12, còn tổ hợp được học ở trong chương trình lớp 11. Hệ
thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để giải các
bài toán tổ hợp thì không được trình bày, học sinh không được rèn luyện kỹ năng
này trên lớp. Do đó, khi gặp bài toán này ở các đề thi Đại học và Cao đẳng, học sinh
phần lớn không làm được.
Nhằm giúp học sinh vận dụng được tích phân để giải các bài toán tổ hợp,
chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng sắp tới, tôi chọn đề
tài “Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp” làm sáng kiến kinh nghiệm
của mình.
2. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
- Học sinh lớp 12A1, 12A2, 12A3 trường THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình.
- Các bài toán của Đại số tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết.
3. Phương pháp nghiên cứ
u
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, cấu
- Trong khai triển
n
a b
có n + 1 số hạng.
- Tổng các số mũ trong mỗi số hạng của khai triển
n
a b
bằng n.
- Các hệ số của các số hạng có tính chất đối xứng:
k n k
n n
C C k , k n
n
n n n 1 n 1 2 n 2 2 0 n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
- Nếu sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của a thì số hạng tổng quát thứ k + 1 trong
khai triển
2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân
Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số
1 1 1 1
1; ; ; ; ; ;
2 3 4 n
và
mẫu số được xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm đều theo một quy luật nào đó, ta nghĩ
ngay đến việc sử dụng tích phân. Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với các cận thích hợp.
Bước 2: Tính tích phân trong cả hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton và vế đã
khai triển.
Bước 3: Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận.
Chú ý: Khi mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng
k k
b a
, ta chọn cận từ a đến b, tức là
b
a
f x dx
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết
4
b b
n n
0 1 2 2 n n
n n n n
a a
b
b
n 1
2 3 n 1
n
0 1 2 n
n n n n
a
a
2) 1 x dx C C x C x 1 C x dx
1 x
x x x
C x C C 1 C
n 1 2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
a
a
3) x 1 dx C x C x C x C dx
x 1
x x x
C C C C
n 1 n 1 n n 1
b b
n n
0 n 1 n 1 2 n 2 n
Ta sẽ gọi hàm số
n
y x 1
và
n
y x 1
là các hàm đa thức cơ bản.
3. Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân
3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản
Bài 1. Cho
*
n
. Tính tổng:
2 3 n 1
0 1 2 n
Giải
Ta có
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
1 x C C x C x C x C x
Suy ra
2 2
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
1 1
1 x dx C C x C x C x C x dx
2
2
n 1
n n n n
2 1 2 1 2 1 3 2
S C C C C
2 3 n 1 n 1
Bài 2. Cho
*
n
. Chứng minh rằng:
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 2 1
C C C C
2 3 n 1 n 1
(ĐH Sư phạm TPHCM Khối D-2000)
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân.
Tổng không đan dấu, ta sử dụng
(1)
1
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0
C C x C x C x C x dx
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết
6
1
0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
0
1 1 1
C x C x C x C x
2 3 n 1
. Chứng minh rằng:
n n
0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
1 1 1 1
2C C 2 C 2 1 C 2 1 1
2 3 n 1 n 1
(ĐH Giao thông Vận tải - 1996)
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Vì
số hạng cuối cùng có hệ số
n 1
2
n 1
nên ta biết cận từ 0 đến 2 và tổng đan dấu nên ta sử
dụng
2
n
0
1 x dx
(3)
2
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0
C C x C x C x 1 C x dx
2
n
0 1 2 2 3 n n 1
n n n n
0
1 1 1
C x C x C x 1 C x
2 3 n 1
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết
7
Bài 4. Cho
*
n
. Chứng minh rằng:
n
1 2 3 n
n n n n
n-1 2 + 1
1 2 3 n
C + C + C + + C =
2 3 4 n + 1 n+ 1
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số
hạng cuối cùng có hệ số
n
n 1
nên ta không thể nghĩ ra ngay một hàm số nào đó để
tính tích phân. Bằng cách phân tích số hạng tổng quát
Giải
Cách 1: Xét số hạng tổng quát trong vế trái
k k
n n
k 1
C = 1- C
k+1 k+1
với k = 0, 1, 2,…,n.
Do đó,
1 2 3 n 1 2 3 n 1 2 3 n
n n n n n n n n n n n n
1 2 3 n 1 1 1 1
C + C + C + + C = C +C +C + +C - C + C + C + + C
2 3 4 n+1 2 3 4 n+1
=
n
n+1
1
1
n+1 n
n
n+1 n
0
1+x 1+x n-1 2 +1
n
= n - = 2 -1 - 2 -1 = (5)
n+1 n n+1 n+1
1
1 2 3 2 n n-1 1 2 3 n
n n n n n n n n
0
1 2 3 n
2 4 6 2n 2n 1
(ĐH khối A - 2007)
Giải
Xét các khai triển
2n
0 1 2 2 3 3 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n
1 x C C x C x C x C x
(7)
2n
0 1 2 2 3 3 2n 2n
n 2n 2n 2n 2n
1 x C C x C x C x C x
(8)
Trừ vế theo vế (7) và (8) ta được:
2n 2n
1 3 3 2n 1 2n 1
2n 2n 2n
1
1
2n 1 2n 1
1 2 3 4 2n 1 2n
2n 2n 2n
0
0
1 x 1 x
1 1 1
C x C x C x
2(2n 1) 2 4 2n
2n
1 3 5 2n 1
2n 2n 2n 2n
1 1 1 1 2 1
P x dx
.
Còn nếu phải tính tổng
0 2 4 2n
2n 2n 2n 2n
1 1 1 1
C + C + C + + C
2 4 6 2n+2
thì ta lại xét
0 2 3 2n 2n+1
2n 2n 2n
Q x =x.P x =C x+C x + +C x
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết
9
Sau đó tính tích phân
1
0
Q x dx
. Ta sẽ gặp dạng này ở phần tiếp theo.
Bài 6. Cho
2n 1
2n
1
1
1 x
2
1 x dx
2n 1 n 1
(9)
1
0 1 2 2 3 3 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n
1
C C x C x C x C x dx
2n 2n 2n 2n
2 2 2 2
2C C C C
3 5 2n 1 2n 1
3.2. Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước
Đối với dạng này, thông thường trong một câu có hai ý: ý thứ nhất yêu cầu tính
tích phân và ý thứ hai là chứng minh đẳng thức tổ hợp hoặc tính tổng. Khi đó, ta linh
hoạt sử dụng ý trước để làm ý sau.
Bài 1. Cho
2 n
.
a) Tính
1
n
2 3
0
I x 1 x dx
b) Chứng minh rằng:
n 1
0 1 2 n
2
2
n 1 n 1
n
1
1
1 1 t 2 1
I t dx
3 3 n 1 3(n 1)
(11)
b) Xét
1
2 0 1 3 2 6 3 9 n 3n
n n n n n
0
I x C C x C x C x C x dx
(12)
Từ (11) và (12) suy ra
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 2 1
C C C C
3 6 9 3(n 1) 3(n 1)
Bài 2. Cho
*
n
.
a) Tính tích phân
1
n
2
0
x 1 -x d x
n 1
n
1
0
1 1 t 1
I t dx
2 2 n 1 2(n 1)
(13)
b) Xét
1
n
0 1 2 2 4 3 6 n 2n
n n n n n
0
I x C C x C x C x 1 C x dx
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
n
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1
C C C 1 C
2 4 6 2(n 1)
(14)
Từ (13) và (14) suy ra
n
0 1 2 3 n
n n n n n
-1
1 1 1 1 1
C - C + C - C + + C =
2 4 6 8 2(n+1) 2(n+1)
Bài 3. Cho
*
n
.
a) Tính tích phân
Khi đó,
1
1
n n 1
2 2 2
n
0
0
1 1
n 1 n 1
2 2 2
0 0
n 1 n
n
n 1
I x 1 x 2nx 1 x dx
2n 1 x dx- 1-x 1 x dx
n 1 n 2 0
2 n 1 2n !!
I I I 2n 2
. .
I I I 2n 1 2n 1 3 2n 1 !!
Suy ra
n 0
2n !! 2n !!
I I
2n 1 !! 2n 1 !!
(15)
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết
12
b) Xét
1- C + C - C + + C (16)
3 5 7 2n+1
Từ (15) và (16) suy ra
n
1 2 3 n
n n n n
-1 2n !!
1 1 1
1- C + C - C + + C =
3 5 7 2n+1 2n+1 !!
3.3. Tính tích phân của hàm đa thức cơ bản sau khi đã nhân thêm hàm số vắng
Khi bài toán cho mà số hạng tổng quát không phải là
k
n
1
C
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số
hạng cuối cùng có hệ số
k
n
1
C
k+2
thì ta phải nhân thêm x vào hàm số cơ bản trước
khi tính tích phân. Khi đó, ta sử dụng
1
n
0
x 1 x dx
.
Giải
Xét
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
n 2 n 1 n 1
2 1 2 1 n2 1
17
n 2 n 1 n 1 n 2
1 1
n
0 1 2 2 3 3 n n
n n n n n
0 0
1
0 1 2 2 3 3 4 n n 1
n n n n n
0
x 1 x dx x C C x C x C x C x dx
C x C x C x C x C x dx
1 1 1 1 n2 1
C C C C
2 3 4 n 2 n 1 n 2
Bài 2. Cho
*
n
. Chứng minh rằng:
n
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 1
C C C 1 C
2 3 4 n 2 n 1 n 2
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân. Vì số
hạng cuối cùng có hệ số
k
n
1
;
x 1 u 0
Khi đó,
1
1 1
n 1 n 2
n
n
0 0
0
u u
x 1 x dx 1 u u dx
n 1 n 2
1 1 1
19
1
n
0 2 1 3 2 4 n n 2
n n n n
0
1 1 1 1
C x C x C x 1 C x
2 3 4 n 2
n
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1
C C C 1 C
2 3 4 n 2
(20)
HD: Vì tổng đan dấu và hệ số
1
n 1
gắn với
n
n
C
nên sử dụng
1
n
0
1 x dx
Bài 2. Cho
*
n
. Chứng minh rằng:
n
n
0 1 2 n
n n n n
1
n 1
0 1 2 2 3 n n n 1
n n n n
1 1 1 3 1
2C C 2 C 2 C 2
2 3 n 1 n 1
(ĐH Đà Nẵng - 2001)
HD: Sử dụng
2
n
0
1 x dx
Bài 4. Tính tổng:
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1
S C C C C
3 4 5 n 3
b)
2n+2 n+1
n n
k k
n n
k 1 n 1
k=0 k=0
1 1 2 3
C C
k+1
k+1 2 n+1 2
Bài 6. Đặt
n
1 1 1 1
S 1
2 3 4 n
. Chứng minh rằng:
a)
n 1
1 2 3 4 n
1 2 3 n 1
n 1 .C
1.C 2.C 3.C
S
A A A A
, biết
0 1 2
n n n
C C C 211
HD: Phân tích
0 1 2 3 n 1 2 n
n n n n n n n n
1 1 1
S C C C C C C C C
2 3 n 1
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành tại lớp 12A1, 12A2, 12A3, trường
THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình.
+ Lớp 12A1 ( 46 học sinh), 12A2( 44 học sinh), được áp dụng sáng kiến.
+ Lớp 12A3 ( 46 học sinh) không áp dụng sáng kiến.
Sau khi dạy thực nghiệm cho lớp 12A1, 12A2, còn không dạy thực nghiệm ở
lớp 12A3, tôi cho cả 3 lớp làm bài kiểm tra.
Với kết quả như sau:
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết
17
Xếp loại
Đối tượng
Giỏi Khá Tb Yếu Kém
12A1 10,9% 26,1% 34,8% 15,2% 13,0%
12A2 9,1% 22,7% 36,4% 18,2% 13,6%
12A3 0% 0% 13,6% 25,0% 61,4%
Vì như đã nêu ở trên nên đa số các em lớp 12A3 làm không được, chỉ tính
được tích phân ở Bài 3. Còn lớp 12A1, 12A2, do các em đã được trang bị các kiến
thức và phương pháp giải quyết vấn đề nên phần lớn các em biết cách làm. Do đó,
kết quả kiểm tra cho ta sự khác biệt giữa lớp dạy thực nghiệm và lớp không dạy thực
nghiệm.
Đề kiểm tra khảo sát 45 phút
SỞ GDĐT QUẢNG BÌNH KIỂM TRA KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM
TRƯỜNG THPT SỐ 1 BỐ TRẠCH Thời gian làm bài
: 45
phút
1
n
2
0
x 1 + x d x
b) Chứng minh rằng:
n n+1
0 1 2 3 n
n n n n n
1 1 1 1 1 2 -1
C + C + C + C + + C =
2 4 6 8 2(n+1) 2(n+1)
Bài 4. (2,0 điểm) Tìm hệ số chứa
2
x
trong khai triển
n
4
1
x
2 x
, biết n là số
nguyên dương thỏa mãn
2
0
x x 1 dx
Bài 3. a) Đặt
2
u 1 x
.
b) Từ câu a), ta khai triển
n
2
x 1 + x
và tính tích phân cả hai vế.
Ta có thể rút gọn
1
2
và sử dụng
1
n
0
1 x dx
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết
20
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Giải tích 12 nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục 2009.
2. Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên), Đại số và Giải tích 11 nâng cao, Nhà xuất bản giáo
dục 2009.
3. Phạm Trọng Thư, Tuyển chọn 36 đề thử sức Đại học môn Toán, Nhà xuất bản Đại
học Sư phạm 2012.
4. Nguyễn Đức Hoàng, Giới thiệu nhanh đề thi toán học, Toán, Nhà xuất bản Đại
học Sư phạm 2010
5. Võ Thanh Văn (chủ biên), Chuyên đề ứng dụng nguyên hàm, tích phân trong giải
toán THPT, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm 2009.
6. Trần Phương, Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân, Nhà xuất bản tri
thức 2006.
HẾT
Copyright: Tài liệu đại học ©