Tiểu luận môn học
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
oOo
TIỂU LUẬN CUỐI KÌ MÔN HỌC:
LÝ THUYẾT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠI Giảng viên hướng dẫn :TS. Nguyễn Anh Duy
Học viên thực hiện :Huỳnh Văn Minh
Lớp :CH Tự Động Hóa
Khoá :9/2011 - 2013

Đà Nẵng, tháng 8/2012
Yêu cầu:
Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh

1
Tiểu luận môn học
1. Tự đưa ra mô hình toán học của một hệ phi tuyến (phân tích từ các hệ thống
thực thì càng tốt).
2. Xét tính ổn định của hệ thống tại các điểm cân bằng.
3. Thiết kế bộ điều khiển theo :
+ Tuyến tính hóa trong lân cận điểm làm việc (bài 1)
+ Thiết kế bộ điều khiển Gain-Scheduling (bài 2)
4. Mô phỏng hệ thống - vẽ quỹ đạo pha.
Bài 1:
Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh
2
Tiểu luận môn học
1.1 Mô hình hóa hệ cánh tay Robot:

mlJ
B
t
22
.
2

1
)(cos)()(
+
+
+
+
−
+
−=⇔
θθθ
Đặt biến trạng thái:





=
=
)()(
)()(
.
2
1

uxfx
Trong đó:










+
+
+
−
+
+
−
=








=
−−

),( xuxg =
−−
−
Ta có thông số cánh tay máy như sau:
l = 0,5m; l
c
= 0,2m; m = 0,1kg; M = 1,5kg; J = 0,02 kg.m
2
; B = 0,005;
g = 9,81m/s
2
.
Thay số vào hệ phương trình ta có:






+−−
=








=

x
e
e
e
e
∈





+=
=
⇔



=−
=
π
π
2
0
0cos7,32
0
1
2
1
2
Điểm cân bằng có tọa độ (x

0
2
2
1
π
π
Sử dụng khai triển Taylor
),(
−−
−
uxf
và
),(
−−
−
uxg
xung quanh điểm cân bằng (
−
e
x
,
u
0
) ta có thể mô tả hệ thống bằng phương trình trạng thái tuyến tính:
Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh
4
Tiểu luận môn học







−=
−=
−=
−
−−
∼
−
−
∼
−
−
−
∼
−
),(
0
0
uxgyy
uuu
xxx
e
e
Từ phương trình trạng thái của hệ ta có các ma trận Jacobi:
0
,
2
2





∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=






=
0
0
,
1
1
11
=
∂
∂
=

2
22
−=
∂
∂
=
−
u
e
x
x
f
a
Zk
kx
kx
x
x
f
a
e
e
ux
e
u
e
x
∈



21
0
0
,






=












∂
∂
∂
∂
=









∂
∂
∂
∂
==
−
ux
e
x
g
x
g
ccC
[ ] [ ]
0
0
,
=







3
12
11
1
π
e
e
e
x
x
x
Khi đó ta có các ma trận trạng thái như sau:
Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh
5
Tiểu luận môn học






−−
=
111,01,98
10
1
A
;









=






=
0
2
3
12
11
1
π
e
e
e
x
x
x
*Trường hợp 2:

Điểm cân bằng có tọa độ:






−
=
111,01,98
10
2
A
;






=
222,22
0
2
B
;
[ ]
01
2
=C
;
[ ]


=
0
2
22
21
2
π
e
e
e
x
x
x
1.3. Thiết kế bộ điều khiển theo phương pháp tuyến tính hóa trong lân cận
điểm làm việc:
Do hệ thống (2) không ổn định nên ta đưa thêm bộ điều khiển R tĩnh, phản hồi
trạng thái để ổn định hệ.
Hình 1.7: Thiết kế bộ điều khiển làm ổn định hệ tuyến tính
Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh
6
∼
−
∼
−
∼
−
+=
uBxA
dt







−
−






−
−
=−
889,01,98
11
111,01,98
10
10
01
21
AIs
[ ]





−
−






−
−
=−
889,11,98
12
111,01,98
10
20
02
22
AIs
[ ]






−
=−⇒
−
4712,0

1
211
tBAIsa
[ ]






−
=−=
−
−
9424,0
4712,0
22
1
222
tBAIsa
là hai vectơ độc lập tuyến tính. Suy ra:
[ ]
13,05044,4
9424,02286,0
4712,02286,0
]21[][][
1
1
2121
=






−
=−
999,2968,1
10
13,05044,4
222,22
0
111,01,98
10
22
RBA
đúng là có
hai giá trị riêng -1 và -2.
Khi đó ta có hệ kín gồm khâu phi tuyến và bộ điều khiển phản hồi trạng thái R
ổn định tại điểm cân bằng
2e
x
với miền ổn định
θ
.
Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh
7
Tiểu luận môn học
Với bộ điều khiển này, hệ kín có mô hình không bị kích thích:


−
∼
−
−=
2e
xxx
. Lúc này hệ (3) trở thành:










++−+−+−
+
=
∼∼∼
∼
∼
−
2316,157)(0968,100)(999,2)cos(1,98
211222211
222
eee
e
xxxxxx

(4)
Sử dụng phương pháp Schultz - Gibson để tìm hàm xác định dương
)(
∼
−
xV
:
Sử dụng ma trận đối xứng:






=
23
31
qq
qq
Q











2
1
xqxq
xqxq
xQ
x
V
x
V
gradV
Suy ra:
−−
∼
=
∂
∂
fgradVf
x
V
T
)(



















+−−=
∼
∼
∼
∼
∼
∼
∼∼
3
1
13
2
1
23
2
2
1
12
23121
0968,100
sin1,98


3
q
là hằng số và thỏa mãn :
998,5999,20
23
=<< qq
Mặt khác ta có:
00968,100
sin1,98
1
sin
3
1
13
1
1
<−⇒<
∼
∼
∼
∼
q
x
xq
x
x
−
∼
∂





⇒
∼
∼
∼∼∼
1
2
22131
xkxxxqxV






+=
∂
∂
⇒
∼
∼
∼
∼
1
1
23
1





⇒
∼
∼
∼∼∼
∼
1
1
31111
1
sin2,196
1936,200999,2
x
x
qxxqxk
xd
d
∼∼∼∼
∼
−+=






⇒






+++++=
∼
∼∼∼
∼∼∼
−
1
2
1
2
13
2
2213
cos12,1960968,1004995,1)( xxxqxxxqxV







++





qxxx
q
Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh
9
Tiểu luận môn học
và hàm này xác định dương với
∼
−
∀x
.
Vậy hệ (4) ổn định tiệm cận Lyaponov tại điểm gốc tọa độ tức là hệ (3) ổn định
tiệm cận Lyaponov tại điểm cân bằng
2e
x
. Hệ có miền ổn định là toàn bộ mặt
phẳng pha nên nó là ổn định tuyệt đối.
1.4. Mô phỏng hệ thống và vẽ quỹ đạo pha
1.4.1. Quỹ đạo trạng thái ban đầu của hệ thống
Sơ đồ mô phỏng hệ trong simulink
*Trường hợp 1:

Điểm cân bằng có tọa độ:
















=






=
0
2
3
12
11
1
π
e
e
e
x
x
x
. Nhưng hệ thống có thời gian để xác lập khá lớn
*Trường hợp 2:

Quỹ đạo pha
Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh
11
Tiểu luận môn học
Đáp ứng ra
* Nhận xét:
Từ quỹ đạo pha và đáp ứng ra của hệ thống ta thấy hệ thống không ổn
định tại điểm cân bằng








=






=
0
2
12
11
1
π





=
0
2
22
21
2
π
e
e
e
x
x
x
.
Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh
13
Tiểu luận môn học
Bài 2:
2.1 Hệ có mô hình trạng thái sau:
(2.1)





−=



−
+
=
3
21
2
xx
ux
f
2.2 Xét tính ổn định của hệ thống tại điểm cân bằng
Hệ (2.1) có điểm cân bằng là nghiệm của hệ phương trình
0=
•
x
ứng với u
0
= 0.
Suy ra:
0|
0
,
=
ux
e
f
⇔



0
ux
e
ta có thể
mô tả hệ thống bằng mô hình tuyến tính tương đương:
~~
~
uBxA
dt
xd
+=
Trong đó
e
xxx −=
~
,
e
uuu −=
~
Từ phương trình trạng thái của hệ ta có các ma trận Jacobi:
0
1 2
1 2
11 12
21 22
2 2
1 2
,
e
x u

=
ux
e
x
f
a
,
1
0
,
2
1
12
=
∂
∂
=
ux
e
x
f
a
1
0
,
1
2
21
=
∂







=
01
10
A
Ta có đa thức đặc tính của hệ thống :
det(sI - A) = s
2
– 1 = (s+1)(s-1)
Đa thức đặc tính của hệ thống có 2 nghiệm là s
1
= -1 và s
2
= 1 trong đó nghiệm
s
2
nằm bên phải trục ảo, do đó hệ thống không ổn định tại điểm cân bằng.
2.3 Thiết kế bộ điều khiển theo phương pháp tuyến tính mở rộng (Gain-
scheduling)
Thiết kế theo các bước như sau:
1- Xác định các điểm làm việc
)(vx
v
,
)(

1
v x=
ta có :





=
−=
3
2
3
vx
vu

Vậy điểm làm việc của đối tượng được biểu diễn theo tham số là:





−=













−
+
=
3
21
2
,
xx
ux
uxf

( , ) ( ).( ) ( )( )
v v
f x u A v x x B v u u≈ − + −

% %
( ). ( ).A v x B v u≈ +
Trong đó :
( )
( ) ( )






( )
0
v
v
x v u v
f
B v
u
∂
 
 
= =
 ÷
 ÷
∂
 
 
Vậy mô hình tuyến tính tương đương của nó tại các điểm làm việc sẽ là:
Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh
15
Tiểu luận môn học
~~
3
2
.
0
1
.
31
10

hệ ổn định.
Sử dụng phương pháp gán điểm cực, do đối tượng có hai biến trạng thái nên bộ
điều khiển
1
R
là một ma trận hàng hai cột
( )
1 1 2
,R r r=
( )








−
−−
=








−

3
2
21
.
31
1
det ssss
vs
rrs
BRAsI −−=








−−
−+
==+−⇒
12313
2
1
3
2
2
3
2
1






=−+
=−
⇒
3
2
3
2
2
3
2
1
1
3
2
2
3
2
1
323
32
131
23
vvr
vr
rvr











++=
3
2
3
2
3
2
1
323;32 vvvR
4 - Từ bộ điều khiển
1
R
cho mô hình tuyến tính tương đương ta xác định bộ điều
khiển cho mô hình trạng thái phi tuyến ( bộ điều khiển phản hồi trạng thái phi
tuyến hay gọi là bộ điều khiển Gain-Scheduling) như sau:
Từ sơ đồ cấu trúc (Hình 2.1) ta có thể viết lại như sau:
% %
1
( ).u R v x
ω

3
2
3
2
2
1
3
2
3
2
3
2
323
.32332
vvxvvvxtu
v
v
v
x
x
vvvtu
+














−
−
























x
u t
x
ω
= −
~~
~
).().( uvBxvAx
+=
•
1
( )R v
ω
%
u
2
( )R v
{
(1,0)
T
C
ω
′
Hình 2.2 –Mô hình tuyến tính tương đương
với bộ điều khiển phản hồi trạng thái và khâu tiền xử lý.
Tiểu luận môn học
Lúc này ta có hệ:




0
0
1
lim ( ) 1 ( )
lim ( )
s
s
G s R v
G s
→
→
′
= ⇒ =
Tính












+




3
2
3
2
3
2
3
2
1
3
2
3
2
3
2
3
2
1
31
32332
31
32332
vs
vvvs
BRAsI
v
vvv
BRA

( )



+−++
3
2
3
2
3
2
3
2
31
32332
vs
vvvs
( )
( )
( )








+−+












+








+−++
−−
=⇒
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2

3
2
3
2
3
2
3
2
0
0
2
6
323332
32
lim
1
lim
1
v
vvvsvs
vs
sG
vR
s
s
=





2
6vR =⇒
2.4 Mô phỏng hệ thống
a- Mô hình ban đầu của hệ thống
Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh
18
Tiểu luận môn học
Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh
19
Hình 2.3 –Sơ đồ cấu trúc của hệ thống.
Hình 2.4 –Mô phỏng hệ thống trên Simulink.
Hình 2.5 –Quỹ đạo pha của hệ thống
Tiểu luận môn học
b- Mô hình hệ thống có bộ điều khiển

Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh
20
Hình 2.6 –Cấu trúc bộ điều khiển phi tuyến với nhiều khâu xử lý từng phần.
Hình 2.7 – Đáp ứng biến trạng thái
Tiểu luận môn học
Học viên thực hiện: Huỳnh Văn Minh
21
Hình 2.8 – Quỹ đạo trạng thái