Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại
TIỂU LUẬN MÔN HỌC
LÝ THUYẾT HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN
HIỆN ĐẠI
ĐỀ BÀI
1. Tự đưa ra mô hình toán học của 1 hay 2 hệ phi tuyến (phân tích từ các hệ
thống thực càng tốt).
2. Xét tính ổn định của hệ thống tại các điểm cân bằng.
3. Thiết kế bộ điều khiển theo 2 trong số các phương pháp:
+ Dùng tiêu chuẩn Lyapunov.
+ Điều khiển trượt.
+ Tuyến tính hóa trong lân cận điểm làm việc.
+ Tuyến tính mở rộng (Gain-schudeling).
+ Tuyến tính hình thức.
+ Tuyến tính hóa chính xác.
+ Thiết kế cuốn chiếu (Backstepping).
4. Mô phỏng hệ thống – Vẽ quỹ đạo pha.
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại
Bài 1:
1. MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG
Giả sử hệ thống điều khiển có mô hình đối tượng như sau





=
+=
+=

2
11
xy
uxxx
xxx


(2.1a)
Mô hình (2.1a) khi có u(t) = 0 và trở thành
)(
~
),(
0
xfuxfx
u
==
=

Một điểm trạng thái
e
x
thỏa mãn
tf ∀= 0)0(
~
(2.1b)
được gọi là điểm cân bằng của hệ thống. Tức là, (2.1b) có nghiệm
0
=
e
x

∂
∂
=








∂
∂
==∇
21
,
υ
thì vecto Grandient gradV, luôn vuông góc đường
cong v
k
và chỉ chiều tăng theo giá trị theo giá tri k của V(x) = k.
Với hàm xác định dương V(x) thì

T
T
T
x
V
x
V

21
,cos
ϕ
υ
υ
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại
Theo tiêu chuẩn Lyapunov
Trong lân cận điểm cân bằng mô tả gần đúng bởi mô hình tuyến tính
xcy
uBxAx
=
+=

Mô hình toán học không bị kích thích của (2.1a) như sau:



=
+=
212
2
2
11
xxx
xxx


(2.2a)

+−
∂
∂
+=
−
∂
∂
+−
∂
∂
+=
)()()()(),(),(
)()()()(),(),(
01
,
1
2
01
,
1
2
00
22
01
,
1
1
01
,
1



















∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
=

2
2
1
1
1
,
2
2
1
2
2
1
1
1
,
00
00
)(
)(
u
f
u
f
u
f
u
f
u
f
B

xx
x
x








+








=
1
0
12
12
1

Thay giá trị điểm cân bằng vào ta được hệ tuyến tính sau:
uxx


đó.
Nếu chọn hàm
2
2
2
1
)( bxaxxV
+=

Suy ra
2211
22)( xbxxaxxV


+=
cùng với mô hình (2.2a) ta có
)(222)(
2
2
2
11
2
21
3
1
bxaxxxbxaxxV
+=+=


Như vậy, để hệ ổn định thì V(x) xác định dương và







=
1
0
00
10

Hệ có








=
10
1
τ
τ
A
e















=








−
−−
=







T
T
T
T
2
23
1
)(
1
01
10
1
0
10
1
2
2
2
0
2
0
τ
τ
ττ
τ
τ
τ
0
12
)det(




+=
+=
uxzz
zxx


2
(3.2b)
Dựa trên định lý (thiết kế cuốn chiếu bộ điều khiển GAS cho hệ Tam giác) ta có ngay hệ con
thứ nhất của đối tượng:
zxx
+=
2

(3.2c)
Có hàm CLF và bộ điều khiển ổn định tiệm cận thì ta có
2
1
))((
2
1
)(),( xzxVzxV
υ
−+=
(3.2d)
2
1

+++=
(3.2f)
)23)(()(
)2)((.),(
32222
2
xzxxzuxxzxxxzx
xxxzxxzxxzxV
++++++++++−=
+++++=




)23)((
3222
xzxxzuxxxzx ++++++++−=
Để
)(xV

xác định âm chọn
)23()(
322
xzxxzuxxxz +++++=++−
đồng thời thay u bởi
r(x,z) ta có r(x,z)
Ta có bộ điều khiển trở thành liên tục trong không gian trạng thái:
322
23)(),( xzxxzxxxzzxr −−−−−++−=
Thay x bởi x

+=
)(2
2121
2
1
3
12
2
2
11
xxxxxxx
xxx


4. MÔ PHỎNG HỆ THỐNG - VẼ QUỸ ĐẠO PHA
4.1. Quỹ đạo trạng thái ban đầu của hệ thống
Phương trình trạng thái của hệ thống ban đầu:





=
+=
+=
1
212
2
2
11

Cùng một mô hình đối tượng ta xây dựng sơ đồ khối theo mô hình toán học sau khi đã thiết
kế bộ điều khiển theo phương pháp back stepping (cuốn chiếu).





++++−=
+=
)(2
2121
2
1
3
12
2
2
11
xxxxxxx
xxx


Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại
Kết quả mô phỏng sau khi xây dựng sơ đồ khối và sau 3s trạng thái của quỹ đạo được đưa về
vị trí cân bằng
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại




=
2
1
x
x
x
,






−
+
=
2
21
2
xx
ux
f
2. XÉT TÍNH ỔN ĐỊNH TẠI CÁC ĐIỂM CÂN BẰNG
Xét tính ổn định của hệ thống tại điểm cân bằng
Hệ (2.1) có điểm cân bằng là nghiệm của hệ phương trình
0
=



=
=
0
0
1
2
e
e
x
x
Khai triển Taylor của hàm
),( uxf
xung quanh điểm cân bằng
),(
0
ux
e
ta có thể mô tả hệ
thống bằng mô hình tuyến tính tương đương:
~~
~
uBxA
dt
xd
+=
Trong đó
e
xxx

 ÷
= =
 ÷
 ÷
∂ ∂
 
 ÷
∂ ∂
 
0
0
,
1
1
11
=
∂
∂
=
ux
e
x
f
a
,
1
0
,
2
1

2
22
0
=−=
∂
∂
=
e
ux
x
x
f
a
e
Vậy ma trận hệ thống A là:
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại






=
01
10
A
Ta có đa thức đặc tính của hệ thống :
det(sI - A) = s

x x x x
+ = = −
 
⇔
 
− = =
 
Chọn
1
v x
=
ta có :
2
u v
x v

= −


=


Vậy điểm làm việc của đối tượng được biểu diễn theo tham số là:
v
v
v
x
v
u v


x u
f x u
x x
+
 
=
 ÷
−
 

( , ) ( ).( ) ( )( )
v v
f x u A v x x B v u u
≈ − + −

% %
( ). ( ).A v x B v u
≈ +
Trong đó :
( ), ( )
0 1
( )
1 2
v
v
x v u v
f
A v
x
v

~~
.
0
1
.
21
10
),( ux
v
uxfx






+






−
==
•
3- Thiết kế bộ điều khiển phản hồi trạng thái cho đối tượng thông qua mô hình tuyến tính
tương đương:
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)

− −
   
 
⇒ − = − =
 ÷  ÷
 ÷
− −
 
   
1 2
1 2
1
det( ) ( ).( )
1 2
s r r
sI A BR s s s s
s v
+ −
 
⇒ − + = = − −
 ÷
− −
 
2 2
1 2 1
(2 ) 1 2 2 1s s v r r r v s s
⇔ + + + + + = + +
Đồng nhất thức ta có:
1
1

1
1
, 2R
v
 
= −
 ÷
 
4 - Từ bộ điều khiển
1
R
cho mô hình tuyến tính tương đương ta xác định bộ điều khiển
cho mô hình trạng thái phi tuyến ( bộ điều khiển phản hồi trạng thái phi tuyến hay gọi là bộ
điều khiển Gain-Scheduling) như sau:
Từ sơ đồ cấu trúc (Hình 2.1) ta có thể viết lại như sau:
% %
1
( ).u R v x
ω
= −
%
1
1
( ).( )
( ).( )
v
v
v v
u u u R v x x
u R v x x u

v
x
u t v
x
v
v
u t x v x v v
v
ω
ω
 
 
 
 
⇒ = − − − −
 
 ÷
 ÷
 
 
 
 
 
 
 
⇔ = − − − − −
 ÷
 
Do sử dụng bộ điều khiển phản hồi trạng thái mới chỉ gán được
điểm cực chứ không giải quyết được nhứng vấn đề khác như độ quá

•
~~
~
1
).0,1(
')(
xy
BxBRAx
ω
1
1
( ) ( )
T
G s C sI A BR B
−
⇔ = − +
Từ đó ta có hàm truyền đạt khi có
2
R
như sau:
2
( ) ( ). ( )G s G s R v
′
=
Hệ không có sai lệch tĩnh khi:
2
0
0
1
lim ( ) 1 ( )

( )
x
u t
x
ω
= −
~~
~
).().( uvBxvAx
+=
•
1
( )R v
ω
%
u
2
( )R v
{
(1,0)
T
C
ω
′
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại
1
1
2 1
1
( )

s v
G s
s
s s v s s v
v
v v
 
+ −
 
+
 
⇒ = =
 ÷
 
− +
 
+ + − + + −
 
 
2
0
0
1 1 1
( )
lim ( )
2 2
lim
1
( )( 2 ) 3
s

Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại

Hình 2.7 – Đáp ứng biến trạng thái x1.

Hình 2.8 – Đáp ứng biến trạng thái x2.
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)
Lý Thuyết Hệ Thống Điều Khiển Hiện Đại

Hình 2.9 – Quỹ đạo trạng thái từ điểm ban đầu.
Học Viên: Dương Tấn Quốc
Lớp: TĐK - K24 (T9/20011 – 2013)