CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN 8
Vũ Quang Hưng – THCS Chất Bình 1
CHUYÊN ĐỀ 1 - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
A. MỤC TIÊU:
* Hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích ña thức thành nhân tử
* Giải một số bài tập về phân tích ña thức thành nhân tử
* Nâng cao trình ñộ và kỹ năng về phân tích ña thức thành nhân tử
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP
I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:
Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong ñó p là ước của hệ số tự do, q là ước
dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x – 1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử
bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x + 1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1); f(- 1) khác 0 thì
f(1)
a - 1
và
f(-1)
a + 1
ñều là số nguyên.
Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do
1. Ví dụ 1: 3x
2
– 8x + 4
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x
2
– x
2
– 4 =
(
)
(
)
(
)
(
)
3 2 2 2
2 2 2 4 2 ( 2) 2( 2)
x x x x x x x x x x
− + − + − = − + − + −
=
(
)
(
)
2
2 2
x x x
− + +
CHUYÊN
ĐỀ
B
Ồ
I D
Ví dụ 3: f(x) = 3x
3
– 7x
2
+ 17x – 5
Nhận xét:
1, 5
± ±
không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên
f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy x =
1
3
là nghiệm của f(x) do ñó f(x) có một nhân tử là 3x – 1. Nên
f(x) = 3x
3
– 7x
2
+ 17x – 5 =
(
)
(
)
(
)
3 2 2 3 2 2
3 6 2 15 5 3 6 2 15 5
x x x x x x x x x x
) + (4x
2
+ 4x) + (4x + 4) = x
2
(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x
2
+ 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)
2
Ví dụ 5: f(x) = x
5
– 2x
4
+ 3x
3
– 4x
2
+ 2
Tổng các hệ số bằng 0 thì nên ña thức có một nhân tử là x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có:
x
5
– 2x
4
+ 3x
3
– 4x
2
+ 2 = (x – 1)(x
4
4
+ x
2
+ 1) + (1996x
2
+ 1996x + 1996)
= (x
2
+ x + 1)(x
2
- x + 1) + 1996(x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
2
- x + 1 + 1996) = (x
2
+ x + 1)(x
2
- x + 1997)
Ví dụ 7: x
2
- x - 2001.2002 = x
2
- x - 2001.(2001 + 1)
= x
2
- x – 2001
+ 81 - 36x
2
= (2x
2
+ 9)
2
– 36x
2
= (2x
2
+ 9)
2
– (6x)
2
= (2x
2
+ 9 + 6x)(2x
2
+ 9 – 6x)
= (2x
2
+ 6x + 9 )(2x
2
– 6x + 9)
Ví dụ 2: x
8
+ 98x
4
+ 1 = (x
2
(x
4
+ 1 – 2x
2
) = (x
4
+ 8x
2
+ 1)
2
- 16x
2
(x
2
– 1)
2
= (x
4
+ 8x
2
+ 1)
2
- (4x
3
– 4x )
2
= (x
3
+ 1) + (x
2
+ x + 1 ) = x(x – 1)(x
2
+ x + 1 ) (x
3
+ 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)[x(x – 1)(x
3
+ 1) + 1] = (x
2
+ x + 1)(x
5
– x
4
+
x
2
- x + 1)
Ví dụ 2: x
7
+ x
5
+ 1 = (x
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)[(x
5
– x
4
+ x
2
– x) + (x
3
– x
2
) + 1] = (x
2
+ x + 1)(x
5
– x
4
+ x
3
– x + 1)
Ghi nhớ:
Các ña thức có dạng x
Đặt x
2
+ 10x + 12 = y, ña thức có dạng
(y – 12)(y + 12) + 128 = y
2
– 144 + 128 = y
2
– 16 = (y + 4)(y – 4)
= ( x
2
+ 10x + 8 )(x
2
+ 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x
2
+ 10x + 8 )
Ví dụ 2: A = x
4
+ 6x
3
+ 7x
2
– 6x + 1
Giả sử x
≠
0 ta viết
CHUYÊN
ĐỀ
B
Ồ
I D
+
2
1
x
) + 6(x -
1
x
) + 7 ]
Đặt x -
1
x
= y thì x
2
+
2
1
x
= y
2
+ 2, do ñó
A = x
2
(y
2
+ 2 + 6y + 7) = x
2
(y + 3)
2
= (xy + 3x)
2
4
+ 2x
2
(3x – 1) + (3x – 1)
2
= (x
2
+ 3x – 1)
2
Ví dụ 3: A =
2 2 2 2 2
( )( ) ( +zx)
x y z x y z xy yz+ + + + + +
=
2 2 2 2 2 2 2
( ) 2( +zx) ( ) ( +zx)
x y z xy yz x y z xy yz
+ + + + + + + +
Đặt
2 2 2
x y z
+ +
= a, xy + yz + zx = b ta có
A = a(a + 2b) + b
2
2
= b, x + y + z = c ta có:
B = 2a – b
2
– 2bc
2
+ c
4
= 2a – 2b
2
+ b
2
- 2bc
2
+ c
4
= 2(a – b
2
) + (b –c
2
)
2
Ta lại có: a – b
2
= - 2(
2 2 2 2 2 2
x y y z z x
+ +
) và b –c
= (a + b)[(a – b)
2
+ ab] = m(n
2
+
2 2
m - n
4
). Ta có:
C = (m + c)
3
– 4.
3 2
3 2 2
m + 3mn
4c 3c(m - n )
4
− −
= 3( - c
3
+mc
2
– mn
2
+ cn
2
)
= 3[c
2
(m - c) - n
3 không là nghiệm của ña thức, ña thức không có nghiệm nguyên
củng không có nghiệm hữu tỉ
Như vậy nếu ña thức phân tích ñược thành nhân tử thì phải có dạng
(x
2
+ ax + b)(x
2
+ cx + d) = x
4
+ (a + c)x
3
+ (ac + b + d)x
2
+ (ad + bc)x + bd
ñồng nhất ña thức này với ña thức ñã cho ta có:
6
12
14
3
a c
ac b d
ad bc
bd
+ = −
+ + =
+ = −
+ = − = = −
=
Vậy: x
4
- 6x
3
+ 12x
2
- 14x + 3 = (x
2
- 2x + 3)(x
2
- 4x + 1)
Ví dụ 2: 2x
4
- 3x
3
- 7x
2
+ 6x + 8
Nhận xét: ña thức có 1 nghiệm là x = 2 nên có thừa số là x - 2 do ñó ta có:
2x
4
- 3x
c
− = −
=
− = −
⇒
= −
− =
= −
− =
Suy ra: 2x
4
- 3x
3
- 7x
2
+ 6x + 8 = (x - 2)(2x
3
+ x
2
- 5x - 4)
2
+ (3c - a)x + bdy
2
+ (3d - b)y + (bc + ad)xy – 3
CHUYÊN
ĐỀ
B
Ồ
I D
ƯỠ
NG TOÁN 8
V
ũ
Quang H
ư
ng – THCS Ch
ấ
t Bình 6
⇒
12
4
10
3
3 5
6
12
2
⇒
12x
2
+ 5x - 12y
2
+ 12y - 10xy - 3 = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1)
BÀI TẬP:
Phân tích các ña thức sau thành nhân tử: CHUYấN ĐỀ 2 - SƠ LƯỢC VỀ CHỈNH HỢP,
7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24
8) 4x
4
- 32x
2
+ 1
9) 3(x
4
+ x
2
+ 1) - (x
2
+ x + 1)
2
10) 64x
4
+ y
4
11) a
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4
4
- 8x + 63
CHUYÊN
ĐỀ
B
Ồ
I D
ƯỠ
NG TOÁN 8
V
ũ
Quang H
ư
ng – THCS Ch
ấ
t Bình 7
CHUYÊN ĐỀ 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP
A. MỤC TIÊU:
* Bước ñầu HS hiểu về chỉnh hợp, hoán vị và tổ hợp
* Vận dụng kiến thức vào một ssó bài toán cụ thể và thực tế
* Tạo hứng thú và nâng cao kỹ năng giải toán cho HS
B. KIẾN THỨC:
I. Chỉnh hợp:
1. ñịnh nghĩa: Cho một tập hợp X gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của tập hợp
X ( 1
≤
k
≤
C
2. Tính số tổ hợp chập k của n phần tử k
n
A
= n(n - 1)(n - 2)…[n - (k - 1)]
k
n
C
=
n
n
A
: k! =
n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)]
k!
P
n
=
n
n
A
5
A
= 5.(5 - 1).(5 - 2) = 5 . 4 . 3 = 60 số
b) số tự nhiên có 5 chữ số, các chữ số khác nhau, lập bởi cả 5 chữ số trên là hoán vị cua 5
phần tử (chỉnh hợp chập 5 của 5 phần tử):
5
5
A
= 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 số
c) cách chọn ra ba chữ số trong 5 chữ số trên là tổ hợp chập 3 của 5 phần tử:
3
5
C
=
5.(5 - 1).(5 - 2) 5 . 4 . 3 60
10
3! 3.(3 - 1)(3 - 2) 6
= = =
nhóm
2. Ví dụ 2:
Cho 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Dùng 5 chữ số này:
a) Lập ñược bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số trong ñó không có chữ số nào lặp lại? Tính
tổng các số lập ñược
b) lập ñược bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số khác nhau?
c) Lập ñược bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, trong ñó hai chữ số kề nhau phải khác
b) chữ số tận cùng có 2 cách chọn (là 2 hoặc 4)
bốn chữ số trước là hoán vị của của 4 chữ số còn lại và có P
4
= 4! = 4 . 3 . 2 = 24 cách
chọn
Tất cả có 24 . 2 = 48 cách chọn
c) Các số phải lập có dạng
abcde
, trong ñó : a có 5 cách chọn, b có 4 cách chọn (khác a),
c có 4 cách chọn (khác b), d có 4 cách chọn (khác c), e có 4 cách chọn (khác d)
Tất cả có: 5 . 4 . 4 . 4 . 4 = 1280 số
d) Chọn 2 trong 2 chữ số chẵn, có 1 cách chọn
chọn 2 trong 3 chữ số lẻ, có 3 cách chọn. Các chữ số có thể hoán vị, do ñó có:
1 . 3 . 4! =1 . 3 . 4 . 3 . 2 = 72 số
Bài 3: Cho
·
0
xAy 180
≠ . Trên Ax lấy 6 ñiểm khác A, trên Ay lấy 5 ñiểm khác A. trong 12
ñiểm nói trên (kể cả ñiểm A), hai ñiểm nào củng ñược nối với nhau bởi một ñoạn thẳng.
Có bao nhiêu tam giác mà các ñỉnh là 3 trong 12 ñiểm ấy
Giải
Cách 1: Tam giác phải ñếm gồm ba loại:
+ Loại 1: các tam giác có một ñỉnh là A, ñỉnh thứ 2 thuộc
Ax (có 6 cách chọn), ñỉnh thứ 3 thuộc Ay (có 5 cách
chọn), gồm có: 6 . 5 = 30 tam giác
+ Loại 2: Các tam giác có 1 ñỉnh là 1 trong 5 ñiểm B
1
,
B
x
y
B
5
B
4
B
2
B
1
A
5
A
4
A
3
A
6
B
3
A
2
A
1
A
CHUYÊN
ĐỀ
B
Ồ
I D
, B
4
, B
5
gồm có: 6.
2
5
5.4 20
6. 6. 60
2! 2
C
= = =
tam giác
Tất cả có: 30 + 75 + 60 = 165 tam giác
Cách 2: số các tam giác chọn 3 trong 12 ñiểm ấy là
3
12
12.11.10 1320 1320
220
3! 3.2 6
C
= = = =
Số bộ ba ñiểm thẳng hang trong 7 ñiểm thuộc tia Ax là:
3
7
7.6.5 210 210
35
3! 3.2 6
C
V
ũ
Quang H
ư
ng – THCS Ch
ấ
t Bình 11
CHUYÊN ĐỀ 3 - LUỸ THỪA BẬC N CỦA MỘT NHỊ THỨC
A. MỤC TIÊU:
HS nắm ñược công thức khai triển luỹ thừa bậc n của một nhị thức: (a + b)
n
Vận dụng kiến thức vào các bài tập về xác ñịnh hệ số của luỹ thừa bậc n của một nhị
thức, vận dụng vào các bài toán phân tích ña thức thành nhân tử
B. KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG:
I. Nhị thức Niutơn:
Trong ñó:
k
n
n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)]
C
1.2.3 k
=
II. Cách xác ñịnh hệ số của khai triển Niutơn:
1. Cách 1: Dùng công thức
4
7
7! 7.6.5.4.3.2.1
C 35
4!.3! 4.3.2.1.3.2.1
= = =
b) Ta có:
k
n
C
=
k - 1
n
C
nên
4 3
7 7
7.6.5.
C C 35
3!
= = =
2. Cách 2: Dùng tam giác Patxcan
Đỉnh
1
Dòng 1(n = 1)
1 1
Dòng 2(n = 1)
a
n
-
2
b
2
+ …+
n 1
n
C
−
ab
n
-
1
+ b
n
CHUYÊN
ĐỀ
B
Ồ
I D
ƯỠ
NG TOÁN 8
V
ũ
Quang H
ư
3
b
2
+ 10a
2
b
3
+ 5ab
4
+ b
5
Với n = 6 thì: (a + b)
6
= a
6
+ 6a
5
b + 15a
4
b
2
+ 20a
3
b
3
+ 15a
2
b
4
ab
3
+
4.3.2.
2.3.4
b
5
Chú ý rằng: các hệ số của khai triển Niutơn có tính ñối xứng qua hạng tử ñứng giữa, nghĩa
là các hạng tử cách ñều hai hạng tử ñầu và cuối có hệ số bằng nhau
(a + b)
n
= a
n
+ na
n -1
b +
n(n - 1)
1.2
a
n - 2
b
2
+ …+
n(n - 1)
1.2
a
2
b
n - 2
y + 10x
3
y
2
+ 10x
2
y
3
+ 5xy
4
+ y
5
) - x
5
- y
5
= 5x
4
y + 10x
3
y
2
+ 10x
2
y
3
+ 5xy
4
= 5xy(x
+ y
5
cho x + y ta có:
x
5
+ y
5
= (x + y)(x
4
- x
3
y + x
2
y
2
- xy
3
+ y
4
) nên A có nhân tử chung là (x + y), ñặt (x + y)
làm nhân tử chung, ta tìm ñược nhân tử còn lại
b) B = (x + y)
7
- x
7
- y
7
= (x
7
+7x
Ồ
I D
ƯỠ
NG TOÁN 8
V
ũ
Quang H
ư
ng – THCS Ch
ấ
t Bình 13
= 7x
6
y + 21x
5
y
2
+ 35x
4
y
3
+ 35x
3
y
4
+ 21x
2
y
2
- xy
3
+ y
4
) ] + 3xy(x + y)(x
2
- xy + y
2
) + 5x
2
y
2
(x + y)}
= 7xy(x + y)[x
4
- x
3
y + x
2
y
2
- xy
3
+ y
4
+ 3xy(x
2
+ xy + y
2
= 7xy(x + y)[(x
4
+ 2x
2
y
2
+ y
4
) + 2xy (x
2
+ y
2
) + x
2
y
2
] = 7xy(x + y)(x
2
+ xy + y
2
)
2
Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số các ña thức có ñược sau khi khai triển
a) (4x - 3)
4
Cách 1: Theo cônh thức Niu tơn ta có:
(4x - 3)
4
x
2
+ c
3
x + c
4
Tổng các hệ số: c
0
+ c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
Thay x = 1 vào ñẳng thức trên ta có: (4.1 - 3)
4
= c
0
+ c
1
+ c
2
+ c
3
+ c
4
a) (5x - 2)
5
b) (x
2
+ x - 2)
2010
+ (x
2
- x + 1)
2011 CHUYÊN
ĐỀ
B
Ồ
I D
ƯỠ
NG TOÁN 8
V
ũ
Quang H
ư
ng – THCS Ch
ấ
t Bình 14
CHUÊN ĐỀ 4 - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
A. MỤC TIÊU:
70
chia hết cho 13
c) 17
19
+ 19
17
chi hết cho 18 d) 36
63
- 1 chia hết cho 7 nhưng không chia hết cho
37
+) a
n
- b
n
chia hết cho a - b (a
≠
- b)
+) a
2n + 1
+ b
2n + 1
chia hết cho a + b
+ (a + b)
n
= B(a) + b
n
+) (a + 1)
n
là BS(a )+ 1
)
17
- 1
M
2
3
- 1 = 7
b) 2
70
+ 3
70
(2
2
)
35
+ (3
2
)
35
= 4
35
+ 9
35
M
4 + 9 = 13
c) 17
19
+ 19
17
M
7
36
63
- 1 = (36
63
+ 1) - 2 chi cho 37 dư - 2
e) 2
4n
- 1 = (2
4
)
n
- 1
M
2
4
- 1 = 15
Bài 2: chứng minh rằng
a) n
5
- n chia hết cho 30 với n ∈ N ;
b) n
4
-10n
2
+ 9 chia hết cho 384 với mọi n lẻ n∈ Z
c) 10
n
2
- 1)
Vì (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5
5n(n
2
- 1) chia hết cho 5
Suy ra (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5n(n
2
- 1) chia hết cho 5 (**)
Từ (*) và (**) suy ra ñpcm
b) Đặt A = n
4
-10n
2
+ 9 = (n
4
-n
2
) - (9n
2
- 9) = (n
2
- 1)(n
2
- 9) = (n - 3)(n - 1)(n + 1)(n + 3)
Vì n lẻ nên ñặt n = 2k + 1 (k
∈
Z) thì
A = (2k - 2).2k.(2k + 2)(2k + 4) = 16(k - 1).k.(k + 1).(k + 2)
+ 10
n
- 9n - 1 = [(
{
n
9 9
+ 1) - 9n - 1] =
{
n
9 9
- 9n = 9(
{
n
1 1
- n)
M
27 (2)
vì 9
M
9 và
{
n
1 1
- n
M
3 do
{
n
1 1
- n là một số có tổng các chữ số chia hết cho 3
∈
Z) thì a
2
- 1 = 49k
2
+ 14k chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 2 (k
∈
Z) thì a
2
+ a + 1 = 49k
2
+ 35k + 7 chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 3 (k
∈
Z) thì a
2
- a + 1 = 49k
2
+ 35k + 7 chia hết cho 7
Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7
Vậy: a
7
- a chia hết cho 7
Bài 4: Chứng minh rằng A = 1
3
+ 2
3
+ 3
3
51
2
) = 101(1
2
+ 100 + 100
2
+ 2
2
+ 2. 99 + 99
2
+ + 50
2
+ 50. 51 + 51
2
) chia hết cho 101
(1)
CHUYÊN
ĐỀ
B
Ồ
I D
ƯỠ
NG TOÁN 8
V
ũ
Quang H
ư
ng – THCS Ch
ấ
d) Nếu a + b + c chia hết cho 6 thì a
3
+ b
3
+ c
3
chia hết cho 6
e) 2009
2010
không chia hết cho 2010
f) n
2
+ 7n + 22 không chia hết cho 9
Dạng 2: Tìm số dư của một phép chia
Bài 1:
Tìm số dư khi chia 2
100
a)cho 9, b) cho 25, c) cho 125
Giải
a) Luỹ thừa của 2 sát với bội của 9 là 2
3
= 8 = 9 - 1
Ta có : 2
100
= 2. (2
3
)
33
= 2.(9 - 1)
50.49
2
. 5
2
- 50 . 5 ) + 1
Không kể phần hệ số của khai triển Niutơn thì 48 số hạng ñầu ñã chứa thừa số 5 với số mũ
lớn hơn hoặc bằng 3 nên ñều chia hết cho 5
3
= 125, hai số hạng tiếp theo:
50.49
2
. 5
2
- 50.5
cũng chia hết cho 125 , số hạng cuối cùng là 1
Vậy: 2
100
= B(125) + 1 nên chia cho 125 thì dư 1
CHUYÊN
ĐỀ
B
Ồ
I D
ƯỠ
NG TOÁN 8
V
ũ
Quang H
ư
= (a
1
3
- a
1
) + (a
2
3
- a
2
) + …+ (a
n
3
- a
n
) + a
Mỗi dấu ngoặc ñều chia hết cho 6 vì mỗi dấu ngoặc là tích của ba số tự nhiên liên tiếp. Chỉ
cần tìm số dư khi chia a cho 6
1995 là số lẻ chia hết cho 3, nên a củng là số lẻ chia hết cho 3, do ñó chia cho 6 dư 3
Bài 3: Tìm ba chữ số tận cùng của 2
100
viết trong hệ thập phân
giải
Tìm 3 chữ số tận cùng là tìm số dư của phép chia 2
100
cho 1000
Trước hết ta tìm số dư của phép chia 2
100
cho 125
Vận dụng bài 1 ta có 2
d)
1930
2
3
Giải
a) ta có: 22
22
+ 55
55
= (21 + 1)
22
+ (56 – 1)
55
= (BS 7 +1)
22
+ (BS 7 – 1)
55
= BS 7 + 1 + BS 7 - 1 = BS 7 nên 22
22
+ 55
55
chia 7 dư 0
b) Luỹ thừa của 3 sát với bội của 7 là 3
3
= BS 7 – 1
CHUYÊN
ĐỀ
B
1995
= (BS 7 – 3)
1993
+ (BS 7 – 1)
1995
= BS 7 – 3
1993
+ BS 7 – 1
Theo câu b ta có 3
1993
= BS 7 + 3 nên
1992
1993
+ 1994
1995
= BS 7 – (BS 7 + 3) – 1 = BS 7 – 4 nên chia cho 7 thì dư 3
d)
1930
2
3
= 3
2860
= 3
3k + 1
= 3.3
3k
= 3(BS 7 – 1) = BS 7 – 3 nên chia cho 7 thì dư 4
Bài tập về nhà
Tìm số d ư khi:
a) 2
+ 2n
2
- 3n + 2 = (n + 3)(n
2
- n) + 2
Để A chia hết cho B thì 2 phải chia hết cho n
2
- n = n(n - 1) do ñó 2 chia hết cho n, ta có:
n 1 - 1 2 - 2
n - 1 0 - 2 1 - 3
n(n - 1) 0 2 2 6
loại loại
Vậy: Để giá trị của biểu thức A = n
3
+ 2n
2
- 3n + 2 chia hết cho giá trị của biểu thức
B = n
2
- n thì n
{
}
1;2
∈ −
Bài 2:
a) Tìm n
∈
N ñể n
5
⇔
n
2
(n
3
+ 1) - (n
2
- 1)
M
n
3
+ 1
⇔
(n + 1)(n - 1)
M
n
3
+ 1
⇔
(n + 1)(n - 1)
M
(n + 1)(n
2
- n + 1)
⇔
n - 1
M
n
2
n
2
- n + 1
⇒
1
M
n
2
- n + 1. Có hai trường hợp xẩy ra:
+ n
2
- n + 1 = 1
⇔
n(n - 1) = 0
⇔
n 0
n 1
=
=
(Tm ñề bài)
+ n
2
- n + 1 = -1
⇔
n
2
2
+ 1
Giải
a) Tách n
2
+ 2n - 4 thành tổng hai hạng tử trong ñó có một hạng tử là B(11)
n
2
+ 2n - 4
M
11
⇔
(n
2
- 2n - 15) + 11
M
11
⇔
(n - 3)(n + 5) + 11
M
11
⇔
(n - 3)(n + 5)
M
11
⇔
n 3 1 1 n = B(11) + 3
n + 5 1 1 n = B(11) - 5
−
−
⇔
−
−
Vậy: n
{
}
2; 0; 1; 3
∈ − thì 2n
3
+ n
2
+ 7n + 1
M
2n - 1
c) n
4
- 2n
3
+ 2n
2
- 2n + 1
M
n
2
+ 1)
B = n
4
- 1 = (n - 1)(n + 1)(n
2
+ 1)
CHUYÊN
ĐỀ
B
Ồ
I D
ƯỠ
NG TOÁN 8
V
ũ
Quang H
ư
ng – THCS Ch
ấ
t Bình 21
A chia hết cho b nên n
≠
±
1
⇒
A chia hết cho B
⇔
+
+
Vậy: n
∈
{
}
3; 2; 0
− − thì n
4
- 2n
3
+ 2n
2
- 2n + 1
M
n
4
- 1
2
+ 1
Lần lượt cho n
2
+ 1 bằng 1; 5; 13; 65 ta ñược n bằng 0;
±
2;
±
8
Thử lại ta có n = 0; n = 2; n = 8 (T/m)
Vậy: n
3
- n
2
+ 2n + 7
M
n
2
+ 1 khi n = 0, n = 8
Bài tập về nhà:
Tìm số nguyên n ñể:
a) n
3
– 2 chia hết cho n – 2
b) n
3
– 3n
2
– 3n – 1 chia hết cho n
2
3k
– 1) + 1 = BS 7 + 1
Nếu n = 3k + 2 ( k
∈
N) thì 2
n
– 1 = 2
3k + 2
– 1 = 4(2
3k
– 1) + 3 = BS 7 + 3
V ậy: 2
n
– 1 chia hết cho 7 khi n = BS 3
Bài 2: Tìm n
∈
N ñể:
a) 3
n
– 1 chia hết cho 8
b) A = 3
2n + 3
+ 2
4n + 1
chia hết cho 25
c) 5
n
– 2
n
chia hết cho 9
– 1 = 3
2k + 1
– 1 = 3. (9
k
– 1 ) + 2 = BS 8 + 2
Vậy : 3
n
– 1 chia hết cho 8 khi n = 2k (k
∈
N)
b) A = 3
2n + 3
+ 2
4n + 1
= 27 . 3
2n
+ 2.2
4n
= (25 + 2) 3
2n
+ 2.2
4n
= 25. 3
2n
+ 2.3
2n
+ 2.2
4n
= BS 25 + 2(9
N) thì 5
n
– 2
n
= 5
3k
– 2
3k
chia hết cho 5
3
– 2
3
= 117 nên chia hết cho 9
Nếu n = 3k + 1 thì 5
n
– 2
n
= 5.5
3k
– 2.2
3k
= 5(5
3k
– 2
3k
) + 3. 2
3k
= BS 9 + 3. 8
k
ư
ng – THCS Ch
ấ
t Bình 23
CHUYÊN ĐỀ 5: SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I. Số chính phương:
A. Một số kiến thức:
Số chính phương: số bằng bình phương của một số khác
Ví dụ:
4 = 2
2
; 9 = 3
2
A = 4n
2
+ 4n + 1 = (2n + 1)
2
= B
2
+ Số chính phương khơng tận cùng bởi các chữ số: 2, 3, 7, 8
+ Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4, chia hết cho 3 thì chia hết cho 9, chia
hết cho 5 thì chia hết cho 25, chia hết cho 2
3
thì chia hết cho 2
4
,…
+ Số
2
nên chia hết cho 3
n = 3k
±
1 (k
∈
N)
⇒
A = 9k
2
±
6k + 1, chia cho 3 dư 1
Vậy: số chính phương chia cho 3 dư 0 hoặc 1
b) n = 2k (k
∈
N) thì A = 4k
2
chia hết cho 4
n = 2k +1 (k
∈
N) thì A = 4k
2
+ 4k + 1 chia cho 4 dư 1
Vậy: số chính phương chia cho 4 dư 0 hoặc 1
Chú ý: + Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4
+ Số chính phương lẻ thì chia cho 4 thì dư 1( Chia 8 củng dư 1)
2. Bài 2: Số nào trong các số sau là số chính phương
a) M = 1992
2
100
+ 94
100
+ 1994
100
d) Q = 1
2
+ 2
2
+ + 100
2
e) R = 1
3
+ 2
3
+ + 100
3
Giải
a) các số 1993
2
, 1994
2
chia cho 3 dư 1, còn 1992
2
chia hết cho 3
⇒
M chia cho 3 dư 2 do
ñó M không là số chính phương
3
+ + 100
3
Gọi A
k
= 1 + 2 + + k =
k(k + 1)
2
, A
k – 1
= 1 + 2 + + k =
k(k - 1)
2
Ta có: A
k
2
– A
k -1
2
= k
3
khi ñó:
1
3
= A
1
2
( )
2 2
2
n(n + 1) 100(100 1)
50.101
2 2
+
= =
là số chính phương
3. Bài 3:
CMR: Với mọi n Ỵ N thì các số sau là số chính phương.
a) A = (10
n
+10
n-1
+ +.10 +1)(10
n+1
+ 5) + 1
CHUYÊN
ĐỀ
B
Ồ
I D
ƯỠ
NG TOÁN 8
V
a - 1
9
(a + 5) + 1 =
2
2 2
a + 4a - 5 + 9 a + 4a + 4 a + 2
9 9 3
= =
b) B =
n
111 1
14 2 43
n - 1
555 5
14 2 43
6 ( cĩ n số 1 và n-1 số 5)
B =
n
111 1
14 2 43
n
555 5
14 2 43
+ 1 =
n
111 1
+ 6a + 1 = (3a + 1)
2
=
{
2
n - 1
33 34
c) C =
2n
11 1
1 2 3
.+
44 4
n
14 2 43
+ 1
Đặt a =
n
11 1
1 2 3
Thì C =
n
11 1
1 2 3
n
11 1
1 2 3
+ 4.
99 9
1 2 3
. 10
n + 2
+ 8. 10
n + 1
+ 1 = a . 100 . 10
n
+ 80. 10
n
+ 1
= 100a(a + 1) + 80(a + 1) + 1 = 100a
2
+ 180a + 81 = (10a + 9)
2
= (
n + 1
99 9
1 2 3
)
2
e) E =
n
11 1
1 2 3
n + 1
22 2
1 2 3
5 =
n
1 2 3
= 4.
100
11 1
1 2 3
là số chính phương thì
100
11 1
1 2 3
là số chính phương
Số
100
11 1
1 2 3
là số lẻ nên nó là số chính phương thì chia cho 4 phải dư 1
Thật vậy: (2n + 1)
2
= 4n
2
+ 4n + 1 chia 4 dư 1
100
11 1
1 2 3
có hai chữ số tận cùng là 11 nên chia cho 4 thì dư 3
Copyright: Tài liệu đại học ©