Bài tập Đại số
I-Bất đẳng thức cô si
1.Chứng minh rằng
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
+ +
+ + ≥
+ + +
với a,b,c>0
2.Chứng minh rằng
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 1 1 3
2
a b c b c a c a b
+ + ≥
+ + +
với a,b,c>0 và abc =1
3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
a 3
1 1 1 1 1 1 4
b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + + + + +
4.Cho k số không âm
1 2

1 2
, , ,
k
a a a
là các số thực dương
Cmr:
1 2
1 2
2 3 1

m
m m
m n m n m n
k
n
n n n
aa a
a a a
a a a
− − −
+ + + ≥ + + +
8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn
1 1 1
1
x y z
+ + =
.Tìm GTNN của biểu thức
2006 2006 2006
2007 2007 2007
x y z

n
n
n a b
x x x
x x x ab
+
 
+ + + + + + ≤
 ÷
 
11.Cho n là số nguyên dương;lấy
[ ]
2000;2001
i
x ∈
với mọi i=1,2…,n
Tìm GTLN của
( ) ( )
1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
n n
x x
x x x x
F
−
− −
= + + + + + +
12.Xét các số thực
1 2 2006
, , ,x x x

m a a a M M a a a= =
1 1
1
,
n n
i
i i
i
A a B
a
= =
= =
∑ ∑
.Cmr:
( )
1
B n m M A
mM
≤ + − 
 
Bài tập Đại số
14.Cho
0, 0, 1,
i i
a b i n≥ ≥ ∀ =
.Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
1 1 2 2 1 2 1 2

n n

3
A B C
 
   
+ + + ≥ +
 ÷ ÷ ÷
 ÷
   
 
2/
3
1 1 1 2
1 1 1 1
B C
3
os os os
2 2 2
A
c c c
   
 ÷ ÷ ÷
 
+ + + ≥ +
 ÷ ÷ ÷
 ÷
 
 ÷ ÷ ÷
   
3/
3

, 0, 0 1, ; 1
n
i i
i
a b x i n x
=
> > ∀ = =
∑
. Cmr:

( )
1 2

m
m m
m
n
b b b
a a a n a nb
x x x
 
   
+ + + + + + ≥ +
 ÷
 ÷  ÷
   
 
với m > 0
20.Cho
, , 0, 1a b c a b c> + + =

( )
p
sin . os
q
F x x c x=
với
*
,Νp q Î
23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức
( )
30 4 2004
, ,F a b c a b c=
24.Cho
, 0, 6x y x y+³ £
.Tìm GTLN của các biểu thức sau :
1/
( ) ( )
2002
, . . 6F x y x y x y= - -
2/
( ) ( )
2002
, . . 4F x y x y x y= - -
25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
1 1 1 1
P
ab bc ca
a b c
= + + +

1
1
1
n
i
n
i
x
n
=
£
Õ
-
28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn
2 3
1
1 1 1
a b c
a b c
+ + =
+ + +
. Cmr:
2 3
6
1
5
ab c £
Bài tập Đại số
29. Giả sử
1 2

-
-
30. (QG-98) Giả sử
1 2
, , ,
n
x x x
>0 thỏa mãn điều kiện
1
1 1
1998 1998
n
i
i
x
=
=
å
+
Cmr:
1 2
.
1998
1
n
n
x x x
n
³
-

ë û
÷
ç
£
÷
ç
÷
ç
è ø
+ + + - - -
33.Cmr:
, 2n N n" γ
ta có
1 1 2
n n
n n
n n
n n
- + + <
34.Cho
[ ]
, , 0;1x y z Î
.Cmr:
( ) ( )
3 3 3 2 2 2
2 3x y z x y y z z x+ + - + + £
35. Cho
[ ]
, , 0;2x y z Î
.Cmr:

1 1 1
3.2a b c
ab bc ca
α α α
α
     
+ + + + + ≥
 ÷  ÷  ÷
     
Trong đó
, , , 0a b c
α
>
38.Cho số dương a .Xét bộ số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1
Tìm GTNN của biểu thức
( )
2 2 2
P a x y z= + +
39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn :
2 2 2 2
16
25
x y z xy a+ + + =
.Trong đó a là một số dương
cho trước .Tìm GTLN của biểu thức :P = xy + yz + zx
40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn :
2 2 2 2
1
1
2

2 2
1a b+ =
và
c+d=3
Cmr:
9 6 2
ac+bd+cd
4
+
≤
3(HSG-NA-2005)
a,b,c,d
là các số thực thoả mãn
2 2
1a b+ =
và
c-d=3
Cmr:
9 6 2
ac+bd-cd
4
+
≤
4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn :
2 2 2 2
40 8 10 ; 12 4 6 ;3 2 13a b a b c d c d x y+ + = + + + = + = +
Tìm GTNN của
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
P x a y b x c y d= − + − + − + −

.Xét dấu bằng xẩy ra khi nào?
10.Cmr với mọi x,y ta đều có:
2 2 2 2
4 6 9 4 2 12 10 5x y x x y x y+ + + + + − − + ≥
11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 ; 36 12a b a b c d c d+ + = + + + = +
Cm:
( )
( ) ( )
( )
6 6
2 2
2 1 2 1a c b d− ≤ − + − ≤ +
12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :
2 3 2
3 9
0, 0
x y
x y
x y
+ ≥


+ ≤


≥ ≥


ta có
2 2
17 os 4 os +6 os 2 os +3 2 11c c c c
α α α α
≤ + + − ≤ +
2.Tìm GTNN của hàm số
2 2
4 12 2 3y x x x x= − + + − − + +
3.a)Chứng minh bất đẳng thức:
sin 2 ; 0;
2
tgt t t t
π
 
+ ≥ ∀ ∈
÷

 
b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C .
Chứng minh :
A B C
1 os 1 os 1 os
2 2 2
3 3
A B C
c c c+ + +
+ + >
( A,B,C đo bằng rađian)
4.Cho
[ ]

Chứng minh :
1 1;y x− ≤ ≤ ∀
Bài tập Đại số
6.Chứng minh
sin sin sin 2A B C tgA tgB tgC
π
+ + + + + >
.với A,B,C là ba góc
của một tam giác.
7.Chứng minh
sinx 1
2 2 2 ;0
2
tgx x
x
π
+
+ > < <
8.Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện
( )
0,f x x≥ ∀
Cmr:
( ) ( ) ( )
( )
( )
, ,,
0,
n
f x f x f x f x x+ + + + ≥ ∀
9.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có


≤ ≤ ≤

.Chứng minh rằng
( )
( )
1
p q p q
a p q a a
+
− ≥ + −
13.Cho
π
< <0
2
x
.Chứng minh rằng :
3
sinx
osx
x
c
 
>
 ÷
 
14.Cho tam giác ABC nhọn .Cmr:
( )
6 sin sin sin 12 3tgA tgB tgC A B C+ + + + + ≥
15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa

x
tgx
+
+ >
18Cho số nguyên lẻ
3n ≥
.Cmr:
0x∀ ≠
ta luôn có :
2 3 2 3
1 1 1
2! 3! ! 2! 3! !
n n
x x x x x x
x x
n n
  
+ + + + + − + − + − <
 ÷ ÷
 ÷ ÷
  
19.với giá trị nào của m thì
3 3
sin os ,x c x m x+ ≥ ∀
20.Cho x,y >0 .Chứng minh rằng :
2
3
2 2
4 1
8

a b c
a b c
+ + ≤
+ + +
23.(HSG Bà Rịa12-04-05)
Bài tập Đại số
1/Tìm cực trị của hàm số
2
1
1
x
y
x x
+
− +
2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3
Tìm GTNN của
2 2 2
1 1 1P x x y y z z= − + + − + + − +
24.Tìm GTNN của
( )
2 2 2
3 1 1 1 2P x y z x y z
 
= + + + + + − + +
 ÷
 
25. Cho
, , 0a b c >
và

5
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
+ + +
+ + ≤
+ + + + + +
39.(Olp nhật 1997)Cho
, , 0a b c >
.Cmr:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
5
( ) ( ) ( )
b c a c a b a b c
b c a c a b a b c
+ − + − + −
+ + ≥
+ + + + + +
40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện :
4
2
x y z
xyz
+ + =


=


44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn
( )
cotgx sin 2 os2xf x c= +
,
( )
0;x πÎ
Tìm GTNN và GTLN của hàm số
( )
( ) ( )
2 2
sin osg x f x f c x=
QG –B-2003 )
45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn
( )
cotgx sin 2 os2xf x c= +
,
( )
0;x πÎ
Tìm GTNN và GTLN của hàm số
( ) ( ) ( ) [ ]
1 , 1;1g x f x f x x= - -Î
( QG –A-2003)
46.Cho x>0 và
, 0; ;
2
π
a b a b
æ ö
÷
ç

− −
< <
2.Chứng minh rằng nếu
0
2
a b
π
< < <
thì
2 2
os os
b a b a
tgb tga
c a c b
− −
< − <
Bài tập Đại số
3.Chứng minh
( )
1
1 ; 0;1
2
n
x x x
ne
− < ∀ ∈
4.Cho m > 0 còn a,b,c là 3 số bất kỳ thỏa mãn điều kiện
0
2 1
a b c

0
1 2
n n
a a a
a
n n
−
+ + + + =
+
.Chứng minh pt đã cho có
ít nhất một nghiệm thuộc khỏang
( )
0;1
6.Cho các số thực a,b,c và số nguyên n > 0 thỏa mãn
( ) ( )
5 2 6 0c n a b+ + + =
Chứng minh pt :
sin cos sin 0
n n
a x b x c x c+ + + =
có nghiệm thuộc khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
7.Cho hàm số liên tục :
[ ] [ ]
: 0;1 0;1f →

1 osx 2 4 3.4
c c
c+ + =
d)
2003 2005 4006 2
x x
x+ = +
9.Xét phương trình :
2 2
1 1 1 1 1

1 4 1 2
1 1
x x
k x n x
+ + + + + =
− −
− −
Trong đó n là tham số nguyên dương
a)Cmr với mối số nguyên dương n ,pt nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1
Kí hiệu nghiệm đó là
n
x
b)Cmr dãy số
{ }
n
x
có giới hạn bằng 4 khi
n → +∞


0 1 0 1: ; ;f ®
thoả mãn các điều kiện
( ) [ ]
0 0 1
,
; ;f x x> " Î
và
( ) ( )
0 0 1 1,f f= =
Cm:tồn tại dãy số
1 2
0 1
n
a a a< < <£ £
sao cho
( )
1
1
,
n
i
i
f a
=
³
Õ
(n là số nguyên dương
2n ³
)
12.Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của một tứ giác

x
0 khi 0
c
x
f x
x

≠

=


=

tại x=0
2.Xác định a,b để hàm số :
( )
( )
2
khi 0
1 khi 0
bx
x a e x
f x
ax bx x
−

+ <

=

 
+ − + − + + ≤
 ÷
 
3. Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
( )
2 2
1 5
log 3 log x ax+5 1 .log ax+6 0
a
a
x
 
+ + + + ≥
 ÷
 
4.Tìm mọi giá trị của tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng 3 nghiệm
phân biệt.
( )
( )
2
2 2
1
3
3
4 log 2 3 2 log 2 2 0
x a
x x
x x x a
− −

3 6 8
3 1 .12 2 6 3 9 2 0,25
x m m
a x x− + + = − −
7.Giải pt :
( )
3
3 2
3log 1 2logx x x+ + =
8.Giải hệ
5
2 3
4
tgx tgy y x
x y
π
− = −



+ =


9.Giải bất pt
( )
7 3
log log 2x x> +
Bài tập Đại số
10.Giải pt :
2 2

osx=2 +
tg x
e c
với
;
2 2
x
π π
 
∈ −
 ÷
 
13 Giải pt:
2 2
3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0x x x x x+ + + + + + + =
14.Giải pt:
= + + +
3
3 1 log (1 2 )
x
x x
VII.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PT CÓ NGHIỆM
1.Tìm m để pt sau có nghiệm :
2 2
1 1x x x x m+ + − − + =
2. Tìm tất cả các giá trị của a để pt:
2
1 cosax x+ =
có đúng một nghiêm
0;

( )
2
cos2x= m+1 cos 1x tgx+
a)Giải khi m = 0
b)Tìm m để pt có nghiệm trong đoạn
0;
3
π
 
 
 
5.Tìm m để pt sau có nghiệm:
( ) ( )
4 3 3 3 4 1 1 0m x m x m− + + − − + − =
6.Tìm m để tồn tại cặp số (x;y) không đồng thời bằng 0 thỏa mãn pt:
( ) ( ) ( )
2 2
4 3 3 4 1 0m x m y m x y− + − + − + =
7.Tìm m để pt :
1 cos8
6 2cos 4
x
m
x
+
=
+
có nghiệm.
8.Tìm a đ pt :
2

+
= +
có một nghiệm dương duy nhất
11. Cho
( ) ( )
3 2
x 0; 0f x ax bx c a= + + + = ¹
có 3 nghiệm phân biêt
a)Hỏi pt:
( ) ( ) ( )
2
,, ,
2 0f x f x f x
é ù
- =
ê ú
ë û
có bao nhiêu nghiệm
Bi tp i s
b)Chng minh rng:
( )
3
3 2
27 2 9 2 3c a ab a b+ - < -
12.Cho pt :
2
0
2
2 2
n

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.k ớ hiờ ng ú l
n
x
b)Cm dóy s (
n
x
) cú gii hn
13.Chng minh pt
( )
4 3 2
4 2 12 1 0f x x x x x= + - - + =
cú 4 nghim phõn bit
1 4; ,
i
x i =
v hóy tớnh tng
( )
2
4
2
1
2 1
1
i


=


+ =


3.Gii h
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x

=





=



y a
x

+




+ =


cú nghim duy nht
0 2 ,0 2x y

< <
6.Gii h:

+ + + =


+ + + =


+ + + =


3 2
3 2
3 2
3 3 ln( 1)

8.Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (HSG12-2006)

2 3 2
1 2 2 2
2 3 2
2 3 3 3
2 3 2
1 1 1
4 ax
4 ax

4 ax
n
x x x
x x x
x x x

= − +

= − +




= − +

6.Giải hệ:
( )
( )
2 1 2 2 1

8.Gọi
( )
;x y
là nghiệm của hệ pt:
2 4
3 1
x my m
mx y m
ì
- = -
ï
ï
í
ï
+ = +
ï
î
( m là tham số)
Tìm GTLN của biểu thức
2 2
2A x y x= + -
,khi m thay đổi

HƯỚNG DẤN GIẢI
I.Bất đẳng thức
Bài tập Đại số
4.
( )
, 1, ,
m n

− −
− −
> − + ≥
=
< − + ≥
20.
( ) ( ) ( )
( )
2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
ab bc ca
A
ab bc ca
abc
− − −
   
= − − − =
 ÷ ÷ ÷
   
Ta có:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1
4 4 4 2
a b c c a b

+ + + ≥ + ≥
 ÷
 ÷ ÷ ÷
   
 
Vậy:
( )
3
8A dpcm≥
26.
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2
a b c d
P
ab ac ad bc bd cd bcd cda abd bca
a b c d
   
= + + + + + + + + + +
 ÷  ÷
   
+ + +

2 2
1 1 1 1 1 1 1
*

1 1 1 1 1 1
*
*

1
1
1 1
n
n
n
X
X
x x
X X
+ + = + + =
+ +
Từ đó suy ra:
( )
1 2
1
1 1 1
1 .
1 1
1
n
n
n
n X X X
X X
n
+ + = − ⇒ ≤
+ +
−
(đpcm)

1
; 1, , ;
1
n
i n
i n
a a
a
X i n X
a a a
+
− + +
= = =
− + +
Ta có:
1 1
1 1 1

1 1 1
n n
n
X X X
+
+ + + =
+ + +
.vậy
1
1 1
1


 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
≥ + + −
Chọn
2
a
α
α
= −
39.

( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
16 16
1
25 2 2 25
16
2 2 1
2 25
z z
P x y z xy qx qy q x y xy
q
xz yz q xy
   
= + + + = + + + + − + +

= = ±




= ±


39Do vai trò của a và d,bvà c trong biểu thức trên ta dự đoán điểm cực trị
sẽ đạt được tại các bộ số thỏa đk:
2 2 2 2
,a d c d= =
.với p>0 xác định sau ta có
cộng theo vế :
( )
( ) ( )
2 2 2 2
5 10
5 5
p
P p a d b c
p
+
≤ + + + +
Chọn p thỏa :
1 2 1 5
1
2
p
p p

2
12 8 2MN ≥ −
nên
( )
2 8 8 2 4 4 2ac bd cd ac bd cd− + + ≥ − − ⇔ + + ≤ +
Vậy
axP=4+4 2m
khi
2; 2a b c d= = = =
2.và 3 tương tự
4.Gọi
( ) ( ) ( )
; , , , ;N a b Q c d M x y
Từ gt suy ra N,Q,M lần lượt thuộc các đường tròn
Bài tập Đại số
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
1 2
: 4 5 1, : 2 3 1C x y C x y− + − = − + − =
và đường thẳng
( )
∆
:
3 2 13 0x y− − =
Khi đó
P MQ MN= +
Gọi
1
,I R
và

1 1
,M Q
là giao
Của JK với
( )
∆
và
( )
2
C
còn
( )
1 1 1
N M I C= ∩
Vậy
( )
min 2 3 1P = −
III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CM BĐT
3.Từ câu a) ta có
1 ost ost
cot
2t sin
c c
gt
t
+
> =
.và vì
cot cot 3 3
2 2 2

,
0f x =
có nghiệm duy nhất
x
α
=
thì vì
( )
,
f x
đồng biến nên
α
là điểm
cực tiểu vì vậy
[ ]
( ) ( ) ( )
{ }
0;1
ax 0 ; 1 1
ax
f x m f f
m
= ≤
(đpcm)
8.Đặt
( ) ( ) ( )
( )
( )
,


( ) ( ) ( ) ( )
,
0 0 0 0
0F x F x f x f x= + = ≥
(đpcm)
12.
( )
( )
( )
( )
1 p+q 1 0
p q p q p q p q
a a a a p q a a
+ +
− ≥ − ↔ − + − − ≥
Hàm số:
( ) ( )
( )
1
p q p q
f x x p q x x
+
= − + − −
đồng biến trên
[
)
1;+∞
Và có
( )
1 0f =

y
x x
+
=
− +
đạt cực đại duy nhất bằng 2 tại x=1
nên
2 2 2
1 1 1P x x y y z z= − + + − + + − +
nhỏ nhất bằng 3
*có thể dùng bunhia hoặc hàm lồi
40.
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
2
2
2 2 2
16 2 2 16
P x y z x y z x y y z z x
x y z xy yz zx xy yz zx xyz x y z
t t
= + + = + + − + +
   

ln ln ln lnd b c a c a d b− − ≥ − −
(1)
Nếu
a c=
hoặc
d b=
thì hiển nhiên đúng
Xét
a c≠
và
d b
≠
.Khi đó (1)
( )
ln ln
ln ln ln ln
1
1 1
c d
c a d b
a b
c d
c a d b
a b
a b
− −
↔ ≥ ↔ ≥
− −
   
− −

   
− − − −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
44,45. Biểu diễn
sin 2 , os2xx c
theo cotgx ta được
( )
2
2
2 1
1
t t
f t
t
+ -
=
+
IV ÚNG DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANG
6. xét hàm số
( )
2 2
3 2
2 sin 2 sin 2
sin os
2 2 3
n n
a x b x c
f x x cc x
n n

α
α
α
α
α
-
-
é
=
é ù
ê
= « + - = «
ê ú
ê
ë û
=
ë
Bi tp i s
Th li thy
0x =
v
1x =
u tha món (1)
Vy pt cú hai nghim
0x =
,
1x =
b)
2 3 3 2 2
t


f tt f c c

- -
ộ
=
ờ
= - = - =đ
ờ
=
ở
c)t
1 1cos ,t x t= - ÊÊ

Ta cú pt:
( )
( )
( )
3 4
1 2 4 3 4 1 0
2 4
.
.
t
t t
t
t f t t+ + = ô = - - =
+
( )
( )

2003 2005 4006 2
x x
f x x= + - -
cú o hm cp hai dng
V
( ) ( )
0 1 0f f= =
.vy pt cú hai nghim l 0 v 1
9)Vit li pt di dng
( )
2
1 1 1 1
0
2 1 4 1
1

n
f x
x x
n x
=- + + + + =
- -
-
(1)
D thy ,vi mi

*
n ẻ
hm
( )

Vi mi

*
n ẻ
,ta cú
( )
( )
( )
( )
2 2 2
1 1 1 1
4
2
2 1 4 1
2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
2 3 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1
1
0
2 2 1n
f
n
k k n n
f x
n
=- + + + +

Mt khỏc hm
( )
n
f x
cú o hm trờn
[ ]
4,
n
x
nờn theo nh lớ Lagrange
Vi mi

*
n ẻ
tn ti
( )
4;
n
t xẻ
sao cho
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2 2
2
4
1 4 1


< - " > - "ẻị ẻ
+ - +
(3)
Bi tp i s
t (2) v (3) :
( )
9
4 4
2 2 1
*
,
n
x n
n
- < < " ẻ
+
suy ra
4lim
n
x =
(pcm)
III .NG DNG O HM TèM K PT Cể NGHIM
2.
( )
1 0
2
2
2
osx-1
ax osx , ;

ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
Do ú ch cn cm:
1
2 2
s s
s
a b a b
ab
ổ ử
+ +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
< <
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
,vi mi
( )
0 1;s ẻ
4
.

ố ứ ố ứ
.Do ú lng giỏc húa v a v n ph
2
t tg

=
Ri kho sỏt hm s thu c theo t
5.Tng t 4
10.
( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 1 0ln ln
x
x
x x f x x x x x
+
= + = + - + =
Ta cú
( )
1 1 1 1 1 1
1 0
1 1
,
lnf x
x x x x x x
ổ ử
ữ
ỗ
= + - - < - - <
ữ

+ Ơđ
ộ ự
ổ ử
ữ
ỗ
ờ ỳ
= + + - +
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ờ ỳ
ố ứ
ở ỷ
ộ ự
ổ ử
ờ ỳ
ữ
ỗ
= + - + = - Ơ
ữ
ỗ
ờ ỳ
ữ
ỗ
ố ứ
ờ ỳ
ở ỷ
Kt hp f liờn tc trong
( )