1
CHUYÊN ĐỀ
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9
“CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG
THẲNG VUÔNG GÓC, CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG”Tác giả: NGUYỄN VĂN NGHIÊU (Trưng Vương)
NGUYỄN TĂNG CƯỜNG (Trưng Vương)
THÂN TRỌNG DUY THẠC (Kim Đồng)
TRẦN ĐỨC KIỆT (Tây Sơn)

LỜI NÓI ĐẦU:
Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn Toán, nhất là môn Toán
lớp 9, người thầy cung cấp cho học sinh những phương pháp giải Toán có tầm
quan trọng bậc nhất. Với hành trang là những phương pháp giải Toán có được,
nhiều kĩ năng giải Toán được hình thành. Thông qua đó, năng lực phân tích tìm
tòi, khả năng suy đoán, khả năng diễn đạt chính xác, hợp lí và tư duy sáng tạo
của học sinh được phát triển.
Thông qua chuyên đề này, tài liệu sẽ cung cấp những kiến thức cần thiết
về phương pháp giải Toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời
giải, giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận và khả
năng sáng tạo. Ngoài ra chúng tôi còn cung cấp một số đề thi học sinh giỏi, thi
vào lớp 10 của thành phố Đà Nẵng và các tỉnh bạn trong các năm học qua có sử
dụng phương pháp giải này.
Chúng tôi hy vọng rằng những kinh nghiệm này sẽ là một tài liệu thiết
thực và bổ ích để đào sâu chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán. Tuy nhiên
tài liệu chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi mong nhận
được những ý kiến đóng góp của các bạn.

Hải Châu, 2009

vuông cho trước hoặc dựa vào hai góc phụ nhau.
d. Dựa vào tính chất ba đường cao trong tam giác.
e. Dựa vào tính chất đối xứng của đường tròn
II. Các bài toán áp dụng
:
Bài toán 1.1
: Cho tam giác ABC và ba trung tuyến AM, BN, CE. Kẻ
Ax//BC và Ny //AB. Ax cắt Ny tại D. Chứng minh DC // AM và ED //BN.
Gợi ý giải:
Chứng minh ADCM là hình bình hành
(theo cách nhận biết hình bình hành)
Suy ra: DC // AM (đpcm)
Tương tự BEDN cũng là hình bình hành
(theo cách nhận biết hình bình hành)
y
x

D

A
B

C

N

E

M


BD CD
BA CA

(2)
Từ (1),(2) và do BM = CM, suy ra: BE = CF.
Kẻ EE' và FF' cùng song song với AD (E', F' thuộc BC). Ta có:

BD BE '
BA BE

và
CD CF'
CA CF

(3)
Từ (2) và (3) và do BE = CF nên M là trung điểm của E'F'.
Do đó IM là đường trung bình của hình thang EE'FF'.
Vậy IM // EE' hay IM // AD.
Nhận xét: Để chứng minh IM // AD, ta phải dựa vào đường trung bình
của hình thang.
A

B

C

E

F


ˆ
BI'J' = BCJ'
(cùng chắn BJ').
Vậy :
ˆ ˆ
BIJ = BI'J'

Hai góc này ở vị trí đồng vị nên IJ // I'J'
b. Ta có:
ˆ
ˆ
ABI' ACJ'

(cùng phụ với
ˆ
BAC
)
Suy ra:
AI' AJ'

) )
=> AO  I'J' => AO  IJ.
Nhận xét
:
- Để chứng minh IJ // I'J' ta cũng chứng minh cặp góc đồng vị bằng nhau.
- Để chứng minh OA  IJ ta sử dụng định lí được học ở lớp 7: "Nếu một
đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc
với đường thẳng kia".
- Bài này cũng gợi ý một bài toán rất hay: Cho B, C cố định, A di chuyển
trên cung lớn BC của đường tròn (O). Chứng minh bán kính đường tròn ngoại

I'

J'

J

I

http:/nvnghieu.tk/

5
Bài toán 1.4: Trong đường tròn (O) cho hai dây AC và BD vuông góc
với nhau tại I. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua I và trung điểm của BC
vuông góc với AD.
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BC và N là giao
điểm của IM và AD. Ta có:
IM = MC =>
ˆ
ˆ
ICM CIM


Mặt khác, ta có:
ˆ ˆ
ˆ ˆ
NDI ADB ACBM ICB
  
(cùng chắn cung
AB).

thang CDKI nên OH // IC. Ta lại có OH 
IK (tính chất đường kính và dây)
nên IC  IK

Nhận xét: Bài tập này sử dụng cả tính chất đường kính và dây và tính chất
một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song.
Bài toán 1.6: Cho cung phần tư AB của đường tròn (O). Từ A và B, ta kẻ
hai dây bằng nhau AM và BN. Hai dây này cắt nhau ở C. Chứng minh rằng OC
vuông góc với AB.
Lời giải:
Từ O, kẻ OI  AM, OH  BN
(I AM, H  BN)
A

D

C

B

M

N

I

K

H


ˆ ˆ
AOC BOC


nên OC là đường phân giác của tam giác cân AOB.
Nhận xét
: Để chứng minh OC AB, ta phải sử dụng tính chất đường phân
giác phát xuất từ đỉnh của tam giác cân.
III. Bài tập luyện:
Bài toán 1.7
: Cho 2 đường tròn tâm O và O' cắt nhau tại A và B. Vẽ
đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O) tại C và đường tròn (O') tại D.
Vẽ đường thẳng qua B cắt đường tròn (O) tại E và đường tròn (O') tại F.
Chứng minh CF // DF.
Gợi ý giải: Chứng minh
0
ˆ
ˆ
ACE ADF 180
 
. Suy ra: CE // DF. (2 góc trong
cùng phía bù nhau).
Bài toán 1.8: Cho tam giác ABC, vẽ trung tuyến AM. Các đường phân
giác của các góc AMB và AMC cắt AB ở D và AC ở E. Chứng minh DE // BC.
Gợi ý giải: Chứng minh
AD AE
DB EC


Vậy DE // BC (theo định lí Ta -lét)

điều kiện AB< AC và AB + AC = 2BC . Gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn
ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. Tia phân giác trong của góc BAC cắt BC
tại D. Chứng minh rằng: OI vuông góc với AD.
(Đề thi chọn HS giỏi lớp 9 thành phố Đà Nẵng, năm học 2005 - 2006)
Gợi ý giải
: Gọi M là giao điểm của tia phân giác góc BAC và dường tròn
(O). Chứng minh được ID = DM. Suy ra: AI = IM. Do đó OI  AM (t/c đường
kính di qua điểm chính giữa của một dây).
Bài toán 1.11: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi O, O',
I theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH, ACH, ABC. Chứng
minh: AI vuông góc với OO'.
(Trích đề thi chọn HS giỏi lớp 9, thành phố Đà Nẵng, năm học 1999-2000)
Gợi ý giải
: Tam giác AOO' có 2 đường cao cắt nhau tại I nên I là trực tâm
=> AI là đường cao thứ ba, hay AI  OO'.
Bài toán 1.12
: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp trong đường
tròn tâm O, D là trung điểm của AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh
rằng OE vuông góc với CD.
(Đề thi chọn HS giỏi lớp 9, thành phố Đà Nẵng, năm học 1998 - 1999)
Gợi ý giải: Trong tam giác DEG có 2 đường cao cắt nhau tại O, nên O là
trực tâm của tam giác DEG.
Vậy EO là đường cao thứ ba của tam giác DEG, nên DE vuông góc với
CD.
B. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG
(Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng)

Với bài toán đơn giản: Cho đường tròn (O) đường kính AB vẽ hai dây AC và
BD song song với nhau. Chứng minh AC = BD.
Một số học sinh sẽ nối OC, OD và chứng minh

của nó)
 Hai đường tròn tâm A và tâm B tiếp xúc nhau tại C.

II.Các bài toán áp dụng:

Bài toán 2.1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), các đường phân
giác trong của góc A, B, C cắt nhau tại I và cắt đường tròn theo thứ tự tại D, E,
F.
a/ Chứng minh các tam giác DCI và DBI cân.
b/ DE cắt AC tại K, DF cắt AB tại N. Chứng minh ba điểm N, I, K thẳng
hàng.
(Đề thi vào lớp 10 Thanh Hóa – 1994)
Gợi ý giải:

a/ Chứng minh
·
DIC
=
·
DIB
;
·
DBI
=
·
DIB
để
suy ra các tam giácDIC, DIB cân.
b/ Chứng minh
·


N
I K
E
O
B
C
F
A
M
I
O
A
B
C
D
http:/nvnghieu.tk/

9
O

y
x
A'
E
F
C
D
A
B

EAD
–
·
BAD
=
180
0
–
·
BAD
=
·
ECF

Suy ra tứ giác EFA’C nội tiếp
nên
·
'
A EF
+
·
'
A CF
= 180
0
suy ra
·
AEF

+

A CD
=
180
0
do đó tứ giác ADCA’ nội tiếp
hay A’

(O) suy ra O thuộc đường trung trực của AA’ suy ra E, O, F thẳng
hàng.
 Trường hợp
·
BAD
< 90
0
chứng minh tương tự
Nhận xét: Bài tập này vận dụng phương pháp chứng minh ba điểm cùng nằm
trên đường trung trực của một đoạn thẳng để suy ra ba điểm thẳng hàng.
Bài toán 2.4
: Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, trực tâm H . Gọi
AM,AN là các tiếp tuyến với đường tròn (O) đường kính BC (M,N là tiếp điểm )
. Chứng minh :
a/ Tứ giác AMDN nội tiếp được đường tròn .
b/ Ba điểm M,H,N thẳng hàng.
Gợi ý giải:

a/ A,M,D,N cùng thuộc đường tròn đường
kính AO
b/ Chứng minh AN
2
= AE.AC

C
A
N
M
http:/nvnghieu.tk/

10
·
AHM
+
·
AHN
=
·
A
ND
+
·
A
MD
= 180
0
Suy ra M, H, N thẳng hàng
Nhận xét
: Bài tập này vận dụng hệ thức lượng trong đường tròn để chứng minh
tam giác đồng dạng dẫn đến chứng minh hai góc kề nhau là kề bù suy ra ba điểm
thẳng hàng.
Bài toán 2.5:
Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ cát tuyến ABC
và tiếp tuyến AE, AF tới (O). Các tiếp tuyến

1
lên AB, AC, BB
1
, CC
1
thẳng hàng.
Gợi ý giải
: Gọi M, N, P, Q lần lượt là
hình chiếu của A
1
xuốngAB, BB
1
, CC
1
,AC.
·
MNB
=
·
1
MA B
=
·
1
BCC
=
·
1 1
BBC
suy

Bài tập 2.7
: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) điểm E nằm giữa C và D.
Vẽ đường tròn (O) đi qua E và tiếp xúc với AD tại D. Vẽ đường tròn (O’) đi qua
E và tiếp xúc với AC tại C. Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đường tròn đó.
Chứng minh rằng:
a/ Năm điểm A, B, C, D, K cùng thuộc một đường tròn.
b/ Ba điểm K, E, B thẳng hàng.

H
K
B
F
E
O
A
C
P
N
Q
M
C1
A1B
A
C
B1
http:/nvnghieu.tk/

11
H
P

=
·
CKE
mà hai tia KE, KB cùng
thuộc một nửa mặt phẳng bờ KC nên K, E, B
thẳng hàng.

Bài tập 2.8
: Goi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, các tiếp điểm của
đường tròn (O) với cạnh BC, CA, AB lần lượt là D, E, F; kẻ BB’ vuông góc với
AO; AA’ vuông góc với BO. Chứng minh tứ giác AA’B’B nội tiếp và bốn điểm
D, E, A’, B’ thẳng hàng.
(Đề thi vào lớp 10 của tỉnh Bắc Giang
năm 08 – 09)
Gợi ý giải
:
a/ Dễ dàng chứng minh được tứ giác
AA’B’B ; tứ giác AEA’O nội tiếp.
Tứ giác AA’B’Bnhb nội tiếp suy
ra
·
’ ’
BA B
=
·
BAO

mà
·
BAO

BA B
suy ra A’, B’, E thẳng hàng.
Chứng minh tương tự được D, B’, A’ thẳng hàng suy ra đpcm.

Bài tập 2.9: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O)
với H là trực tâm. Giả sử M là một điểm trên cung BC không chứa A (M khác
B,C). Gọi N, P lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB; AC.
a/ Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp .
b/ Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.
(Trích đề thi vào lớp 10 của tỉnh
Hải Dương năm 08 – 09)
Gợi ý giải:

a/ Chứng minh
·
ABC
=
·
AHC
=
180
0

·
ABC
=
·
AMC
(cùng chắn cung
AC);

http:/nvnghieu.tk/

http:/nvnghieu.tk/
12
suy ra
·
APC
+
·
AHC
= 180
0
. Suy ra đpcm.
b/ Do tứ giác AHCP nội tiếp nên
·
AHC
=
·
APC
,
·
APC
=
·
ACM
suy ra
·
AHP
=
·

Suy ra N, H, P thẳng hàng.
http:/nvnghieu.tk/