ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ BÍCH THÙY PHÂN BỐ GIÁ TRỊ ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC VI PHÂN
CỦA HÀM PHÂN HÌNH P - ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
THÁI NGUN - 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

thực, khơng trùng lặp với các đề tài khác và các thơng tin trích dẫn trong luận
văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Ngun, tháng 4 năm 2014
Học viên
Nguyễn Thị Bích Thùy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />i
Mục lục
Các kí hiệu ii
Mở đầu 1
1 Phân bố giá trị của hàm phân hình p - adic 4
1.1 Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic . . . . . . . 4
1.1.1 Khơng gian C
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Hai Định lý chính của lý thuyết Nevanlinna p-adic . 9
1.2.1 Hai Định lý chính . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2 Các chú ý về Định lý chính thứ hai . . . . . . 13

phân hình. Hà Huy Khối là người đầu tiên xây dựng tương tự Lý thuyết
phân bố giá trị cho trường hợp p - adic. Ơng và các học trò đã tương tự
lý thuyết Nevanlinna cho trường số phức p - adic mà ngày nay thường gọi
là lý thuyết Nevanlinna p - adic. Họ đã đưa ra hai Định lý chính cho hàm
phân hình và ánh xạ chỉnh hình p - adic. Một trong những ứng dụng sâ u
sắc của lý thuyết phân bố giá trị (phức và p - adic) là Vấn đề xác định
duy nhất cho các hàm phân hình khác hằng (phức và p-adic) qua điều kiện
ảnh ngược của tập hợp điểm mà ngày nay được gọi là Định lý 5 điể m của
Nevanlinna (hoặc tương tự của Định lý 5 điểm cho trường hợp p-adic).
Phân bố giá trị và vấn đề xác định duy nhất đã được nhiều nhà tốn học
trong và ngồi nước xét trong mối liên hệ với đạo hàm của hàm phân hình
và ảnh ngược c ủa các điểm riêng rẽ. Người khởi xướng hướng nghiên cứu
này là Hayman.
Năm 1967, Hayman đã chứng minh kết quả sau đây:
Định lí A[4]. Cho f là hàm phân hình trên C . Nếu f (z) = 0 và f
(k)
(z) =
1 với k là một số ngun dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />2
Năm 1967, Hayman cũng đưa ra giả thuyết sau đây:
Giả thuyết Hayman[4]. Nếu một hàm ngun f thỏa mãn f
n
(z) f
′
(z) =
1 với n là một số ngun dương nào đó và với mọi z ∈ C , thì f là hằng.
Giả thuyết Hayman đã được Hayman kiểm tra đối với hàm ngun siêu
việt và n > 1 , đã được Clunie ki ểm tra đối với n ≥ 1 . Các kết quả này
và các vấn đề liên quan đã hình thành nhánh nghiên cứu được gọi là sự
lựa chọn của Hayman.

,
c
2
là các hằng số và thỏa mãn (c
1
c
2
)
n+1
c
2
= −a
2
.
Từ đó, hướng nghiên cứu trên phát triển mạnh mẽ với những kết quả sâu
sắc của I. Lahiri, Q. Han – H. X. Yi, W. Bergweiler, J. K. Langley, K. Liu,
L. Z. Yang, L. C. Hong, M. L. Fang, B. Q. Li, P. C. Hu - C.C.Yang, A.
Eremenko, G. Frank - X. Hua – R. Vaillancourt . . Cơng cụ sử dụng ở
đó là một số kiểu định lí chính thứ hai cho đa thức vi phân cùng với với
các ước lượng giữa hàm đặc trưng, hàm đếm của hàm và đạo hàm.
Trong trường hợp p-adic, kết quả đầu tiên theo hướng nghiên cứu này
thuộc về J. Ojeda[11]. Năm 2008, J. Ojeda đã xét vấn đề nhận giá trị của
f
′
+ T f
n
với T là hàm hữu tỷ. Ở đó, J. Ojeda đã nhận được kết quả sau:
Định lí C[11]. Cho f là hàm phân hình trên C
p
, n ≥ 2 là một số ngun

(z) = 1 với mọi z ∈ C
p
và n,m k là các số ngun khơng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />3
âm.Khi đó f là đa thức bậc < k nếu một trong các điều kiện sau xảy ra:
1. f là một hàm ngun.
2. k > 0 và hoặc m = 1, n >
1+
√
1+4k
2
hoặc m > 1, n ≥ 1.
3.n ≥ 0, m > 0, k > 0, và tồn tại hằng số C, r
0
sao cho |f|
r
< C với mọi
r > r
0
.
Theo hướng nghiên cứu này, đề tài nhằm nghiên cứu vấn đề:
Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm ph ân hình
p-adic.
Đây là một vấn đề có tính thời sự của giải tích p-adic.
Phương pháp được dùng ở đây là :
Vận dụng các kiểu của Định lý chính thứ hai trong trường p-adic để xét
phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình p-adic.
Ngồi phần mở đầu và tài li ệu tham khảo luận văn gồm:
Chương 1. Phân bố giá trị của hàm phân hình p-adic.
Chương 2. Phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình

có trường số Q
p
.
Kí hiệu C
p
=

Q
p
là bổ sung của bao đóng đại số của Q
p
. Ta gọi C
p
là
trường số phức p-a di c.
Chuẩn trên C
p
được mở rộng tự nhiên của chuẩn p-adic trên Q
p
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />5
Kí hiệu:
D
r
= {z ∈ C
p
: |z| ≤ r}, D
<r>
= {z ∈ C
p

||z
n
|}.
Trong suốt luận văn ta quy ước lo g là log
p
.
1.1.2 Hàm đặc trưng
Giả sử f là một một hàm chỉnh hì nh khác hằng trên C
p
. Với mỗi a ∈ C
p
,
f viết f =

P
i
(z − a) với P
i
các đa thức bậc i.
Định nghĩa v
f
(a) = min {i : P
i
= 0}.
Cho d ∈ C
p
, Định nghĩa một hàm v
d
f
: ∈ C

Nếu a = 0 thì đặt N
f
(r) = N
f
(0, r). Cho l là m ột số ngun dương. Đặt
N
l,f
(a, r) =
1
lnp
int
r
ρ
0
n
l,f
(a, x)
x
dx, n
l,f
(a, x)=

|z|≤r
min {v
f−a
(z), l}
Cho k là một số ngun dương, Ta định nghĩa hàm v
≤k
f
từ C

f
(a, r) = n
≤k
f−a
(r).
Định nghĩa N
≤k
f
(a, r) =
1
lnp

r
ρ
0
n
≤k
f
(a, x)
x
dx.
Nếu a = 0 thì đặt N
≤k
f
(r) = N
≤k
f
(0, r).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />6
Ta đặt N

Tương tự ta định nghĩa:
N
<k
f
(a, r), N
<k
l,f
(a, r), N
>k
f
(a, r), N
≥k
f
(a, r), N
≥k
l,f
(a, r), N
>k
l,f
(a, r).
Giả sử f là một hàm phân hình trên C
p
, khi đó tồn tại hai hàm f
2
, f
1
sao
cho f
1
, f

2
(0, r).
Định nghĩa hàm đếm N
f
(a, r) của f tại a bởi:
N
f
(a, r) =



N
f
(∞, r) = N
f
2
(0, r)
N
f
1
−af
2
(0, r).
Tương tự ta cũng định nghĩa được các hàm n
f
(∞, r) , N
f
(∞, r) , n
f
(a, r),

∞

n=m
2
b
n
z
n
trong đó m
2
, m
1
∈ N và a
m
1
= 0,
b
m
2
= 0. Ta có
N
f
(0, r) = N
f
1
(0, r) = log |f
1
|
r
- log |a

2
|
= log |f|
r
− log |f
∗
( 0)|,
trong đó f
∗
(0) =
a
m
1
b
m
2
. Ta có
f
∗
(0) = lim
z−→0
z
m
2
−m
1
f(z) ∈ C
p
∗
.

0
= log
|f
1
|
r
|f
2
|
r
− log
|f
1
|
r
0
|f
2
|
r
0
= log |f|
r
− log |f|
ρ
0
.
Tiếp theo ta định nghĩa hàm xấp xỉ của hàm f bởi cơng thức
m
f


i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
N
f
i
(∞, r) + O(1);
N
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
N
f
i
(∞, r) + O(1);
m
k

i=1

i1
, f
i2
∈ A(C
p
) khi
đó, ta viết
k

i=1
f
i
=
F
f
12
f
k2
;
k

i=1
f
i
=
G
f
12
f
k2

i
(∞, r) ≤
k

i=1
n
f
i
(∞, r) ; n
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
n
f
i
(∞, r) .
Điều này kéo theo
N
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤

i∈{1, ,k}
|f
i
|
r
= max
i∈{1, ,k}
log |f
i
|
r
nên m
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤ max
i∈{1, ,k}
m
f
i
(∞, r) , và log |
k

i=1
f
i
|
r

f
(∞, r) . Ta có T
f
(r) = max
1≤i≤2
log |f
i
|
r
+ O(1),
f được gọi là hàm siêu việt nếu lim
T
f
(r)
log r
= ∞.
Mệnh đề 1.2. [2]
Giả sử f
i
là các hàm phân hình khơng đồng nhất trên C
p
,i = 1, 2 , , k.
Khi đó với mỗi ρ
0
< r, ta có
T
k

i=1
f

(r) = N
f
(r) + O(1), t rong đó O(1) là đại lượng bị chặn khi
r −→ +∞.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />9
1.2 Hai Định lý chính của lý thuyết Nevanlinna p-adic
1.2.1 Hai Định lý chính
Trong phần này chúng tơi sẽ trình bày hai định lý chính trong lý thuyết
Nevanlinna p - adi c. Ta kí hiệu|.| thay cho |.|
p
trên C
p
. Ta cố định hai số
thực ρ và ρ
0
sao cho 0 < ρ
0
< ρ < ∞. Trước tiên ta chứng minh định l ý
chính thứ nhất .
Định lý 1.4. [2]
Nếu f là một hàm khác hằng trên C
p
(0, ρ) thì với mọi a ∈ C
p
ta có
m
f
(a, r) + N
f
(a, r) = T

Từ đó ta có kết l uận của định lý.
Mệnh đề sau là Bổ đề đạo hàm logarit.
Mệnh đề 1.5. [2]
Nếu f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
(0, ρ) thì với một số ngun
k > 0 ta có |
f
(k)
f
|
r
≤
1
r
k
, đặc biệt |
f
(k)
f
|
r
≤ k log
+
1
r
.
Chứng minh
f ∈ A
(ρ)

r
=
k

i=1
|
f
(i)
f
(i−1)
|
r
≤
1
r
k
, trong đó f
(0)
= f.
Bây giờ xét f =
g
h
∈ M
(ρ
(C
p
). Khi đó
|
f
′

g
|
r
, |
h
′
h
|
r

≤
1
r
′
,
Tương tự ta cũng thu được
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />10
|
f
(k)
f
|
r
≤
1
r
k
.
Mệnh đề được chứng mi nh.
Với một hàm phân hình khác hằng f trong C

|}, A = max {1, |a
i
|}. Khi đó với
0 < r < ρ,
(q − 1)T
f
(r) ≤ N
f
(r) +
q

j=1
N
f
(a
1
, r) − N
Ramf
(∞, r) − log r + S
f
≤ N
f
(r) +
q

j=1
N
f
(a
i

|sao cho ρ
0
< r
′
< ρ.
Ta viết f = f
1
/f
0
trong đó f
1
, f
0
∈ A
r
′
(C
p
) khơng có khơng điểm chung
và đặt
F
0
= f
0
, F
i
= f
1
− a
i

f
1





là kí hiệu Wronskian của f
0
và f
1
.
Đặt W
i
= W (F
0
, F
i
) = W .
Bây giờ ta cố định z ∈ C
p
[0, r
′
] − C
p
[0, ρ] sao cho
W (z), f
1
(z), F
i

Như vậy chúng ta có thể lấy các chỉ số phân biệt β
1
, , β
q−1
với β
l
=
j(l = 1, 2, , q − 1) sao cho
0 < max {δ|f
2
(z)|, F
j
(z)} ≤ |F
β
1
(z)| ≤ ≤ |F
β
q−1
(z)| < ∞
Khi đó ta có
|f
k
(z)| ≤
A
δ
max {δ|f
2
(z)|, F
j
(z)} ≤

2
p
là một biểu diễn của f. Vì W = W
j
, ta thu được
log
|F
0
(z) F
q
(z)|
|W (z)|
= log |F
β
l
F
β
q−l
| − log D
j
(z),
trong đó
D
j
=
|W
j
|
|F
0

j
(z).
Bởi vậy ta có
(q − 1) log |f(z)| ≤ log
|F
0
(z) F
q
(z)|
|W (z)|
+ log D
j
(z) + (q − 1) log
A
δ
.
Đặt r = |z|. Lại có
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />12
D
j
(z) ≤ max

|F
′
0
(z)|
|F
0
(z)|
,

f
(∞, r) + log |f
2
|
ρ
0
,
log |W (z)|
r
= log |f
0
f
′
1
−f
1
f
′
0
|
r
=N
W
(0, r)+log |W |
ρ
0
=N
W
(0, r)+log |f
′

i
|
r
+ log |f
2
|
ρ
0
,
với mỗi i = 1, 2, ., q và chú ý rằng
log

f(z)| = T
f
(r) + log |f
2
|
ρ
0
Ta thu được
(q − 1)T
f
(r) ≤ N
f
(∞, r) +
q

j=1
N
f

′
(∞, r) + n
f
′
(0, r).
Điều đó kéo theo
N
W
(0, r) = N
Ramf
(∞, r) .
và n
f
(∞, r) +
q

j=1
n
f
(a
i
, r) − n
W
(0, r) ≤ n
f
(∞, r) +
q

j=1
n

n
f
(a
i
, r)
và định nghĩa
n(r,
1
f
′
; a
1
, a
q
) =
r

ρ
0
n(t,
1
f
′
; a
1
, a
q
)
t
dt.

′
; a
1
, a
q
) −log r + S
f
.
1.2.2 Các chú ý về Định lý chính thứ hai
Trong phần này chúng ta nghiên cứu thêm mộ t số dạng của Định lý chính
thứ hai, đặc biệt là bổ đề về quan hệ số khuyết. Giả sử f là một hàm phân
hình khác hằng trên C
p
.
Chú ý rằng T(r, f) −→ ∞ khi r −→ ∞.
Ta định nghĩa số khuyết của f tại a ∈ C
p
như sau:
δ
f
(a) = lim
r−→∞
inf
m
f
(a, r)
T
f
(r)
= 1 − lim

(∞) = lim
r−→∞
inf
m
f
(∞.r)
T
f
(r)
= 1 − lim
r−→∞
sup
N
f
(∞.r)
T
f
(r)
.
Θ
f
(∞) = 1 − lim
r−→∞
sup
N
f
(∞.r)
T
f
(r)

− log |f|
ρ
0
−→ ∞.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />14
Khi r −→ ∞ và như thế |f|
r
> 1 khi r đủ lớn. Bởi vậy
m
f
(∞, r) = log |f|
r
.
Khi r đủ lớn, kéo theo
N
f
(r) = T
f
(r) + O(1).
Do đó
N
f
(a, r) = T
f
(r) + O(1).
Với mọi a ∈ C
p
.
Từ định lý đó ta có Định lý và các Bổ đề sau:
Định lý 1.8. Nếu f là một hàm ngun khác hằng trên C

(q − 1)T
f
(r) ≤ N
1,f
(∞, r) +
q

i=1
N
1,f
(a
i
, r) − N
0,f
′
(r) − log r + O(1).
Trong đó N
0,f
′
(r) là hàm đếm khơng điểm của f’ tại 0, xảy ra tại các
điểm khác với nghiệm của phương trình f(z) = a
i
với i = 1, 2, . . . , q),
0 ≤ ρ ≤ r.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Trong chương 1, chúng tơi đã trình bày các khái niệm cơ bản và hai định
lý chính cùng các hệ quả của nó, của lý thuyết phân bố giá trị của hàm
phân hình p-adic.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />15
Chương 2

, thỏa mãn điều kiện
f
n
(z) (f
(k)
)
m
(z) = 1 với mọi z ∈ C
p
và n,m k là các số ngun khơng
âm.Khi đó f là đa thức bậc < k nếu một trong các điều kiện sau xảy ra:
1. f là một hàm ngun.
2. k > 0 và hoặc m = 1, n >
1+
√
1+4k
2
hoặc m > 1, n ≥ 1.
3. n ≥ 0, m > 0, k > 0, và tồn tại hằng số C, r
0
sao cho |f|
r
< C với mọi
r > r
0
.
Mặt khác, phân bố giá trị đối với đơn thức vi phân của hàm phân hình
p-adic liên quan mật thiết với Giả thuyết Hayman p - adic. Do đó, trước
tiên chúng tơi trình bày các kết quả về Giả thuyết Hayman p - adic[ 1].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />16

a ∈ C
p
, k, l là các số ngun dương.
Ta định nghĩa hàm µ
≤k
f
từ C
p
vào N xác định bởi:
µ
≤k
f
(z) =



0 nếu µ
0
f
(z) > k
µ
0
f
(z) nếu µ
0
f
(z) ≤ k
, n
≤k
(r,

f − a
) =
1
lnp

r
ρ
0
n
≤k
(r,
1
f − a
)
x
dx,
N
≤k
l
(r,
1
f − a
) =
1
lnp

r
ρ
0
n

f − a
), N
≥k
l
(r,
1
f − a
),
N
>k
l
(r,
1
f − a
).
Giả sử f là một hàm phân hình trên C
p
, khi đó tồn tại hai hàm ngun
f
1
, f
2
sao cho f
1
, f
2
khơng có khơng điểm chung và f =
f
1
f

2
),
N
≤k
(r, f) = N
≤k
(r, f
2
); N
≤k
l
(r,
1
f − a
) = N
≤k
l
(r,
1
f
1
− af
2
),
N
≤k
l
(r, f) = N
≤k
l

1
f − a
), N
≥k
l
(r,
1
f − a
),
N
<k
(r, f), N
<k
l
(r, f), N
>k
(r, f), N
>k
l
(r, f), N
≥k
(r, f), N
≥k
l
(r, f).
Các kết quả sau đây liên quan đến Giả thuyết Hayman đối với hàm phân
hình p-adic.
Bổ đ ề 2.1. Cho f là một hàm phân hình khác hằng trên C
p
và n là một

1
(r, f).
Hơn nữa
m(r,
f
′
f
) = O(1),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />18
nm(r, f) = m(r,
A
′
f
′
) ≤ m(r, A
′
) + m(r,
1
f
′
) + O(1)
= m(r, A
′
) + T (r, f
′
) − N(r,
1
f
′
) + O(1)

(r, f) −N(r,
1
f
′
) + O(1)
= m(r, A
′
) + T (r, f) + N
1
(r, f) −N( r,
1
f
′
) + O(1).
Kết hợp với các bất đẳng thức trên ta có
nT (r, f) ≤ T (r, f
n
f
′
) + T (r, f) −N(r,
1
f
′
) − N(r, f) + O(1).
và ( n − 1)T (r, f) + N(r,
1
f
′
) + N(r, f) ≤ T (r, f
n

) ≤

q
i=1
N
1
(r,
1
f
n
f
′
− a
i
) − log r + O(1).
Chứng minh. Áp dụng Định lý chính thứ hai ta có
qT ( r, f
n
f
′
) ≤ N
1
(r, f
n
f
′
)+N
1
(r,
1

f
′
; f = 0) = N(r,
f
f
′
) ≤ N(r,
f
′
f
) + m(r,
f
′
f
) + O(1)
≤ N
1
(r, f) + N
1
(r,
1
f
) + O(1).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />19
Vậy
N(r,
1
f
′
; f = 0) ≤ N

(r,
1
f
) + O(1).
Hơn nữa ta thấy
N(r,
1
f
n
f
′
) − N
1
(r,
1
f
n
f
′
) ≥ 2nN
≥2
1
(r,
1
f
) + (n − 1)N
≤1
1,f
(r,
1

) ≤ 2N
≥2
1
(r,
1
f
) + N
1
(r, f) +
2
n − 1
(N(r,
1
f
n
f
′
) −N
1
(r,
1
f
n
f
′
) −
2nN
≥2
1
(r,

1
(r,
1
f
)+O(1).
Từ đây ta nhận được
N
1
(r,
1
f
n
f
′
) ≤
2
n + 1
N(r,
1
f
n
f
′
) +
n − 1
n + 1
N
1
(r, f) + O(1).
Hơn nữa

n − 1
n + 1
)N
1
(r, f)
+
q

i=1
N
1
(r,
1
f
n
f
′
− a
i
) − log r + O(1),
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />20
qT ( r, f
n
f
′
) ≤ (
2
n + 1
+ (1 +
n − 1

n
f
′
) ≤
q

i=1
N
1
(r,
1
f
n
f
′
− a
i
) − log r + O(1).
Bổ đề được chứng minh.
Định lý sau đây trả lời chưa trọn vẹn Giả thuyết Hayman p− adic.
Định lý 2.3. Nếu hàm phân hình f trên C
p
thỏa mãn f
n
(z) f
′
(z) = 1
với n > 1 là một số ngun dương nào đó và với mọi z ∈ C
p
thì f là hằng.

2
+ 3n + 2
≥ 0.
Do đó f
n
f
′
nhận giá trị 1, một mâu thuẫn. Vậy f là hằng.
Câu hỏi: Với n = 1 thì Định lý 2.3 còn đúng nữa hay khơng?
Tiếp theo, ta phát biểu tương tự Giả thuyết Hayman cho Tốn tử sai
phân, Tích sai phân của hàm phân hình p− adic . Cho f là m ột hàm phân
hình p− adic. Ta định nghĩa
Tốn tử sai phân của f như sau:
∆
c
f = f(z + c) − f(z) ở đó c ∈ C
p
là một hằng số khác 0
và Tích sa i phân của f như sau:
f
n
(z) f(z + c) ở đó c ∈ C
p
là một hằng số khác 0.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />