ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Nguyễn Trần Chân MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC BÀI TOÁN LIÊN HỢP CƠ ĐIỆN
VÀ ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
KẾT HỢP THỰC NGHIỆM CHO VẬT LIỆU ÁP ĐIỆN

Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn
Mã số: 62 44 21 01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TP. Hồ Chí Minh – 2011

Công trình được hoàn thành tại:
Khoa Toán - Tin học Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Người hướng dẫn khoa học: 1. GS.TS. NGÔ THÀNH PHONG
2. TS. LÊ ĐÌNH TUÂN

Phản biện 1: GS.TSKH. ĐÀO HUY BÍCH

án chúng ta chỉ đề cập đến vật liệu áp điện, loại có sự phát triển
mạnh mẽ trong thời gian gần đây.
Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước
Hiện nay Việt Nam ít có nghiên cứu. Nhưng nó đang diễn ra
mạnh mẽ trên thế giới. Chi tiết tên các nhóm nghiên cứu hàng
đầu và nội dung công bố của họ đã được trình bày trong luận
án. Với tài liệu tóm tắt, chúng ta chỉ đề cập ngắn gọn các hạn
chế còn tồn tại liên quan đến tình hình phát triển mô hình tính
toán, phương pháp số và thực nghiệm , là các vấn đề luận án
đang quan tâm giải quyết:
-Các nghiên cứu bỏ qua mô hình hóa toán học , mà chính
phần này rất quan trọng, nó góp phần quyết định giải bài toán
bài toán liên hợp cơ điện có chặt chẽ hay không.
-Đa số các công trình nghiên cứu trước đây dùng các phần
mềm thương mại, hay các chương trình tự viết sử dụng phương
pháp phần tử hữu hạn chuẩn (FEM) để mô phỏng, vì vậy các
kết quả số chưa có sự cải tiến. Một vài nghiên cứu có áp dụng
phương pháp số cải tiến theo hướng sử dụng phương pháp
không lưới (the meshless methods). Với phương pháp mới này,
mặc dù có ưu điểm là không phải xây dựng lưới nhưng việc áp
dụng vào tính toán thực tế vẫn có nhiều khó khăn vì mức độ
hoàn thiện, thừa kế mã nguồn và mặt khác khó tiếp cận.

2
Nhưng chỉ mới được áp dụng giải các bài toán cơ học thuần túy
chứ chưa dùng để giải bài toán liên hợp 2 trường cơ điện.
-Mặt khác, các nhóm nghiên cứu hầu hết tập trung vào mô
phỏng số, các công bố về kết quả thực nghiệm hiếm thấy vì vậy
sự so sánh kết quả mô phỏng và dữ liệu thực nghiệm không
được thực hiện, nghĩa là mô phỏng ảo chưa được chứng minh

cực vào sự nghiên cứu thực nghiệm thành công của luận án.

3
Chương 1 : Hiện tượng và vật liệu áp điện
1.1 Hiệu ứng áp điện
Hiện tượng áp điện với 2 hiệu ứng thuận nghịch đã được mô tả
chi tiết ở mục 1.1 chương 1 của luận án. Một cách ngắn gọn, trong
hiệu ứng thuận khi chúng ta đặt một lực cơ học tác động lên vật
liệu áp điện, thì năng lượng cơ học sẽ được biến thành điện năng
làm xuất hiện các điện tích trên điện cực bề mặt của vật liệu.
Ngược lại ở hiệu ứng nghịch khi áp một điện trường lên các điện
cực thì năng lượng điện sẽ chuyển thành năng lượng cơ học làm
biến dạng vật liệu áp điện.
1.2 Trường hợp một chiều
Để có thể dễ cảm nhận hiện tượng trên bằng toán học, chúng ta
đã trình bày các công thức ở trường hợp một chiều đơn giản trong
mục 1.2 trong luận án.
1.3 Vật liệu áp điện dưới điện trường mạnh
Vật liệu áp điện hiện tại có 2 dạng là PZT và PVDF. Mục này,
trình bày ứng xử vật liệu áp điện dưới điện trường gia tăng đến
mức tới hạn làm xảy ra hiện tượng đảo cực vật liệu theo miền như
trong hình 1-1 của luận án.
1.4 Vật liệu áp điện PZT
Vật liệu PZT(PbZr
y
Ti
1-y
O
3
1.5 Vật liệu áp điện PVDF


(2-1)
0
i
i
D
x
∂
=
∂

(2-2)
Điện thế và điện trường
Phương trình (2-1) diễn tả một điện trường không xoáy, mối
quan hệ giữa điện trường điện thế được trình bày như sau:

i
i
E
x
φ
∂
= −
∂

(2-3)
Điều kiện biên tĩnh điện
-Điều kiện biên trên biên Γ
v
|

f
x
∂
+=
∂
(2-6)

j
i
ij
ji
u
u
S
xx

∂
∂
= +


∂∂

1
2

(2-7)
Mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng theo Hooke:

ij ijkl kl

ij ijkl kl kij k
T cS eE= −

(2-11)
S
i ikl kl ik k
D eS E
ε
= +

(2-12)
2.1.4 Phương trình vi phân (dạng mạnh) và dạng yếu
Bằng cách thế phương trình (2-11), (2-12), (2-3) và (2-7) vào các
phương trình (2-2) và (2-6) ta có hệ phương trình vi phân:
,,
Ev
ijkl k lj kij kj i
cu e f
φ
− −=,,
0
s
ikl k li ik ki
eu
εφ
−=


eu
εφ
−=

(2-14)
| ; |
vu
d
e ii
uu
φφ
ΓΓ
= =| 0 ; |
q
s
i i ij j i
En Tn f
σ
ΓΓ
= =Với
2
( ( ))
vn
i


,,
0
s
ikl k li ik ki
eu d d
ψ εφψ
ΩΩ
Ω− Ω=
∫∫(2-16)
Sử dụng tích phân từng phần, thành phần thứ nhất của phương
trình (2-15) trở thành :
,, ,
EE
ijkl k l i j ijkl k l i j
cuvd cuvnd
Ω ∂Ω
− Ω+ Γ
∫∫

(2-17)
Tương tự, sử dụng tích phân từng phần, thành phần thứ 2 trong
phương trình (2-15), thành phần thứ nhất và hai trong phương
trình (2-16) lần lượt trở thành :
,, ,kij k i j kij k i j
evd evnd
φφ

ijkl k l i j ijkl k l i j
v
kij k i j kij k i j i i
cuvd cuvnd
e v d e vnd f vd
φφ
Ω ∂Ω
Ω ∂Ω Ω
Ω− Γ
+ Ω− Γ= Ω
∫∫
∫∫ ∫

(2-21)
,, ,
,, ,
0
ikl k l i ikl k l i
ss
ik k i ik k i
e u e v nd
d nd
ψψ
ε φψ ε φψ
Ω ∂Ω
Ω ∂Ω
−+ Γ
+ Ω− Γ=
∫∫
∫∫

(, ) , ( )
ikl k l i
bu e u d
ψ ψψ
Ω
= Ω∀ ∈ Ω
∫
H

(2-25)
1
,, 0
(, ) , ( )
s
ik k i
cd
φψ ε φψ ψ
Ω
= Ω∀ ∈ Ω
∫
H

(2-26)
Và đặt
,
vv
ii
f v f vd
Ω
= Ω

kij k i j
e vnd
φ
∂Ω
Γ=
∫
do
0
i
v =
trên
u
Γ

và
,
0
ikl k l i
e v nd
ψ
∂Ω
Γ=
∫
do
0
ψ
=
trên
v
Γ

bu c q
ψ φψ ψ
−=

(2-31)
1
0
( )()
v
ψ
Γ
∀∈ ΩHVới
{ }
u
11
0;
(): (), | =0
u
vv
ΓΓ
Ω= ∈ ΩHH

{ }
11
0;
(): (), |=0
vv

()
n
Ih
V∈N
và bất
kỳ
( ),
n
hh
uV∈
()
hh
V
φ
∈
mô tả duy nhất
1
np
h II
I
u
=
=
∑
Nd
và
1
np
h II
I

()
hh
V
φ
∈
sao cho
(,) (,) , ,
vs
hh hh h h
au v b v f v f v
φ
+=+

(2-32)
,0;
u
hh
vV
Γ
∀∈
(,)(,) ,
s
hh hh h
bu c q
ψ φψ ψ
−=


luận nghiệm xấp xỉ hội tụ mạnh về nghiệm chính xác và từ đây có
thể đánh giá sai số giữa nghiệm xấp xỉ và nghiệm chính xác.

8
2.2.2 Đánh giá sai số của phần tử hữu hạn
Cho
(,)u
φ
là nghiệm chính xác của bài toán gốc từ các
phương trình (2-13) và (2-14). Nếu
Ω
là một miền đa giác lồi và
()
n
hh
uV∈
và
hh
V
φ
∈
là nghiệm phần tử hữu hạn sử
dụng nội suy bậc
k
liên tục thỏa mãn phát biểu rời rạc yếu,
phương trình (2-32) và (2-33), lúc đó tồn tại các hằng số
1234
,,,CCCC
không phục thuộc vào
,u

k
h
LH
Ch
φφ φ
+
+
−≤
V
ới
11
4
k
k
h
HH
Ch
φφ φ
+
−≤11
2 1 2 1/2 1 2 1/2
( ()); (( ))
K
k
HH
w w Dwd w D wd
+

các phương trình cơ bản có dạng

ET
S

−
 

 
 

TS
ce
DE
e
=
ε

(2-34)
Mối quan hệ giữa biến dạng với chuyể n vị , điện trường với
điện thế được biểu diễn bởi
ˆ
= ∇Su
(2-35)
φ
−∇E =
(2-36)
Để thu được nghiệm xấp xỉ bài toán áp điện, xấp xỉ phần tử
hữu hạn được diễn tả
11

T
I II I
uvw=d
là bậc
tự do của nút
[ ]

T
uvwu=
kết hợp với nút I và
()
I
N x
là các hàm
dạng tuyến tính. Thế các xấp xỉ (2-37) vào các phương trình (2-
35) và (2-36), chúng ta thu được
1
ˆ
np
II
I =
=∇=
∑
S u Bd
u
(2-38)
1
np
II
I

uu u u
d
Ω
Ω
∫
k BcB=
(2-41)
TT
uu
d
φφ
Ω
Ω
∫
k BeB=
(2-42)
TS
d
φφ φ φ
Ω
−Ω
∫
k BB= ε
(2-43)
T
sp
d
φ
∂Ω
=− Γ−

và
() ( )ij
Ω ∩Ω =∅
cho
ij≠
, trong đó
e
N
là tổng số cạnh tất cả các phần tử trong toàn
miền bài toán. Với phần tử tam giác, miền trơn con
()k
Ω
kết hợp
với cạnh k được tạo nên bởi sự liên kết các nút ở đầu, cuối của
cạnh và trọng tâm của các tam giác gần kề như trong hình 2-1. Sử
dụng miền trơn dựa trên cạnh, trường biến dạng trơn và trường
điện trơn trên miền
()
k
Ω
liên kết với cạnh k được định nghĩa dựa
trên trường biến dạng tương thích và trường điện tương thích
trong 2 phương trình (2-46) và (2-47): 10 : centroid of triangles (I, O, H)
: field node

= ΦΩ
∫
S Sx x

liên kết với cạnh k của phần tử tam giác
(2-46)
()
()
() ()
k
k
d
Ω
= ΦΩ
∫
E Ex x

(2-47)
Với
()
()
k
Φ x
là hàm một bước
()k
A
là diện tích miền trơn
()k
Ω


kj
e
j
Ad A
Ω
=
= Ω=
∑
∫
(2-49)
Với
()k
e
N
là tổng số phần tử quanh cạnh k (
()
1
k
e
N =
cho cạnh
biên và
()
2
k
e
N =
cho cạnh bên trong) như đã chỉ ra trong hình 2-
1,
()j

kk
k
kk
dd
AA
φ
φφ
ΩΓ
=− ∇ Ω=− Γ
∫∫
E x nxx


(2-51)
Với
()k
Γ
là biên của miền trơn
()k
Ω
, và
()k
u
n
,
()
k
φ
n
là ma trận pháp


(2-52)

11
Vì vậy véc tơ ứng suất và chuyển vị điện có thể chỉnh sửa
thành dưới dạng

T
E
S



−
=






ce
T
S
e
D
E




∈
= ∇ Ω=
∑
∫
S ux B x d



(2-54)
()
()
()
()
1
() ( )
k
k
n
k
I kI
k
IN
d
A
φ
φφ
Ω
∈
=− ∇ Ω=−
∑

φ
Bx

là các thành phần ma trận biến dạng trơn điện
trường trơn trên miền trơn con
()k
Ω
. Với bài toán ứng suất phẳng
biến dạng phẳng tính toán bằng quá trình lắp ráp tương tự như
FEM
()
()
()
1
11
()
3
k
e
N
ke
uI k j uj
k
j
A
A
=
=
∑
Bx B

j
φ
B
là ma trận hằng gradient biến dạng của phần tử thứ j
th
(2-56)

kề cạnh k khi các phần tử tam giác sử dụng hàm dạng tuyến tính.
Chú ý rằng ma trận trong phương trình được xây dựng trực
tiếp từ diện tích và ma trận biến dạng tương thích thông thường
của FEM sử dụng các phần tử tam giác. Tuy nhiên, các công thức
trên chỉ thuận tiện cho xấp xỉ biến dạng ma trận tương thích hằng
số như bài toán phần tử tam giác 3 nút cho 2D và phần tử tứ diện 4
nút cho bài toán 3D. Vì vậy, để thu được một cách tổng quát có
thể làm tốt cho phần tử bậc cao như như tứ giác 4 nút hay phần tử
tam giác 6 nút, trường biến dạng trơn và trường điện trơn nên
được tính dọc theo biên của miền trơn con (trong các phương trình
(2-50)&(2-51)) như sau

12
()
()
() ()
()
1
() ( )
k
k
n
kk

φ
φφ
Ω
∈
=− ∇ Ω=−
∑
∫
E x Bx


(2-58)
Với
()k
uI
B

và
()k
I
φ
B

tính theo các công thức
()
()
() ()
()
() ()
()
() ()


∫
∫
∫∫
x
Bx
xx


(2-59)
()
()
()
()
()
()
()
1
()
k
k
k
Ix
k
I
k
k
Iy
N nd
A

,
() ()
1
nb
kk
b
b=
Γ= Γ

, với nb là
tổng số các đoạn biên
()k
Γ
. Khi trường chuyển vị tương thích
tuyến tính dọc theo biên
()k
Γ
được sử dụng, một điểm Gaussian
đủ để tính tích phân đường chính xác dọc trên mỗi đoạn biên
()k
b
Γ

của
()k
Γ
. Vì vậy phương trình trên có thể đơn giản hóa hơn nữa ở
dạng đại số
()
() () ()

xx xx


(2-61)
()
()
()
() ()
()
() ()
1
() ()
11
() ()
k
k
GkG
nb
Ix
Ibx b
kk
Ib
GkG
kk
b
Ib y b
Iy
Nnd
Nn
l

x
và
()k
b
l
là trung điểm (điểm Gauss) và độ dài của
()k
b
Γ
,
theo thứ tự. Phương trình (2-61) & (2-62) chỉ ra giá trị hàm dạng ở
các điểm riêng biệt dọc các đoạn biên yêu cầu.
Hệ phương trình tuyến tính thu được là
uu u
T
u
φ
φ
φ φφ



=

  




u

(2-64)

( ) ( )
()
() () () () ()
k
ee
TT
k Tk k Tk k
uu u
kN kN
dA
φφφ
Ω
∈∈
Ω=
∑∑
∫
k B eB B eB
  
=

(2-65)
( ) ( )
()
() () () () ()
k
ee
TT
kk kkk

với các chương trình ES-FEM tự viết, trong đó kết quả được so
sánh với các bài báo, nhằm chứng minh rằng ES-FEM là giải pháp
hiệu quả để giải bài toán liên hợp cơ điện.
3.1
Động cơ siêu âm truyền sóng thẳng
Giới thiệu bài toán
Trong bài toán này, chúng ta phát triển chương trình phần tử
hữu hạn có khả năng mô phỏng hoạt động mô hình 2 chiều của
stator. Mục đích chúng ta là minh chứng chuyển động elip của một
điểm trên bề mặt stator. Mô hình nguyên lý hoạt động của động cơ
được được trình bày trong hình 3-11.
Kết quả phân tích của chương trình matlab sử dụng FEM
Chúng ta tạo lưới như trong hình 3-14. Lưới có 658 bậc tự do;
578 phần tử; 329 nút.

14 Hình 3-11 Hoạt động của động cơ.
Hình 3-14 lưới của stator.
Sau khi giải bài toán ta vẽ các quỹ tích, đáp ứng của 1 điểm
trên bề mặt stator:
Tại điểm 2 (nút 29 có chỉ mũi tên trên hình 3-14):

Hình 3-18 đáp ứng & chuyển động elip của điểm 2.
Nhận xét
Kết quả phân tích là elip tương đồng với bài báo của Peter L.
Levin, khẳng định chương trình đã được xây dựng là đúng.
3.2 Dầm Bimorph PVDF
Giới thiệu bài toán

45.1
88.43
134.02
178.1
223.2

15
Nhận xét: Trong kết quả mô phỏng số, ứng xử của dầm PVDF
bimorph đúng với dự đoán. Tính đúng đắng của chương trình sẽ
được khẳng định khi so sánh với kết quả thực nghiệm ở chương 4.
3.3 Khối PZT hình trụ
Thí dụ này sử dụng chương trình Matlab tự viết dựa trên FEM
để mô phỏng một khối vật liệu áp điện PZT hìn h trụ như trong
hình 4-16, nó là bộ phận chính của thiết bị khuyếch đại PZT ở thí
dụ số 3.1.4 và thí nghiệm ở mục 4.3 (hình 4-19) , kết quả tính toán
của chương trình đư ợc so sánh với kết quả phân tích bằng phần
mềm Comsol. Các chi tiết cụ thể khác của bài toán được trình bày
trong mục 3.3 của luận án.
Kết quả mô phỏng số
Bảng 3-6 so sánh kết quả chương trình tự viết và COMSOL.
Potentials
COMSOL
Code
Error %
10V
0.5779
0.57

i các
giá trị điện thế đầu vào là 10v,
50v, … 200v , ta thu được kết
quả như trong bảng 3-6.

Hình 3-26 Lưới với 155 nút
và 248 phần tử.
Nhận xét
Kết quả chương trình tự viết và phần mềm COMSOL tương
đương nhau. Vậy chương trình tính toán đã xây dựng là đúng.
3.4 Khuyếch đại áp điện PZT
Thí dụ mô phỏng một thiết bị có biên dạng phức tạp bằng phần
mềm COMSOL dựa trên FEM. Các kết quả số sẽ được so sánh với
thực nghiệm trong mục 4.3. Lưới của mô hình được chia 38.793
bậc tự do ( hình 3-31). Các thông tin chi tiết khác của thí dụ đã
trình bày trong mục 3.4 luận án.

16
Điều kiện biên
Có 2 loại điều kiện biên như được trình bày trong mục 3.4 của
luận án. Giá trị của điền kiện biên điện thế
φ
và kết quả mô
phỏng được cập nhật trong bảng 3-7.
Điện thế
φ

Kết quả
40 (V)
(µm)

biết trước kết quả để kiểm tra
phương pháp phần tử hữu hạn
áp dụng kỹ thuật lảm trơn dựa
trên cạnh (ES-FEM).

Hình 3-35 Patch test áp điện.
-Biên dạng hình học và lưới : xét bài toán path-test hình dạng
tấm chữ nhật kích thước 0,24 × 0,12 và lưới như trên hình 3-35.

17
Dữ liệu nhập, điều kiện biên và các thông tin khác được trình bày
chi tiết trong mục 3.6.
-Kết quả tính toán của chương trình : các kết quả số tại nút 5
với
555
,,uv
φBảng 3-9 kết quả của patch test tại điểm 5(0.3;0.06).
được trình bày trong bảng 3-9.

Nghiệm
Results
Exact
ES-T3
u
2.376547556249814e-006
5
2.37654755624964e-006


(3-1)
Hình 3-36 Dải áp điện và các
điều kiện biên lực, điện thế.
Hình 3-37 chuyển vị ngang u
trên đoạn trung hòa (y = 0).

18

Hình 3-38 chuyển vị dọc v trên
đoạn trung hòa (y = 0).
Hình3-39 kết quả điện thế
φ

trên đoạn trung hòa (y = 0).
-Kết quả của chương trình và nhận xét: các giá trị tại
đoạn thẳng trung hòa (y=0) được trình bày trong hình 3-
37, 3-38 và 3-39 chỉ ra rằng kết quả chương trình tính
toán sử dụng phần tử ES-T3 tương đồng với các nghiệm
chính xác.
3.7 Màng Cook
Như bày trên hình 3-40, liên quan đến một kết cấu bảng hình
cái nêm bị biến dạng uốn dưới lực đặt trên đỉnh, mục đích của bài
toán là xác định tốc độ hội tụ của phương pháp ES -FEM bằng

3.8 của luận án. Góc xoay gương được tính với nhiều giá trị điện
thế bằng nhiều phương pháp khác nhau và trình bày trên hình 3-
45.

Hình 3-45 kết quả góc lệch gương của các phương pháp.

20
-Nhận xét: từ thông tin
trong hình 3-45 chúng ta có
thể đi đến kết luận phương
pháp ES-FEM có kết quả tốt
hơn FEM. Hình 3-43 thiết bị Bimorph
MEMs.
Chương 4 Thí nghiệm

Chúng ta thực hiện 2 thí nghiệm cho 2 loại vật liệu áp điện
PZT và PVDF. Nhằm đối chứng với các kết quả mô phỏng.
4.1 Các thiết bị thí nghiệm
Chi tiết các thiết bị được trình bày ở mục 4.1 của luận án.
4.2 Thí nghiệm dầm bimorph vật liệu áp điện PVDF
Thí nghiệm thiết kế, chế tạo dầm PVDF (hình 4-9) và thiết kế
lắp rắp hệ thống đo thí nghiệm chuyển vị không tiếp xúc bằng
kính hiển vi.

Hình 4-9 dầm bimorph vật liệu PVDF.
4.2.1 Đo chuyển vị của dầm PVDF bimorph
Hệ thống đo được

µ
m)
20(V)
(
µ
m)
25(V)
(
µ
m)
Thí nghiệm
50.9
99.5
150.4
199.5
249.8
Mô phỏng
45.1
88.43
134.02
178.1
223.2
Độ lệch
5.8
11.07
16.38
21.4
26.6
Sai số (%)
11.394

trong thí nghiệm trên bàn chống rung. 22
Hình 4-19 Mẫu thiết bị khuyếch
đại áp điện PZT.
Hình 4-21 Sự sắp xếp hệ
thống thí nghiệm.
4.3.3 Nhận xét kết quả thí nghiệm
Dựa trên dữ liệu đã trình bày trên bảng 4-4 và đồ thị chuyển vị
trong hình 4-22 và chúng ta có các nhận xét sau:
-Kết quả mô phỏng và thí nghiệm có sự tương đồng, độ lệch
giữa thí nghiệm và mô phỏng là không lớn.
-Đội chính xác tăng khi tăng điện áp tăng từ 40V đến 160V.
-Sự giao động của phòng thí nghiệm có thể là nguyên nhân gây
sai số giữa thí nghiệm và mô phỏng.
Potential
φ
(V)
Results
40 (V)
(µm)
80(V)
(µm)
120(V)
(µm)
160(V)

1.4
40V 80V 120v 160v
Simulation
results
Experimental
results

Hình 4-22 chuyển vị trong thí nghiệm và trong mô phỏng.
23
23 Chương 5 : Kết Luận

Nhìn tổng quan luận án, chương 1 trình bày các kiến thức
nền tảng liên quan đến hiệu ứng áp điện. Mô hình toán học và
các phương pháp số như FEM và ES -FEM đã được thể h iện
trong chương 2. Ngoài ra, các kết quả mô phỏng số và các kết
quả thực nghiệm được trình bày ở chương 3 và chương 4, trong
đó có sự so sánh giữa kết quả mô phỏng số và kết quả thí
nghiệm. Phần kết luận này, chúng ta sẽ nêu các kết quả đã đạt
được của luận án và đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo.
Các đóng góp mới của luận án mang ý nghĩa khoa học
Thông qua việc thực hiện mô hình hóa toán học, áp dụng
phương pháp phần tử hữu hạn để tự phát triển chương trình tính
toán kết hợp với 2 thực nghiệm chế tạo đo đạc, nghiên cứu này
có các đóng góp mới trên cả 3 phương diện toán học, tin học và
thực nghiệm. Các thành quả cụ thể có thể kể đến như:
-Về mặt lý thuyết, luận án đã hệ thống các kiến thức về áp
điện, để dựa trên đó thực hiện mô hình hóa toán học bài toán