Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
–––––––––––––––––––––––––
ĐẶNG HIỀN THƢƠNG

TÍNH CHÍNH QUI CỦA NGHIỆM
TỔNG QUÁT CỦA PHƢƠNG TRÌNH
MONGE-AMPERE

Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng


KẾT LUẬN 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

1
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Với hàm lồi tùy ý
u
xét độ đo Borel không âm
()Mu
sao cho

2
( ) detM u D udl=

Đối với hàm trơn và ngay cả hàm
2,n
loc
W
. Bài toán Dirichlet đối với
M
là giải
được trong trường hợp khá tổng quát: Cho
W
là miền lồi tùy ý trong
n

và

=W




=



(*)
Có nghiệm duy nhất. ( Điều này đã được J. Rauch và B.A. Taylor chứng minh
năm 1977 đối với miền
W
lồi chặt, ở đó hàm liên tục
j
là chấp nhận được).
Chúng ta sẽ xét độ đo
m
với
y
liên tục không âm, trù mật trong
W
. Ở đây
u

sẽ luôn ký hiệu là nghiệm của (*) (với
dm y l=
),
v
là nghiệm của bài toán


2
Krylov (năm 1984), Caffarelli, Nirenberg và Spruck (năm 1984), Guan,
Trudinger and Wang năm 1999
Theo hướng nghiên cứu trên, chúng tôi chọn đề tài ”Tính chính qui của
nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampere”. Cụ thể, chúng tôi sẽ
nghiên cứu tính C
1,1
-chính qui của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-
Ampere
2
det , 0Du yy
, trên miền lồi bị chặn
W
trong
n

với
u j=

trên

. Trong trường hợp riêng, sẽ chứng minh rằng
1,1
()uC
nếu

)i

0j =


.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn là trình bày một số kết quả trong việc
nghiên cứu tính chính quy của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-
Ampère.
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây:
- Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm
đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère và
bài toán Dirichlet cổ điển đối với toán tử Monge-Ampere.
- Trình bày một số kết quả của Z.Blocki năm 2003 về tính chính quy
của nghiệm tổng quát của phương trình Monge-Ampère.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

3
3. Phng phỏp nghiờn cu
- S dng cỏc phng phỏp ca gii tớch phc kt hp vi cỏc phng
phỏp ca lý thuyt th v phc.
- S dng phng phỏp v kt qu ca Zbigniew Blocki.
4. B cc ca lun vn
Ni dung lun vn gm 50 trang, trong ú cú phn m u, hai chng
ni dung, phn kt lun v danh mc ti liu tham kho.
Chng 1: Trỡnh by tng quan v h thng cỏc kt qu v cỏc tớnh
cht ca hm a iu ho di, hm a iu ho di cc i, toỏn t
Monge-Ampốre v bi toỏn Dirichlet c in i vi toỏn t Monge-Ampere.

Đặng Hiền Thương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

5
Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Hàm đa điều hoà dƣới
1.1.1. Định nghĩa. Cho
W
là một tập con mở của
n

và
[ )
:,u    
là
một hàm nửa liên tục trên và không trùng với

trên bất kỳ thành phần liên
thông nào của
W
. Hàm
u
được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi
a 
và
n

.
Ta có định lý sau:
1.1.2. Định lý. Nếu
n
 

là mở và
()u PSH
 thì với mỗi
1
( , , )
n
n
b b b
,
2
,1
0
n
jk
k
jk
j
u
bb
zz
=




2
,1
0
n
k
j
k
jk
j
v
bb
zz
=




trong
W
(1.1)
theo nghĩa suy rộng, thì hàm
0
lim( )uv
e
e
c

=*
được xác định tốt, đa điều hoà
dưới trong

. Định lý hội tụ trội
Lebesgue kết hợp với tích phân từng phần suy ra
()uz
W


( ) ,z b bjL

()dzl =

0
lim
e
()uz
e
W


( ) ,z b bjL

()dzl0
lim
e
=
W



hầu khắp nơi và
0
limuv
e
e
=
. Định lý Fubini và (1.1) suy ra
W

( ) ,v z b b
e
L
()zj
()dzl
 0,
với mọi
n
b  
,
0
()C
e
j


,
0j 
. Bởi vậy
( ) , 0v z b b
e

Họ
()WPSH
là nón lồi, tức là nếu
,ab
là các số không âm và
, ( )uvPSH
, thì
()uv  PSHab
.
()ii
Nếu
W
là liên thông và
{ }
()
j
j
u

PSH

là dãy giảm, thì
lim ( )
j
j
uu

  PSH
hoặc
u   

u

PSH
a
a
sao cho bao trên của nó
sup
A
uu
a
a 
=
là bị
chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên
*
u
là đa điều
hoà dưới trong
W
.
1.1.4. Hệ quả. Cho
W
là một tập mở trong
n

và
w
là một tập con mở thực
sự khác rỗng của
W





xác định một hàm đa điều hoà dưới trong
W
.
1.1.5. Định lý. Cho
W
là một tập con mở của
n

.
()i
Cho
,uv
là các hàm đa điều hoà trong
W
và
0v >
. Nếu
:f 
là
lồi, thì
( / )v u vf
là đa điều hoà dưới trong
W
.
()ii
Cho

(0) 0f =
, thì
( / ) ( )v u v PSHf
.
1.1.6. Định lý. Cho
W
là một tập con mở của
n

và

{ }
: ( )F z v z     Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

8
là một tập con đóng của
W
 ở đây
()v PSH
. Nếu
( \ )uFPSH
là bị
chặn trên, thì hàm
u
xác định bởi
( ) ( \ )
()

thì
u
là đa điều hoà trong
W
. Nếu
W
là liên thông, thì
\ FW
cũng liên thông.
1.2. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại
1.2.1. Định nghĩa. Cho
W
là một tập con mở của
n

và
:u  
là hàm
đa điều hoà dưới. Ta nói rằng
u
là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact
tương đối G của
W
, và với mỗi hàm nửa liên tục trên
v
trên
G
sao cho
()vG PSH
và

u z v z
x

, với mọi
Gx 
, thì
uv
trong
G
;
()ii
Nếu
()v PSH
và với mỗi
0e >
tồn tại một tập compact
K 
sao
cho
uv e  
trong
\ KW
, thì
uv
trong
W
;
()iii
Nếu
()v PSH


u
là hàm cực đại.
Chứng minh.
( ) ( )i ii
: Cho
v
là một hàm đa điều hoà dưới có tính chất:
với mỗi
0e >
tồn tại một tập compact
K 
sao cho
uv e  
trong
\ KW
. Giả sử rằng
( ) ( ) 0u a v a h- = <
tại một điểm
a 
. Bao đóng của
tập hợp

{ }
: ( ) ( )
2
E z u z v z
h
    







=







là đa điều hoà dưới trong
W
theo các giả thiết
()iii
,
()iv
,
()v
và
()i
.
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức
Cho
u
là đa điều hoà dưới trên miền
n
 

C
n
gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán tử
này có thể xem như độ đo Radon trên
W
, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên không gian các hàm liên tục với giá compact
0
()C W
trên
WSố hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

10
( )
( )
0
n
c
C dd ujj
W
W'

a
.
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu
u
là đa điều hoà dưới bị

W
tức là:
( )
( )
0
lim ,
n
c
n
n
dd u d Cj j m j
WW
   

.
Hơn nữa

không phụ thuộc vào việc chọn dãy
 
n
u
như trên, ta ký hiệu:

()
cn
dd u m=

và gọi là toán tử Monge-Ampère của
u
.

.
1.3.2. Mệnh đề. Giả sử
{ }
m
j
là dãy các độ đo Radon trên tập mở
 
n

hội tụ yếu tới độ đo Radon
m
. Khi đó
a) Nếu
G
là tập mở thì
( ) lim inf ( )
j
j
GGmm


.
b) Nếu
K
là tập compact thì
( ) lim sup ( )
j
j
KKmm


,
01j
và
1j =
trên
K
. Khi đó

( ) ( ) lim ( ) lim inf ( )
jj
jj
KGm m j m j m
   
  
.
Từ đó
( ) lim inf ( )
j
j
GGmm


.
b) Ta có
{ }
0
( ) inf ( ) : , ,V= VK V V K Vmm   
. Giả sử
V
là một lân

. Khi đó

( ) (int ) lim inf (int ) lim inf ( )
jj
jj
E E E Em m m m
   
  
.
Mặt khác

( ) lim sup ( ) lim sup ( )
jj
jj
EEEm m m
   

.
Từ đó
( ) lim sup ( )
j
j
EEmm


.
Vậy
( ) lim ( )
j
j

. Giả sử
T
là
( )
1, 1nn- - -
dòng
dương, đóng trên
W
. Khi đó

cc
vdd u T udd v T
WW
  

.
Đặc biệt, nếu
( )
lim 0
  
=
z
vz
thì
WW
  

cc
vdd u T udd v T
.

điệu Lebesgue ta có

( )
0
lim
e
e
WW
   

cc
udd v T u u dd v T

và

( ) ( )
1
0
lim
ee
e
c

WW
     

cc
j
u u dd v T u u dd v T
.

10e
c

   
j
u u C
và do giả thiết
T
là
( )
1, 1nn- - -
dòng dương,
đóng trên
W
nên
c
dd u T
là
( , )nn -
dòng dương, đóng với mọi
( ) ( )
loc
uL

   PSH
, suy ra

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

13


( )
( )
( )
1/ 1/
cc
jj
vdd u T vdd u T
e
cc

WW
     
( )
1/
c
j
vdd u Tc

W
  

.
Nhưng
( ) ( )
1/ 1/
cc

W W W
      
  
.
Từ đó cho
0e ]
ta được

cc
vdd u T vdd u T

WW
  

.
Cho

WWZ
ta được bất đẳng thức cần chứng minh.
1.3.4. Định lý. Giả sử
n
 
là miền bị chặn và
, ( ) ( )u v L

   PSH

sao cho
lim inf( ( ) ( )) 0
z

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

14
khi thay
u
bởi
, > 0u dd+
, thì
{ } { }
u v u vd   
khi
0d 
. Nếu bất
đẳng thức (1.2) đúng trên
uvd+<
thì cho
0d 
suy ra (1.2) đúng trên
{ }
uv<
. Vì vậy có thể giả sử
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z v z d
 
  
. Vậy
{ }
uv<W
.

u z v z d
 

nên
( ) ( )u z v z de- > -
hay
( ) ( ) ( )u z v z v zed   
với
z
gần biên

. Vậy
()u u z
e
e=+
gần biên

và
uv
e

trên

W
. Theo công thức Stokes

( ) ( )
c n c n
dd u dd u
e

0
( ) lim inf ( ) ( )
c n c n c n
u v u v u v
dd v dd u dd u
e
e
< < <

  
.
)b
Giả sử
,uv
tùy ý và
w
là miền sao cho
{ }
/2uvdw  
. Tồn tại
hai dãy
j
u
và
k
v
các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của
w
giảm tới
u

tục trên
\ GW
. Theo Định lí Tietze tồn tại hàm
j
liên tục trên
W
sao cho
v j=
trên
\FG=W
. Ta có

{ }
{ }
( ) lim ( )
j
c n c n
j
uv
uv
dd v dd v

<
<
=

.
Nhưng
{ } { }
jj

cn
k
dd v
hội tụ yếu tới
()
cn
dd v
.
Từ
{ } { }
jj
u u v Gj   
và
{ } { }
j j k
u v u v  
suy ra

{ } { } { }
( ) ( ) ( ) ( )
j j j k
c n c n c n c n
k k k k
G
u u v u v
dd v dd v dd v dd v
j
e
< < <
   

j k j
uv
u v u v
dd v dd u dd uee
     
<

   
  

Hơn nữa

{ } { }
( ) ( )
jj
c n c n
jj
u v u v F
dd u dd u e
  



và từ
{ }
u v F
là tập compact và
{ }
{ }
j

u v u v
dd v dd u



.
Từ đó với mọi
0h >
ta có

{ } { } { }
( ) ( ( )) ( )
c n c n c n
u v u v u v
dd v dd u dd u
h h h
h
     
  
  
.
Nhưng
{ } { }
u v u vh   
và
{ } { }
u v u vh   
khi
0h ]
. Do đó

c n c n
dd v dd u
WW


.
1.3.6. Hệ quả. (Nguyên lý so sánh). Giả sử
n
 
là miền bị chặn và
, ( ) ( )u v L

   PSH
sao cho
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z v z
 

. Giả sử
( ) ( )
c n c n
dd u dd v
trên
W
. Khi đó
vu
trên
W
.

ey ey
ey
< + < +

{ } { }
( ) ( )
c n n c n
u v u v
dd v dd
ey ey
ey
< + < +

{ }
{ }
( )
( ) 4 !
c n n n
n
uv
dd v n u v
ey
e l ey
<+

 
-=
và
( ) ( )
c n c n
dd u dd v=
. Khi đó
uv=
.
1.3.8. Hệ quả. Giả sử
n
 
là miền bị chặn và
, ( ) ( )u v L

   PSH

sao cho
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z v z
 

và
{ }
( ) 0
cn
uv
dd u
<

dd u dd u
ey< < +

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

18

{ }
{ }
( )
( ) 4 ! 0
c n n n
n
uv
dd v n u v
ey
e l ey
<+
    


và ta gặp mâu thuẫn.
1.3.9. Hệ quả. Giả sử
n
 
là miền bị chặn và
( ) ( )uL





=






Khi đó
( ) ( )
loc
wL

   PSH
. Hơn nữa
lim inf( ( ) ( )) 0
z
u z w z
 
-=
và
{ }
( ) 0
cn
uw
dd u
<

M PSH
và
uf


.
Ta ký hiệu
( , )UfW
là họ của tất cả các hàm
()u PSH
sao cho
uf
*

trên

, trong đó

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

19

*( ) lim sup ( )
z
u z u
w
w
w



là nghiệm của bài toán Dirichlet tổng quát
khi
W
là một hình cầu Euclid.
1.4.1. Định lý. Cho
()f C B
, trong đó
( , )B B a r=
là một hình cầu mở
trong
n

. Khi đó hàm
y
xác định bởi
,
( ) ( )
()
( ) ( )
Bf
z z B
z
f z z B
y
y






B
theo nguyên
lý cực đại đối với hàm điều hoà dưới. Do
h
liên tục trong
B
, nên ta có
,
()
Bf
hy
*

trong
B
. Đặc biệt, điều đó có nghĩa là
,
( ) ( , )
Bf
U B fy
*

và như
vậy
,
()
Bf
yy
*



.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

20
Thật vậy, lấy
0
zB
và
0e >
. Chứng minh sẽ được hoàn thành nếu ta có
thể tìm được một hàm liên tục
:vB 
sao cho
( , )
B
v U B f
và
00
( ) ( )v z f z e=-
. Điều đó có thể đạt được bằng cách định nghĩa
2
00
( ) Re , ( )v z c z z r f z e

= - + -


,

Tính cực đại của
y
là hiển nhiên. Thực vậy, nếu
G
là một tập con mở
compact tương đối của
B
,
[ )
:,vG   
là nửa liên tục trên,
()
G
v PSH
và
v y
trên
G
, thì hàm
{ }
max ,
\
v z G
V
z B G
y
y




là liên tục đều. Điều đó
kết hợp với (1.3) suy ra tồn tại
(0, )
2
r
d =
sao cho nếu
zB
,
Bw 
, và
3z wd-<
, thì

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

21

( ) ( )
2
z
e
y y w-<
. (1.4)
Với bất kỳ
(0, )yBd
, đặt
{ }
max ( ), ( ) ( ( )
()

y
H B r dPSH
là lớn nhất trong hai hàm đa điều hoà dưới. Mặt
khác,
y
H y=
trong
\ (0, 2 )B B r d-
. Thực vậy, theo định nghĩa
()
y
Hz
ta có

( ) ( ), \ ( )
y
H z z z B y By   
.
Nếu
( ( ))\ (0, 2 )z B y B B r d    
, thì ta chọn
0
zB
sao cho
0
2zz d-<
. Ta có
0
3z y z d+ - <
và do đó theo (1.4)

B



( , )
y
H U B f


.
y
H y
Từ đó nếu
,zBw 
và
z wd-<
, thì
( ) ( ) ( ) ( )
z
z H z z z
w
y y w e y w e
-
      
.
Vậy
y
là nửa liên tục dưới. (điều phải chứng minh).
Bây giờ ta sẽ áp dụng kết quả trên cho Bài toán Dirichlet tổng quát đối
với toán tử Monge-Ampere:




   



=




=



Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh rằng bài toán này có nghiệm duy
nhất khi
W
là hình cầu Ơcơlit
( , )B B a r=
. Theo Hệ quả 1.3.9 nghiệm như
vậy phải là hàm cực đại do đó nó phải trùng với hàm Perron-Bremermann
,Bf
Y
. Vì thế bài toán đưa về chứng minh
,
(dd ) 0
cn
Bf

loc
uL
. Với
0e >
ta định nghĩa

2
2(2 2)
( )( ) ( ( ; , ) ( )), ( )
m
T u x A u x u x x
ee
e
e
+
   
.
Theo công thức Taylor cấp 2 dễ kiểm tra rằng nếu
2
()u C
thì
0
limT u u
e
e
=D
trong
W
. Nếu
1

là đạo hàm yếu hay suy rộng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

23
bậc
a
của
u
nếu
D u h
a
=
, hay
,D u h d
a
j j l
W
=

với mỗi
0
()j

C
.
Tương tự, ta nói rằng
1
()
loc

()
p
L W
với mọi
a
sao cho
ka 
.
,
()
kp
W W
là không gian Banach với chuẩn

()
p
L
k
f D f
a
a
W

=

.
Nếu
:f X Y
là ánh xạ giữa các không gian metric thì ta định nghĩa


được gọi là thỏa mãn điều kiện
Lipschitz địa phương trong
X
. Ta định nghĩa
,1
()
k
C W
là không gian tất cả các
hàm
()
k
fC
sao cho nếu
ka 
thì
Df
a
thỏa mãn điều kiện Lipschitz
địa phương trong
W
.
1.4.2. Định lý. Giả sử
:u 
là hàm điều hòa dưới sao cho
2
( ), , 1, , ,
loc
ij
u