ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
VŨ THỊ THÙY DƯƠNG
TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA
HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
THÁI NGUN, 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
VŨ THỊ THÙY DƯƠNG
TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES
Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TSKH NGUYỄN MINH TRÍ
Thái Ngun - Năm 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Lời cam đoan
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tơi. Các kết quả nêu
trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất kỳ
cơng trình nào khác.
Thái Ngun, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Vũ Thị Thùy Dương
i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Một số ký hiệu
• C(U) = {u : U → R | u liên tục}.
• C(
¯
U) = {u ∈ C(U) | u liên tục đều}.

• C
∞
(U) =
∞

k=0
C
k
(U) = {u : U → R | u là khả vi vơ hạn lần}, và
C
∞
(
¯
U) =
∞

k=0
C
k
(
¯
U).
• C
c
(U), C
k
c
(U), ,, ký hiệu các hàm trong C(U), C
k
(U), , với giá

< ∞}.
Trong đó
u
L
∞
(U)
= ess sup
U
|u|.
• L
p
loc
(U) = {u : U → R | u ∈ L
p
(V ), với mọi V ⊂⊂ U}.
ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Mục lục
Lời cam đoan i
Một số ký hiệu ii
Mục lục iii
Mở đầu 1
1 Một số kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Khơng gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Khơng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Đạo hàm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Khơng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Khơng gian H
−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Khơng gian phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . 6

Hệ phương trình Navier-Stokes lần đầu tiên được nghiên cứu vào năm
1822, cho đến nay đã có rất nhiều cơng trình nghiên cứu viết về phương
trình này tuy nhiên những hiểu biết của ta về phương trình này còn q
khiêm tốn. Muốn hiểu được hiện tượng sóng dập sau đi con tàu chạy
trên mặt nước hay hiện tượng hỗn loạn của khơng khí sau đi máy bay
khi bay trên bầu trời, chúng ta đều phải tìm cách giải hệ phương trình
Navier-Stokes. Do nhu cầu của Khoa học và Cơng nghệ mà việc nghiên
cứu hệ phương trình Navier-Stokes ngày càng trở nên thời sự và cấp thiết.
Hệ phương trình Navier-Stokes mơ tả sự chuyển động của chất lỏng
trong R
n
(n = 2 hoặc n = 3). Ta giả thiết rằng chất lỏng khơng nén
được lấp đầy R
n
. Ta tìm một hàm vector vận tốc u(t, x) = (u
i
(t, x)), i =
1, 2, , n và hàm áp suất p(t, x), xác định tại vị trí x ∈ R
n
và thời gian
t > 0, thỏa mãn hệ phương trình Navier-Stokes như sau:
∂u
i
∂t
+
n

j=1
u
j

= 0 (x ∈ R, t > 0).
Với điều kiện ban đầu
u(0, x) = u
0
(x).
Ở đây, hàm vector u
0
(x) là hàm khả vi vơ hạn với div u
0
= 0, f
i
(t, x)
là những hàm đã biết biểu thị các lực tác động bên ngồi, ν là một hệ số
dương.
Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo.
Cụ thể như sau:
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes.
Trong chương này trình bày khái niệm phương trình Stokes, tốn tử
Stokes, hệ phương trình Navier - Stokes, sự tồn tại và duy nhất của nghiệm
yếu của hệ phương trình Navier - Stokes.
Chương 3: Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-
Stokes.
Chương này trình bày kết quả chính về tính chính quy của nghiệm yếu
của hệ phương trình Navier - Stokes. Một nghiệm yếu u của hệ phương
trình Navier - Stokes gọi là chính quy nếu động năng hoặc năng lượng
phân tán là liên tục Holder trái, như một hàm của t với số mũ Holder
1
2

x∈U
|u(x)|.
(iii) Nửa chuẩn Holder bậc γ của u : U → R là
[u]
C
0,γ
(
¯
U)
= sup
x,y∈U
x=y
|u(x) − u(y)|
|x − y|
γ
và chuẩn Holder bậc γ là
u
C
0,γ
(
¯
U)
= u
C(
¯
U)
+ [u]
C
0,γ
(


|α|=k
[D
α
u]
C
0,γ
(
¯
U)
là hữu hạn. Như vậy, khơng gian C
k,γ
(
¯
U) gồm tất cả các hàm số u sao cho
các đạo hàm riêng cấp k của nó là bị chặn và liên tục Holder bậc γ.
Định lý 1.1.1. Khơng gian Holder C
k,γ
(
¯
U) là khơng gian Banach với
chuẩn  · 
C
k,γ
(
¯
U)
.
1.2 Khơng gian Sobolev
1.2.1 Đạo hàm yếu

α
u tồn
tại và thuộc L
p
(U).
Chú ý: Nếu p = 2 ta có H
k
(U) = W
k
2
(U) (k = 0, 1, 2, ) là khơng
gian Hilbert. Chú ý rằng H
0
(U) = L
2
(U).
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định nghĩa 1.2.3. Nếu u ∈ W
k
p
(U), ta định nghĩa chuẩn của nó là
u
W
k
p
(U)
=




k
(U) được ký hiệu là
◦
H
k
(U).
Như vậy, ta coi
◦
H
k
(U) như là tập các hàm u ∈ H
k
(U) sao cho
D
α
u = 0 trên ∂U với mọi |α| ≤ k − 1.
Ta ký hiệu |u| = u
L
2
(Ω)
. Chuẩn Dirichlet
∇u
L
2
(Ω)
=


Ω
n

f
H
−1
(U)
= sup{f, u|u ∈
◦
H
1
(U), u
◦
H
1
(U)
≤ 1}.
Ta viết <, > để kí hiệu giá trị của f ∈ H
−1
(U) trên u ∈
◦
H
1
(U).
Định lý 1.2.1. (Cấu trúc của H
−1
)
(i) Giả thiết f ∈ H
−1
(U). Khi đó tồn tại các hàm f
0
, f
1

(U)
= inf{


U
n

i=0
|f
i
|
2
dx

1/2



f thỏa mãn (i), f
0
, , f
n
∈ L
2
(U)}.
1.2.4 Khơng gian phụ thuộc thời gian
Cho X là khơng gian Banach thực với chuẩn ·.
Định nghĩa 1.2.7. Khơng gian
L
p

gồm tất cả các hàm đo được u : [0, T ] → L
q
với
u
L
p
(0,T ;L
q
)
=


T
0
u(t, x)
p
L
q
dt

1/p
=


T
0


Ω
|u(t, x)|

6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định lý 1.2.2. Cho u ∈ W
1
p
(0, T ; X) với 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó
(i) u ∈ C([0, T ]; X), và
(ii) u(t) = u(s) +

t
s
u

(τ)dτ với mỗi 0 ≤ s ≤ t ≤ T.
(iii) Hơn nữa, max
0≤t≤T
u(t) ≤ Cu
W
1
p
(0,T ;X)
, hằng số C chỉ phụ thuộc vào
T.
Định lý 1.2.3. Giả sử u ∈ L
2
(0, T ;
◦
H
1
(U)), với u


L
2
(U)
≤ C(u
L
2
(0,T ;
◦
H
1
(U))
+ u


L
2
(0,T ;H
−1
(U))
),
hằng số C chỉ phụ thuộc vào T.
Định lý 1.2.4. Giả thiết U là mở, bị chặn, ∂U trơn. Cho n là số ngun
khơng âm. Giả sử
u ∈ L
2
(0, T ; H
m+2
(U)), u

∈ L

hằng số C chỉ phụ thuộc vào T, U và m.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />1.3 Một số bất đẳng thức cơ bản
1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy với ε
ab ≤ εa
2
+
b
2
4ε
(a, b > 0, ε > 0).
1.3.2 Bất đẳng thức Holder
Giả thiết 1 ≤ p, q ≤ ∞,
1
p
+
1
q
= 1. Khi đó nếu u ∈ L
p
(U), v ∈ L
q
(U),
ta có :

U
|uv|dx ≤ u
L
p
(U)

L
s
(U)
u
1−θ
L
t
(U)
.
1.3.4 Bất đẳng thức Gronwall
Cho η(.) là một hàm liên tục tuyệt đối, khơng âm trên [0, T ] và thỏa
mãn hầu khắp nơi theo t bất đẳng thức vi phân
η

(t) ≤ φ(t)η(t) + ψ(t)
trong đó φ(t), ψ(t) là các hàm khả tích, khơng âm trên [0, T ]. Khi đó
η(t) ≤ e

t
0
φ(s)ds

η(0) +

t
0
ψ(s)ds

với mọi 0 ≤ t ≤ T.
8

) thì
1. lim
r→0
1
m (B(x, r))

B(x,r)
f(y)dy = f(x) xảy ra h.k.n theo x ∈ R
n
. Ở
đây B(x, r) là hình cầu tâm x bán kính r > 0 và m (B(x, r)) là độ đo
Lebesgue của nó.
2. Mf(x) = sup
r>0
1
m (B(x, r))

B(x,r)
f(y)dy.
Tốn tử M được gọi là tốn tử cực đại Hardy - Littlewood.
Định lý 1.3.1. Cho f là một hàm đo được xác định trên R
n
i. Nếu f ∈ L(R
n
) thì với mọi α > 0
m ({x : Mf(x) > α}) ≤
A
α

R

Trong chương này trình bày về phương trình Stokes, tốn tử Stokes, hệ
phương trình Navier - Stokes, sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của hệ
phương trình Navier - Stokes.
2.1 Phương trình Stokes
Ta ký hiệu V = {ϕ ∈ (C
∞
0
(Ω))
n
| divϕ = 0}.
H là bao đóng của V trong L
2
(Ω)
n
.
V là bao đóng của V trong H
1
0
(Ω)
n
.
Ta có V ⊂ H
1
0
(Ω)
n
⊂ L
2
(Ω)
n

uD
i
v.
Chúng ta nói rằng u là nghiệm yếu của phương trình Stokes (2.1)-(2.3)
nếu u ∈ V và ν((u, v)) = (f, v), ∀v ∈ V.
2.1.2 Tính chất
Định lý 2.1.1. Cho Ω là tập mở, bị chặn. Khi đó với mỗi f ∈ L
2
(Ω)
n
và
ν > 0 tồn tại duy nhất nghiệm yếu của phương trình Stokes (2.1)-(2.3).
Định lý 2.1.2. Cho Ω là tập mở, bị chặn của lớp C
2
. Khi đó với mỗi
f ∈ L
2
(Ω)
n
và ν > 0 tồn tại duy nhất nghiệm u ∈ H
2
(Ω) ∩V, p ∈ H
1
(Ω)
của phương trình Stokes (2.1)-(2.3). Hơn nữa,
u
H
2
(Ω)
+ p

2.2.2 Tính chất
Mệnh đề 2.2.1. Tốn tử Stokes là đối xứng, tức là
(Au, v) = (u, Av), ∀u, v ∈ D(A).
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chứng minh. Trước hết giả sử u, v ∈ (C
∞
0
(Ω))
n
và div u = div v = 0. Do
P u = u, P v = v nên (Au, v) = (u, Av) và ta có
−

Ω
(∆u
i
)v
i
dx =

Ω
∂u
i
∂x
j
∂v
i
∂x
j
dx.

Định lý 2.2.2. Nghịch đảo của tốn tử Stokes, A
−1
, là tốn tử compact
trong H.
Chứng minh. Cho f ∈ H, A
−1
f = u trong đó u là nghiệm duy nhất thuộc
H
2
(Ω) ∩V = D(A) của phương trình Stokes. Ta đã biết A
−1
: H → V là
bị chặn. Ta có K = A
−1
là đơn ánh, compact và tự liên hợp vì
< A
−1
f, g >=< A
−1
f, AA
−1
g >=< AA
−1
f, A
−1
g >=< f, A
−1
g > .
Do đó tồn tại một dãy các số dương µ
j

≤ λ
j+1
≤ (2.6)
lim
j→∞
λ
j
= ∞ (2.7)
(w
j
)
j=1,2,
là một cơ sở trực giao của H.
Mệnh đề 2.2.2. Nếu Ω là bị chặn thuộc lớp C
l+2
, l ≥ 0 thì w
j
∈
H
l+2
(Ω)
n
.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định nghĩa 2.2.2. Cho α > 0 là một số thực. Chúng ta định nghĩa tốn
tử A
α
bởi
A
α

w
j
,
∞

j=1
λ
2α
j
|u
j
|
2
< ∞, u
j
∈ R}.
2.3 Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes
2.3.1 Định nghĩa
Cho một miền bị chặn Ω ⊂ R
n
và một khoảng [0, T ), 0 < T ≤ ∞ xét
hệ phương trình Navier - Stokes sau đây:
∂u
i
∂t
+
n

j=1
u

, , u
n
).
Trong đó f = f(t, x) là hàm cho trước, u
i
= u
i
(t, x) và p = p(t, x) là các
hàm chưa biết, ν là hằng số dương, biết rằng
div u = 0 trong Ω. (2.11)
Trước tiên ta xét sự tồn tại nghiệm yếu của bài tốn (2.8) - (2.10).
Giả sử u
0
∈ L
2
(Ω; R
n
); f ∈ L
2
(0, T ; H
−1
(Ω; R
n
)) . (2.12)
trong đó L
2
(Ω; R
n
) =


.
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định nghĩa 2.3.1. Hàm số u được gọi là nghiệm yếu của hệ (2.8) - (2.10)
nếu với mọi φ ∈ C
∞
([0, T ] × Ω; R
n
) , divφ = 0, supp φ ⊂⊂ [0, T ) ×Ω

t
0

Ω
dtdx


νDu · Dφ −

i,j
u
i
u
j
∂
j
φ
j
− u
∂φ
∂t

. Từ Định nghĩa 2.3.1 suy
ra rằng u thỏa mãn (2.8) theo nghĩa các phân bố Schwartz.
2.3.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của hệ Navier
- Stokes
Phần nội dung và tóm tắt chứng minh các Định lý 2.3.1 - 2.3.4 có thể
tham khảo trong [2].
Định lý 2.3.1. (n = 2, Ω = R
n
). Bài tốn (2.8) - (2.10) có duy nhất một
nghiệm yếu u với những tính chất sau:
u ∈ L
2
(0, T ; H
1
) ∩ C

[0, T ]; L
2

,
∂u
∂t
∈ L
2
(0, T ; H
−1
)
Hơn nữa tồn tại duy nhất một trường áp lực p ∈ L
2
((0, T ) × B

2
dxds
≤
1
2

R
2
|u
0
|
2
dx +

t
0
f(s), u(s)
H
−1
×H
1
ds
(2.15)
với mọi t ∈ [0, T ].
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Định lý 2.3.2. (n ≥ 3, Ω = R
n
). Bài tốn (2.8) - (2.10) có nghiệm yếu
u và trường áp lực p sao cho hệ (2.8) - (2.10) được thỏa mãn theo nghĩa
phân bố và có những tính chất sau:

ns
ns−2
) ∩ L
q
(0, T ; L
r
)

với s ∈ [1, ∞), q ∈ [1, 2), r =
nq
nq + q − 2
,
p ∈ L
2
((0, T ) × B
R
) + L
s
(0, T ; L
ns
ns−2
) với s ∈ [1, ∞), R ∈ (0, ∞),
p ∈ L
2
(0, T ; H
−1
) + L
q
(0, T ; L
r

|u
0
|
2
dx +

t
0
f(s), u(s)
H
−1
×H
1
ds với mọi t ≥ 0,
(2.16)
∂
∂t

1
2

R
n
|u|
2
dx

+ ν

R

+ ν|u|
2
≤ uf (2.18)
trong D

.
Để phát biểu các định lý tiếp theo ta cần các ký hiệu sau:
V
0
p
= {u ∈ L
p
|div u = 0 trong Ω, u.γ = 0 trên ∂Ω};
V
1
p
= {u ∈
◦
W
1
p
|div u = 0 trong Ω}.
Ở đây, u ∈ C([0, T ]; L
2
w
(R
n
)), có nghĩa là u liên tục theo t với giá trị trong
L
2

p
+
1
q
= 1, 1 < p < ∞.
Định lý 2.3.3. (n = 2, điều kiện biên Dirichlet). Tồn tại duy nhất
một nghiệm yếu u của bài tốn (2.8) - (2.10) sao cho
u ∈ L
2
(0, T ;
◦
H
1
) ∩ C([0, T ]; L
2
);
∂u
∂t
∈ L
2
(0, T ; V
−1
2
)
và thỏa mãn đẳng thức (2.15).
Định lý 2.3.4. (n ≥ 3, điều kiện biên Dirichlet). Tồn tại một nghiệm
yếu u của bài tốn (2.8) - (2.10) thỏa mãn các bất đẳng thức (2.16 - 2.17)
sao cho
u ∈ L
2

(0, T ; L
r
)

với 1 ≤ s < ∞, 1 ≤ q < 2 và r =
nq
nq + q − 2
.
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />Chương 3
Tính chính quy của nghiệm yếu của
hệ phương trình Navier - Stokes
Trong chương này trình bày kết quả về tính chính quy của nghiệm yếu
của hệ phương trình Navier - Stokes thơng qua các bất đẳng thức năng
lượng.
3.1 Nghiệm yếu chính quy
Cho một miền bị chặn Ω ⊂ R
3
với biên ∂Ω thuộc lớp C
1,1
và cho một
khoảng thời gian [0, T ), 0 < T ≤ ∞. Lấy u
0
∈ L
2
σ
(Ω) là một số giá trị
ban đầu, f là ngoại lực. Trong hình trụ thời gian - khơng gian [0, T ) × Ω
ta xét nghiệm yếu u của hệ Navier - Stokes
∂u

div u =
3

i=1
∂u
i
∂x
i
= 0; u |
∂Ω
= 0; u |
t=0
= u
0
với độ nhớt ν > 0.
Định nghĩa 3.1.1. Giả sử u
0
∈ L
2
σ
(Ω) và f = divF ; F ∈ L
2
(0, T ; L
2
(Ω)).
Khi đó trường vector u ∈ L
∞
(0, T ; L
2
σ

lượng mạnh
1
2
u(t)
2
2
+ ν

t
t

u
2
2
dτ ≤
1
2
u(t

)
2
2
−

t
t

F, u
Ω
dτ (3.2)

3
q
= 1 (3.3)
được thỏa mãn.
Một thời điểm t ∈ (0, T ) được gọi là điểm chính quy của u nếu u là
chính quy trong khoảng (a, b) ⊆ (0, T ) với a < t < b.
Điều kiện (3.3) nghĩa là u
L
s
(a

,b

;L
q
(Ω))
< ∞ trong mỗi khoảng (a

, b

)
với a < a

< b

< b.
Rõ ràng, với một miền bị chặn, đồng nhất thức
2
s
+

(a, b) ×
¯
Ω

. (3.4)
Trường hợp s = 2, q = ∞ và s = ∞, q = 3 đều rất khó để giải quyết. Nếu
u ∈ L
∞

a, b; L
3
(Ω)

thì u ∈ C
∞

(a, b) ×
¯
Ω

.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />3.2 Điều kiện chính quy của nghiệm yếu thơng qua
tiêu chuẩn năng lượng
Kết quả dưới đây thể hiện tiêu chuẩn chính quy của nghiệm yếu dựa trên
động năng
1
2
u(t)
2

+



1
2
u(t − δ)
2
2
−
1
2
u(t)
2
2



δ
α
< ∞ (3.5)
Khi đó u là chính quy tại t. Ta cũng có kết luận tương tự khi năng lượng
phân tán thỏa mãn điều kiện Holder trái tại t ∈ (0, T )
lim
δ→0
+
1
δ
α


δ
1
2

t
t−δ
u(τ)
2
2
dτ ≤
1
2δ
1
2



u(t)
2
2
− u(t − δ)
2
2



19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu –ĐHTN />