ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHẠM THỊ THU
JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG
CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2012
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
PHẠM THỊ THU
JACOBIAN XẤP XỈ VÀ ỨNG DỤNG
CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU KHÔNG TRƠN
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH NGUYỄN XUÂN TẤN
Thái Nguyên - Năm 2012
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
i
Mục lục
Mở đầu 1
1 HÀM KHẢ VI 4
1.1 Hàm khả vi từ R → R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Hàm khả vi từ R
n
→ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Các định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Các phép tính của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Hàm khả vi từ R

nhà toán học người Anh là Newton đã phát minh ra phép tính vi phân,
một công cụ đắc lực để giải quyết nhiều bài toán trong vật lý, cơ học, hóa
học, kỹ thuật, Nhưng phép tính vi phân mà Leibniz và Newton phát
minh ra chỉ áp dụng được cho các lớp hàm có tính chất khá tốt.
Một vấn đề đặt ra là đó là cách giải quyết đối với các hàm không khả vi.
Đây là vấn đề nghiên cứu của nhiều nhà khoa học vào nửa cuối thế kỉ XX.
Từ đó môn giải tích không trơn ra đời. Môn học này đã giải quyết các bài
toán trên các lớp hàm không có đạo hàm theo nghĩa thông thường bằng
cách đưa ra các khái niệm dưới vi phân khác nhau để thay thế khái niệm
đạo hàm, tại một điểm cho trước hàm được xấp xỉ bằng một họ các hàm
tuyến tính. Nhờ đó mà giải tích không trơn đã đem lại nhiều kết quả sâu
sắc trong lý thuyết tối ưu, giải tích biến phân, phương trình vi phân, cơ
học và lý thuyết điều khiển.
Trong những năm gần đây nhiều nhà nghiên cứu về giải tích không trơn
bằng cách tập trung phát triển các dưới vi phân suy rộng đảm bảo những
tính chất tốt cũng như các điều kiện cần và đủ tối ưu đối với hàm không
trơn như: F.H Clarke, R.T Rockafellar, D.Ralph và V.F.Demyanov và
V.Jeyakumar, Rất gần đây, với hàm liên tục, V.Jeyakumar và D.T.Luc
đã đưa ra khái niệm mới về dưới vi phân và gọi là Jacobian xấp xỉ. Các
khái niệm này cho ta một công cụ hữu ích để nghiên cứu những bài toán về
hàm liên tục có Jacobian xấp xỉ và cũng có những phép tính khá tốt, tương
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2
ứng với các phép tính của đạo hàm thông thường như phép lấy tích, tổng,
hợp, định lý về giá trị trung bình, Đặc biệt, nhiều dưới vi phân cũng là
Jacobian xấp xỉ, ví như dưới vi phân của hàm lồi, hàm Lipschitz và nhiều
dưới vi phân khác như của Morduchovich, Michel-Penot, Treiman, Việc
nghiên cứu Jacobian xấp xỉ đã mở rộng, thống nhất và làm sâu sắc nhiều
kết quả trong giải tích không trơn và tối ưu hóa. Lý thuyết Jacobian xấp
xỉ đang là đề tài được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu.

- Phân tích đặc thù riêng của từng bài toán để tìm ra các phương pháp
khác nhau cho việc áp dụng lý thuyết Jacobian xấp xỉ.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Dịch, đọc tài liệu, nghiên cứu toán học, các tài liệu chuyên khảo về lý
thuyết tối ưu không trơn.
- Phân tích, tổng hợp kiến thức để phục vụ cho mục đích nghiên cứu.
6. Những đóng góp của đề tài
- Hoàn thành luận văn về đề tài lý thuyết tối ưu Jacobian xấp xỉ và ứng
dụng, dày 64 trang.
- Tìm ra những ứng dụng có ý nghĩa trong lý thuyết tối ưu liên quan tới
các hàm có Jacobian xấp xỉ.
- Làm rõ, hệ thống các kiến thức về hàm khả vi, Jacobian xấp xỉ, ứng
dụng của Jacobian xấp xỉ.
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
Chương 1
HÀM KHẢ VI
1.1 Hàm khả vi từ R → R
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm f : (a, b) ⊂ R → R. Ta nói hàm f khả vi
tại điểm x ∈ (a, b), nếu tồn tại giới hạn
f

(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
.
Giới hạn f

(x) được gọi là đạo hàm của f tại x.

, h
2
, . . . , h
n
) ∈ R
n
, (h) → 0 khi h → 0.
Hàm tuyến tính L được gọi là đạo hàm của f tại x, kí hiệu là f

(x) hay
Df(x).
Hàm f được gọi là khả vi trong U nếu nó khả vi tại mọi điểm x ∈ U.
Từ định nghĩa ta có thể chứng minh được định lý sau
Định lý 1.2.2. Nếu f khả vi tại x thì đạo hàm tương ứng được xác định
duy nhất.
Định nghĩa 1.2.3. Ta nói f khả vi theo hướng u ∈ R
n
tại x nếu tồn tại
giới hạn
lim
h→0
f(x + hu) − f(x)
h
.
Khi đó giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm f theo hướng u tại x,
kí hiệu là f

(x, u).
Định nghĩa 1.2.4. Cho u là một vectơ trong cơ sở chính tắc {e
1


(x)(h) =
n

i=1
∂f
∂x
i
(x)h
i
, trong đó h = (h
1
, h
2
, . . . , h
n
) ∈ R
n
.
Từ định lý này ta suy ra f

(x) là hàm tuyến tính được xác định bởi
ma trận

∂f
∂x
1
(x),
∂f
∂x

f

(x)(h) =
n

i=1
∂f
∂x
i
(x)h
i
, trong đó h = (h
1
, h
2
, . . . , h
n
) ∈ R
n
.
Định lý 1.2.7. Nếu hàm f khả vi tại x thì nó có đạo hàm theo mọi hướng
tại x và
f

(x, u) = f

(x)(u) = ∇f(x), u, u = (u
1
, u
2

, kí hiệu là D
ij
f(x) hay
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(x).
Định lý 1.2.9. (Định lý Schwarz)
Cho U là tập mở trong R
n
, hàm f : U → R, x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ U.
Nếu
∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(x),

i
1
∂x
i
2
∂x
i
p
(x) (p ≤ k)
không phụ thuộc vào thứ tự các biến lấy đạo hàm. Chúng luôn được viết
dưới dạng chính tắc:
∂
|α|
f
∂x
α
1
1
∂x
α
2
2
∂x
α
n
n
(x), với α = (α
1
, α
2

→ L(R
n
, R) sao cho
f

(x + h) − f

(x) −B(h) = (h)h,
trong đó h = (h
1
, h
2
, . . . , h
n
) ∈ R
n
, (h) → 0 khi h → 0.
Ánh xạ B nếu tồn tại là duy nhất và được gọi là đạo hàm của f’ tại x hay
đạo hàm cấp hai của f tại x, kí hiệu là f”(x) hay D
2
f(x).
(iii) Hàm f gọi là khả vi cấp hai trên U nếu f khả vi cấp hai tại mọi x ∈ U.
Khi đó nếu ánh xạ f

: x → f

(x) là liên tục thì f được gọi là khả vi cấp
hai liên tục hay thuộc lớp C
2
trên U, kí hiệu là f ∈ C

i
k
j
.
Như vậy f”(x) được xác định bởi ma trận vuông cấp n:

∂
2
f
∂x
i
∂x
j
(x)

.
Ma trận này gọi là ma trận Hessian của f tại x.
Định lý 1.2.13. Giả sử f khả vi cấp p tại x. Khi đó f có tất cả các đạo
hàm riêng cấp p tại x và
f
p
(x)(h
p
) =

|α|=p
∂
|α|
f
∂x

1. Phép nhân vô hướng
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
Định lý 1.2.14. Giả sử f : U → R khả vi tại x, λ ∈ R. Khi đó hàm λf
cũng khả vi tại x và
(λf)

(x) = λf

(x).
2. Phép cộng
Định lý 1.2.15. Giả sử các hàm f, g : U → R khả vi tại x. Khi đó hàm
f + g khả vi tại x và
(f + g)

(x) = f

(x) + g

(x).
3. Định lý về giá trị trung bình
Ta gọi một đoạn trong R
n
với hai đầu mút a, b ∈ R
n
là tập hợp
[a, b] = {ta + (1 −t)b, 0 ≤ t ≤ 1}.
Định lý 1.2.16. Giả sử U là tập mở trong R
n
, [a, b] là một đoạn chứa

1
(x), f

2
(x), . . . , f

m
(x))
= D
1
g(f(x)).f

1
(x) + D
2
g(f(x)).f

2
(x) + ···+ D
m
g(f(x)).f

m
(x).
5.Công thức Taylor
Định lý 1.2.18. Cho U là một tập mở trong R
n
, hàm f : U → R,
x = (x
1

.
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
1.3 Hàm khả vi từ R
n
đến R
m
Cho U là một tập mở trong R
n
, hàm f : U → R
m
là hàm vectơ, với
f = (f
1
, f
2
, . . . , f
m
), x ∈ U. Ta kí hiệu L(R
n
, R
m
) là không gian các ánh
xạ tuyến tính liên tục từ R
n
vào R
m
.
Định nghĩa 1.3.1. Hàm f được gọi là khả vi tại điểm x nếu tồn tại một
ánh xạ tuyến tính liên tục L ∈ L(R

Từ đây ta suy ra ma trận của ánh xạ tuyến tính Df(x) là:

D
j
f
i
(x)

,
với i = 1, m và j = 1, n. Ma trận này được gọi là Jacobi của f tại x.
Cũng như hàm vô hướng ở trên, đối với hàm vectơ ta cũng có các khái
niệm được định nghĩa tương tự như: hàm khả vi cấp p, đạo hàm cấp p,
hàm khả vi liên tục cấp p và nếu f khả vi cấp p tại x thì f
(p)
(x) là ánh
xạ p-tuyến tính từ R
n
× R
n
× ··· ×R
n
  
p
vào R
m
.
Bây giờ ta lấy v ∈ R
m
bất kì và định nghĩa hàm vf : R
n

min
x∈D
f(x). (1.1)
trong đó f : R
n
→ R (gọi là hàm mục tiêu), D ⊂ R
n
(gọi là tập ràng
buộc).
Định nghĩa 1.4.1. Điểm x
0
∈ D được gọi là cực tiểu địa phương của
(1.1) nếu tồn tại một lân cận U của x
0
sao cho f(x
0
) ≤ f(x), ∀x ∈ U ∩D.
Điểm x
0
∈ D được gọi là cực tiểu toàn cục của (1.1) nếu tồn tại một lân
cận L của x
0
sao cho f(x
0
) ≤ f(x), ∀x ∈ D.
Dưới đây ta sẽ đưa ra các điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán
không có ràng buộc và bài toán với ràng buộc bất đẳng thức.
1.4.1 Bài toán trơn không có ràng buộc
Xét bài toán:
min

của bài toán (1.2).
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11
1.4.2 Bài toán trơn với ràng buộc bất đẳng thức
Xét bài toán:
min
x∈D
f(x). (1.3)
Trong đó D = {x ∈ R
n
: φ
i
(x) = 0, i = 1, m}; các hàm f, φ
i
: R
n
→ R.
Với các bài toán có ràng buộc, một công cụ hữu ích được sử dụng rộng
rãi khi nghiên cứu là hàm Lagrange.
Hàm Lagrange của bài toán (1.3) được thiết lập như sau:
L(x, λ) = f(x) + λ
1
φ
1
(x) + ···+ λ
m
φ
m
(x), (λ = (λ
1

λ
∗
= (λ
∗
1
, λ
∗
1
, . . . , λ
∗
m
) sao cho:
L

x
(x
0
, λ
∗
) = 0 hay Df(x
0
) + λ
∗
1
Dφ
1
(x
0
) + ···+ λ
∗

0
ứng
với giá trị λ
0
, hàm f và mọi hàm φ
i
(i = 1, m) khả vi cấp hai và có tất
cả các đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại x
0
. Nếu L

x
(x
0
, λ
0
)(h
2
) > 0,
∀h ∈ R
n
, h = 0, thì x
0
là điểm cực tiểu địa phương của (1.3).
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
Chương 2
JACOBIAN XẤP XỈ
2.1 Jacobian xấp xỉ của hàm vô hướng
2.1.1 Định nghĩa và các tính chất


(x; u) và được gọi là đạo hàm theo hướng u của Φ
tại x. Nếu Φ

(x; u) tồn tại theo mọi hướng u, ta nói rằng Φ khả vi theo
mọi hướng tại x.
Định nghĩa 2.1.1. Cho hàm số f : R
n
→ R. Ta nói rằng tập đóng
∂
x
f(x) ⊂ R
n
là Jacobian xấp xỉ của f tại x, nếu với mọi u ∈ R
n
, ta có:
f
+
(x; u) ≤ sup
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u. (2.1)
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13
Từ định nghĩa, ta thấy rằng R

(i) Tập đóng ∂
x
f(x) ⊂ R
n
là Jacobian xấp xỉ của f tại x khi và chỉ khi
với mọi u ∈ R
n
,
f
−
(x; u) ≥ inf
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u. (2.2)
(ii) Tập đóng ∂
x
f(x) ⊆ R
n
là Jacobian xấp xỉ của f tại x, mọi tập đóng
A ⊂ R
n
chứa ∂
x
f(x) đều là Jacobian xấp xỉ của f tại x.
(iii) Nếu {∂

t
= −f
−
(x, u).
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
Mặt khác ta có đẳng thức:
sup
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u = − inf
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u.
Do đó cho ta sự tương đương giữa (2.1) và (2.2).
(ii) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
(iii) Mỗi tập ∂
x
i
f(x) là đóng và giới nội, do đó là tập compact, suy ra

i=1
∂
x
i
f(x). Cho i → ∞ ta được:
f
+
(x; u) ≤ ξ
0
, u ≤ sup
ξ∈
∞

i=1
∂
x
i
f(x)
ξ
0
, u.
Vậy
∞

i=1
∂
x
i
f(x) cũng là Jacobian xấp xỉ của f tại x.
Sau đây ta xét một số trường hợp đặc biệt của Jacobian xấp xỉ.

, y −x, ∀y ∈ R
n
.
Nếu ∂f(x) = ∅ ta nói rằng f khả dưới vi phân tại x.
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15
Mệnh đề 2.1.4. Nếu f là hàm lồi chính thường trên R
n
thì ∂f(x) = ∅,
lồi, compact và
f

(x, u) = max{x
∗
, u : x
∗
∈ ∂f(x)}, ∀u ∈ R
n
.
Mệnh đề 2.1.5. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên R
n
. Khi đó ∂f(x)
là Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tại x.
Chứng minh: Từ mệnh đề 2.1.4, ta có ∂f(x) = ∅, lồi, compact.
Đồng thời ∀u ∈ R
n
: f

(x, u) = max{x
∗

Jacobian xấp xỉ của nó.
3. Gradient suy rộng của hàm Lipschitz địa phương
Giả sử hàm f Lipschitz địa phương tại x.
Định nghĩa 2.1.6. Đạo hàm suy rộng trên và dưới Clarke của f theo
hướng u ∈ R
n
tại x tương ứng kí hiệu là f
0
(x, u) và f
0
(x, u) được định
nghĩa như sau:
f
0
(x, u) = lim sup
x

→x,t↓0
f(x

+ tu) −f(x

)
t
,
f
0
(x, u) = lim inf
x


0
f(x) = ∅, lồi, compact trong R
n
và ξ ≤ K, ∀ξ ∈ ∂
0
f(x).
(ii) Với mọi u ∈ R
n
ta có f
0
(x, u) = max{ξ, u : ξ ∈ ∂
0
f(x)} và
f
0
(x, u) = max{ξ, u : ξ ∈ ∂
0
f(x)}.
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16
Mệnh đề 2.1.9. Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x. Khi đó,
∂
0
f(x) là một Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tại x.
Chứng minh: Từ mệnh đề 2.1.8, ∂
0
f(x) = ∅, lồi, compact trong R
n
ta có:
f

nên:
f
+
(x, u) ≤ max
x
∗
∈∂
0
f(x)
x
∗
, u và f
−
(x, u) ≥ min
x
∗
∈∂
0
f(x)
x
∗
, u∀u ∈ R
n
.
Vậy ∂
0
f(x) là một Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tại x.
Nhận xét 2.1.10. Do hàm f xét trong không gian hữu hạn chiều nên cụ
thể hơn ta có:
∂

/∈ Ωf, x
n
/∈ S, x
n
→ x

là tập compact và
∂
0
f(x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x nên tập

lim
n→∞
f(x
n
) : x
n
/∈ Ωf, x
n
/∈ S, x
n
→ x

cũng là một Jacobian xấp xỉ của f tại x.
Như vậy, đối với hàm Lipschitz địa phương tại x chúng ta đã chỉ ra
rằng ∂
0
f(x) là Jacobian xấp xỉ của f tại x. Hơn nữa, các ví dụ dưới đây sẽ
cho ta thấy chúng còn có thể chứa thực sự bao lồi của một Jacobian xấp
xỉ và trong trường hợp tại x hàm không Lipschitz địa phương thì tại đó f

xỉ.
Định lý 2.1.11. Giả sử hàm f : R
n
→ R có một Jacobian xấp xỉ ∂
x
f(x)
tại x. Nếu f đạt cực trị tại x thì 0 ∈ co(∂
x
f(x)).
Chứng minh: Giả sử f đạt cực tiểu tại x. Khi đó với mỗi u ∈ R
n
ta
có: f
−
(x, u) ≥ 0. Vì ∂
x
f(x) là Jacobian xấp xỉ của f tại x nên
sup
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u ≥ f
−
(x, u) ≥ 0.
Do đó sup
x

f(x))
ξ, u ≥ 0, ∀u ∈ R
n
. Vậy 0 ∈ co(∂
x
f(x)). Định lý được
chứng minh.
Định nghĩa 2.1.12. Cho hàm số f : R
n
→ R. Ta nói rằng tập đóng
∂
x
f(x) ⊂ R
n
là Jacobian xấp xỉ chính quy của f tại x, nếu với mọi u ∈ R
n
,
f
+
(x, u) = sup
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u.
Nhận xét 2.1.13. Mỗi Jacobian xấp xỉ chính quy của f tại x đều là
Jacobian xấp xỉ của f tại x.


G
(x) = x
∗
.
Điều này có nghĩa là
f(x + tu) = f(x) + tx
∗
, u + o(t) ∀u ∈ R
n
.
Khi đó f khả vi theo hướng tại x và f

(x, u) = x
∗
, u, ∀u ∈ R
n
. Bằng
cách lấy ∂
x
f(x) = {x
∗
} thì ∂
x
f(x) ⊂ R
n
là tập đóng, suy ra:
∀u ∈ R
n
: f

f

(x, u) = f
−
(x, u) = inf
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u = f
+
(x, u) = sup
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u.
Vậy ∂
x
f(x) là tập hợp chỉ gồm duy nhất một phần tử.
Giả sử ∂
x
f(x) = {x
∗

2
, λ ∈ (0, 1) sao cho
x = λx
1
+ (1 − λ)x
2
và đoạn [a, b] ⊂ A.
Ta kí hiệu Ext (A) là tập các điểm cực biên của tập A.
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
19
Định lý 2.1.16. Nếu hàm f : R
n
→ R có một Jacobian xấp xỉ compact
chính quy ∂
x
f(x) tại x, thì Ext((∂
x
f(x))) là Jacobian xấp xỉ chính qui
tối thiểu duy nhất của f tại x.
Chứng minh: Giả sử ∂
x
f(x) là Jacobian xấp xỉ chính qui của f tại x.
Lấy A là một Jacobian chính quy bất kỳ của tại x. Khi đó, với mọi u ∈ R
n
.
f
+
(x; u) = max
x
∗

f(x) là một Jacobian xấp xỉ compact chính quy của f tại
x nên ∀u ∈ R
n
, ta có:
f
+
(x; u) = max
x
∗
∈∂
x
f(x)
x
∗
, u = max
x
∗
∈Ext(co(∂
x
f(x)))
x
∗
, u.
Suy ra Ext(co(∂
x
f(x))) cũng là một Jacobian xấp xỉ chính quy của f tại
x.
Vậy Ext(co(∂
x
f(x))) là một Jacobian xấp xỉ chính quy tối thiểu duy

(x, u) ≤ max
x
∗
∈A
x
∗
, u, ∀u ∈ R
n
.
Vì f khả vi theo hướng tại x nên ∀u ∈ R
n
ta có f
−
(x, u) = f
+
(x, u).
Do đó:
f
+
(x, u) ≤ max
x
∗
∈A
x
∗
, u.
Mà
f
+
(x, u) = max

x
f(x) nên co(A) ⊂ co(∂
x
f(x)).
Do đó có co(∂
x
f(x)) = co(A).
Ta lại có Ext(co(∂
x
f(x))) = Ext(co(A)) ⊂ Ext(A) ⊂ A.
Lấy bao đóng hai vế ta được
Ext(co(∂
x
f(x))) ⊂ A = A.
Do đó Ext(co(∂
x
f(x))) là một Jacobian xấp xỉ tối thiểu của f tại x. Định
lý được chứng minh.
2.1.2 Các phép tính của Jacobian xấp xỉ
1. Phép nhân vô hướng
Định lý 2.1.18. Nếu hàm số f : R
n
→ R có một Jacobian xấp xỉ ∂
x
f(x)
tại x, thì λ∂
x
f(x) (với λ ∈ R) là Jacobian xấp xỉ của λf tại x.
Chứng minh:
Ta có: f

x
f(x) là Jacobian xấp xỉ của λf tại x.
Nhận xét 2.1.19. Định lý 2.1.19 cũng thỏa mãn đối với Jacobian xấp xỉ
chính quy.
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
21
2. Phép cộng.
Định lý 2.1.20. Nếu các hàm f, g : R
n
→ R có một Jacobian xấp xỉ
tương ứng là ∂
x
f(x), ∂
x
g(x) tại x và một trong hai Jacobian xấp xỉ trên
là chính qui, thì ∂
x
f(x) + ∂
x
g(x) là Jacobian xấp xỉ của hàm f + g tại x.
Chứng minh:
Hiển nhiên tập ∂
x
f(x) + ∂
x
g(x) là tập đóng trong R
n
. Hơn nữa, với mọi
u ∈ R
n

g(x)
x
∗
, u ≤ sup
x
∗
∈∂
x
f(x)+∂
x
g(x)
x
∗
, u.
Vậy ∂
x
f(x) + ∂
x
g(x) là Jacobian xấp xỉ của f + g tại x.
Chú ý: Định lý trên cũng đúng cho trường hợp tổng quát. Nếu các hàm số
f
i
, i ∈ {1, . . . , k}, có Jacobian xấp xỉ ∂
x
f
i
(x) tại x và (k - 1) Jacobian xấp
xỉ trên là chính quy, thì
k


3. Phép lấy maximum.
Cho I = {1, . . . , k}, x ∈ R
n
và với mỗi i ∈ I, hàm f
i
: R
n
→ R liên tục.
Ta xác định h : R
n
→ R như sau:
h(x) = max{f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
k
(x)}.
Đặt I(x) = {i ∈ I : h(x) = h
i
(x)}.
Định lý 2.1.22. Với mỗi i ∈ I, nếu f
i
có một Jacobian xấp xỉ ∂
x
f
i
(x)
tại x, thì
∂