GV:
Huúnh §oμn ThuÇn Trang 2
B
S
C
A
H
A'
B'
C'
H'I/ C
ơ
s
ở
lý thuy
ế
t
:
Để
tính th
ể
tích c
ủ
a m
ộ
t kh
ố
i

 , …) rồi c
ộng các kết quả lạ
i.
Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, việ
c tính thể tích của các khối l
ăng trụ và
khố
i chóp theo công thức trên lại gặp khó kh
ăn do không xác định được đườ
ng cao
hay di
ện tích đáy, nh
ưng có thể
chuyển việ
c tính thể tích các khố
i này về vi
ệc tính
th
ể tích củ
a các khối đ
ã biết thông qua tỉ
số th
ể tích của hai kh
ối.
Sau
đây ta sẽ xét m
ột số
bài toán cơ bả
n và ví dụ m
inh ho

'''

SABC
S ABC
V
SA SB SC
VSASBSC

(1)
Giải
:
G
ọ
i H và H’ l
ầ
n l
ượ
t là hình chi
ế
u vuông góc
c
ủ
a A và A’ lên (SBC)
Ta có AH//A’H’. Ba
đ
i
ể
m S, H, H’ cùng thu
ộ
c hai

AH S
V
A
HSBSC BSC
VAH
AH S
SB SC BSC



(**)
Từ (*) và (**) ta được đpcm □
Trong công thức (1), đặc biệt hoá, cho B’

B và C’

C ta được
.'' '
.
'
SABC
S ABC
V
SA
VSA

(1’)
Ta lại có
''
.


N

N
G
G
G
D

D

D
Ụ

Ụ

Ụ
N

N

N
G
G
G
T
T
T
H
H

hu
ầ
n
GV:
Huúnh §oμn ThuÇn Trang 3
I
M
O
C
A
D
B
S
O '
C '
I
D'
B'
O
C
S
B
D
A
'.
.
''
1
A ABC
S ABC

n
( 3)n 
, trên
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng SA
1
l
ấ
y
đ
i
ể
m A
1
’ không trùng v
ớ
i A
1
. Khi
đ
ó ta có
112
12
'.
11
1

c
ủa các khối
đa diệ
n và một số
ứng d
ụng của nó

D
Ạ
NG1
: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN

Ví d
ụ
1
:
Cho kh
ố
i chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình bình hành, g
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m
c
ủ
a CD và I là giao

1
12
ISCM
SABCD
V
V


Ví dụ2
:
Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là
hình bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung điểm
của SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp được chia bởi
mp(AB’D’)
Giải
:
Gọi O là giao điểm của AC và BD và I là giao
điểm của SO và B’D’. Khi đó AI cắt SC tại C’
Ta có
GV:
Huúnh §oμn ThuÇn Trang 4
.''
.
''1'
.
2
SABC
S ABC
V

SC SC
 

Kẻ OO’//AC’ (
')
OSC
 . Do tính ch
ấ
t các
đươ
ng th
ẳ
ng song song cách
đề
u
nên ta có SC’ = C’O’ = O’C
Do đó
.'' ' '
.
11

23
SABCD
SABCD
VV

Hay
.''' '
.
1

HMNP
S ABC
V
V


Bài2
: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt
ph
ẳ
ng (

) qua AB c
ắ
t SC, SD l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i M và N. Tính
SM
SC

để
m
ặ
t ph
ẳ
ng (

TH
Ể
TÍCH
ĐỂ
TÍNH TH
Ể
TÍCH

Ví dụ1
: (
Đ
H kh
ố
i B – 2008 )
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thang,


0
90
BAD ABC,
,2,( )
A
B BC a AD a SA ABCD   và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a
Giải
:
Áp dụng công thức (1) ta có
.

C
S
GV:
Huúnh §oμn ThuÇn Trang 5

333
11
24
2
2.3 4.3 3
S BCNM S BCM S CNM S BCA S CAD
VVV VV
aaa
 
 

Ghi chú
:
1/ Vi
ệ
c tính th
ể
tích kh
ố
i S.BCNM tr
ự
c ti
ế
p theo công th
ứ

Giải
:
Ta có
.
.
1
.()
4
1
()
2
CMNP
CMBD
CMBD M BCD
CSBD S BCD
V
CN CP
a
VCBCD
VV
MB
b
VV SB



Lấy (a) x (b) vế theo vế ta được
.
.
11

.
11313
. .
332212
SBCD BCD
aa
VSHS a

 

V
ậ
y:
3
3
96
CMNP
a
V

(đvtt)

Ví dụ3
: (ĐH khối D – 2006 )
Cho khối chóp D.ABC có đáy ABC là tam giác đều
cạnh a, DA = 2a và SA vuông góc với đáy. Gọi M, N lần
lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng
DB và DC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a
Giải
:

GV:
Huúnh §oμn ThuÇn Trang 6
A
B
C
D
S
H
M
giác vuông DAB và DAC b
ằng nhau nên ta có
22
22
44
4
5
DM DA a DM
MB AB a DB


Tươ
ng tự
4
5
DN
DC


Do đó V
D.AMN

=
3
33
50
a
(đvtt)
Ghi chú
:
Ta có hệ th
ức lượng trong tam giác vuông ABC
sau đây
2
2
'
'
bb
cc


( Chứng minh d
ựa vào tam giác đồ
ng dạng)

Ví d
ụ
4
: (ĐH kh
ối B – 2006 , Đề GVDG c
ấp trườ
ng 2009 – 2010 )

 

nên
11 1

32 6
AIMN
ACDN
V
AI AM
VACAD

(1)
M
ặ
t khác
1
2
ACDN
ACDS
V
NC
VSC

(2)
T
ừ
(1) và (2) suy ra
1
12

c
b'
b
c'
A
B
C
H
a
a
a2
I
M
O
C
A
D
B
S
GV:
Huúnh §oμn ThuÇn Trang 7
thu
ộ
c
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng AC sao cho AH =

S MBC S ABC
S ABC
V
SM
VV
VSA
 

23
.
1
1 14 14

36244
8
S ABC
ABC
aa a
VSHS

  (đvtt)

* Bài tập tham khả
o
:
Bài1
: Cho khố
i tứ diệ
n ABCD có


a
V 

Bài3
: Cho hình chóp t
ứ
giác
đề
u S.ABCD có t
ấ
t c
ả
các c
ạ
nh
đề
u b
ằ
ng. G
ọ
i M,
P l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c

3
.'''
33
8
ABC A B C
a
V 
và
7
12
a
R


DẠNG3
: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH

Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác
định chân đường cao. Khó khăn này có thể được khắc phục nếu ta tính khoảng cách
GV: Huúnh §oμn ThuÇn Trang 8
thông qua th
ể tích của khối đ
a diện, mà khoảng cách đó chính là độ
dài đường cao
c
ủ
a kh
ố
i
đ

2

A
BAC
Do đó
2
1
8
6
ABCD
VABAcADcm

Mặt khác CD =
42, BD = BC = 5
Nên
BCD
cân t
ạ
i B, g
ọ
i I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a CD
22
12
.5(22)234

, AD = 2a,
BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA =
2
a
. G
ọ
i H là hình chi
ế
u
vuông góc của A lên SB. CMR tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ
H đến mp(SCD)
Giải
:
Ta có
.
.
SHCD
SBCD
V
SH
VSB


SAB
vuông t
ạ
i A và AH là
đườ
ng cao nên
Ta có

2
+ CD
2
= AD
2
),
do đó
2
11
2.2 2
22
SCD
SCDSCaaa

 
. Vậy
3
2
32
(,( ))
3
92
aa
dH SCD
a


Ví dụ3: (ĐH khối D – 2008)
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a,
AA’ =

.
.
1
2
C AEM
CAEB
V
MC
VCB


23
.
11122
.
2232224
C AEM EACB
aa a
VV  

Ta có
.
3
(,( ))
C AEM
AEM
V
dC AME
S



3
3
a
BH

B
HM

vuông t
ạ
i B nên
22
21
43 6
aa a
MH


Do
đ
ó
2
1162114

22268
AEM
aa a
SAEHM


ạ
i A, AB = a,
3
A
Ca

và hình chiếu vuông góc
c
ủ
a A’ lên m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) trùng v
ớ
i trung
đ
i
ể
m
của BC. Tính khoảng cách Từ A đến mp(BCC’B’)
Giải
:
Theo giả thiết ta có A’H
 (ABC).
Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến
nên AH =
1
2
BC = a. '

a
a
2a
3
K
C'
B
'
H
B
C
A
A'
GV: Huúnh §oμn ThuÇn Trang 10
Mặt khác
'.
.'''
1
3
A ABC
ABC A B C
V
V


Suy ra
3
3
'. ' ' . ' ' '
22

.
'
BB H
cân tại B’. Gọi K là trung điểm
của BH, ta có
'BK BH

. Do đó
22
14
''
2
a
B K BB BK

Suy ra
2
''
14
''. 2. 14
2
BCC B
a
SBCBKa a

V
ậ
y
3
2

ng ABCA’B’C’có
đ
áy ABC là tam giác vuông t
ạ
i B, AB = a,
AA’ = 2a, A’C = 3a. G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a A’C’, I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a AM và
A’C. Tính theo a th
ể
tích kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n IABC và kho
ả

ả
ng cách t
ừ
M
đế
n mp(AB’C)
Đ
S:
(,( '))
2
a
dA ABC 

Bài3
:
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD có DA vuông góc v
ớ
i mp(ABC),

0
90
ABC
 . Tính kho
ả
ng
cách từ A đến mặt phẳng (BCD) nếu AD = a, AB = BC = b

di
ệ
n ABCD và
đ
i
ể
m M
ở
mi
ề
n trong c
ủ
a t
ứ
di
ệ
n. G
ọ
i r
1
, r
2
, r
3
, r
4
l
ầ
n
lượt là khoảng cách từ M đến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) của tứ diện.


Việc tính diệ
n tích đa giác phẳng được quy về
việc tính diện tích tam giác theo
công thức
1
2
Sah

 , trong đó h – chiều cao và a là
độ dài cạnh đáy.
Tuy nhiên trong nhiều tr
ường hợp, đặc biệ
t là việc tính diện tích của các
đa
giác phẳng trong không gian, tính tr
ực tiếp theo công th
ức gặ
p nhiều khó khă
n. Khi
đó có thể tính di
ện tính đ
a giác thông qua thể tích củ
a các khối đ
a diện. Sau
đây là
mộ
t số ví d
ụ minh hoạ
Ví dụ1


và
A
IMN (do
A
MN cân tại A )
nên
()
A
ISBC


A
ISI


M
ặ
t khác,
M
NSI
 do đó
()SI AMN

Từ (1)
.
11
.
.4 4
AMN


4416
62
4
AMN
aa a
S
a

 (đvdt)
I
N
M
O
K
A
C
B
S
GV: Huúnh §oμn ThuÇn Trang 12
* Bài t
ập tham khảo
:

Bài1
: Cho l
ă
ng tr
ụ


ệ
n
đ
ó
b)
Tính diện tích thiết diện xác
định ở câu a)
Đ
S: Thi
ế
t di
ệ
n AMN có di
ệ
n tích
222
2
AMN
ababc
S
c
 


Bài2
: Cho tứ diện ABCD có các c
ạnh AB = x, AC = y, AD = z, các góc


0