Đại số tổ hợp - Trang 1 - Người soạn: Phạm Văn Luật
ĐẠI SỐ TỔ HP
I. HOÁN VỊ − CHỈNH HP − TỔ HP:
1.Qui tắc cộng và qui tắc nhân:
a) Qui tắc cộng :
Nếu có m
1
cách chọn đối tượng x
1
, m
2
cách chọn đối tượng x
2
,… , m
n
cách chọn đối
tượng x
n
, và nếu cách chọn đối tượng x
i
không trùng bất kỳ cách chọn đối tượng x
j
nào (i≠j; i,j=1,2,…,n) thì có m
1
+m
2
+…+m
n
cách chọn một trong các đối tượng đã cho.
Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều trường hợp độc lập nhau.
Trường hợp 1 có m

cách thực hiện, giai đoạn 2 có m
2
cách thực hiện, …giai đoạn n có m
n
cách thực hiện
thì số cách thực hiện cả công việc là m
1
. m
2
. … .m
n
2.Hoán vò:
A. Hoán vò thẳng:
a) Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử (n≥1)
của tập hợp A được gọi là 1 hoán vò của n phần tử đó.
b) Đònh lý: Nếu ký hiệu số hoán vò của n phần tử là P
n
, thì:
n1.2.3) 2n)(1n(nP
n
=−−=
!
Qui ước: 0!=1
B. Hoán vò có lặp lại:
a) Đònh nghóa: Có n vật, sắp vào n vò trí. Trong đó:
n
1
vật giống nhau
n
2

thứ tự của tập hợp A được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của của n phần tử .
b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử la ø :
)!kn(
!n
)1kn) (2n)(1n(nA
k
n
−
=+−−−=
Đặc biệt: Khi
n
n n
k n A P
= ⇒ =
4.Tổ hợp:
a) Đònh nghóa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k
)0(
nk
≤≤
phần
tử của A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
b) Số tổ hợp chập k của n phần tử la ø :
)!kn(!k
!n
C
k
n
−
=
c) Tính chất:

=
II.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:
1.Công thức nhò thức Newton: Với hai số thực a và b và n∈N ta có công thức:
nn
n
kknk
n
1n1
n
n0
n
n
bC baC baCaC)ba(
+++++=+
−−
2.Các tính chất:
a) Vế phải có n+1 số hạng.
b) Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b là n.
c) Số hạng thứ k+1 của công thức khai triển có dạng :
kknk
n1k
baCT
−
+
=

)n, ,3,2,1,0k(
=
d) Các hệ số cách đều số hạng đầu và cuối là bằng nhau.
nn

=
b) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số chẵn? Kết quả:6.5.4.3.3=1080
c) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số trong đó nhất thiết phải có mặt
chữ số 7? Kết quả: 5.
1800A
4
6
=
2) Cho 6 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a) Từ các chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số
khác nhau? Kết quả:
720A
5
6
=
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số lẻ? Kết quả:
3603.A
4
5
=
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số trong đó có mặt 2 chữ số 1 và 2?
Hướng dẫn và kết quả: Liệt kê 4 tập con có chứa 1 và 2, có thể tạo 4.5!= 480 số.
3) Cho 5 chữ số 0,1, 3, 6, 9.
a) Từ 5 chữ số ấy, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?
Kết quả:
96A.4
3
4
=
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chẵn?

c) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số có mặt chữ số 0?
Hướng dẫn và kết quả: Hoán vò các phần tử trong tập A={1,2,3,4,5} ta có
5!=120 số không có mặt chữ số 0. Phần bù: 600
−
120=480 số có mặt chữ số 0.
Đại số tổ hợp - Trang 4 - Người soạn: Phạm Văn Luật
5) Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3 và 4,
Hỏi có bao nhiêu số :
a) Được tạo thành Kết quả: 4!=24
b) Bắt đầu bởi chữ số 1? Kết quả: 1.3!=6
c) Không bắt đầu bằng chữ số 2? Kết quả: P
4
−
1.P
3
=18.
6) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1,2, 3, 4,
5 và 6 và lớn hơn 300.000 Kết quả: 4.5!=480
7) Có bao nhiêu sốtự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3
chữ số này bằng 9. Kết quả: Có 3 tập X
1
={1;2;6} , X
2
={1;3;5}
và X
3
={2;3;4} có tổng các phần tử bằng 9. Vậy có 3.3!=18 số.
8) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó
chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần?
Hướng dẫn và kết quả:

3601.A
4
6
=
số
10) Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Biết rằng tổng của 3 chữ số
này bằng 12?
Kết quả: Có 7 tập hợp chứa 3 phần tử khác 0 có tổng 12 và có 3 tập hợp chứa
3 phần tử có phần tử 0 có tổng 12.Vậy có 7.3!+3.(2.2.1)=54 số.
Đại số tổ hợp - Trang 5 - Người soạn: Phạm Văn Luật
11) Với 6 chữ số 2, 3, 5, 6, 7, 8 có bao nhiêu cách lập những số gồm 4 chữ số khác
nhau, biết:
a) Các số này < 5000? Kết quả: 2.
3
Ï5
A
=120 số.
b) Các số này chẵn < 7000? Kết quả: x=
abcd
: d=8 có 4.4.3.1= 48 số
; d
≠
8 có 3.4.3.2=72 số. Vậy có 48+72=120 số
12) Từ tập hợp A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} có thể lập được bao nhiêu số mà mỗi số có
5 chữ số khác nhau và trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 5?
Kết quả: x=
abcde
: a=5 có 1.6.5.4.3= 360 số ; a
≠
5 có 4(5.5.4.3)=1200 số.

2
4
1
4
=+++
số
17) Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 9 chữ
số khác nhau, trong đó phải có mặt cả 2 chữ số 0 và 1?
Hướng dẫn và kết quả:
Cách 1: Tư ø A={2,3,4,5,6,7,8,9} có thể lấy ra
7
8
C 8
=
tập con có 7 phần tử không có 0 và 1. Hợp mỗi
tập con này với {0,1} ta có 8 tập con có 9 phần tử trong đó có 0 và 1. Từ mỗi tập hợp này có thể tạo
8.8!=322560. Vậy có 8.322560=2580480 số.
Cách 2: Cho 0 xuất hiện trước: Có 8 cách ( vì 0 không được đứng đầu). Cho 1 xuất hiện kế tiếp: Có 8
cách. Tiếp theo ta xếp 8 chữ số còn lại vào 7 vò trí còn lại: Có
7
8
A 40320
=
cách. Vậy có:
8.8.40320=2580480 số.
Cách 3: Có 3 loại số trong
8
9
9.A 3265920
=

Theo quy tắc nhân có : 6.6.5.1=180 số.
20) Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, sao cho 2 chữ số kề nhau phải khác nhau?
Kết quả: 9.9.9.9.9=59049.
21) Từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác
nhau sao cho luôn có mặt chữ số 7 và chữ số hàng ngàn là chữ số 1?
Kết quả: 1.3.
2
5
A
=60 số (1 cách xếp chữ số 1, 3 cách xếp chữ số 7 và
2
5
A
cách xếp 2,3,4,5,6
vào 2 vò trí còn lại).
22) a) Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số
mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi một khác nhau?
b) Hãy tính tổng tất cả các số tự nhiên nói trên?
Kết quả: a)
4
5
A
=120 b)60X155554 = 9333240
23) Cho 5 chữ số:1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ có 4 chữ số
khác nhau từ 5 chữ số trên? Kết quả: 4.3.2.3=72
24) Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ số:
0, 1, 2, 3, 4? Kết quả: 5+4.5+4.25+4.125= 625
25) Với 10 chữ số từ 0 đến 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ
số, mà các chữ số đó đều khác nhau? Kết quả: 9.8.7.1+8.8.7.4=2296
Đại số tổ hợp - Trang 7 - Người soạn: Phạm Văn Luật

Hỏi có tất cả bao nhiêu cái bắt tay?
Kết quả: 10
32) Có bao nhiêu cách xếp đặt 3 người đàn ông, 2 người đàn bà ngối trên 1 ghế dài
sao cho những người cùng phái ngồi cạnh nhau?
Kết quả: 24
33) Gieo 3 hột xúc xắc vào trong 1 cái chén, hỏi có bao nhiêu kết quả khác nhau cả
thảy ? Kết quả: 6
3
=216
Đại số tổ hợp - Trang 8 - Người soạn: Phạm Văn Luật
34) Có 5 con đường nối 2 thành phố X và Y, có 4 con đường nối 2 thành phố Y và Z.
Muốn đi từ X đến Z phải qua Y .
a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi từ X đến Z?
b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn đường đi và về từ X đến Z rồi về lại X bằng
những con đường khác nhau?
Kết quả: a) 20 b) (5X4)X(3X4)=240
35) Có bao nhiêu đường chéo trong hình thập giác lồi?
Kết quả: 35
36) Vẽ 5 đường thẳng song song trên một tờ giấy. Sau đó vẽ tiếp 6 đường thẳng song
song khác cắt cả 5 đường thẳng vẽ lúc đầu. Có bao nhiêu hình bình hành tạo được?
Kết quả:
150C.C
2
6
2
5
=
37) Cho tập P gồm 10 điểm phân biệt trong mặt phẳng :
a) Có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh lấy trong P nếu không có 3 điểm nào lấy
trong P thẳng hàng?

b) Chọn 3 học sinh gồm 1 nam và hai nữ . Kết quả: 2625
c) Chọn 3 học sinh trong đó có ít nhất 1 nam. Kết quả: 9425
42) Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Chọn từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư
và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn, mỗi bì thư chỉ dán 1 tem thư. Hỏi có bao
nhiêu cách làm như vậy. Kết quả:
3 3 3 3
6 5 6 5
C .C .3! C .A
=
=1200
Đại số tổ hợp - Trang 9 - Người soạn: Phạm Văn Luật
43) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số
khác nhau, trong đó phải có mặt đồng thời 2 chữ số 1 và 2?Kết quả:720−240=480 số.
44) Tìm n sao cho:
a)
.48.
12
=
−
n
nn
CA

b)
23
24
CA
A
4n
n

2n
=
−
−
+
.
e)
6
1
P
PP
1n
1nn
=
−
+
−
.
Kết quả: a) n = 4, b)n = 5, c)n = 2, d)n = 5, e) n = 2 V n = 3
45) Giải các phương trình:
a)
8x.Px.P
3
2
2
=−
.
b)
Nx,A50A2
2

−−−
=−
b)
1
4x
2
1x
1
x
C6
7
C
1
C
1
++
=−
Kết quả: a) x=9, b) x = 3 V x = 8
47) Giải phương trình
2n
n
3
n
CA
−
+
=14n. Kết quả:n=5.
48) Giải phương trình
4
n

Đại số tổ hợp - Trang 10 - Người soạn: Phạm Văn Luật
51) Giải hệ phương trình:




=
=
−
−−
1y
x
y
x
1y
x
2y
x
CC
C3C5
Kết quả: x = 7 và y = 4
52) Tính hệ số của số hạng chứa
3
x
trong khai triển của:
743
)1x()1x3()1x2()x(P
+++−+=
.
Kết quả:−65

4
Kết quả: x
4
+8x
3
+24x
2
+32x+16
56) Tìm hệ số a
5
b
3
trong khai triển (a + b)
8
. Kết quả:56.
57) Tìm hai số hạng chính giữa trong khai triển:(x
3
– xy)
15
.
Kết quả: T
8
= − 6435.x
31
y
7
; T
9
= 6435 x
29

5
3
+=−






+
+
+
+
Kết quả: n = 12 và a
9
=495
60) Đa thức P(x) = ( 1+x)
9
+ (1+x)
10
+ … + (1+x)
14
có dạng khai triển là
P(x) = a
0
+ a
1
x
1
+ a

12
1
( )
x
x
+

Kết quả: 495
Đại số tổ hợp - Trang 11 - Người soạn: Phạm Văn Luật
64) Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển : (x
2
+
x
3
1
)
10

Kết quả: k=4 ⇒
C
4
10
= 210
65) Tìm hệ số của x
101
y
99
trong khai triển (2x−3y)
200


n2
−

Hướng dẫn: Khai triển (a+b)
2n
với a = 1 , b = −1
b)
C
1
n
+2
C
2
n
+3
C
3
n
+…+n
C
n
n
= n2
n
−
1
.
Hướng dẫn: Lấy đạo hàm y= (1+x)
n
rồi thay x=1.

n
2
n
1
n
0
n
n
2n2n
n
23
n
22
n
21
n
2
+
−
=
+
++++
+=+
+=++++
+
−
69) Tính S=
0 1 6
6 6 6


n
P4
143
P
A
x
−=
+
+
.
Kết quả:
4
63
x
1
−=
,
8
23
x
2
−=
73) Tìm k∈N để
k
14
C
,
1k
14
C