ĐẠI SỐ TỔ HP
Chương V
NHỊ THỨC NEWTON (phần 1)
Nhò thức Newton có dạng :
(a + b)
n
=
C
a
n
b
0
+ a
n-1
b
1
+ … + a
0
b
n

0
n
1
n
C
n
n
C
=
(n = 0, 1, 2, …)

3
= a
3
+ 3a
2
b + 3ab
2
+b
3

(a + b)
4
= a
4
+ 4a
3
b + 6a
2
b
2
+ 4ab
3
+ b
4

(a + b)
5
= a
5
+ 5a

5 1

4 1

3
+
10
1

2

6

1

3

10 1

4


n
C
−
≤ ≤
(iii) = (0 k
k
n
C +
k1
n
C
+
k1
n1
C
+
+
≤ ≤
n – 1) : tổng 2 số hạng liên tiếp ở hàng trên bằng
số hạng ở giữa 2 số hạng đó ở hàng dưới.
(iv) + … + = (1 + 1)
n
= 2
n

0
n
C +
1
n

C
n
n
C.
Hai kết quả thường dùng
(1 + x)
n
= x + x
2
+ … + x
n
=
(1)
0
n
C +
1
n
C
2
n
C
n
n
C
n
kk
n
k0
Cx

∑
•

Ví dụ :
Chứng minh a) + … + = 2
n
0
n
C +
1
n
C
n
n
C

b) + … + (–1)
n
= 0
0
n
C –
1
n
C +
2
n
C
n
n

(3 – x)
15
= 3
15
– 3
14
x + … + 3
15 – k
.(–x)
k
+ … + – x
15

0
15
C
1
15
C
k
15
C
15
15
C
Do k = 0 ứng với số hạng thứ nhất nên k = 12 ứng với số hạng thứ 13
Vậy số hạng thứ 13 của khai triển trên là :
3
12
15

- Số hạng độc lập với x có tính chất : m = 0 và 0
≤
k
≤
n, k
∈
N. Giải phương
trình này ta được k = k
0
. Suy ra, số hạng độc lập với x là .
0
k
n
C
0
nk
a
−
0
k
b
•

Ví dụ :
Tìm số hạng độc lập với x trong khai triển nhò thức
18
x4
2x
⎛⎞
+

18
C2 .x
−−
Số hạng độc lập với x trong khai triển nhò thức có tính chất :
18 – 2k = 0
⇔
k = 9
Vậy, số hạng cần tìm là : .2
9
.
9
18
C
4. Đối với bài toán tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển nhò thức (a + b)
n
với a,
b chứa căn,
ta làm như sau :
– Số hạng tổng quát trong khai triển nhò thức là :
= K
knkk
n
Ca b
−
mn
p q
c.d
với c, d
∈¤


7
3
16 3
+

Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển nhò thức là :

7k
1
k
3
7
C16
−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
k
1
2
3
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
=
7k
k
k


−=
⎧
⎪
⎨
⎪
≤≤
⎩
7k3m
k chẵn
0k7
⇔
k 7 3m (m Z)
k chẵn
0k7
=− ∈
⎧
⎪
⎨
⎪
≤≤
⎩

⇔
k = 4
Vậy, số hạng cần tìm là : .
42
17
C .16.3
Bài 120.

16
16 i i i
16
i0
(3x) ( 1) .C
−
=
−
∑
= (3x)
16
– (3x)
15
+ (3x)
14
+ … + .
0
16
C
1
16
C
2
16
C
16
16
C
Chọn x = 1 ta được :
2

nn n n
3 C 3 C 3 C ... ( 1) C 2
−−
−+++−=
Giải
a)
Ta có : (x + 1)
n
= .
0n 1n1 n
nn
C x C x ... C
−
+++
n
n
n
n
)
Chọn x = 2 ta được :
3
n
= .
0n 1n1 n
nn
C2 C2 ... C
−
+++
b)
Ta có : (x – 1)

n
k0
C(1) 0
=
− =
∑
.
Đại học Lâm nghiệp 2000
Giải
Ta có : (1 + x)
n
= (*)
n
0 1 22 nn kk
nn n n n
k0
C C x C x ... C x C x
=
++ ++ =
∑
Chọn x = 1 ta được
2
n
=
n
k0 1 2 n1
nnnn n
k0
CCCC...C C
−

n
k0
C(1)
=
−
∑
.
Bài 123.
Chứng minh :
02244 2n2n2n12n
2n 2n 2n 2n
C C 3 C 3 ... C 3 2 (2 1)
−
++++ = +
Đại học Hàng hải 2000
Giải
Ta có : (1 + x)
2n
= (1)
0 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n
C C x C x ... C x C x
−−
++ ++ +
(1 – x)
2n
= (2)
0 1 2 2 2n 1 2n 1 2n 2n
2n 2n 2n 2n 2n
C C x C x ... C x C x

22
2
+
=
022 2n
2n 2n 2n
C C 3 ... C 3+++
2n

⇔
2n 2n
2(2 1)
2
+
=
022 2n
2n 2n 2n
C C 3 ... C 3+++
2n
)
2n
=
⇔
2n 1 2n
2(2 1
−
+
022 2n
2n 2n 2n
C C 3 ... C 3+++