ỨNG DỤNG CỰC TRỊ HÀM SỐ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN VẬT LÝ SƠ CẤP
A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Từ năm học 2005 - 2006 Bộ GD & ĐT quyết định chuyển từ hình
thức thi tự luận sang thi trắc nghiệm khách quan đã đem lại sự đổi mới mạnh mẽ
trong việc dạy và học của giáo viên cũng như học sinh.
Tuy nhiên, qua thời gian thực tế giảng dạy ở trường THPT chúng tôi tấy
có một số vấn đề như sau:
1.Việc dạy học và đánh giá thi cử theo hình thức TNKQ thì giáo viên
cũng như học sinh phải có sự thay đổi lớn về cách dạy và học. Dạy học theo
phương pháp TNKQ đòi hỏi người giáo viên không những phải đầu tư theo
chiều sâu mà còn phải đầu tư kiến thức theo chiều rộng, người dạy phải nắm
được tổng quan chương trình của môn học. Điều này không phải tất cả đội ngủ
giáo viên của ta hiện nay đều làm được, đặc biệt là các giáo viên trẻ mới ra
trường.
2. Một thực tế nữa là khi chúng ta chuyển sang dạy học và đánh giá thi cử
theo phương pháp TNKQ thì một số GV mãi mở rộng kiến thức theo chiều rộng
để đáp ứng cho vấn đề thi trắc nghiệm thì vấn đề đầu tư cho việc giải bài toán
theo phương pháp tự luận có thể bị mờ nhạt đi. Điều này ảnh hưởng khá lớn đến
chất lượng, mức độ hiểu sâu kiến thức về vật lý của học sinh, đặc biệt là đội ngủ
học sinh giỏi của trường.
3. Để góp phần cải tiến thực trạng trên chúng tôi quyết định thực hiện đề
tài “ứng dụng cực trị hàm số để giải bài toán vật lý sơ cấp”. Trong Vật lý sơ cấp
THPT có nhiều bài toán được giải theo phương pháp tính cực trị các đại lượng
Vật lý. Mỗi loại bài tập đó đều có một số cách giải nhất định, song để chọn cách
giải phù hợp là điều rất khó khăn cho học sinh và một số giáo viên bởi lẽ các bài
toán này mang tính đơn lẻ, chưa có tài liệu nào viết có tính chất hệ thống.
Qua nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi, dạy bồi dưỡng cho học sinh thi đại
học chúng tôi đã tổng hợp và áp dụng thì thấy kết quả của học sinh tiến bộ vượt
bậc. Hy vọng rằng đề tài này sẽ góp phần vào giải quyết những khó khăn trên.
Với trình độ còn hạn chế, kiến thức thì mênh mông nên bài viết này chắc
còn có sai sót. Kính mong được sự góp ý và trao đổi chân tình của quý đồng

xfVa
a
b
a
b
xkhixfba
'
4
)(
'
2
)(0,0
min
min
∆
−=
∆
−=
−=−=⇒>>
CB
A
y
x
+
=
)(
Với A = HS
Chỉ khảo sát mẫu số
Mẫu (max) => y
min

1- Xác định R để P
max
+ P
Max
khi mẫu (min) =>
2. Chứng minh: P < P
Max
=> R
1
. R
2
= (Z
L
-Z
C
)
2
3
R
ZZ
R
U
Rx
ZZR
U
RIP
CL
CL
2
2

4
- 4P
2
(Z
L
-Z
C
)
2
Thay U
2
= 2(Z
L
-Z
C
).P
max
ta được:
∆ = 4P
2
max
(Z
L
-Z
C
)
2
- 4(Z
L
-Z

+ U
Rmax
khi mẫu min
R -> ∞

mẫu (min) và U
R
= U
Nghĩa là không thể tạo ra được ở 2 đầu R HĐT lớn hơn HĐT nguồn.
Bài 2: Bài toán cơ bản về L biến thiên:
Cho mạch điện R, L, C nối tiếp, L biến thiên.
1- Xác định L để I
max
, p
max
2- Định L để U
L max
. Tính U
L max
3- Khảo sát P theo L, U
L
theo L.
R L C
1- Tìm L để I
max
4
0)(
)(
222
22

)(
1
)(
R
ZZ
U
ZZR
UR
IRU
CL
R
−
+
=
−+
==+
22
)(
CL
ZZR
U
I
−+
=+
2. Định L để U
L max
Phương pháp giải tích:
Ta được: f(x) = (R
2
+Z

L
theo L.
Z
L
Vận dụng thực tiễn: Bài 2.31 bài tập tuyển tập vật lý, đề 3 (2001-2002),
đề 10 (2001-2002), Bài 2.31 Bài tập tuyển tập vật lý.
Bài 3: Bài toán cơ bản về C biến thiên.
5
L
CL
ZC
LZZkhiI
2
max
11
ωω
===>=
C
LZZkhip
CL
2
max
1
ω
==>−
1
2)(
2
222
2

2
2
C
C
C
C
ZR
Z
ZR
Z
a
b
x
+
=
+
−
−=−=
C
C
L
C
L
C
C
L
Z
ZR
L
Z

=
∆
−=
22
max
2
2
min
)(
cL
C
ZR
R
U
U
ZR
R
xf +==>
+
=
c
c
C
C
L
C
RC
RC
L
Z

2- Tìm C để U
C(max),
tính U
C(max)
3- Khảo sát P theo C, U
c
theo C.
Giải
R L C

1- Tìm C để I
max
, P
max
.
2 - Định C để U
C(max)
Phương pháp giải tích:
)(
12)(
222
xï
U
xZxZR
U
U
C
C
=
+−+

1
ω
==>−
1
2
.
)(
2
2
2
22
+−
+
=
++
==+
C
L
C
L
C
CL
CC
Z
Z
Z
ZR
U
Z
ZZR

L
L
C
⇒
+
===>
+
=−=
22
2
22
1'

3) Khảo sát P theo C
- Z
C
= 0 => P = P
1
- Z
C
= Z
L
→ P = P
max
- Z
C
= ∞ → P => 0 P
1
Khảo sát U
C

max
, U
R max
+ Để I
max
, P
max
, U
R max
thì
2. Định ω, để U
L max
, tính U
L max
- Biểu thức:
7
2 2
2
min min max
2 2
2 2
'
C
C
L
L
U R Z
R R
Va f f U
a R Z R

1
21
242222
2
+−+
ωωω
LCCLL
R
=
2
2 2 4 2 2
1 1 2 1
1
R
x
L C L LC
ω ω
 
+ − +
 
 
- Đặt
x=
2
1
ω
Ta được: f(x) =
1
21
2

Vậy f(x)
min
khi
a
b
x
2
−=
=>
2
2
2
2
2
2
22
C
R
C
LCRLC
x






−=
−
=

1
21
1
22)(
.
.
24222
2
2
2
2
2
22
+−+
=
+−+
=
−+
==
ωωω
LCCLL
R
U
Z
Z
ZZ
R
U
ZZR
ZU

UL
xf
U
−
=
3. Định
ω
(f) để U
C max
.
Biểu thức: U
C
= I.Z
C
=
CLCL
C
ZZZZR
U
22222
2−++
Ζ
=> U
C
=
1
2
2
2
2

22222
+−+ xLCCRxCL
U
=
)(xf
U
Để U
C max
thì f(x)
min
.
Vì a = L
2
C
2
>0 Vậy f(x)
min
khi
CL
CRL
CL
CRLC
a
b
x
2
2
22
22
2

4
)4(
4
4)2(
4
L
CRLCR
CL
CLLCCR
a
−
=
−−
=
∆
- U
C max
=
CRLCR
UL
xf
U
22
4
2
min)(
−
=
* Vận dụng thực tiễn: Bài 3.36; 3.37 Sách ôn tập thi Đại học, Cao đẳng.
Bài 135, 136 Tuyển chọn Bài tập Vật lý.

L C AM L
R (Z Z ) ; Z R Z+ − = +
+
AM AM
2
C C L
2 2
L
U U
I ; U I.Z
Z
Z 2Z Z
1
R Z
= = =
−
+
+
Đặt y = 1 +
2
C C L
2 2
L
Z 2Z Z
R Z
−
+
U
AM
cực đại khi y = y

Z Z Z R 0
Z Z R
Z 0 (lo¹i)
2

+ + = Ω

=

− − = ⇒

− +

= <


Bảng biến thiên
Vậy khi Z
L
=
241Ω tức là L =
0,767(H) thì U
AM
cực

đại.
U
AM(Max)
=
2 2

+
+
đặt
2
C L C
2 2
C
Z 2Z Z
y 1
R Z
−
= +
+
.
U
AM
cực đại khi y = y
min
.
Tương tự như ví dụ 16. Ta tìm được khi Z
C
=
2 2
L L
Z Z 4R
2
+ +
thì y = y
min
và U

11
R
•
•
C
B
L
A
•
M
* Ví dụ 3: Cho mạch điện như hình vẽ
U
AB
= 200
2
sin(100nt) (v)
L =
4
1 10
(H); c (F).
n 2n
−
=
R thay đổi Hình vẽ 2.2
a) Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 0
b) Tìm R để công suất trên R cực đại khi r = 5Ω
HDG:
a) + Cảm kháng: Z
L
=

(Z Z )
R
−
.
+ Áp dụng BĐT Côsi: y
min
⇔ R = Z
L
- Z
C
 = 100Ω.
Lúc đó P
R(Max)
=
2
L C
U
200(W)
2 Z Z
=
−
b) Tương tự ta có: Z =
2 2
L C
(R r) (Z Z )
+ + −
P
Rx
= I
2

+ Nếu Z
L
- Z
C
 > r thì P
Max
khi R = Z
L
- Z
C
 - r
+ Nếu Z
L
- Z
C
 ≤ r thì P
Max
khi R = 0.
12
R
•
•
L,r
C
A B
II. Các bài toán về giải toán cực trị trong các bài toán khác.
* Ví dụ 1: Cho mạch điện như hình vẽ
E = 12V; r = 4Ω; R là biến trở.
Hãy tìm
x

min
.
Theo BĐT Côsi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau.
⇒
Y
min
⇔
r
R
R
=
. Vậy khi R = r = 4Ω thì P
max
=
2
E
9(W)
4r
=
Ví dụ 2: Có hai điện tích điểm q
1
= q
2
= q > 0 đặt tại hai điểm A, B trong
không khí (ε = 1). Cho biết AB = 2d. Hãy xác định cường độ điện trường tại M
trên đường trung trực AB cách đường thẳng AB một khoảng x. Tìm x để E
M
đạt
cực đại.
HDG:

2 2
2 2
2
2kq x x
. 2kq.
d x
d x
(d x )
=
+
+
+
(*)
* Tìm vị trí M: - Theo BĐT Côsi ta có:
13
E,r
R
B
A
H
•
•
•
•
2M
E
ur
M
E
ur

4kq
3 3 d
. Vậy E
M(Max)
=
2
4kq
3 3 d
khi x =
d
2
.
Ví dụ 3: Vật m
1
chuyển động với vận tốc
1
V
uur
tại A và đồng thời va chạm với
vật m
2
đang nằm yên tại đó. Sau va chạm m
1
có vận tốc
1
V '
uur
; hãy xác định tỷ số
'
1

P P P m V m V= + = +
uur uur uur uur
uur
.
Hìnhvẽ 2.4
+ Hệ kín nên Động lượng hệ bảo toàn:
S T 1
P P P= =
uur uur uur
+ Gọi α =
'
1 1 1 S
(V V ) (P P )× = ×
uur
uur uur uur
Ta có:
' 2 '2 2 ' 2
2 1 1 1 1
P P P 2P P cos= + − α
(1)
Vì va chạm đàn hồi nên động năng bảo toàn:
2 ' 2 ' 2
1 1 1 1 2 2
m v m v m V
2 2 2
= +
⇒
2 '2 ' 2
2 '2 ' 2
1 1 2 1

Đặt x =
'
1
1
V
0.
V
>
2 2
1 1
m m 1
1 x 1 2cos
m m x
   
⇒ + + − = α
 ÷  ÷
   
Để α
Max
thì (cosα)
min
. Theo BĐT cosi: (cosα)
min
khi:
14
α
S 1
P P=
uur ur
2

'
1
V
uur
cực đại.
Với cosα
Max
=
2 2
1 2
1
m m
m
−
.
Ví dụ 4: Một thấu kính hội tụ được đặt song song với màn ảnh E .Trên trục
chính có điểm sáng A và màn E được giữ cố định. Khoảng cách từ A đến màn E là
a = 100 cm. Khi tịnh tiến thấu kính trong khoảng giữa màn E và A, người ta thấy
vệt sáng trên màn không bao giờ thu lại một điểm. Nhưng khi L cách màn E một
đoạn b = 40cm thì vệt sáng trên màn có kích thước nhỏ nhất. Tính tiêu cự của thấu
kính.
HDG:
Theo đề bài thì điểm hội tụ của chùm tia ló phải nằm sau màn ảnh E, đường đi của
tia sáng như hình vẽ 2.5:
Theo tính chất đồng dạng của tam giác ta có:
' '
1 1 1
' ' ' ' '
r d b b a d a d
r d b d d d

−
= − ⇒ =
thay số ta có f = 36 cm.

15
a
b
r r’
A O A’
d d’
Hình vẽ 2.5
Ví dụ 5: Vật phẳng AB vuông góc với trục chính của một thấu kính hội tụ
có tiêu cự f = 20cm. Phía sau thấu kính đặt một màn để hứng ảnh của vật, cách
thấu kính một khoảng l = 60cm.
a) Xác định vị trí đặt vật để ta thu được ảnh rõ nét trên màn.
b) Giữ vật và màn cố định. Chứng tỏ rằng nếu di chuyển thấu kính ta thu
được hai vị trí của thấu kính cho ảnh rõ nét trên màn. Tìm khoảng cách giữa 2 vị trí
đó?
c) Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa vật và ảnh trong khi di chuyển thấu
kính từ vị trí này đến vị trí còn lại mà ta thu được ảnh rõ nét trên màn.
HDG:
a) Sơ đồ tạo ảnh
TK
d '
d
AB A'B '→
Theo bài ra d' = l = 60cm ; → d =
d' f
30cm
d' f

d
.
d 20−
2
d(d 40)
L' . L ' 0 khid 40cm
(d 20)
−
= ⇒ = =
−
Vậy khoảng cách ngắn nhất cần tìm là L
min
=
2
40
80(cm)
40 20
=
−
Ví dụ 6: Một Mol khí lý tưởng thực hiện biến đổi theo quy luật.
a) P = P
0
- αV
2
Tìm nhiệt độ cực đại T
Max
của khí
b) T = T
0
+ αV

Max
=
0 0
2 P P
.
3 R 3α
b) Ta có: PV = RT ⇒ P =
0
RT RT
R V
V V
= + α
Đạo hàm P.
P' = Rα -
0 0
0
2
RT T
P ' 0 khi V V
V
⇒ = = =
α
Vậy áp suất cực tiểu P
Min
=2R
0
.Tα
C. KẾT LUẬN:
17
d304060L'-0+L

18