Lời cảm ơn !
Sau thời gian học tập và rèn luyện, để có kiến thức như ngày hôm nay, tôi
xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và trường ĐHSP Huế
đã tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành
tốt khóa luận tốt nghiệp này.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo
Trần Khánh Hưng, người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt quá
trình thực hiện khóa luận.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy và các em học sinh trường
THPT Nguyễn Đình Chiểu-Phong Điền- Huế đã đóng góp ý kiến giúp đỡ tôi để
khóa luận này được hoàn thành.
1
Mục lụcTrang
Mở
đầu 3
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực
tiễn 5
1. Một số khái niệm cơ bản
5
1.1. Phương pháp suy
luận 5
1.2. Suy luận suy
diễn 5
1.3. Suy luận quy
nạp 5
2. Mối quan hệ cuâ phương pháp quy nạp với phương pháp
suy luận suy diễn trong dạy học
toán 7

1.2.1 Mô
tả 23
1.2.2 Tác
dụng 23
3
1.2.3. Ví dụ minh
họa 23
1.3. Thử nghiệm và nhận
xét 24
1.3.1.Mô
tả 24
1.3.2. Tác
dụng 24
1.3.3.Ví dụ minh
họa 24
2. Tập cho học sinh nêu dự
đoán 25
2.1. Mô
tả 25
2.2. Tác
dụng 25
2.2.1. Các trường hợp cụ
thể 25
2.2.2. Tập dự đoán qua khái quát hóa và đặc biệt
hóa 25
2.3.2. tập dự đoán qua tương
tự 33
2.3.3. tập dự đoán qua xét một mệnh đề
đảo 36
3. Rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh qua giải bài tập

pháp suy diễn đúng là giúp chúng ta bao quát được nhanh một lĩnh vực rộng.
Song phương pháp xây dựng, đi từ cái riêng đến cái chung sẽ dẫn dắt tới những
tư duy độc lập và sáng tạo một cách vững chắc hơn.”
Theo GS. Phạm Văn Hoàn, “Giáo dục học môn toán” (xem [14], tr.22):
“Tuy suy diễn logic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học, nhưng vai
trò của quy nạp cũng không phải là không quan trọng. Vai trò của quy nạp thể
hiện trong khi xây dựng khái niệm mới, chọn lọc các tiên đề trước khi chứng
minh một định lí, có thể nói rằng những lúc các nhà toán học dùng phương pháp
quy nạp là những lúc quan trọng trong sự phát triển toán học”.
Mặc dù vậy trên thực tế dạy học, chúng ta chỉ mới chú trọng đến suy diễn,
suy luận chứng minh, chứng minh mà chưa chú ý đến quy nạp, đến khả năng tư
duy độc lập sáng tạo, phát hiện ra cái mới của học sinh. Điều này sẽ được trình
bày rõ hơn trong phần sau của khoá luận này.
Là một sinh viên sư phạm toán, tôi mong muốn góp một phần nhỏ vào vấn
đề đổi mới phương pháp, nâng cao hiệu quả dạy và học, đáp ứng yêu cầu ngày
càng cao của khoa học kỉ thuật, của đời sống xã hội về con người lao động mới
phục vụ cho công tác xã hội sau này nên tôi chọn đề tài: “Rèn luyện và phát
6
triển năng lực suy luận quy nạp cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ
thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Cố gắng làm rõ phương pháp quy nạp thể hiện trong sách giáo khoa thí
điểm phân ban ở THPT với vai trò của nó trong giảng dạy toán học.
- Đưa ra một số biện pháp để thực hiện mục đích trên.
3. Nội dung
Đề tài khoá luận được thực hiện gồm 3 chương, cụ thể:
- Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
- Chương II: Một số biện pháp thực hiện.
- Chương III: Thực nghiệm sư phạm.
4. Phương pháp nghiên cứu

8
đúng với n= 0 (hoặc n = p). Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp
chứng minh quan trọng trong toán học, cơ sở của nó là nguyên lí quy nạp toán
học. (Phương pháp này được đưa vào chương trình đại số và giải tích 11).
b) Quy nạp hoàn toàn
Quy nạp hoàn toàn là suy luận trong đó kết luận chung, khái quát được rút
ra trên cơ sở nghiên cứu tất cả các đối tượng của lớp đó.
Quy nạp hoàn toàn được đặc trưng bởi sự nghiên cứu toàn bộ các đối
tượng thuộc phạm vi xem xét để rút ra kết luận chung về chúng. Ta có sơ đồ khái
quát như sau:
1
S
là P
2
S
là P

n
S
là P
_________
∀S là P.
tức là khi mỗi đối tượng của lớp S đều có tính chất P thì cả lớp có tính chất P.
Phương pháp này được đưa vào chương trình toán phổ thông ở dạng ẩn tàng.
Ví dụ:
- Chương trình hình học 9, NXBGD 1994, tr.34 trình bày chứng minh định
lí: Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở
tâm cùng chắn một cung.
- Chương trình hình học 10, sách giáo khoa thí điểm ban KHTN, NXBGD
2003, Đoàn Quỳnh tổng chủ biên, tr.42 trình bày chứng minh định lý sin trong

+ + = =
2
1 3 5 7 16 4+ + + = =
2
1 3 5 7 9 25 5
+ + + + = =

Các kết quả này cho phép dự đoán
2
1 3 5 7 (2 1)n n
+ + + + + − =
, tức là tổng của
n số lẻ đầu tiên bằng
2
n
. Đây là một kết luận đúng và chúng ta có thể chứng
minh bằng quy nạp toán học. Bên cạnh đó, phương pháp quy nạp không hoàn
toàn cũng có thể đưa đến kết luận sai. Ví dụ xét các số dạng
2
2 1
n
+
(số Fermat).
Cho n các giá trị 1, 2, 3 ta được các số tương ứng là 3, 17, 137 đều là các số
nguyên tố. Do đó ta có thể nghĩ rằng tất cả các số Fermat đều là các số nguyên
tố. Song kết luận này không đúng. Với n = 4, Euler đã chỉ ra rằng
4
2
2 1
+

chứng minh là như nhau, tuy nhiên tự nó (cũng như tự bản thân toán học) không
11
có khả năng cung cấp các hiểu biết căn bản mới về thế giới xung quanh. Mọi cái
mới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều có liên hệ với suy luận có lí.
c) Suy luận chứng minh có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi lại thành
luật và được giải thích bằng logic (logic hình thức hay logic chứng minh), logic
này là thuyết của các suy luận chứng minh. Những tiêu chuẩn của các suy luận
có lí rất linh động và không một lí thuyết nào về các suy luận như vậy lại rõ ràng
bằng logic chứng minh và có sự nhất quán như logic chứng minh.
2.2. Hai loại suy luận này thống nhất với nhau
Mặc dù khác nhau như vậy nhưng hai loại suy luận này không mâu thuẫn
mà trái lại bổ sung cho nhau. Trong suy luận chặt chẽ điều chủ yếu là phân biệt
chứng minh với dự đoán, chứng minh có căn cứ với dự đoán không có căn cứ.
Trong một suy luận có lí điều chủ yếu là phân biệt dự đoán với dự đoán, dự đoán
hợp lí hơn với dự đoán ít hợp lí hơn. Trong “toán học và những suy luận có lí”
(xem [4] tr.6), Polya nhấn mạnh mối liên hệ chặt chẽ giữa suy luận chứng minh
và suy luận quy nạp như sau: “Toán học được xem là một môn khoa học chứng
minh. Tuy nhiên đó chỉ là một khía cạnh của nó. Toán học, trình bày dưới hình
thức hoàn chỉnh, chỉ bao gồm chứng minh (đó là cách trình bày trong các sách
giáo khoa). Nhưng toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức
khác của nhân loại trong quá trình hình thành. Chúng ta cần phải dự đoán về một
định lí toán học trước khi chứng minh nó, phải dự đoán về đường lối và tư tưởng
chủ đạo của chứng minh trước khi chứng minh, cần phải đối chiếu các kết quả
quan sát được và suy ra những điều tương tự, phải mò mẫm và thử đi thử lại
nhiều lần. Kết quả công tác sáng tạo của nhà toán học là suy luận chứng minh, là
chứng minh, nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự
đoán. Nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học như
thế nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chổ cho dự đoán, cho suy luận có
lí”.
12

Với n = 2:
2 2 2
x y z
+ =
. Ta biết rằng nếu a, b, c là các cạnh của một tam
giác vuông, với cạnh huyền a thì luôn có
2 2 2
b c a
+ =
. Đây chính là nội dung định
lí Pythagore.
Với n = 3:
3 3 3
x y z
+ =
là một trường hợp riêng của (1) được Euler chứng
minh năm 1770.
13
Với n = 4:
4 4 4
x y z
+ =
cũng là một trường hợp riêng của (1) do chính
Fermat chứng minh.
Mãi đến năm 1993 - 1994, Andrew Wiles, nhà toán học người Anh, sau
gần 350 năm mới chứng minh hoàn toàn định lí này.
Lịch sử toán học đã để lại nhiều sự kiện thú vị xoay quanh các giả thuyết
có được bằng suy luận quy nạp không hoàn toàn. Có những giả thuyết đã bị bác
bỏ, có nhiều giả thuyết đã được chứng minh, có những giả thuyết mà vài trăm
năm sau vẫn không được chứng minh hay bác bỏ. Tuy nhiên việc tìm cách chứng

− − ≠
uuur uuur uuur
và cụ thể sẽ bằng bao nhiêu?
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh, tổng hợp và tương
tự như sau:
- Tam giác ABC vuông nên
2 2 2
a b c= +
. Vơí tam giác ABC không vuông
thì
2
a
sẽ bằng
2 2
b c+
thêm bớt một lương nào đó (xem hình vẽ). Vấn đề của ta là
tìm xem lượng đó bằng bao nhiêu?
- Ta sử dụng công cụ vectơ:
+
2 2 2
a b c= +
được viết lại thành
2 2 2
BC AC AB= +
uuur uuur uuur
.
+ Ta luôn có:
BC AC AB= −
uuur uuur uuur
.

minh nó vào vở một cách hoàn chỉnh.
b) Nhờ quy nạp, học sinh thấy được nguồn gốc, xuất xứ của khái niệm,
định lí, con đường hình thành, chứng minh định lí, tại sao phải có khái niệm,
định lí đó, Học sinh thấy được toán học bắt nguồn từ thực tế và quay về phục
vụ thực tế, chẳng hạn trong xây dựng ta cần đo chiều cao của một cái cây mà yêu
15
cầu là không được chặt nó xuống, việc này người ta không thể đo đạc trực tiếp
mà phải mở rộng, nghiên cứu hình học, giải tam giác và sau đó tiến hành đo đạc,
tính toán trên thực tế. Đồng thời thấy được toán học bắt nguồn từ nhu cầu phát
triển của nội bộ toán học, của các ngành khoa học khác, thấy được mối liên hệ
giữa toán học với thực tế và các ngành khoa học như vật lí, hoá học, sinh học, kĩ
thuật, kinh tế, Ví dụ như tri thức về tương quan tỉ lệ thuận biểu thị bởi công
thức
y ax
=
được sử dụng trong:
- Tính diện tích S của một thửa ruộng hình tam giác có một cạnh bằng a
với đường cao tương ứng h:
1
2
S ah
=
.
- Tính quãng đường đi được s trong một chuyển động đều với vận tốc v và
thời gian t:
.s v t
=
.
- Tính phân tử gam M của một chất khí biết số khối d của chất khí đó đối
với không khí:

x x<
)
thì
( )
0af x <
với mọi x 
1 2
( , )x x
ta hướng dẫn học sinh lập mệnh đề đảo:
R
α
∃ ∈

sao cho
( ) 0af
α
<
thì phương trình
2
0ax bx c+ + =
có hai nghiệm phân biệt
1 2 1 2
, ( )x x x x<
và
1 2
x x
α
< <
.
Nói tóm lại phương pháp quy nạp có ý nghĩa quan trọng trong dạy học

biệt là khái quát hóa, trừu tượng hóa, tương tự dẫn đến sáng tạo. Ngoài ra học
sinh còn rèn luyện được các phẩm chất trí tuệ nêu trên, khả năng so sánh, lựa
chọn nhằm phát triển năng lực phê phán.
- Ngoài ra học sinh sẽ có hứng thú học tập, có niềm tin trong sáng tạo và
khám phá.
5. Sơ lược tình hình rèn luyện quy nạp cho học sinh phổ thông
5.1. Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh
Rèn luyện và phát triển năng lực lập luận, chứng minh cho học sinh là một
việc phải làm thường xuyên của giáo viên trung học nhất là THPT.
Vì vậy sách giáo khoa toán ở bậc học này đã trình bày kiến thức theo xu
hướng tiên đề hóa nhằm tạo điều kiện cho giáo viên rèn luyện năng lực quan
trọng này cho học sinh. Ví dụ như việc yêu cầu học sinh biết chứng minh các
tính chất, định lý từ sớm ( ngay từ lớp 7).
Nhưng nếu không chú ý đúng mức đến việc rèn luyện phương pháp quy
nạp cho học sinh lại là một thiếu sót, như ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Toàn có
nêu: “Toán học là một môn học rất thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy lôgic,
nhưng cách dạy của chúng ta lại chỉ chú ý đến rèn luyện khả năng suy diễn, coi
nhẹ khả năng quy nạp”.
Ngành Giáo dục và Đào tạo của nước ta trong mấy năm gần đây đã và
đang đẩy mạnh đổi mới phương pháp dạy học. Sách giáo khoa cũng đang được
18
chỉnh sửa cho phù hợp với xu hướng này. Sách giáo khoa thí điểm phân ban hiện
nay đã thay đổi cách trình bày kiến thức nhằm tạo cơ sở thuận tiện để giáo viên
rèn luyện phương pháp quy nạp cho học sinh và thực hiện đổi mới phương pháp
dạy và học. Cụ thể như sau:
a) Cố gắng giảm bớt tính áp đặt cho học sinh, tổ chức các hoạt động, dẫn
dắt để học sinh phát hiện vấn đề, so sánh, nhận xét, khái quát hóa hay trừu tượng
hóa.
Ví dụ 1: Trong chương trình toán 7, khi dạy định lý “Tổng các góc trong
của một tam giác bằng 180

đối với một mặt cầu, mà đối tượng nghiện cứu của hình học không gian là điểm,
đường thẳng và mặt phẳng. Ta đã có vị trí tương đối của một điểm với một mặt
cầu, giờ cần nghiên cứu vị trí tương đối của hai đối tượng còn lại (đường thẳng
và mặt phẳng) với mặt cầu.
- Từ kết quả trong mặt phẳng về vị trí tương đối của đường thẳng và
đường tròn đã biết, bằng phương pháp tương tự ta xét vị trí tương đối của mặt
phẳng và mặt cầu trong không gian.
- Giới thiệu cho học sinh thấy các mô hình trong thực tế, ví dụ như khi bổ
một quả cam hay xem xét vị trí tương đối của trái bóng với mặt nước của một
chậu nước, cũng có thể giáo viên cho học sinh quan sát hình vẽ các vị trí tương
đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
- Qua đó học sinh có thể rút ra kết luận cuối cùng về các vị trí tương đối
của một mặt phẳng với một mặt cầu.
20
Việc đổi mới này nhằm giúp học sinh không thụ động khi nghe giảng, học
sinh phải động não và hoạt động theo những mức độ khác nhau để có thể trả lời
các câu hỏi, qua đó thực hiện các hoạt động tích cực xây dựng bài học.
b) Sách giáo khoa hiện nay cũng đã cố gắng giảm bớt yêu cầu về tính
logic của vấn đề mà chú trọng đến tính thực tế.
Sách giáo khoa hiện nay đã cố gắng giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu là
giảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lí. Các tính chất và định lí
này nhiều lúc rất hiển nhiên, hoàn toàn có thể thấy được bằng trực giác, nhưng
thực ra chứng minh nó lại không đơn giản và không mang lại lợi ích gì nhiều.
Chẳng hạn tính chất duy nhất của vectơ đối (hình học 10). Chúng ta chú trọng
hơn đến tính thực tế, tính liên hệ thực tiễn. sự cần thiết phải có chúng trong thực
tế.
Ví dụ 1: Trong chương trình toán 8, khi dạy về phương trình:
- Sách giáo khoa cũ đưa ngay định nghĩa bao gồm cả tập xác định của
phương trình.
- Sách giáo khoa mới thì ngược lại, không đưa tập xác định vào ngay mà

thói quen học lệch, học tủ, học để đi thi mà thôi.
Trước đây khi sử dụng sách giáo khoa cũ, giáo viên cũng đã cố gắng tìm
tòi làm cho toán học gần gũi với thực tế, giảm bớt yêu cầu chặt chẽ, cứng nhắc
hơn cho học sinh song cũng chưa nhiều và chưa đầy đủ, phương pháp quy nạp
vẫn chưa được sử dụng hiệu quả và khai thác triệt để.
Tuy nhiên, trong những năm gần đây, khi chúng ra đẩy mạnh phương
pháp dạy và học, chú trọng đến tính tích cực, tự giác, sáng tạo, tính linh hoạt
trong tư duy của học sinh, đặc biệt là có sự tiếp cận, ứng dụng rộng rãi khoa học
kĩ thuật và công nghệ thông tin vào dạy học, phương pháp quy nạp đã được sử
22
dụng nhiều hơn, rộng rãi hơn. Ví dụ như nhờ ứng dụng của các phần mềm toán
học (Maple, Geometer’s Sketchpad, Geospack, ), giáo viên có thể biểu diễn trực
quan cho học sinh thấy được các hình ảnh không gian 2 chiều, 3 chiều, các hình
ảnh động, qua đó học sinh dễ dàng phát hiện, dự đoán các kiến thức “mới” phù
hợp với trình độ theo yêu cầu của nội dung chương trình giảng dạy. Đặc biệt là
sách giáo khoa thí điểm khi đưa vào thực hiện đại trà sẽ là một chổ dựa tin cậy
cho giáo viên tiến hành rèn luyện và phát triển phương pháp quy nạp cho học
sinh.
b) Kết quả cuộc thăm dò ý kiến về việc rèn luyện năng lực quy nạp cho
học sinh trong dạy học toán của giáo viên tại 3 trường: trung học phổ thông
Nguyễn Đình Chiểu - Phong Điền - Huế, trung học phổ thông Hải Lăng - Quảng
Trị và trung học phổ thông Đào Duy Từ - Đồng Hới - Quảng Bình cũng đã thu
thập được nhiều số liệu đáng lưu ý:
*) Tất cả giáo viên được phỏng vấn đều nhất trí cho rằng: việc rèn luyện
năng lực suy luận quy nạp cho học sinh là cần thiết, thậm chí rất cần thiết, không
thể xem nhẹ. Điều này rất có ý nghĩa, vì đó là một tiền đề quan trọng cho việc
rèn luyện năng lực này khi học theo sách giáo khoa thí điểm.
*) Nhưng các giáo viên cũng đã thấy được những khó khăn sẽ gặp phải
khi tiến hành rèn luyện và phát triển năng lực quy nạp cho học sinh như sau:
- Về chủ quan:

cho học sinh, ta cần thực hiện một số biện pháp sau đây:
1. Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy thường gặp
1.1. Phân tích và tổng hợp
1.1.1. Mô tả
Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần hoặc từng
thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó.
Ngược lại, tổng hợp là dùng trí óc để hợp lại các phần của cái toàn thể
hoặc kết hợp lại những hay khía cạnh khác nhau đã được rút ra trong cái toàn
thể.
Đây là hai thao tác trái ngược nhau nhưng lại liên hệ chặt chẽ với nhau
trong một thể thống nhất.
25