Lời cảm ơn !
Sau thời gian học tập và rèn luyện, để có kiến thức như ngày hôm nay, tôi xin
chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và trường ĐHSP Huế đã tận tình
dạy dỗ, truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành tốt khóa luận tốt
nghiệp này.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo Trần
Khánh Hưng, người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy và các em học sinh trường THPT
Nguyễn Đình Chiểu-Phong Điền- Huế đã đóng góp ý kiến giúp đỡ tôi để khóa luận này
được hoàn thành.
1
Mục lục

Trang
Mở đầu......................................................................................................................3
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn...................................................................... 5
1. Một số khái niệm cơ bản .................................................................................... 5
1.1. Phương pháp suy luận........................................................................................ 5
1.2. Suy luận suy diễn ............................................................................................... 5
1.3. Suy luận quy nạp................................................................................................ 5
2. Mối quan hệ cuâ phương pháp quy nạp với phương pháp
suy luận suy diễn trong dạy học toán.................................................................... 7
2.1. Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau........................................................... 8
2.2. Hai loại suy luận này thống nhất với nhau......................................................... 8
3.Vai trò và tác dụng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán............... 10
4. Mục đích của dạy học toán................................................................................ 13
5. Sơ lược tình hình rèn luyện quy nạp cho học sinh phổ thông......................... 14
5.1. Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh.................... 14
5.2. Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh
ở trường phổ thông.................................................................................................... 17

3
mở đầu
1. lí do chọn đề tài
Tại đại hội Đảng CSVN lần thứ IX năm 2001, trong chiến lược phát triển kinh tế
xã hội 2001-2010 có nhắc đến nhiệm vụ của giáo dục là: “ Đổi mới phương pháp dạy và
học, phát huy tư duy sáng tạo và năng lực tự đào tạo của người học, coi trọng thực hành,
thực nghiệm, ngoại khoá, làm chủ kiến thức, tránh học chay, học vẹt.”
Nhà toán học lớn của chúng ta, GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn đã khẳng định:
“Toán học là môn học hết sức thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy logic, nhưng cách
dạy của chúng ta lại chỉ chú ý rèn luyện khả năng suy diễn coi nhẹ khả năng quy nạp”.
(Gs. Nguyễn Cảnh Toàn, thế giới mới số 53, năm 1993).
Trong “Phương pháp dạy học toán ở trường THCS” (xem [5], tr.36) GS. Hoàng
Chúng có trích dẫn theo R.Courant: “Trong việc học tập toán, phương pháp suy diễn
đúng là giúp chúng ta bao quát được nhanh một lĩnh vực rộng. Song phương pháp xây
dựng, đi từ cái riêng đến cái chung sẽ dẫn dắt tới những tư duy độc lập và sáng tạo một
cách vững chắc hơn.”
Theo GS. Phạm Văn Hoàn, “Giáo dục học môn toán” (xem [14], tr.22): “Tuy suy
diễn logic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học, nhưng vai trò của quy nạp
cũng không phải là không quan trọng. Vai trò của quy nạp thể hiện trong khi xây dựng
khái niệm mới, chọn lọc các tiên đề trước khi chứng minh một định lí, có thể nói rằng
những lúc các nhà toán học dùng phương pháp quy nạp là những lúc quan trọng trong sự
phát triển toán học”.
Mặc dù vậy trên thực tế dạy học, chúng ta chỉ mới chú trọng đến suy diễn, suy
luận chứng minh, chứng minh mà chưa chú ý đến quy nạp, đến khả năng tư duy độc lập
sáng tạo, phát hiện ra cái mới của học sinh. Điều này sẽ được trình bày rõ hơn trong
phần sau của khoá luận này.
Là một sinh viên sư phạm toán, tôi mong muốn góp một phần nhỏ vào vấn đề đổi
mới phương pháp, nâng cao hiệu quả dạy và học, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của
khoa học kỉ thuật, của đời sống xã hội về con người lao động mới phục vụ cho công tác
4

,A B A
B
⇒
( tam đoạn luận khẳng định).
1.3. Suy luận quy nạp.
Theo từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr. 494), phương pháp quy nạp là
phương pháp suy luận dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những trường hợp
riêng lẽ, rồi mở rộng các kết quả có tính chất quy luật ra cho trường hợp tổng quát. Sau
đây là các loại suy luận quy nạp.
a) Quy nạp toán học
Quy nạp toán học là một phương pháp suy luận chặt chẽ, thực chất của nó là suy
diễn, nhưng nó chứa yếu tố quy nạp, cụ thể là bước thử trực tiếp mệnh đề đúng với n= 0
(hoặc n = p). Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh quan trọng
trong toán học, cơ sở của nó là nguyên lí quy nạp toán học. (Phương pháp này được đưa
vào chương trình đại số và giải tích 11).
b) Quy nạp hoàn toàn
6
Quy nạp hoàn toàn là suy luận trong đó kết luận chung, khái quát được rút ra trên
cơ sở nghiên cứu tất cả các đối tượng của lớp đó.
Quy nạp hoàn toàn được đặc trưng bởi sự nghiên cứu toàn bộ các đối tượng thuộc
phạm vi xem xét để rút ra kết luận chung về chúng. Ta có sơ đồ khái quát như sau:
1
S
là P
2
S
là P
...
n
S

toán học. Nó chỉ là một phương pháp có hiệu lực để phát hiện chân lí mới, có thể đưa
đến kết luận đúng. Chẳng hạn, để tìm công thức của tổng n số lẽ đầu tiên, ta xét các
trường hợp riêng:
2
1 1 1= =
2
1 3 4 2
+ = =
2
1 3 5 9 3
+ + = =
2
1 3 5 7 16 4+ + + = =
2
1 3 5 7 9 25 5
+ + + + = =
...
Các kết quả này cho phép dự đoán
2
1 3 5 7 ... (2 1)n n
+ + + + + − =
, tức là tổng của n số
lẻ đầu tiên bằng
2
n
. Đây là một kết luận đúng và chúng ta có thể chứng minh bằng quy
nạp toán học. Bên cạnh đó, phương pháp quy nạp không hoàn toàn cũng có thể đưa đến
kết luận sai. Ví dụ xét các số dạng
2
2 1

nhà vật lí, hoá học hay sinh học, các bằng chứng gián tiếp của các luật sư, những dẫn
chứng tài liệu của nhà sử học và kết luận thống kê của nhà kinh tế học,... đều thuộc về
các suy luận có lí.
2.1. Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau
a) Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được và dứt
khoát, còn suy luận có lí là suy luận bấp bênh, phải tranh cãi và có điều kiện.
b) Đối với toán học cũng như các môn khoa học khác, vai trò của suy luận chứng
minh là như nhau, tuy nhiên tự nó (cũng như tự bản thân toán học) không có khả năng
cung cấp các hiểu biết căn bản mới về thế giới xung quanh. Mọi cái mới mà chúng ta
hiểu biết được về thế giới đều có liên hệ với suy luận có lí.
c) Suy luận chứng minh có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi lại thành luật và
được giải thích bằng logic (logic hình thức hay logic chứng minh), logic này là thuyết
của các suy luận chứng minh. Những tiêu chuẩn của các suy luận có lí rất linh động và
không một lí thuyết nào về các suy luận như vậy lại rõ ràng bằng logic chứng minh và có
sự nhất quán như logic chứng minh.
2.2. Hai loại suy luận này thống nhất với nhau
Mặc dù khác nhau như vậy nhưng hai loại suy luận này không mâu thuẫn mà trái
lại bổ sung cho nhau. Trong suy luận chặt chẽ điều chủ yếu là phân biệt chứng minh với
dự đoán, chứng minh có căn cứ với dự đoán không có căn cứ. Trong một suy luận có lí
điều chủ yếu là phân biệt dự đoán với dự đoán, dự đoán hợp lí hơn với dự đoán ít hợp lí
hơn. Trong “toán học và những suy luận có lí” (xem [4] tr.6), Polya nhấn mạnh mối liên
hệ chặt chẽ giữa suy luận chứng minh và suy luận quy nạp như sau: “Toán học được
xem là một môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên đó chỉ là một khía cạnh của nó. Toán
9
học, trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh, chỉ bao gồm chứng minh (đó là cách trình bày
trong các sách giáo khoa). Nhưng toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến
thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành. Chúng ta cần phải dự đoán về một
định lí toán học trước khi chứng minh nó, phải dự đoán về đường lối và tư tưởng chủ
đạo của chứng minh trước khi chứng minh, cần phải đối chiếu các kết quả quan sát được
và suy ra những điều tương tự, phải mò mẫm và thử đi thử lại nhiều lần. Kết quả công

.
10
Ta biết với n = 1: x+y = z có vô số nghiệm nguyên.
Với n = 2:
2 2 2
x y z
+ =
. Ta biết rằng nếu a, b, c là các cạnh của một tam giác
vuông, với cạnh huyền a thì luôn có
2 2 2
b c a
+ =
. Đây chính là nội dung định lí
Pythagore.
Với n = 3:
3 3 3
x y z
+ =
là một trường hợp riêng của (1) được Euler chứng minh
năm 1770.
Với n = 4:
4 4 4
x y z
+ =
cũng là một trường hợp riêng của (1) do chính Fermat
chứng minh.
Mãi đến năm 1993 - 1994, Andrew Wiles, nhà toán học người Anh, sau gần 350
năm mới chứng minh hoàn toàn định lí này.
Lịch sử toán học đã để lại nhiều sự kiện thú vị xoay quanh các giả thuyết có được
bằng suy luận quy nạp không hoàn toàn. Có những giả thuyết đã bị bác bỏ, có nhiều giả

uuur uuur uuur
và cụ thể sẽ bằng bao nhiêu?
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh, tổng hợp và tương tự như
sau:
- Tam giác ABC vuông nên
2 2 2
a b c= +
. Vơí tam giác ABC không vuông thì
2
a
sẽ
bằng
2 2
b c+
thêm bớt một lương nào đó (xem hình vẽ). Vấn đề của ta là tìm xem lượng
đó bằng bao nhiêu?
- Ta sử dụng công cụ vectơ:
+
2 2 2
a b c= +
được viết lại thành
2 2 2
BC AC AB= +
uuur uuur uuur
.
+ Ta luôn có:
BC AC AB= −
uuur uuur uuur
.
Suy ra

b) Nhờ quy nạp, học sinh thấy được nguồn gốc, xuất xứ của khái niệm, định lí,
con đường hình thành, chứng minh định lí, tại sao phải có khái niệm, định lí đó,... Học
sinh thấy được toán học bắt nguồn từ thực tế và quay về phục vụ thực tế, chẳng hạn
trong xây dựng ta cần đo chiều cao của một cái cây mà yêu cầu là không được chặt nó
12
xuống,...việc này người ta không thể đo đạc trực tiếp mà phải mở rộng, nghiên cứu hình
học, giải tam giác và sau đó tiến hành đo đạc, tính toán trên thực tế. Đồng thời thấy được
toán học bắt nguồn từ nhu cầu phát triển của nội bộ toán học, của các ngành khoa học
khác, thấy được mối liên hệ giữa toán học với thực tế và các ngành khoa học như vật lí,
hoá học, sinh học, kĩ thuật, kinh tế,... Ví dụ như tri thức về tương quan tỉ lệ thuận biểu
thị bởi công thức
y ax
=
được sử dụng trong:
- Tính diện tích S của một thửa ruộng hình tam giác có một cạnh bằng a với
đường cao tương ứng h:
1
2
S ah
=
.
- Tính quãng đường đi được s trong một chuyển động đều với vận tốc v và thời
gian t:
.s v t=
.
- Tính phân tử gam M của một chất khí biết số khối d của chất khí đó đối với
không khí:
29M d
=
.

( , )x x
ta hướng dẫn học sinh lập mệnh đề đảo:
R
α
∃ ∈
sao cho
( ) 0af
α
<
thì phương trình
2
0ax bx c+ + =
có hai nghiệm phân biệt
1 2 1 2
, ( )x x x x<
và
1 2
x x
α
< <
.
13
Nói tóm lại phương pháp quy nạp có ý nghĩa quan trọng trong dạy học toán. Bởi
thế mà giáo sư Hoàng Chúng đã nói: “Do ý nghĩa to lớn của suy luận quy nạp, trong dạy
học hình học cần khai thác mọi cơ hội để hướng dẫn học sinh tìm tòi, phát hiện, dự đoán
các tính chất, các quan hệ. Những bài tập về tìm tòi và dự đoán bằng quy nạp có nhiều
tác dụng rèn luyện tư duy và gây hứng thú học tập cho học sinh”.
4. Mục đích của dạy học toán
Trong "Phương pháp dạy học môn toán" (xem [9], tr.45-62), GS.TSKH Nguyễn
Bá Kim đã nêu nhiệm vụ của dạy học toán ở trường trung học phổ thông là:

( ngay từ lớp 7).
Nhưng nếu không chú ý đúng mức đến việc rèn luyện phương pháp quy nạp cho
học sinh lại là một thiếu sót, như ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Toàn có nêu: “Toán học
là một môn học rất thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy lôgic, nhưng cách dạy của
chúng ta lại chỉ chú ý đến rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp”.
Ngành Giáo dục và Đào tạo của nước ta trong mấy năm gần đây đã và đang đẩy
mạnh đổi mới phương pháp dạy học. Sách giáo khoa cũng đang được chỉnh sửa cho phù
hợp với xu hướng này. Sách giáo khoa thí điểm phân ban hiện nay đã thay đổi cách trình
bày kiến thức nhằm tạo cơ sở thuận tiện để giáo viên rèn luyện phương pháp quy nạp
cho học sinh và thực hiện đổi mới phương pháp dạy và học. Cụ thể như sau:
a) Cố gắng giảm bớt tính áp đặt cho học sinh, tổ chức các hoạt động, dẫn dắt để
học sinh phát hiện vấn đề, so sánh, nhận xét, khái quát hóa hay trừu tượng hóa.
Ví dụ 1: Trong chương trình toán 7, khi dạy định lý “Tổng các góc trong của một
tam giác bằng 180
0
”
- Sách giáo khoa cũ đưa ngay định lý và chứng minh.
- Sách giáo khoa mới:
+ Vẽ hai tam giác bất kỳ, và yêu cầu học sinh đo các góc của mỗi tam giác đó,
tính tổng số đo của ba góc mỗi tam giác, rồi nhận xét kết quả.
+ Dùng tấm bìa cắt hình tam giác bất kỳ, cắt rời hai góc rồi đặt nó kề với góc còn
lại. Giáo viên yêu cầu học sinh dự đoán kết quả.
15
+ Tạo một đường thẳng song song với đáy tam giác tại đỉnh và so sánh góc mới
tạo thành với tổng các góc trong của tam giác đó.
Ví dụ 2: Khi trình bày định nghĩa hàm số ( Đại số 10)
- Sách giáo khoa hiện hành (Chỉnh lý hợp nhất 2000) đưa trực tiếp định nghĩa.
- Sách giáo khoa mới (thí điểm): Đưa các ví dụ cụ thể từ hai đại lượng tỷ lệ
thuận: Quảng đường s đi được trong thời gian t, hay hai đại lượng tỷ lệ nghịch: thời gian
hoàn thành một khối lượng công việc với năng suất thực hiện công việc đó, bảng nhiệt

Sách giáo khoa hiện nay đã cố gắng giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu là giảm nhẹ
các chứng minh của các tính chất hoặc định lí. Các tính chất và định lí này nhiều lúc rất
hiển nhiên, hoàn toàn có thể thấy được bằng trực giác, nhưng thực ra chứng minh nó lại
không đơn giản và không mang lại lợi ích gì nhiều. Chẳng hạn tính chất duy nhất của
vectơ đối (hình học 10). Chúng ta chú trọng hơn đến tính thực tế, tính liên hệ thực tiễn.
sự cần thiết phải có chúng trong thực tế.
Ví dụ 1: Trong chương trình toán 8, khi dạy về phương trình:
- Sách giáo khoa cũ đưa ngay định nghĩa bao gồm cả tập xác định của phương
trình.
- Sách giáo khoa mới thì ngược lại, không đưa tập xác định vào ngay mà đợi đến
khi có vấn đề do không có tập xác định nên dẫn đến sai sót mới đưa vào, điều đó vừa có
tác dụng nhấn mạnh cho học sinh, làm cho học sinh nhớ lâu, vừa có tác dụng giải thích lí
do, học sinh thấy được sự cần thiết của việc tìm tập xác định của phương trình.
Ví dụ 2: Dạy một tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn [a,b] (Đại số và giải
tích 11).
- Sách giáo khoa hiện hành (chỉnh lí hợp nhất 2000), tr.134-136 nêu ngay định lí:
f(x) liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 suy ra
( , ) : ( ) 0c a b f c∃ ∈ =
.
- Sách giáo khoa thí điểm do Trần Văn Hạo tổng chủ biên, tr. 190-191 sau khi nêu
định lí 2 (định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục) có nêu ý nghĩa hình học của
17
định lý, nhắc lại một hình ảnh thưc tế để nêu lên hệ quả khi đường thẳng y = m lại là y =
0 (trục hoành).
Tóm lại, sách giáo khoa thí điểm :
- Đã chú ý nhiều khi xây dựng kiến thức toán qua con đường quy nạp - thể hiện
một yêu cầu cần phải đạt dược trong khi dạy học toán, đồng thời cũng là một gợi ý để
khuyến khích chúng ta tìm nhiều cách dạy thích hợp khác nhằm thực hiện được yêu cầu
này.
- Cách xây dựng như vậy ở lớp 10 rõ nét hơn, nhiều hơn so với lớp 11. Đây cũng

Điều này rất có ý nghĩa, vì đó là một tiền đề quan trọng cho việc rèn luyện năng lực này
khi học theo sách giáo khoa thí điểm.
*) Nhưng các giáo viên cũng đã thấy được những khó khăn sẽ gặp phải khi tiến
hành rèn luyện và phát triển năng lực quy nạp cho học sinh như sau:
- Về chủ quan:
+ Giáo viên phải dành nhiều thời gian và công sức cho việc chuẩn bị bài, soạn
giáo án.
+ Phải thay đổi thói quen giảng dạy hiện nay.
- Về khách quan:
+ Khối lượng kiến thức và số lượng bài tập cần cung cấp, giảng giải cho học sinh
khá lớn mà thơì gian dành để thực hiện còn ít, chưa hợp lý.
+ Học sinh cần phải thay đổi cách học cũ lâu nay.
Tuy nhiên, khá nhiều giáo viên đều nhất trí là phải nâng cao năng lực chuyên
môn, phải phấn đấu thi đua đổi mới phương pháp dạy học. Đồng thời họ cũng mong cấp
trên sẽ điều chỉnh sao cho phù hợp giữa số lượng kiến thức, yêu cầu đạt được và thời
gian thực hiện (kể cả thời gian chữa bài tập cho học sinh).
*) Đại đa số giáo viên đều nhận thấy tác dụng to lớn nếu rèn luyện được cho học
sinh năng lực quy nạp, đặc biệt là: học sinh hiểu bài dễ dàng hơn, hiểu sâu và nhớ lâu
những điều do tự mình thu nhận, tự mình chủ động tìm tòi, phát hiện ra.
*) Hầu hết giáo viên cũng cho rằng khi sử dụng phương pháp quy nạp trong giờ
học nên tập trung vào những kiến thức trừu tượng, khó hình dung, những tiên đề định lí
không chứng minh.
19
*) Rất nhiều giáo viên cũng cho rằng cần lưu ý rèn luyện cho học sinh các thao
tác tư duy, đặc biệt là tập cho họ khái quát, dự đoán và nêu giả thuyết.
Chương 2
Một số biện pháp thực hiện

Phương pháp quy nạp được tiến hành theo con đường từ thực tiễn , từ các ví dụ
minh họa, các kiến thức cũ, các vấn đề đặt ra, các trường hợp đặc biệt,... cùng với hệ

, 1
1
2 , 1
x
khi x
x
khi x

−
≠

−


=


Tính
( )
1
lim
x
f x
→
và f(1)?
21
2) Cho hàm số f(x) =
2
1 , 0
2 1 , 0

và f(0) ?
3) Cho hàm số f(x) =
2
1 , 1
1 , 1
x khi x
x khi x

+ ≤

− >

Tính
1
( )
lim
x
f x
+
→
,
1
( )
lim
x
f x
−
→
?
Học sinh tính toán và đưa ra kết quả cụ thể dưới sự hướng dẫn của giáo viên.

lim
x x
f x
+
→
,
0
( )
lim
x x
f x
−
→
và
0 0
( ) ( )
lim lim
x x x x
f x f x
+ −
→ →
=
).
- Hàm số f(x) có
( )
0
f x
tức là hàm số này xác định tại
0
x

=
.
+
0
( )
lim
x x
f x b
−
→
=
.
+ a = b =
( )
0
f x
.
Tổng hợp lại ta có: một hàm số f(x) muốn liên tục tại điểm
0
x
thì phải thỏa mãn
cả 4 điều kiện trên. Như vậy hàm số ở 2) cũng là một hàm số liên tục nhưng hàm số ở 3)
không phải là hàm số liên tục.
Từ đó ta có thể yêu cầu học sinh rút ra hai dấu hiệu nhận biết một hàm số liên tục
tại điểm
0
x
. Giáo viên có thể sử dụng luôn hai bài tập 1) và 2) làm hai ví dụ minh họa.
Ví dụ 2: Khi dạy định lí, phải tập cho học sinh biết phân tích giả thiết và kết luận,
phân tích để thấy các bước, các ý trong khi chứng minh, để thấy và phân biệt được sự

và
( )
a
γ
⊥

( ) ( ) ( )
b
β γ β
⊥ ⇔ ∃ ⊂
và
( )
b
γ
⊥
.
- Tìm mối liên hệ giữa các yếu tố của giả thiết vừa phân tích được với yêu cầu
của kết luận. Phân tích thành các trường hợp sau:
*)
a ≡ ∆
hoặc
b ≡ ∆
suy ra định lí đã được chứng minh.
*)
a ≠ ∆
và
b ≠ ∆

⇒
a// b

(3).
23
- Làm cho giả thiết và kết luận gần nhau: Đưa 2 từ vế phải sang vế trái ở giả thiết
và tách ra để gần gũi với (3).
(1)
( ) ( )
1 1 0a b⇔ − + − ≥
(4).
- Tiếp tục phân tích vế trái của giả thiết: Tổng của hai số mà không âm thì chỉ có
3 khả năng xảy ra:
+
1 0 1
1 0 1
a a
b b
− ≥ ≥
 
⇔
 
− ≥ ≥
 
. Lúc này (3) đương nhiên đúng. Bất đẳng thức đã chứng
minh xong.
+
1 0
1 0
1 1
a
b
a b

b
a b

− ≥

− ≤


− ≥ −

1
1
1 1
a
b
a b
≥


⇔ ≤


− ≥ −

. Từ điều kiện
1b ≤
ta phân tích được thành các
trường hợp:
b = 0 hay b = 1 và
1a ≥



≥

nên
3
1 1
b b
a a
 
< ⇒ <
 
 
a-1 > 1- b nên
1
1
1
a
b
−
>
−
.
Cách chứng minh trên đây tuy hơi dài dòng hơn đáp án đã có nhưng rõ ràng là ta
đã rèn luyện được cho học sinh các thao tác trên một cách có hiệu quả.
1.2. So sánh
1.2.1. Mô tả
24
So sánh là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật, hiện tượng.
Muốn vậy ta phải phân tích các dấu hiệu thuộc tính của chúng, đối chiếu chúng với nhau

−
và
3
2
π
chỉ là một điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
• So sánh các sự vật, hiện tượng theo nhiều khía cạnh khác nhau. Có khi chúng
khác nhau ở khía cạnh này nhưng lại giống nhau ở khía cạnh khác.
Ví dụ 2: + Hai hàm số
x
y
a
=
và
log
y x
a
=
là khác nhau, nhưng khi 0 < a < 1 thì
chúng cùng nghịch biến còn khi a > 1 thì chúng cùng đồng biến.
+ Hai tổng sau đây có dạng khác nhau nhưng lại có cùng một phương
pháp giải:
1
1 1 1 1 1
2 2.3 3.4 4.5 5.6
S = + + + +
và
2
3 3 3 3 3
4 4.7 7.10 10.13 13.16