®¹i häc th¸I nguyªn
Tr-êng ®¹i häc khoa häc
®inh tõ s¬n
Mét sè ph-¬ng ph¸p lỈp
gi¶i bµi to¸n biªn hçn hỵp
ln v¨n th¹c sÜ khoa häc m¸y tÝnh Th¸i nguyªn, n¨m 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />

®¹i häc th¸I nguyªn
Tr-êng ®¹i häc khoa häc


C 
3
1.1.2 Khơng gian
()
P
L 
3
1.1.3 Khơng gian
1,
W ( )
p

4
1.1.4 Khái niệm vết của hàm 5
1.1.5 Khơng gian Sobolev với chỉ số âm
 
1
H


và
 
1/2
H


7
1.1.6 Nghiệm yếu của phương trình 8
1.2 Lý thuyết về sơ đồ lặp 9
1.3 Phương pháp sai phân 11

L
Tốn tử Elliptic

n

Khơng gian Euclid
n
chiều


Miền giới nội trong khơng gian
n

Biên trơn Lipschitz

 
k
C 
Khơng gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục

 
2
L 
Khơng gian các hàm đo được bình phương khả tích

 
1,p
 
1/2
H


Khơng gian đối ngẫu với
 
1/2
H .
V
Chuẩn xác định trên khơng gian
V 
.
V
Tích vơ hướng xác định trên khơng gian
V 
C



Nội dung chính của luận văn đặt vấn đề nghiên cứu mơ hình tốn học của bài
tốn hỗn hợp, trên cơ sở các kết quả về phương pháp phân rã, phương pháp xấp xỉ
biên và phương phương pháp chia miền xây dựng một số phương pháp lặp để tìm
nghiệm xấp xỉ của bài tốn, khảo sát sự hội tụ và tính tốn tử nghiệm trên máy tính
điện tử để kiểm tra sự hội tụ của các sơ đồ lặp. Cấu trúc của luận văn gồm ba
chương:
Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các khơng gian hàm, các khái
niệm cơ bản về nghiệm yếu của phương trình Elliptic, lý thuyết về sơ đồ lặp,
phương pháp sai phân, thuật tốn thu gọn khối lượng tính tốn giải hệ phương trình
vectơ 3 điểm. Đây là những kiến thức quan trọng làm cơ sở nghiên cứu về mơ hình
bài tốn được mơ tả ở các chương tiếp theo của luận văn.
Chương 2: Đưa ra các kết quả đã biết về phương pháp chia miền dưới dạng
tuần tự và song song để giải các bài tốn biên hỗn hợp mạnh, phương pháp xấp xỉ
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 2

biên giải bài tốn song điều hòa. Đây là cơ sở lý thuyết chính để đề xuất các sơ đồ
lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bài tốn biên hỗn hợp trình bày trong chương 3.
Chương 3: Mơ tả mơ hình tốn học của các bài tốn biên hỗn hợp giữa phương
trình cấp hai và phương trình cấp bốn. Trên cơ sở các phương pháp đã trình bày
trong chương 2, luận văn xây dưng một số phương pháp lặp xác định nghiệm xấp xỉ
của bài tốn hỗn hợp, tiến hành tính tốn kiểm tra sự hội tụ của các sơ đồ lặp từ đó
đưa ra kết luận về tính hữu hiệu của các phương pháp. Các kết quả số trong luận
văn được thực hiện trong mơi trường MATLAB.
Mặc dù đã cố gắng song nội dung bản luận văn khơng thể tránh được những
sai sót. Em rất mong nhận được sự chỉ bảo của các Thầy Cơ giáo, đóng góp ý kiến
bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hồn thiện.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn TS. Vũ Vinh
Quang đã tận tình hướng dẫn em trong suốt q trình làm luận văn.
Em cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cơ giáo, bạn bè, đồng nghiệp và gia
đình đã ln giúp đỡ, động viên em trong suốt q trình học tập và nghiên cứu.

và có

là bao
đóng của

. Ta kí hiệu
 
 
, 1,2, 3
k
Ck
là tập các hàm có đạo hàm đến cấp k kể
cả k trong

, liên tục trong

. Ta đưa vào
 
k
C 
chuẩn
 
 
max
k
C
k
u D u x








.
Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong

của các hàm và tất cả các
đạo hàm của chúng đến cấp
k
kể cả
k
. Rõ ràng tập
 
k
C 
với chuẩn (1.1) là một
khơng gian Banach.
1.1.2 Khơng gian
()
P
L 

Giả sử


là một miền trong
n


P
L 
là các lớp tương đương các hàm đo được thỏa mãn (1.2) và hai
hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên

. Vì
 
( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )
p
p p p
p
f x g x f x g x f x g x



    





nên rõ ràng
()
P
L 
là một khơng gian vectơ.
Ta đưa vào
()
P
L 

()
P
vL
thì
()
P
uv L
và

'
( ) ( )
pp
u x v x dx u u



(1.4)
trong đó
' / ( 1)p p p
tức là
1/ 1/ ' 1pp
,
'p
được gọi là số mũ liên hợp
với
p
.
Định lí 1.2 (Bất đẳng thức Minkowski). Nếu
1 p  
thì

và với mỗi
0
x 
đều tồn tại một
lân cận

của
0
x
để
()ux
khả tích trong

.
Định nghĩa 1.2 Cho

là miền trong của
n

. Giả sử
( ), ( )u x v x
là hai hàm khả tích
địa phương trong

sao cho ta có hệ thức
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 5

 
1
1

()ux
.
Kí hiệu
1
1
()

n
k
kk
n
u
vx
xx



.
Định nghĩa 1.3 Giả sử
p
là một số thực,
1 p  
,

là miền trong của
n

.
Khơng gian Sobolev
1,

, nghĩa là
1 2 2
( ) ( ), ( ), 1,2, ,
i
u
H u u L L i n
x




      





.
Bổ đề 1.1
i) Khơng gian
1,
W ( )
p

là khơng gian Banach với chuẩn
   
 
1,
1
pp

i
ii
L
uv
u v u v u v H
xx









    








.
1.1.4 Khái niệm vết của hàm
Định nghĩa 1.4. Khơng gian Sobolev
1,
W ( )
p


là liên tục Lipschitz. Khi đó
tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục
12
: ( ) ( )HL   

sao cho với bất kì
10
( ) ( )u H C   
ta có
()uu


. Hàm
()u
được gọi là vết
của
u

trên

.
Định nghĩa 1.5 Giả sử biên

là liên tục Lipschitz. Khơng gian
1/2
()H 
được
gọi là miền giá trị của ánh xạ vết


.
ii) Tồn tại một hằng số
()C


sao cho:
1
1/2
1
()
( ) ( ) ( ) , ( )
HH
u C u u H



     
.
Khi đó,
()C

là một hằng số vết.
Bổ đề 1.2. Giả sử biên

là biên liên tục Lipschitz . Khơng gian
1/2
()H 

và tồn tại hằng số
1
()C 
chỉ phụ thuộc miền

sao cho
1 1/2
1/2
1
( ) ( )
( ) , ( )
HH
u C g g H
 
    
.
Bổ đề 1.3 Giả sử biên

là biên liên tục Lipschitz, khi đó
 
11
0
( ) ( ), ( ) 0H u u H u    
.
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 7

Định lí 1.6 (Bất đẳng thức Poincare)
Tồn tại hằng số
C


1
H 
được xác định bởi
     
1 2 2
2 2 2
H L L
u u u
  

.
Định lí 1.7 (Bất đẳng thức Poincare mở rộng)
Giả sử biên

liên tục Lipschitz,
12
    
trong đó
1

,
2

là các tập
đóng, rời nhau,
1

có độ đo dương. Khi đó tồn tại hằng số
 
C 

Định nghĩa 1.6 Kí hiệu
 
1
H



là khơng gian Banach được định nghĩa bởi
   
 
11
0
'HH

  
,
tức là khơng gian đối ngẫu của
 
1
0
H 
. Chuẩn của phần tử
 
1
FH


được xác
định như sau
 

   
11
0
,
,
HH
F u Fudx





.
Định nghĩa 1.7 Giả sử biên

liên tục Lipschitz. Kí hiệu
 
1/2
H


là khơng gian
Banach được định nghĩa bởi
   
 
1/2 1/2
0
'HH

  

H
H
H
Fu
F
u


 




, (1.7)
trong đó
   
1/2
1/2
,
,
HH
F u FudS

 



.

1.1.6 Nghiệm yếu của phương trình

Áp dụng cơng thức Green vào (1.9) và kết hợp với điều kiện
0


ta có
ii
u
dx f dx
xx







,
(1.10)
hay
u dx f dx

  
Như vậy nếu
u
là nghiệm cổ điển của phương trình (1.8) thì có (1.10). Nhưng
nếu
 

Chứng minh
Giả sử
u
là nghiệm yếu của phương trình (1.8), tức là
 
1
uH
và ta có
(1.10) với mọi hàm
 
D 
, kết hợp với điều kiện
 
2
uC
ta suy ra
 
( ) 0,u f dx u D

     

.
Vì
 
D 
trù mật trong
 
2
,L u f  
trực giao với mọi

với tích vơ hướng
 
,
và chuẩn
 
,y y y
.
Giả sử A là tốn tử đối xứng, xác định dương,
fH
là vectơ tùy ý. Trong mỗi
phương pháp lặp, xuất phát từ

0
y

bất kỳ thuộc H, người ta đưa ra cách xác định
nghiệm xấp xỉ
12
, , , ,
k
y y y
của phương trình (1.11). Các xấp xỉ như vậy được biết
như là các giá trị lặp với chỉ số lặp
1,2, k 
Bản chất của những phương pháp này
là giá trị
1k
y

có thể được tính thơng qua các giá trị lặp trước:

u
của phương trình
Au f

với bất
kỳ tốn tử
k
B
và cách chọn tham số
1k


.
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 10

+ Nếu
k
BE
thì lược đồ lặp (1.12) được gọi là lược đồ lặp hiển
1
1
, 0,1,2,
kk
k
k
yy
Ay f k




B Ay f k



  
(1.14)
Định lý 1.8 Nếu A là tốn tử đối xứng, xác định dương thì
1
2
BA
hay
   
1
, A , ,
2
Bx x x x x H  
(1.15)
là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.14) trong khơng gian
A
H
với tốc độ
hội tụ cấp số nhân
1
, 0,1,2 , 1
kk
AA
z z k

  


     















là phần đối xứng của tốn tử B.
Nhận xét
Với
k
BB
cố định, định lý đã đưa ra quy tắc lựa chọn giá trị

để lược đồ
lặp hội tụ. Trong trường hợp
BE
, điều kiện hội tụ sẽ được đảm bảo nếu tất cả
các giá trị riêng thỏa mãn
 
11

1.3 Phương pháp sai phân
1.3.1 Phương pháp lưới
Lưới sai phân
Xét bài tốn

,,
,.
u f x
u g x


   



  


(1.17)
trong đó
 
2
( , ) , ,x y R a x b c y d      
, chọn 2 số ngun
>1N
và
>1M
,
đặt
= ( )/h b a N

một lưới sai phân trên

.
Hàm lưới: Mỗi hàm số xác định tại các nút của lưới gọi là một hàm lưới, giá trị của
hàm lưới
( , )u x y
tại nút lưới
( , )ij
viết tắt là
,ij
u
. Mỗi hàm
( , )u x y
xác định tại mọi
( , )xy 
tạo ra hàm lưới
u
xác định bởi
,ij
u
.
1.3.2 Bài tốn sai phân
Kí hiệu
=   
, Xét bài tốn
Lu f
, giả sử bài tốn có nghiệm
4
()uC
và

1
( , ) = ( , )
i j i j
u x y u x h y



2 2 3 3
4
23
= ( , ) ( )
2! 3!
ij
u h u h u
u x y h O h
x
xx
  
   



hay
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 12

2
11
2
22
( , ) 2 ( , ) ( , )

2 2 3 3
4
1
23
( , ) ( , ) = ( , ) ( )
2! 3!
i j i j i j
u k u k u
u x y u x y k u x y k O k
y
yy

  
     


.
Do đó:
2
11
2
22
( , ) 2 ( , ) ( , )
= ( )
i j i j i j
u x y u x y u x y
u
Ok
ky


   
  

Khi đó chứng tỏ:
22
= ( )
kh
u u O h k   
.
Số hạng
 
22
O h k
là một vơ cùng bé bậc hai. Ta nói tốn tử
kh

xấp xỉ tốn
tử

, điều đó cho phép

thay phương trình vi phân bằng phương trình sai phân:
= , = ( , ), ( , )
hk ij ij i j i j hk
u f f f x y x y  

tức là:
1, , 1 , 1 , , 1
22
22

Bài tốn biên thứ nhất
Xét bài tốn biên thứ nhất đối với phương trình véc tơ ba điểm
11j j j j
Y CY Y F

   
,
1 1,jN  

00
,YF

NN
YF
(1.20)
Trong đó
j
Y
là các véctơ cần tìm,
C
là ma trận vng,
j
F
là véctơ cho trước.
Giả sử
2
n
N 
,
0n 

j j j j
j j j j
Y C Y Y F
Y C Y Y F
Y C Y Y F
  

  
   
   
   

Nhân 2 vế của phương trình thứ hai với
 
0
C
vào bên trái rồi cộng cả 3 phương
trình lại ta được
0 (1)
2 2 2 0 0
, 2,4, 2, , .
j j j j N N
Y C Y Y F j N Y F Y F
  
       
(1.22)
trong đó:
 
2
(1) (0) (1) (0) (0) (0) 0

j j j j
C Y F Y Y j N

    
. (1.23)
Như vậy hệ (1.21) tương đương với hệ gồm (1.22) và (1.23)
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 14

Bước khử thứ hai: Ở bước khử này ta sẽ tiến hành khử các
j
Y
của hệ (1.22) với
j
là
bội của 2 nhưng khơng là bội của 4. Muốn vậy ta viết 3 phương trình liên tiếp của
(1.22)
 
(1) (1)
4 2 2
(1) (1)
22
(1) (1)
2 4 2
, 4, 8, , 4 ,
j j j j
j j j j
j j j j
Y C Y Y F
Y C Y Y F j N
Y C Y Y F

      

Hệ (1.24) chỉ chứa
1
4
N

véctơ ẩn
j
Y
, trong đó
j
là bội của 4 sẽ tìm được từ
phương trình hai nhưng khơng là bội của 4 sẽ tìm được từ phương trình:
(1) (1)
22
, 2,6,10, , 2.
j j j j
C Y F Y F j N

    

Cứ tiếp tục q trình khử này. Kết quả là sau bước khử thứ
l
ta nhận được một
hệ gồm
1
l
N
c

k
k k k k
jj
j
C Y F Y j N k l l

   

     
(1.26)
trong đó các ma trận
()k
C
và các véc tơ vế phải
()k
j
F
được tính theo các cơng thức
truy tốn:
11
( ) ( 1) 2 ( ) ( 1) ( 1) ( 1)
22
( ) 2 , ,
2 ,2.2 , , 2 , , 1, ,1
kk
k k k k k k
jj
jj
kk
C C E F F C F F

n n n
j j j N
jj
NN
C Y F Y Y F Y Y
Y F Y F

  

     

(1.28)
Với vế phải đã biết. Vì vậy từ (1.28) ta có thể tìm được
/2N
Y
, và tất cả các ẩn còn lại
được tìm liên tiếp từ các phương trình
11
( 1) ( 1)
22
00
1 1 1 1
,
;,
2 ,3.2 ,5.2 , , 2 ,
, 1, ,1
kk
kk
jj
jj

CC
là ma trận ba đường chéo. Điều này dẫn đến
tăng khối lượng tính tốn khi tính các
()k
j
F
theo (1.29). Để khắc phục những khó
khăn trên, thay cho
()k
j
F
ta sẽ tính các véctơ
()k
j
p
và
()k
j
q
liên hệ theo cơng thức sau:
( ) ( ) ( ) ( )
, 2 ,2.2 ,3.2 , , 2 , 0,1,2, , 1
k k k k k k k k
j j j
F C p q j N k n     
(1.30)
trong đó ta chọn
(0)
j
p


      


  

Ta sẽ chọn
()k
j
p
và
()k
j
q
thỏa mãn
( ) ( ) ( 1) ( 1)
2( 1) 2( 1)
2,
k k k k
j j j k j k
q p q q

   
  

Khi đó, kết hợp với cơng thức
( ) ( 1) 2
2 [ ]
kk
C E c

11
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
22
kk
k k k k k
jj
jj
C S q p p

    

  
.
Như vậy ta thu được thuật tốn sau đây để xác định các véctơ
()k
j
p
và
()k
j
q

Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 16

11
11
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( 1)
22
( ) ( ) ( 1) ( 1)
22

kk
j j j
t Y p


ta sẽ thấy rằng
j
Y
có thể tính được từ các cơng thức sau
11
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
22
00
;,
;,
2 ,2.2 ,3.2 , , 2 , , 1, ,1
kk
k k k k k
j j j j j
jj
NN
k k k k
C t q Y Y Y p t
Y F Y F
j N k n n

    

    


k
k
l l k
CC




trong đó
,1
(2 1)
2cos
2
lk
k
l
C C E





Như vậy, chẳng hạn ta có phương trình
 
1k
Cv


(1.33)
thì với việc giải lần lượt các phương trình

(1) (0)
jj
Cp q
và tính
(1) (1) (0) (0)
( 1) ( 1)
2 , 2,4,6, , 2
j j j j
q p q q j N

    

Bước 3: Với
2,3, , 1kn
xác định các véctơ
11
(0) ( 1) ( 1) ( 1)
22
, 2 ,3.2 , , 2 .
kk
k k k k k k
jj
jj
v q p p j N

  

    

Sau đó, với mỗi

k k k k k k k k k k
j j j j j
jj
p p v q p q q j N


  

      

 Q trình ngược
Bước 1: Cho các giá trị ban đầu
00
,
NN
Y F Y F

Bước 2: Với
, 1, ,2n n n
tính
11
(0) ( 1) 1 1 1
22
, 2 ,3.2 , , 2
kk
k k k k
jj
jj
v q Y Y j N


( 1) (2 )
, 2 ,2.2 ,3.2 , , 2
k
k k k k k
j j j
Y p v j N


   

Bước 3: Với
1k 
, giải phương trình
(0)
11
, 1,3,5, , 1
j j j j
CY q Y Y j N

    

Bài tốn biên thứ hai
Xét bài tốn thứ hai
00
11
1
, 0,
,1 1,
2.
j j j j

, 2 ,3.2 , , 2 , , 1, ,1.
kk
k k k k k
jj
jj
C Y F Y Y j N k n n

    

      

Trong đó
 
k
j
F
và
()k
C
được xác định bởi cơng thức truy tốn sau
11
1
()
00
( ) 1 ( 1) 1
1
12
( ) 1 ( 1) ( 1)
2
( ) ( 1) 2

  




Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 18

Kí hiệu:
( ) ( ) ( ) ( )
, 2 ,2.2 , , 2 , , 1,2, ,
k k k k k k k
j j j
F C p q j N N k n    
.
Bằng các phép biến đổi đơn giản và cách chọn
()k
j
p
và
()k
j
q
thích hợp, ta nhậnđược
q trình sau để xác định các véctơ
()k
j
p
và
()k
j

j N k n


    




  
    

   

Tương tự, với
jN
, ta có:
( 1)
( 1)
( 1) 1 ( 1) ( 1)
2
( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1)
2
(0) (0)
2,
; 2 2 ,
; 0,
k
k
k k k k
NN

t

là nghiệm của phương trình.
( 1)
( 1) ( 1)
( 1)
( 1)
22
k
j
kk
kt
k
j
jj
C q Y Y





  

Dưới đây là thuật tốn giải bài tốn biên thứ hai:
 Q trình xi:
Bước 1: Xác định các giá trị ban đầu
(0) (0)
0; , 1,2, ,
j j j
p q F j N  

( ) ( 1)
,1
ll
l k j j
C v v




Khi đó
( 1) ( 1)
( ) ( 1) (2 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1)
22
, 2 , 2 ,2.2 , , 2
kk
k k k k k k k k k k
j j j j j
jj
p p v q p q q j N

   

      
.
Bước 3: Với
1,2, , 1kn
xác định các véctơ
( 1)
(0) ( 1) ( 1)
2

Khi đó
1
1
( ) ( 1) (2 ) ( ) ( ) ( 1)
2
, 2 2
k
k
k k k k k
N N N N N
N
P p v q p q




   
.
 Q trình ngược:
Bước 1: Xác định
N
Y
. Xác định véc tơ
   
0
0
2
n
NN
v q Y

1 1 1
22
, 2 ,3.2 , , 2
kk
k
k k k
jj
jj
v q Y Y j N


  

    

Sau đó, với
1
1,2, ,2
k
l


và với mỗi
1 1 1
2 ,3.2 , , 2
k k k
jN
  

giải phương trình

. Xuất phát từ thuật
tốn thu gọn khối lượng tính tốn trên, ta có thể xây dựng thư viện mẫu gồm các
hàm để xác định nghiệm số đối với các bài tốn biên elliptic cấp hai với các loại
điều kiện biên khác nhau (Xem [3, 4]).
Số hóa bởi trung tâm học liệu /> 20 Chương 2
Một số kiến thức về phương pháp lặp giải bài tốn cấp
hai và cấp bốn
Trong chương này, luận văn sẽ trình bày một số kết quả nghiên cứu về các
phương pháp lặp giải bài tốn cấp hai và cấp bốn, các kết quả được tham khảo trong
các tài liệu [8, 9, 10, 11].
2.1 Phương pháp chia miền
2.1.1 Cơ sở của phương pháp
Cho
2

là miền với biên Lipschitz

, xét bài tốn
   
   
,,
,.
u x f x x
lu x g x x


   

,,
, \ .
n
n
u f x
u
x
v
ux




   






  





   




1


2




2


1


Số hóa bởi trung tâm học liệu />