GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : [email protected] Đt : 0914449230
1
CHƯƠNG I :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS
@@@@@@@
VẤN ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ
Định lý : Đạo hàm của hàm số
y
f(x)
=
tại điểm x
0
là hệ số góc của tiếp tuyến
với đồ thị tại điểm M :
oo
(x ; y f(x=
o
))
o
kf '(x)
=

yêu cầu bài toán Phương trình tiếp tuyến
Tiếp tuyến tại
oo
M(x; y) (C)∈
ooo
y
f '(x ).(x x )
y
=

M(x; y) (C)
∈
là tiếp điểm
_Giải pt :
f
'( )
od o o
xk xy
=
⇒⇒

_Áp Dụng (1)
Tiếp tuyến vuông góc
với đường thẳng (d) trước :

d
ykxb=+
_Gọi
oo
M(x; y) (C)
∈
là tiếp điểm
_Giải pt :
1
'( )
oo
d
o
f
xx

11
22
ykxc
ykxc
=+
⎧
⎨
=+
⎩
12
.1kk
⇔
=−
,
song song
1
kk
2
⇔
=
Với là hệ số góc
12
,kk
VD1: Cho hàm số y = x
3
– 3x + 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
tại M(2;3)
Lời giải: Ta có :
2
y

(
)
2
00 0
y' 9 3x 3 9 x 2x
⇔
=⇔ −=⇔ =±

+ Với x
0
= 2 y
0
= 3 phương trình tiếp tuyến: y – 3 = 9(x – 2) = 9x–15
⇒ ⇒
+ Với x
0
= –2 y
0
= –1 Phương trình tiếp tuyến : y +1= 9(x–2)= 9x +17
⇒ ⇒
VD 3 : Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
– 9x + 5 (C) .
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Giải : gọi M(x
0
; y
0

3
+ mx
2
+ 1 (C
m
)
Tìm m để (C
m
) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao
cho các tiếp tiếp với (C
m
) tại B và C vuông góc nhau.
Giải : Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm) : x
3
+ mx
2
+ 1 = – x + 1
x.(x
2
+ mx + 1) = 0 (*) Đặt g(x) = x
2
+ mx + 1 .
⇔
(d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt
⇔
g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0

()
⎢
⎣

1
CB
CB
xxP
mxxS
Tiếp tuyến tại B và C vuông góc
(
)
(
)
1
−
=
′
′
⇔
BC
xfxf(
)
(
)
.3 2 .3 2 1
BC B C
xx x m x m⇔++=−()

3
2
.
GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : [email protected] Đt : 0914449230
3
Giải
Với M(1 ; m – 2) .
21
00
−=⇒= myx
Tiếp tuyến tại M là d:
2))(63(
00
2
0
−+−−= mxxxxy⇒ d: y = -3x + m + 2.
- d cắt trục Ox tại A:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⇒
+

⎣
⎡
−=
=
⇔
⎢
⎣
⎡
−=+
=+
⇔
5
1
32
32
m
m
m
m

VD 6 : Gọi (Cm) hàm số: , với m là tham số thực. Tìm m để
3
yx 3mx=− +2
tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ bằng 1 vuông góc với đường thẳng
x9
y
10−+=
.
Giải : Đường thẳng có hệ số góc là 1/9
x9y10−+=

o
M(C)
∈
có hoành độ
2
o
x
=

b) (C) : với
3
1yx x=++
(2;9) ( )
o
M
C
−
−∈

c) (C) : với
42
2yx x=− +5 )
o
M(C
∈
có tung độ
8
o
y
=

2y =
GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : [email protected] Đt : 0914449230
4
g) (C) :
3
2,
y
xx=−
với
o
M(C)
∈
là giao điểm của (C) và Oy
h) (C) : với
42
25yx x=−+3
)
o
M(C
∈
là giao điểm của (C) và Ox
k) (C) :
3x 4
y
2x 3
+
=
−
tại điểm M(1; -7) (TN – THPT – 2007)

c) Biết tiếp tuyến của ( C ) đi qua điểm
(2;0)

A
Bài 4 : Viết pttt với (C) trong các trường hợp sau :
a)
2
x2x1
y
x1
+−
=
−
,
x
2
,
biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác thứ nhất
của hệ trục Oxy. (ĐH Nông Nghiệp – 98)
(ĐS : và )
x1y =− + x9y =− +
b) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
3
x3y =− + 9x 1y =− +
c) biết tiếp tuyến đó vuông góc với đt
3
x3xy =−
1
y
3

3
yxx
, biết tiếp tuyến đó qua
(0; 1)K
−

2
31
,
2
xx
y
x
−+
=
−
biết tiếp tuyến song song với đt
23
y
x
=
+
f)
Bài 5 : cho (C) :
2
4xx
y
,
x1
=

2
GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : [email protected] Đt : 0914449230
5
a) Lập pttt với (C) tại điểm có hòanh độ
3
o
x
=
−

b) Lập pttt với (C) biết tt vuông góc với đườ ẳng th ng
1
19
9
yx=− +

c) Lập pttt tại điểm uốn của (C) . Hệ số góc là lớn nhấ ất hay nhỏ nh t
Bài 7 (TN- THPT – 2013) : Cho hàm số
3
31
=
−−yx x

()C

Viết phương trình tiếp tuyến của
()C
, biế ut hệ số góc của tiếp t yến đó bằng 9.
2.

b) Song song với đt
8x 9 0−y 1+=
c)Vuông góc với đt
25 0

x 24y 2+−=
Bài 10 : cho (C) :
y=
và
32
44x x x+ ++
A(C)
∈
với .
ết tiếp tuyến qua A
1
A
x =−
Viết pttt với (C) bi
3
Bài 11 (Khối B – 2004) : cho (C) :
2
23
3
x
y
xx
=
−+
có đồ thị là ( C ). Viết pttt

y
−
=
Viết pttt với ( C ) biết :
1x +
iao điểm ại K có hoành độ bằng -2 a) Tại M là g của ( C ) và Oy b) T
c) Tiếp tuyến song song với đt
42yx
=
+
d) Vuông góc với đt
43xy 0
+
−=

Bài 15: Cho hàm số:
3
3yxx=− +
2
−4
(C)
GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : [email protected] Đt : 0914449230
6
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là
1
2
x =
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến

, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết
tiếp tuyến cắt trục hoành tại A và trục tung tại B sao cho sao cho OA = 4OB.
Bài 19 (Khối A – 2009): Cho hàm số
2
2
x
y
x 3
+
=
+
(1)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục
hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại
gốc tọa độ O.
Bài 20 (Khối D – 2010): Cho hàm số :
42
6.yxx
=
−−+
Viết phương trình tiếp
tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
1
6
yx=−

VD 7 : Cho hàm số
3
12

.
Ta có
44
(2) 2;
3
yM
−−
⎛
=⇒
⎜
⎝
3
⎞
⎟
⎠
. Tiếp tuyến
Δ
với
(
)
C tại
M
có phương trình :
() ()
44
'(2). 2 3 2
14
333
yy x y x y x=−−⇔=−−⇔−3=− +


⇔
⇔=−
⎨
≠
⎩
. Vậy
1m =−
Bài 21 :
()
m
m1x m
(C ): y
xm
−+
=
−
. Định m để tiếp tuyến với (C
m
) tại điểm có hoành
độ x
0
= 4 song song với đường phân giác thứ 2 của hệ trục tọa độ. ( m = 2)
Bài 22 : Cho hàm số (C) :
x4
y
x1
−
=
−
, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết

=

Bài 24 : Cho hàm số (C) :
2x 2
y
x1
+
=
−
, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết
tiếp tuyến :
a/ Song song với đường thẳng
y
4x 2
=
−+
(ĐS :
y
4x 14
=
−+
)
b/ Tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cân (ĐS :
yx1,yx7
=
−− =−+
)
Bài 25 : Cho hàm số (C) :
2x
y

, Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B thỏa mãn
OB 9.OA
=

(Đs :
y
9x 7=+
,
y
9x 25
=
−
)
Bài 27 : Cho hàm số (C
m
) :
(
)
32
y
x2x m1x2m=− + − +

GV. Nguyễn Vũ Minh KHẢO SÁT HÀM SỐ
Email : [email protected] Đt : 0914449230
8
a/ Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị (C
m
) tại điểm có hoành độ x = 1 song song với
đường thẳng

1
x
x
−
) có phương trình :
0
0
2
(1)
yx
00
1
()
x
x
xx
=− − +
−−1
2
0
22
00
1
0
(1) (1)
x
xy
xx
⇔+−
−−

0
2
0
00
0
11
.01.(1) 0
2
(1) 1
x
uIM x
x
xx
=
⎡
=⇔− −+ =⇔
⎢
=
−−
⎣
ruuur

+ Với x
0
= 0 ta có M(0,0) + Với x
0
= 2 ta có M(2, 2)
Bài 28 (TN – THPT – 2008) :
4
(C):

4

c. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (
Δ
): 9x
−
2y +1=0
ĐS:
232 2
,
99 9
yxyx=− + =− +
8
9

Bài 30 : Lập phương trình tiếp tuyến cả đồ thị (C):
23
1
x
y
x
+
=
+
tại những điểm
thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (d): 3x + 4y
−
2 = 0 bằng 2
ĐS: y = x + 3, y = 9x
− −

y
=
−+

Bài 32 : Cho hàm số . Tìm m để tiếp tuyến
của đồ thị hàm số
tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điểm A(2; 1).
32
y x (m 1)x (3m 1)x m 2=−− + + +−
−

ĐS: m = 2.
−
Bài 33 : Gọi (C) là đồ thị của hàm số
x1
y f(x)
x3
−
==
+

Gọi M là một điểm thuộc (C) có
khoảng cách đến trục hoành độ bằng 5. Viết
phương trình tiếp tuyến của (C ) tại M. ĐS: y = 4x + 21
Bài 34 : Cho hàm số
42
xx
y f(x) 2
42
==++

đi qua điểm A(2;9)
ĐS: y = 8x + 25
−
Bài 36 : Gọi (C) là đồ thị của hàm số
3
2
x
yf(x) x 2x
3
1
=
=−++

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
tại giao điểm của (C) với trục tung
Đs: y = 2x+1
b) Viết pttt của (C) vuông góc với đường thẳng
x
y
5
2
=
−+

ĐS:
8
y5x
3
=+


OBAB
ABOBOA
9
.82
22
222
=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+
⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến được tính bởi
1
9
OB
k
OA
=
±=±
.
Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến và (C)
);(
00
yxM
)(d
⇒ hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: = k hay:
)(

⎡
=
=⇒ =
⎢
⎢
−
⎢
⇔−=⇔
⎢
⎢
−
⎢
=− =− ⇒ =
⎢
⎢
−⎣
⎣
VN

Với
1
9
k =−
và tiếp điểm
7
4;
3
⎛⎞
⎟
⎠

9

VD 9 : Cho hàm số
1
12
+
+
=
x
x
y
( C ); Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ
I( 1; 2)−
tới tiếp tuyến của M là lớn nhất.
HD : Gọi
)(
1
1
2;
0
0
C
x
xM ∈
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

2
00
=+−−+−− xyxxx
khoảng cách từ I đến tiếp tuyến là

()
2
0
2
0
4
0
0
4
0
00
)1(
)1(
1
2
)1(1
12
11
)1()1(
++
+
=
++
+
=

0
2
0
2
0
2
0
−=⇔=+⇔+=
+
xxx
x
.hoặc x = 0
suy ra
(
3;2−M
)
hoặc
)1;0(MBài 37 :
(C) :
23
1
x
y
x
+
=
−

)
00
;
M
xy
, thì d :
()
()
00 0
2
0
11
1
⎛⎞
=−
⎜⎟
0
;1
1
yxxyy
x
x
=−+
+
+
⎝⎠

- Nếu d cắt tiệm cận đứng : x = -1 tại điểm B :
()
0

⎡
−−=−
+
−
+=−
+
−
⇔
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+
−
=+⇔=⇔
221
1
1
221
1
1
1
1
1
)22(

220()
2
2:
20
3
x y pttt y x
xx VN
xyptttyx
xx
=→ =⇒ =
⎡
⎡
++=
⎢
⇔⇒
⎢
⎢
=− → = ⇒ = +
+=
⎢
⎣
⎢
⎣
83

VD 11 : Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
32
yx3x=− + −1
biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng
1


=− ⇒ =
⎡
⇔− + + = ⇔
⎢
=⇒=−
⎣
00
2
00
00
13
3690
31
xy
xx
xy
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến của (C) thoả điều kiện là:
=− −
⎡
⎢
=− +
⎣
96
92
yx
yx6

CÁC EM HỌC SINH CÓ THỂ TẢI THÊM TẢI LIỆU
TOÁN HỌC 12 Ở WEB SITE