September 11, 2010
[CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS]
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
Cho hàm số
( )
xfy
=
,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
.
− Tính đạo hàm và giá trị
( )
0
'f x
.
− Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
'y f x x x y= − +
.
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
có hệ số góc
( )
0
'k f x=

.
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
( ) ( )
;
A A
A x y C∉
.
− Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó
( ) ( )
:
A A
d y k x x y= − +
− Điều kiện tiếp xúc của
( ) ( )
à d v C
là hệ phương trình sau phải có nghiệm:
( ) ( )
( )
'
A A
f x k x x y
f x k

= − +


=


Tổng quát: Cho hai đường cong

1
: 24 2009d x y− +
.
iv. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
2
: 24 2009d x y+ +
.
2. Cho hàm số
2
3
1
x x
y
x
− − +
=
+
có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
i. Tại giao điểm của (C) với trục tung.
ii. Tại giao điểm của (C) với trụng hoành.
iii. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;−1).
iv. Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = −13.
3. Cho hàm số
2
1
1
x x
y

+ mx
2
+ 1 = – x + 1
⇔
x(x
2
+ mx + 1) = 0 (*)
Đặt g(x) = x
2
+ mx + 1 . d cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt
⇔
g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
( )
2
4 0
2
2
0 1 0
g m
m
m
g

∆ = − >
>


⇔ ⇔

1
C B
f x f x
′ ′
= −
( )
( )
3 2 3 2 1
B C B C
x x x m x m⇔ + + = −

( )
2
9 6 4 1
B C B C B C
x x x x m x x m
 
⇔ + + + = −
 

( )
2
1 9 6 4 1m m m
 
⇔ + − + = −
 

2
2 10m⇔ =
5m⇔ = ±

+
= − + ≠
( )
( )
( )
2
0 0
1 1 0 *k x y kx x⇔ − − − + =
d tiếp xúc với (C):
( )
( )
2
0 0
1
4 1 0
k
y kx k
≠


⇔

∆ = − − − =


( )
( )
2 2 2
0 0 0 0
0 0

2
0
2
0 0
0
4
1
0
x
y
x
y x

≠


−

⇔ = −



− ≠


0
2 2
0 0
0 0
0

1
4
ĐS:
1
; 2
2
M
 
− −
 ÷
 
và
( )
1;1M
.

2
September 11, 2010
[CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS]
7. Cho hàm số
2
1
2
x x
y
x
+ −
=
+
. (ĐH Khối−B 2006)

( )
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
10. Cho hàm số
( )
( )
4 3 2
1
m
y x x m x x m C= + + − − −
. Định m để
( )
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
11. Cho đồ thị hàm số
( )
2
4
:
1
x
C y
x
−
=
+
. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được một tiếp
tuyến đến (C).

b. Tiếp tuyến qua M(−1;−9) có dạng y = k(x + 1) – 9.
Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng :
4x
3
– 6x
2
+ 1 = (12x
2
– 12x)(x + 1) – 9.
⇔ 4x
3
– 6x
2
+ 10 = (12x
2
– 12x)(x + 1) ⇔ 2x
3
– 3x
2
+ 5 = 6(x
2
– x)(x + 1).
⇔ x = –1 hay 2x
2
– 5x + 5 = 6x
2
– 6x ⇔ x = –1 hay 4x
2
– x – 5 = 0.
⇔ x = –1 hay x =

CĐ
CT
f(x)=4x^3-6x^2+1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-6
-4
-2
2
x
y
32
461
yxx
=−+
September 11, 2010
[CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS]
Cho hàm sô
( )
xfy
=
,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
− Nghiệm của phương trình
( )
' 0f x =
là hoành độ của điểm cực trị.
− Nếu
( )
( )
0
0


thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x x=
.
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
− Để hàm số
( )
y f x=
có 2 cực trị
'
0
0
y
a ≠


⇔

∆ >


.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y⇔ <

0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
+ <

⇔

<

.
− Để hàm số
( )
y f x=
có cực trị tiếp xúc với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y⇔ =
.
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Dạng 2: Hàm số
2
ax bx c
y

1
2 1
3
y x mx m x= − + + −
. Định m để:
a.Hàm số luôn có cực trị.
b.Có cực trị trong khoảng
( )
0;+∞
.
c.Có hai cực trị trong khoảng
( )
0;+∞
.
3. Định m để hàm số
( )
3 2 2 2
3 1 2 4y x mx m x b ac= − + − + −
đạt cực đại tại x = 2.
4. Cho hàm số y = x
3
−3x
2
+3mx+3m+4.
a.Khảo sát hàm số khi m = 0.
b.Định m để hàm số không có cực trị.
c.Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.
5. Cho hàm số
3 2
3 9 3 5y x mx x m= − + + −

−
. Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục
tung.
9. Cho hàm số
( )
( )
3 2
1
2 1 2
3
m
y x mx m x m C= − + − − +
. Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương.
10. Cho hàm số
( )
2 2
2 1 4
2
x m x m m
y
x
+ + + +
=
+
(1). (ĐH Khối−A năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=−1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ
O tạo thành tam giác vuông tại O.
ĐS:
4 2 6m = − ±

x
y
b. ĐS :
3
0 3
m
m
< −


< <

13. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số
( )
2
1 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
(*) (m là tham số)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (C
m
) luôn có hai điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa