September 11, 2010
[CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS]
Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC
Cho hàm số
( )
xfy
=
,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
.
− Tính đạo hàm và giá trị
( )
0
'f x
.
− Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
'y f x x x y= − +
.
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
có hệ số góc
( )
0
'k f x=

.
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
( ) ( )
;
A A
A x y C∉
.
− Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó
( ) ( )
:
A A
d y k x x y= − +
− Điều kiện tiếp xúc của
( ) ( )
à d v C
là hệ phương trình sau phải có nghiệm:
( ) ( )
( )
'
A A
f x k x x y
f x k

= − +


=


Tổng quát: Cho hai đường cong

1
: 24 2009d x y− +
.
iv. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng:
2
: 24 2009d x y+ +
.
2. Cho hàm số
2
3
1
x x
y
x
− − +
=
+
có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
i. Tại giao điểm của (C) với trục tung.
ii. Tại giao điểm của (C) với trụng hoành.
iii. Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;−1).
iv. Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = −13.
3. Cho hàm số
2
1
1
x x
y

+ mx
2
+ 1 = – x + 1
⇔
x(x
2
+ mx + 1) = 0 (*)
Đặt g(x) = x
2
+ mx + 1 . d cắt (C
m
) tại ba điểm phân biệt
⇔
g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0.
( )
2
4 0
2
2
0 1 0
g m
m
m
g

∆ = − >
>


⇔ ⇔

1
C B
f x f x
′ ′
= −
( )
( )
3 2 3 2 1
B C B C
x x x m x m⇔ + + = −

( )
2
9 6 4 1
B C B C B C
x x x x m x x m
 
⇔ + + + = −
 
( )
2
1 9 6 4 1m m m
 
⇔ + − + = −
 

2
2 10m⇔ =
5m⇔ = ±
(nhận so với điều kiện)

= − + ≠
( )
( )
( )
2
0 0
1 1 0 *k x y kx x⇔ − − − + =
d tiếp xúc với (C):
( )
( )
2
0 0
1
4 1 0
k
y kx k
≠


⇔

∆ = − − − =


( )
( )
2 2 2
0 0 0 0
0 0
1

2
0 0
0
4
1
0
x
y
x
y x

≠


−

⇔ = −



− ≠


0
2 2
0 0
0 0
0
4
x

ĐS:
1
; 2
2
M
 
− −
 ÷
 
và
( )
1;1M
.

2
September 11, 2010
[CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS]
7. Cho hàm số
2
1
2
x x
y
x
+ −
=
+
. (ĐH Khối−B 2006)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên.

C
tiếp xúc với trục hoành.
10. Cho hàm số
( )
( )
4 3 2
1
m
y x x m x x m C= + + − − −
. Định m để
( )
m
C
tiếp xúc với trục hoành.
11. Cho đồ thị hàm số
( )
2
4
:
1
x
C y
x
−
=
+
. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được một tiếp
tuyến đến (C).
12. Cho đồ thị hàm số
( )

4x
3
– 6x
2
+ 1 = (12x
2
– 12x)(x + 1) – 9.
⇔ 4x
3
– 6x
2
+ 10 = (12x
2
– 12x)(x + 1) ⇔ 2x
3
– 3x
2
+ 5 = 6(x
2
– x)(x + 1).
⇔ x = –1 hay 2x
2
– 5x + 5 = 6x
2
– 6x ⇔ x = –1 hay 4x
2
– x – 5 = 0.
⇔ x = –1 hay x =
5
4

f(x)=4x^3-6x^2+1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-6
-4
-2
2
x
y
32
461
yxx
=−+
September 11, 2010
[CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS]
Cho hàm sô
( )
xfy
=
,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
− Nghiệm của phương trình
( )
' 0f x =
là hoành độ của điểm cực trị.
− Nếu
( )
( )
0
0
' 0
'' 0

0
x x=
.
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
− Để hàm số
( )
y f x=
có 2 cực trị
'
0
0
y
a ≠


⇔

∆ >


.
− Để hàm số
( )
y f x=
có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y⇔ <
.
− Để hàm số

CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
+ <

⇔

<

.
− Để hàm số
( )
y f x=
có cực trị tiếp xúc với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y⇔ =
.
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số
3 2
y ax bx cx d= + + +
Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Dạng 2: Hàm số
2
ax bx c
y
dx e
+ +

3
y x mx m x= − + + −
. Định m để:
a.Hàm số luôn có cực trị.
b.Có cực trị trong khoảng
( )
0;+∞
.
c.Có hai cực trị trong khoảng
( )
0;+∞
.
3. Định m để hàm số
( )
3 2 2 2
3 1 2 4y x mx m x b ac= − + − + −
đạt cực đại tại x = 2.
4. Cho hàm số y = x
3
−3x
2
+3mx+3m+4.
a.Khảo sát hàm số khi m = 0.
b.Định m để hàm số không có cực trị.
c.Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.
5. Cho hàm số
3 2
3 9 3 5y x mx x m= − + + −
. Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.

tung.
9. Cho hàm số
( )
( )
3 2
1
2 1 2
3
m
y x mx m x m C= − + − − +
. Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương.
10. Cho hàm số
( )
2 2
2 1 4
2
x m x m m
y
x
+ + + +
=
+
(1). (ĐH Khối−A năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=−1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ
O tạo thành tam giác vuông tại O.
ĐS:
4 2 6m = − ±
.
11. Cho hàm số

b. ĐS :
3
0 3
m
m
< −


< <

13. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số
( )
2
1 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
(*) (m là tham số)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (C
m
) luôn có hai điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa
hai điểm đó bằng
20