MỘT PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Nguyễn Đức Tuấn
Ở đây tôi xin trình bày một phương pháp mà theo tôi nó cũng là một trong những phương
pháp mới, sáng tạo và là một công cụ hữu hiệu để giải đa số những phương trình chứa căn thức
mà chúng ta thường bắt gặp trong những đề thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi.
Trong bài viết này chúng ta sẽ đề cập đến một hằng đẳng thức cơ bản nhưng có nhiều ứng
dụng trong giải toán sau: (a −b)(a +b) = a
2
−b
2
.
Bài 1.
Giải phương trình: (x +3)

2x
2
+1 =x
2
+x +3 (1)
Lời giải:
Điều kiện x ≥−3.
Nhận thấy x =−3 không là nghiệm của phương trình, viết lại phương trình dạng:

2x
2
+1 =
x
2
+x +3
x +3
⇔

+1 +1

=
x
2
x +3


2x
2
+1 +1

⇔2x
2
=
x
2
x +3
(

2x
2
+1 +1)
Nhận thấy x =0 là một nghiệm của phương trình (1),
xét x =0, chia cả hai vế của phương trình cho x
2
ta được:
2(x +3) =

2x

Phương trình (2) tương đương với:

x
2
+3 −2x =
3x
2
+2x +3
3x +1
−2x ⇔

x
2
+3 −2x =
−3x
2
+3
3x +1
(2

)
Vì x >−
1
3
⇒

x
2
+3 +2x >0 Nhân


+3 +2x
Giải phương trình này ta được x =1.
Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất x =1.
Bài 3.
Giải phương trình:

x +3 =
1
2
x −
7
2x
+5 (3)
Lời giải:
Điều kiện x ≥−3và x =0.
editor latex ChauNgocHung 1
Phương trình (3) tương đương với:

x +3 −2 =
1
2
(x −1)

1 +
7
x

(3

)

x +3 +2

⇔−14 =(x +7)

x +3 >0 (vì x ≥−3)
Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x =1.
Bài 4.
Giải phương trình: (x +3)

x
2
+x +2 =x
2
+3x +4 (4)
Lời giải:
Điều kiện x ≥−3.
Nhận thấy x =−3 không phải là nghiệm của phương trình (4), viết lại phương trình dạng:

x
2
+x +2 =
x
2
+3x +4
x +3
⇔

x
2
+x +2 −2 =


+Nếu x
2
+x −2 =0 ⇔ x =1 hoặc x =−2.
+Nếu x
2
+x −2 =0, chia cả hai vế của phương trình cho x
2
+x −2 ta được:
x +3 =

x
2
+x +2 +2
Giải phương trình này ta được x =1.
Vậy phương trình có hai nghiệm x =1 và x =−2.
Sau đây là một số bài toán dành cho bạn đọc:
Giải các phương trình sau:
)
1

x
2
−x +1
+

x +x
2
= x +
1

x
2
+1
4
.
)

x
2
+x +1 =
5x
2
+x −1
x +1
.
Tiếp theo, tôi xin giới thiệu với các bạn ứng dụng của phương pháp này để giải một số bài
toán phương trình có phần "nhỉnh" hơn một chút Ở đây vẫn trình bày dưới dạng các ví dụ
minh họa cho từng dạng
Bài 5. (Phương trình chứa căn ở mẫu)
Giải phương trình:
1

x −1
+
2
x
2
+
1
2x


) ⇔

1

x −1
−1

1

x −1
+1

1

x −1
+1
+
2
x
2
+
1
2x
−
3
4
=0
⇔
1


1
x
+
3
4

x
=0
Nhận thấy x =2 là một nghiệm của phương trình,
xét x =2, chia cả hai vế của phương trình cho (2−x) ta được:
⇔
1
(x −1)

1

x −1
+1

+
1
x
+
3
4
x
=0
Dễ thấy V T >0∀x >1.
Vậy phương trình (5) có nghiệm duy nhất x =2.

1
x +1
−1 (6

)
Vì
3

(x +8)
2
+2
3

x +8 +4 >0,

x
2
+1 +1 >0. Ta có:
(6

) ⇔

3

x +8 −2

3

(x +8)
2


x

1 +x.

x

=
−x
x +1
⇔
x
3

(x +8)
2
+2
3

x +8 +4
+
x
2

x
2
+1 +1
+

x(1+x.


x
x +1
=0.
Dễ thấy V T >0∀x >0.
Vậy phương trình (6) có nghiệm duy nhất x =0.
Bài 7. (Phương trình không có nghiệm hữu tỉ )
Giải phương trình:

x
2
+x +1
x +4
+
x
2
2
=
1

x
2
+1
+2 (7)
Lời giải:
Điều kiện x ≥−4
editor latex ChauNgocHung 3
(7) ⇔

x

x
2
−3
2
=
3 −x
2
1

x
2
+1
+
1
2
Nhận thấy x =

3 và x =−

3 là các nghiệm của phương trình.
Xét x
2
−3 =0. Chia cả hai vế của phương trình cho (x
2
−3) ta được:
⇔
1

x
2

2
−3x +1 =
x
2
−1
2x −3
(8)
Lời giải:
Điều kiện: 2x
2
−3x +1 ≥0,
x
2
−1
2x −3
≥, 2x −3 =0
(8) ⇒

2x
2
−3x +1 −x =
−x
2
+3x −1
2x −3
⇒
x
2
−3x +1


=
−1
2x −3
⇒3 −3x =

2x
2
−3x +1 ⇒7x
2
−15x +8 =0 ⇔(x −1)(7x −8) =0 ⇔ x =1 và x =
8
7
(loại!).
Vậy phương trình (8) có ba nghiệm x =
3 +

5
2
, x =
3 −

5
2
và x =1.
Chú ý: Mấu chốt của bài toán này là nhận ra x
2
−3x +1 là nhân tử chung
Sau đây là một số bài toán dành cho bạn đọc:
Giải các phương trình sau:
)

x +9
x
2
+x +2
+
2

x
2
−3
=
x
2
+1
4
.
)

x
2
+x +1 =
5x
2
+x −1
x +1
.
Qua những ví dụ và bài tập nêu trên, chắc có lẻ các bạn cũng đã nhận thấy được phần nào
về sự hiểu quả của công cụ này trong việc giải các bài toán phương trình chứa căn thức.
Không dừng lại ở đó, hôm nay mình xin trình bày những vấn đề tiếp Theo xung quanh
phương pháp này. Tin rằng đây sẽ là một phương pháp thực sự hiểu quả để hỗ trợ các bạn

−2x −1
x +1
Vì

x
2
−2x +3 +2 >0. Suy ra:
(9

) ⇔
(

x
2
−2x +3 −2)(

x
2
−2x +3 +2)

x
2
−2x +3 +2
=
x
2
−2x −1
x +1
⇔
x

Mấu chốt của lời giải trên là nhận ra lượng liên hợp (

x
2
−2x +3+2) để tìm ra nhân tử chung
là (x
2
−2x −1). Vậy làm cách nào để nhận ra được điều này.
Sau đây, mình xin trình bày một phương pháp để tìm ra lượng nhân tử chung trên.
Xét phương trình:

x
2
−2x +3 =
x
2
+1
x +1
(9

)
⇔

x
2
−2x +3 −m =
x
2
+1
x +1

=
x
2
−mx −m +1
x +1
⇔
x
2
−2x +3 −m
2

x
2
−2x +3 +m
=
x
2
−mx −m +1
x +1
Bây giờ ta chỉ cần xác định m sao cho:
x
2
−2x +3 −m
2
=0 ⇔x
2
−mx −m +1 =0. Suy ra: −2 =−m và 3 −m
2
=−m +1 ⇒m =2
Từ đó ta suy ra lời giải toán của bài toán như đã trình bày.

2
+2)
5(x +1)
=

x
2
−x +1
x +1
(10

)
Bằng phương pháp đã nêu trên ta tìm được m =2. Vậy:
(10

) ⇔
2(x
2
+2)
5(x +1)
−2 =

x
2
−x +1
x +1
−2
Vì

x

−x +1
x +1
+2
⇔
2x
2
−10x −6
5(x +1)
=
x
2
−5x −3
(x +1)


x
2
−x +1
x +1
+2

editor latex ChauNgocHung 5
Nếu x
2
−5x −3 =0 ⇔x =
5 +

37
2
và x =

−3x
2
−8x +40 −8
4

4x +4 =0 (11)
Lời giải:
Điều kiện: x ≥−1
(11) ⇔
x
3
−3x
2
−8x +40
8
=
4

4x +4 (11

) ⇔
x
3
−3x
2
−8x +24
8
=
4



4

4x +4 +2


4x +4 +4

Nếu x −3 =0 ⇔ x =3.
Nếu x −3 =0. Suy ra:
x
2
−8
32
=
1

4

4x +4 +2


4x +4 +4

(11

)
Suy ra: x
2
−8 >0 hay x >2

2(x
2
+8) =5

(x +2)(x
2
−2x +4)
Vì x =−2 không là nghiệm của phương trình (12) ta viết phương trình dưới dạng:

2(x
2
+8) =5

(x +2)
2
x +2
.(x −2x +4)
⇔
x
2
+8
5(x +2)
=

x
2
−2x +4
2x +4
(12




x
2
−2x +4
2x +4
−2


x
2
−2x +4
2x +4
+2


x
2
−2x +4
2x +4
+2
⇔
x
2
−10x −12
5(x +2)
=
x
2
−10x −12

37 và x =5 −

37.
Sau đây là một số bài tập dành cho bạn đọc
Giải các phương trình sau:
)

x
2
+5 +5 =3x +

x
2
+15 ( Đề đề nghị Olympic 30-4)
) x
2
+(3 −

x
2
+2)x =1 +2

x
2
+2 ( Đề đề nghị Olympic 30-4)
) 2(x
2
−3x +2) =3

x