Vấn đề 4. ĐẠO HÀM
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Đònh nghóa đạo hàm tại một điểm
1) Đònh nghóa.
Cho hàm số
( )
y f x=
xác đònh trên khoảng
( )
;a b
và
( )
0
;x a b∈
.
Nếu tồn tại :
( ) ( )
0
0
0
lim
x x
f x f x
x x
→
−
−
thì đạo hàm của hàm số
( )
y f x=
tại điểm

∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆
, trong đó :

( ) ( )
0 0 0
,x x x y f x x f x∆ = − ∆ = + ∆ −
2) Cách tính đạo hàm tại một điểm
Bước 1. Giả sử
x∆
là số gia của
0
x
, tính
( ) ( )
0 0
y f x x f x∆ = + ∆ −
.
Bước 2. Lập tỉ số
y
x
∆
∆
.
Bước 3. Tính
0
lim

'
2
' '
, 0
u u v uv
v x
v v
−
 
= ≠
 ÷
 
III. Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
•
( )
1
' .x x
α α
α
−
=

( )
1
' . 'u u u
α α
α
−
=


u
u
u
=
•
( )
'
sin cosx x=
( )
'
sin '.cosu u u=
•
( )
'
cos sinx x= −
( )
'
cos '.sinu u u= −
•
( )
'
2
2
1
1
cos
tgx tg x
x
= = +
( )

sin
u
gu u cotg u
u
= − = − +
28
•
( )
'
x x
e e=
( )
'
'.
u u
e u e=
•
( )
'
.ln
x x
a a a=
( )
'
. '.ln
u u
a a u a=
•
( )
'

u a
=
IV. Đạo hàm cấp cao
Cho hàm số
( )
y f x=
có đạo hàm cấp
1n −
, kí hiệu là
( )
( )
1n
f x
−
. Nếu
( )
( )
1n
f x
−
có
đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của
( )
f x
, kí hiệu là
( )
n
y
hay
( )

( )
2
5 2 2cos 1 4 3 cos 0x x⇔ + − − =
2
4 cos 4 3 cos 3 0x x⇔ − + =
( )
2
2cos 3 0x⇔ − =
3
cos cos
2 6
x
π
⇔ = =

2 ,
6
x k k
π
π
⇔ = ± + ∈¢
.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số :
6 6 2 2
sin cos 3sin cos 2001y x x x x x= + + +
có đạo hàm
'y
không phụ thuộc vào x.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Thái Nguyên, 2001)
Giải

3 5
f x x x x= + +
.
Tính đạo hàm
( )
'f x
và giải phương trình
( )
' 0f x =
.
(Trích ĐTTS vào Học viện Quan hệ Quốc tế, 2000)
Giải
•
( )
' cos cos 3 2cos5f x x x x= + +
•
( )
' 0 cos cos3 2cos 5 0f x x x x= ⇔ + + =
( ) ( )
cos cos5 cos 3 cos5 0x x x x⇔ + + + =
2cos3 cos 2 2cos 4 cos 0x x x x
⇔ + =
( )
3
4 cos 3cos cos 2 cos 4 cos 0x x x x x⇔ − + =
( )
2
cos 4 cos 3 cos 2 cos 4 0x x x x
 
⇔ − + =

x
x
α
β


=

+

⇔ = =


−

= =



( )
2
2
2
x k
x k k
x k
π
π
α
π

0, 1x x> ≠
, ta có:
( )
log 2
x
f x x=
ln 2
.
ln
x
x
=

ln 2.
ln
x
x
=
( )
2
ln 1
' ln 2.
ln
x
f x
x
−
 
⇒ =
 ÷

và
1x ≠
.
Ví dụ 5. Chứng minh hàm số
( ) ( )
3cos ln 4sin lny x x x= + 
 
thoả mãn phương trình:
30
2
'' ' 2 0x y xy y− + =
.
Giải
Ta có:
•
( ) ( ) ( ) ( )
3 4
' 3cos ln 4sin ln sin ln cos lny x x x x x
x x
 
= + + − +
 
 

( ) ( )
7 cos ln sin lnx x= +
•
( ) ( )
7 1
'' sin ln cos lny x x

( ) ( )
0 0
' lim lim
x x
y x x y x
y
y
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
= =
∆ ∆

0
2000 2000
lim
x x x
x
x
+∆
∆ →
−
=
∆

0
2000 1
lim 2000 .
x


2000 ln 2000
x
=
.
Chú ý.
0
1
lim 1
x
x
e
x
→
 
−
=
 ÷
 
.
Ví dụ 7. Cho hàm số
20
logy x=
.Tính đạo hàm
'y
theo đònh nghóa.
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y khoa Hà Nội, 1998)
Giải
Ta có:
( ) ( )

x
x
x
x
∆ →
∆
 
+
 ÷
 
=
∆
31

0
ln 1
ln 20
lim
.
x
x
x
x
x
x
∆ →
∆
 
+
 ÷

ln 20x
=
.
Chú ý.
( )
0
ln 1
lim 1
x
x
x
→
+
=
.
Ví dụ 8. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại
0x =
:

( )
( )
2
1 0
1 0
x
x e khi x
f x
x ax khi x
−


x
x
x e
x
+
−
→
+ −
=
0
1
lim
x
x
x
e
e
x
+
−
−
→
 
−
= −
 ÷
−
 
1 1 0
= − =

x a
−
→
= − −

a= −
( )
f x
có đạo hàm tại điểm
0x =
( ) ( )
0 0f f
+ −
⇔ =
0 a⇔ = −

0a⇔ =
Vậy giá trò cần tìm là:
0a
=
.
Ví dụ 9. Cho hàm số
x
y xe=
.
1) Tính đạo hàm cấp một
'y
và đạo hàm cấp hai
''y
của hàm số trên. Tổng quát, hãy

Suy ra:
( )
( )
n
x
y x n e= +
(*)
(*) đã đúng khi
1, 2,3n =
.
Giả sử (*) đúng khi
n k=
, ta có:
( )
( )
k
x
y x k e= +
(**)
Ta sẽ chứng minh (*) vẫn đúng khi
1n k= +
, tức là:
( )
( )
1
1
k
x
y x k e
+

2
' 2 1 .2
2 1
y x
x
−
= = +
+
( ) ( )
2
2
'' 1 . 2 1 .2y x
−
= − +
( )
3
3
''' 1.2. 2 1 .2y x
−
= +
( )
( ) ( )
4
4
4
1 1.2.3. 2 1 .2y x
−
= − +
Suy ra:
( )

= +
, tức là:
( )
( ) ( )
( )
1
1
1
1 . !. 2 1 .2
k k
k
k
y k x
− +
+
+
= − +
Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta được:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1
1 . 1 ! 2 1 .2.2
k k
k
k
y k k x
− − −
+
= − − − +

33
(Trích ĐTTS vào Trường Đại học Y Hà Nội, 2000)
Giải
Ta có:
( )
2
2
5 3 20
2 3
x x
f x
x x
− −
=
− −
2
7 5
5
2 3
x
x x
−
= +
− −
( ) ( )
7 5
5
1 3
x
x x

( ) ( )
4 4
3.2.3 4.2.3
'''
1 3
f x
x x
= − −
+ −
( )
( )
( ) ( )
4
5 5
3.2.3.4 4.2.3.4
1 3
f x
x x
= +
+ −
Suy ra:
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1
3 4
1 . !
1 3
n
n

 
2 2
''' 2 cos 2 2 sin 2 2.
2 2
y x x
π π
   
= + = +
 ÷  ÷
   
( )
4
3 3
2 cos 2 2. 2 sin 2 3.
2 2
y x x
π π
   
= + = +
 ÷  ÷
   
Suy ra:
( )
( )
1
2 sin 2 1
2
n
n
y x n

, nghóa là:
34
( )
1
2 sin 2
2
k
k
y x k
π
+
 
= +
 ÷
 

Lấy đạo hàm hai vế của (**), ta có:
( )
( )
1
1
2 .2 cos 2 1 2 sin
2 2
k
k k
y x k x k
π π
+
−
   

( )
2 2
sin cos 0
n n
x x+ =
Suy ra:
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 1
cos sin 2 sin 2 1
2
n n
n
x x x n
π
−
 
= − = − + −
 
 
.
B. BÀI TẬP
Bài 1. Cho hàm số
cosy x x=
. Chứng minh:
'' 2sin 0y y x+ + =
.



với
với
Đáp số: Do
( ) ( )
0
lim 0 1 0
x
f x f
→
= ≠ =
nên không tồn tại
( )
' 0f
.
Bài 5. Cho hàm số:
( )
( )
ln cos
0
0 0
x
x
f x
x
x

≠


f x
x
x

+ − +

≠
=


=

Đáp số:
( )
5
' 0
6
f = −
.
Bài 7. Tính đạo hàm của hàm số:
35
( )
2 2
ln 0
2 4
0 0
x x
x x
f x
x

+ −
≠

=
−


=

nếu
nếu
.
Xác đònh a để hàm số có đạo hàm tại
2x =
. Tính
( )
' 2f
.
Đáp số:
( )
6, ' 2 1a f= =
.
Bài 9. Tìm a để hàm số sau đây có đạo hàm tại
0x =
:

( )
2
0
1 0


+ <


nếu
nếu
.
Xác đònh b và c để
( )
f x
có đạo hàm tại
0x =
.
Đáp số:
, 0b c∈ =¡
.
Bài 11. Cho hàm số:

( )
2
2
2 2 1
1
x khi x
f x
x bx c khi x

− − ≤ ≤

=

 
= + −
 
 
.
Bài 13. Tính đạo hàm cấp n của hàm số
( )
2
1
4
f x
x
=
−
.
Đáp số:
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 1
1
. 1 2 2 !
4
n n n
n
f x x x n
− + − +
 

− −
 
− +
 
 
.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 483. Cho
2
1y x= −
. Tính
'
y
(x)
A.
2
;
1
x
x
−
−

36
B.
'
2
;
2 1
x

sin 6x
C.
2sin 3x
D.
6sin 3x
Caâu 485. Cho
2
2
x
x
x e
y
e
+
=
. Tính
'
(0)y

A.
1−
B.
1
C.
3
D. Caùc caâu khaùc ñeàu sai.
Caâu 486. Cho
2
ln(3 2 )y x= +
. Tính

D.
1
3 1x +
Caâu 488. Tìm
'
(1)y
, bieát
2 3 1
( 2)
x
y x e
+
= +
.
A.
4
11e
B.
4
8e
C.
4
5e
D.
3
5e
Caâu 489. Cho
2
cos 2y x=
. Tính

D. cosx + sin2x.
Câu 492. Đạo hàm của hàm số
2 3
1
( )y x
x
= −
là
A.
3 2 3
4
3( 1) (2 1)x x
x
− +
B.
2 2
1
3( )x
x
−
C.
3 2
2
3( 1)x
x
+
D.
2 2
1
3( ) (2 1)x x

y tg x=
. Tính y’ tại
4
x
π
=
là :
A. 4.
B. 1
C. 1/4
D. 0.
Câu 3. Hàm số
tgxy 21 +=
có đạo hàm tại x = π/4 là
A.
3
2
)
4
( =
′
π
y
.
B.
3
1
)
4
( =

2
.
C. 1.
D. –1.
Câu 9. Tính đạo hàm hàm số
1
1
−
+
=
x
x
y
tại x = 2 là
A. –1/
3
.
B. 1/
3
.
C. 1.
D. 2.
Câu 12. Tính đạo hàm của y =x
3
cosx
A. 3x
2
cosx - x
3
sinx.

y
thì (a,b) bằng
A. (3,-3).
B. (2,-3).
C. (2,3).
D. (0,2).
Câu 14. Cho y = sin(x
2
). Tính y’
A. 2x.cos(x
2
).
B. -2x.cos(x
2
).
C. cos(x
2
).
D. cos(x
2
).
Câu 15. Cho y = sin
2
x. Tính y’
A. sin2x.
B. 2x.cos
2
x.
C. cos2x.
D. 2x.sin2x.