Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
1Lời nói đầu

Một trong những phơng pháp rất mạnh trong toán học dùng nghiên cứu và
chứng minh các giả thiết là nguyên lý quy nạp toán học. Phơng pháp quy nạp
đợc áp dụng sâu rộng vào hầu hết các dạng toán: Số học, Dãy số, Hình học,
BĐT, Tổ hợp,Trong báo cáo này tôi chỉ đề cập đến áp dụng của phơng pháp
quy nạp vào một số dạng toán về dãy số.
Trong chơng trình toán phổ thông thì toán về dãy số đợc phân phối thời
lợng không nhiều, đặc biệt trong chơng trình toán phân ban hiện nay đã lợc
bỏ nhiều định lý quan trọng.Trong phần lớn các kỳ thi thì dạng toán này hầu nh
không có. Toán về dãy số thờng chỉ giành cho những học sinh khá giỏi trong
các kỳ thi cấp Tỉnh và Quốc gia, do vậy nó càng ít đợc học sinh và cả giáo viên
quan tâm đến. Phần vì dạng toán này cũng tơng đối khó và trừu tợng đối với
học sinh, học sinh gặp nhiều khó khăn và rất ngại khi gặp dạng toán này.
Trong thời gian vừa qua tôi đã thu thập, tích lũy và hệ thống đợc một số dạng
toán về dãy số nhằm phục vụ cho công tác giảng dạy, bồi dỡng học sinh giỏi của
mình. Với mục đích giúp học sinh tiếp cận một số dạng toán đặc trng về dãy số
do đó tôi lựa chọn đề tài này. Các bài toán đợc lựa chọn chủ yếu cho những học
sinh khá, giỏi. Sự phân chia thành các dạng toán và những đánh giá của tôi là
theo quan điểm chủ quan của mình, do đó không tránh khỏi những thiếu sót.
Kính mong các thầy cô và các bạn đồng nghiệp đọc và cho ý kiến góp ý để tài
liệu này đợc hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cám ơn !

Vĩnh Tờng 5 . 2009


Chứng minh dãy số tăng, giảm và bị chặn 8
II

Công thức tổng quát của dãy số 10
III

Tìm giới hạn của dãy số 12
IV

Một số dạng toán khác 18
Phần 3 Bài tập tng hợp 21
Tài liệu tham khảo 23
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
3

Phần 1. Một số vấn đề về nguyên lý Quy nạp toán học và Dãy số
.
I.Phơng pháp quy nạp toán học
Sau đây là ba dạng của nguyên lí quy nạp toán học thờng đợc dùng trong những

Ví dụ 1. Cho dãy số (u
n
) xác đinh bởi: u
n
= n
2
.
CMR tồng của n phần tử đầu tiên của dãy đợc tính:
( 1)(2 1)
.
6
n
n n n
S



Chứng minh.
Với n = 1. Đẳng thức đúng.
Giả sử ĐT đúng với n = k ( k 1), tức là có:
( 1)(2 1)
.
6
k
k k k
S



Ta chứng minh ĐT đúng với n = k+1, tức CM:

2
0
. Với mỗi số tự nhiên
k p

các mệnh đề
( 1), ( 2), , ( )
P k p P k p P k


đúng, suy ra mệnh đề P(k+1) cũng đúng.
Khi đó mệnh để P(n) đúng với mọi số nguyên dơng n.
Ví dụ 2
. Cho
0 1
2, 3
v v

và với mỗi số tự nhiên k có đẳng thức:
1 1
3 2 .
k k k
v v v
CMR:
2 1.
n
n

1 1
1 1
3 2 3(2 1) 2(2 1) 2 1. ( )
k k k
k k k
v v v dpcm

Vậy bài toán đợc chứng minh.
3. Định lí 3. Cho dãy các mệnh đề: P(1), P(2), , P(n),
Nếu: 1
0
. P(1) là những mệnh đề đúng
2
0
. Với mỗi số tự nhiên
1
k

các mệnh đề
(1), (2), , ( )
P P P k
đúng,
suy ra mệnh đề P(k+1) cũng đúng.
Khi đó mệnh để P(n) đúng với mọi số nguyên dơng n.
Dạng quy nạp này mạnh hơn dạng thứ hai ở bớc quy nạp.
Ví dụ 3
. Cho dãy số (u

k k k
k k k
k k k
u x x x x u u u Z
x x x x

Vậy (u
n
) là dãy các số nguyên.

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
5

II. Một số vấn đề về dãy số.

*
, .

n
u M n N

+) Dãy số (u
n
) đợc gọi là dãy bị chặn dới, nếu tồn tại một số m sao cho

*
, .

n
u m n N

+) Dãy số (u
n
) đợc gọi là dãy bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dới,
tức là tồn tại các số m, M sao cho
*
, .

n
m u M n N*
( 0 : , )



Ta viết lim(u
n
) = 0 hoặc limu
n
= 0 hoặc u
n

0.
ĐN 3. Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là số thực L nếu lim(u
n
L) = 0.
Ta viết lim(u
n
) = L hoặc limu
n
= L hoặc u
n

L.
ĐN 4.
- Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn +

nếu với mỗi số dơng tuỳ ý cho trớc, mọi số
hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dơng đó.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software

n
= L. Khi đó:
a) lim | u
n
| = | L | và
3
3
n
lim u L.


b) Nếu u
n
0 với mọi n thì L 0 và
n
lim u L.


Định lí 4
. Giả sử lim u
n
= L, lim v
n
= M và c là một hằng số. Khi đó:

lim( ) .

n n
u v L M


. (Giới hạn kẹp) Cho ba dãy số (u
n
), (v
n
), (w
n
) thỏa mãn:

0 *
1 . , .

n n n
v u w n N0
2 . lim lim
n n
v w A

thì lim u
n
= A.
Ta thừa nhận định lí sau đây.
Định lí 9. (Điều kiện đủ- Định lí Waiesstras)
Một dãy tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.
Một dãy giảm và bị chặn dới thì có giới hạn.
Hiện nay bốn Định lý trên không đợc giới thiệu trong chơng trình, tuy nhiên có
thể chứng minh đợc Định lí 6, 7, 8 từ các định lý có sẵn. Trong báo cáo này tôi vẫn
xin đợc sử dụng để các dạng toán đợc đa dạng hơn.


0
2
1
2 . .
2
n n
n
u u
u




0
1 2 1 1
3 . ( ) 2 ( 1) .
2 2
n n n
n n
S u u u u u u n d


2.5. Cấp số nhân.
Định nghĩa. Cấp số nhân là một dãy số, trong đó, kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng
đều là tích của số hạng liền trớc với một số không đổi gọi là công bội.
Tính chất. Cho cấp số nhân ( u

q
S u u u u q
q




Tổng của cấp số nhân vô hạn công bội q (q <1)

1
1
1
lim lim . . ( 1)
1 1
n
n
uq
S S u q
q q

III. Một số dạng toán về dãy số thờng gặp.
1. Chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn, dãy có giới hạn.
2. Chứng minh dãy số lập thành cấp số cộng, cấp số nhân, tính chất của cấp số.
3. Tìm công thức tổng quát của dãy số.
4. Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn dãy số.
5. Một số dạng khác: BĐT về dãy số, chứng minh tính chất chia hết, chứng minh
dãy số nguyên

5
, .
2

n
n
u n N

Giải
ở bài toán này u
n
cho bởi công thức truy hồi, đợc tính theo u
n-1
và u
n-2
do đó ta
vận dụng nguyên lí quy nạp thứ hai để chứng minh.
- Với n = 1, n = 2 mệnh đề đúng.
- Giả sử mđ đúng với n = k 1, và n = k ( k >1), tức là có:
1
1
5 5
, .
2 2
n n
n n
u u

1.
3( 2)
, .
2( 1) 2( 1)










n n
u
n n
u u n N
n n

a). CM dãy số bị chặn trên.
b). CM dãy số tăng.
Giải
Đây là bài toán không khó nếu dự đoán đợc dãy số bị chặn trên bởi số nào thích
hợp nhất? Ta có thể xuất phát từ yêu cầu thứ hai của bài toán:
Có:
1
(3 )( 2)
0 3.
1



- Vậy mđ đúng với n = k +1.
b). Theo phần (a) có:
1
(3 )( 2)
0.
1
n
n n
u n
u u
n





Vậy dãy (u
n
) tăng và bị chặn trên.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
9

Bài 1.3 Chứng minh dãy
1

k n

), tức :
2
2
1
(1 ) 1 .
k
k k
n n n


Khi đó:
2 2 2
1
2 2 3
1 1 1 1 1
(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1 .
k k
k k k k k k
n n n n n n n n n




Mặt khác dễ dàng CM:
2 2 2
2 3 2
( 1)
.

n
n n
n n n


+) Chứng minh dãy tăng.
áp dụng BĐT Cauchy cho n + 1 số dơng không đồng thời bằng nhau, ta đợc:

1
1 1 1 1
1 (1 ) (1 ) (1 ) ( 1) (1 ) .
n
n
n
n n n n

1 *
1
1
1 1 1 1
1 (1 ) (1 ) (1 ) , .
1 1







1
0
*
1
2
2 .
2 , .








n n
u
u u n N

Giải

1
0
. Bằng quy nạp ta chứng minh (u
n
) là dãy giảm và bị chặn dới bởi 0.
2
0
. Bằng quy nạp ta chứng minh (u



n
n
u
Tớnh S
n
.
Giải
Quy nạp. Với n =1; n = 2. Đúng.
Giả sử mđ đúng với k-1 và k (k > 1), ta chứng minh mđ đúng với n = k + 1.
Thật vậy: Có
2 1 1 2 2
1 1
2 1, 2 1 3(2 1) 2(2 1) 4.2 1 2 1.



k k k k k k
k k k
u u u

Mệnh đề đợc chứng minh.
Khi đó:
1
1 2
1 (1 2) (1 2 ) 2 1.
n n
n n
S u u u n

*
0, .

n
u n N

b) Đặt
1
.
n
n
n
u
v
u


CMR
n
3
v n, n.
2


c). Tìm CTTQ tính
n n 1 2 n
u ,S u u u .


Giải

n
u
u u u u u
u




1 1
1
1 1
1 1
1.
.
n n n n
n n
n n n n
u u u u
v v
u u u u




1
1 ( )
n n n

1 2
.
1 2 1
n
n n
n n
u
v u
u v n


Cách 2. CM quy nạp.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
11

Bài 2.4 Cho dãy (u
n
):
1 2
1 1
1, 2.
2 2, 2.
n n n

1 1
2 2 2[( 1) 1] [( 2) 1] 2 1 [( 1) 1] 1


k k k
u u u k k k k

Vậy công thức đúng với n = k + 1.
Khi đó:
2 2 2
( 1)(2 1)
( 1) ( 2) 1 .
6
n
n n n
S n n n n



Chú ý
: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh
1
n
u

là số chính phơng thì cách làm
hoàn toàn vẫn nh vậy.
Bài 2.5 Cho dãy (u
n
):

Tính S
n
?
Giải
Quy nạp: Giả sử:
1
1
2 ( 1) 4; 2 4



k k
k k
u k u k1 1 1
1 1
3 2 1 3[ 2 4] 2[ 2 3] 1 8.2 5 2 ( 1) 4



k k k k
n n n
u u u k k k k

Bài 2.6 Cho dãy (u
n
):
*

0.
u

Bằng quy nạp ta chứng minh đợc
0, .

n
u n N

Khi đó:
1
1
2 1
1 1
2 .
n
n n n
u
u u u





Đặt

1
1
2
n n n n


VT. 05 - 2009
12

III. Tìm giới hạn của dãy số.
Nếu dãy số cho bởi CTTQ thì ta thờng sử dụng các phơng pháp tính giới hạn của
dãy số để tính. Trong nhiều trờng hợp ta phải biến đổi CTTQ đó về dạng đơn giản
hơn trớc khi tính giới hạn.
Một số phơng pháp tính giới hạn của dãy số:
- Nhân liên hợp, đối với giới hạn dạng

-


- Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n, đối với giới hạn dạng
;



- Kết hợp hai phơng pháp trên cho giới hạn dạng
0
; ; ; .
0



- Sử dụng định lý giới hạn kẹp
- Sử dụng điều kiện đủ để dãy số có giới hạn, thiết lập biểu thức về giới hạn.
Kết quả giới hạn là nghiệm của một phơng trình nào đó.
Bài 3.1 Tính các giới hạn sau:

1
3 2
lim
2 5.3
n n
n n
D



1
4.3 7
lim
2.5 7
n n
n n
E





2
2


1 1 1
lim
1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2)
B
n n n

2 2 2
1 1 1
lim(1 )(1 ) (1 )
2 3
C
n


2 2 2 2
1 3 5 2 1
lim
n
D
n n n n




( 1) ( 1) 1



n n
n N
n n n n n n1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1 ) ( ) ( ) 1
1.2 2.3 ( 1) 2 2 3 1
n
u
n n n n n

1
lim lim(1 ) 1.
n
A u
n


b). Nhận xét:
*
1 ( 2) 1 1 1
( ),

2 2 2
2 1 3 1 1 1.3 2.4 ( 1)( 1) 1 1
. . .
2 3 2.2 3.3 . 2 2
n
n n n n
u C
n n n n



d).
2
2 2
1 3 5 (2 1)
1.
n
n n
u D
n n



e). Ta có:
1 2 1 2 1 2 1 2 1
, 1.
(2 1) (2 1) 2 2
2 1 2 1
n n n n
n

2
n
n
E u
n



Bài 3.3
Tính các giới hạn sau

2
1 2 3
lim
2 3
n
A
n n

2 2 2
3
1 2 3
lim
4 1
n
B
n

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
14

Giải
Để đơn giản biểu thức ta chứng minh quy nạp các công thức sau:
0
( 1)
1 . 1 2 3
2
n n
n



0 2 2 2
( 1)(2 1)
2 . 1 2 3
6
n n n
n



0 3 3 3
( 1)( 2) ( 1)( 2)( 3)( 4)
3 . 1 2 3 1 8( 1) 19 ( 1)( 2)( 3)

1 2
A
n n n n



1.3.5.7 (2 1)
lim
2.4.6 (2 )
n
B
n



Giải

a). Ta có:
2 2 2
1 1 1
, ,1 .
1


k N k n
n n n k n


1.3.5.7 (2 1) 1.3 .5 .7 (2 1) 1.3 3.5 (2
1).(2 1) 1
. .
2.4.6 (2 ) 2 .4 .6 (2 ) 2 4 (2 ) 2 1
n n
n n n n
u u
n n n n


2
1 1
0 0 ,
2 1
2 1
n n
u u
n
n




mà
1
lim 0 lim 0.
2 1

a
u u n
u




1
0, .
a u a CMR (u
n
) có giới hạn. Tính giới hạn đó.
Giải

- CM quy nạp
*
, .

n
u a n N

BĐT Cauchy:
1 1
1 1
1 1
( ) .2 . .
2 2

n n
n n n
n n n
u
u u
u u n u
u u u






là dãy giảm.

lim 0.
n
L u

Ta có:
1
1
2
1
lim lim ( ) .
2 2
n n
n
L
a

1
, 1 0, .
n n
u a u a n u n


lim .
n
u a Bài 3.6
Cho dãy (u
n
):
1
2
1
1
(2 ), 2.
3
n n
n
a
u u n
u





1
lim lim (2 ) .
3 3
n n
n
a
L
a
L
L u u L a
u





Vậy
3
lim .
n
u a


Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
16


Bài 3.7 Cho dãy (u
n
):
0 1
n
u

và
1
1
(1 ) .
4
n n
u u


Tính limu
n
?
Giải
- Chứng minh dãy (u
n
) tăng và bị chặn trên.
Theo gt hiển nhiên (u
n
) bị chặn trên.
áp dụng BĐT Cauchy:
*
1 1 1
1

1 1
3, 3 4, 1.
n n n
u u u u n



a). CMR (u
n
) là dãy đơn điệu nhng không bị chặn.
b). Dãy (v
n
) xđ:
1 2
1 1 1
, 1.
1 1 1
n
n
v n
u u u


có giới hạn, tính giới hạn đó.
Giải
a). Quy nạp. - Ta có:
2
2 1 1 1
3 4 4 3 .
u u u u

) là dãy bị chặn khi đó (u
n
) là dãy có giới hạn, đặt
lim .
n
u a


Khi đó -). (u
n
) là dãy tăng,
3, lim 3.

n n
u n N a u

-).
2 2
1
lim lim( 3 4) 3 4 2.
n n n
a u u u a a a


( Vô lý)
Vậy (u
n
) là dãy không bị chặn.
lim .
n

Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
NguyÔn Minh H¶i. THPT Lª Xoay - VÜnh Têng - VÜnh phóc

VT. 05 - 2009
171 2 1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 2 2 2 2 2 2
n
n n n
v
u u u u u u u u u

   
 
           
   
 
        
 
   1 1 1
1 1 1
0 ( ) / .


Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
18

IV.Một số dạng toán khác

1 1 2 1 1 1 1
( 1) 0 1. ( 0, )
n
u u u u u u u do u n


Vậy mđ đúng với n = 1.
- Với n = 2, có:
2 2 2
1 1 2 1 2 1 1 1
1 1 1 1
( ) .
4 2 4 2
u u u u u u u u


Vậy mđ đúng với n = 2.
- Giả sử có:
1
, ( 2)
n
u n
n

. Hàm số
2
( )
f x x x

đồng biến trên đoạn

Mệnh đề đợc chứng minh.
Bài 4.2
Cho hai dãy (a
n
) và (b
n
) xác định bởi:
1 1 1
1
; , 0.
n n
n
a a a b
b

*
1
1
, .


n n
n
b b n N
a

: 2 2 , 2.

3 3 3 3
2 . 2 2.3
a b a b
Vậy mđ đúng với n = 3.
- Giả sử mđ đúng với n = k ( k >2), tức:
2 2 .
k k
a b k- Ta chứng minh mđ đúng với n = k + 1.
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
19

TV. Ta có:
2 2 2 2 2 2
1 1
2 2
1 1 1 1
( ) 2 ; ( ) 2 .
k k
k k k k k k
k k k k k k



2 2( 1).
k k
a b k

Vậy mđ đúng với n = k + 1. Kết luận.
2 2 , 2.
n n
a b n n


Bài 4.3 Cho dãy(u
n
):
2
1 1
1 1
, .
2
o k k k
u u u u
n



1

1 1 1
. .
. . .
k k k k
k k k
k k k k k k
u u u u
u u u
n u u n u u u n u



Do
1
1 2 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
, 1. ; ; ; .
k k
k k k k
u u k n
u u n u u n u u n


0 0 1 1 2 1

1 2 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
; ; ; 1 .
1 1 1 1 1
k k k k k
n
u u n u u n u u n u u n n


1 1 1
1 1 .
2 2
k
n
u
n n n



Vậy mđ đợc chứng minh.
Bài 4.4 Cho dãy số xác định:
4 15 1; 10 18 28.
n n
n n





Vậy mđ đúng với n = k+1.
Bài 4.5 Giả sử p/t:
2
ax bx c 0 (a 0)

có hai nghiệm
1 2
x , x .
Đặt
n n *
n 1 2
S x x , n N .


Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
20

a. CMR:
n n 1 n 2
a.S b.S c.S 0, n N, n 3.





b. Ta có:
1 1 2
S x x 4

. không chia hết cho 3.

2 2 2
2 1 2 1 2 1 2
S x x (x x ) 2x x 16 2 14

không chia hết cho 3.
Giả sử S
k-1
, S
k
(k >1)không chia hết cho 3, ta chứng minh S
k+1
cũng không
chia hết cho 3. Thật vậy. Theo (a) có:
k k 1 k 2
S 4S Skhông chia hết cho 3.
Bài 4.6
Giả sử
1 2
x , x .

1) .
2
2 2
2 2 2
n
u



2 2 2
2)
2 2 3
n
u




Giải. Trong bài này ta thừa nhận kết quả:
0
sin
lim 1.
x
x
x



1. Quy nạp CT:
1








2. Quy nạp CT:
2 2 2 2.cos ; 2 2 3 2.cos
2 3.2
n n



1
1
2 2cos
sin
1
2
2
lim .
3
2 2cos sin
3.2 3.2
n
n
n n
n n
u u

n n
n
v

Bài 2
. Cho x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình
2
27 14 0.
x x


CMR
1 2
, .

n n
n
S x x n N
không chia hết cho 715.
Bài 3. Ký hiệu
2 2 2 2
n
R

*
1
1 2 2 2
(2 ), .
2 2 3



n
n
n
n
S n N
n

CM dãy (S
n
) đơn điệu giảm và bị chặn dới.
Bài 6. Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn điều kiện
2
1.
a b Dãy số (u
n
) đợc xác định:
2 2
0 1
0, . , .

1 2
;

n
a a a


1 2
1 1 1
.

n
a a a

Tính
1 2
.
n
P a a a

theo
, .Bài 9. Cho dãy (u
n
):
1 1
4. 5; ( 1), 1.
n n

Bài 11. Ba số
2, 3, 5
có thể cùng có mặt trong một CSC hay CSN đợc hay không?
Bài 12
. CMR
*

n N
có :
2 2 2
1 1 1 5
1. .
1 2 3
n


1 1 1 1
2. 2.
2
3 2 4 3 ( 1)n n



Bài 13. Tìm CTTQ của các dãy số sau:

1
1
1
)
( 1), 1.


VT. 05 - 2009
221 2
2 1
2, 5
).
5 6 , 0.
n n n
u u
c
u u u n




1 2
1 2
1
, 0
).
2
2 1 0, 2.
n n n
u u









CMR:
1.
n
limS


Bài 15. Đặt
2 2 *
( ) ( 1) 1, .

f n n n n N
Dãy (u
n
) xđ:

*
(1). (3) (2 1)
, .
(2). (4) (2 )


n

):
*
1 2
0 2
2. 0, .



n
n n n
u
u u u n N

*
1
: ( ) 2, .


n n
CMR n u u n N

Bài 18.
Cho dãy (u
n
):
1
3 2

n n
a a a n N
CMR:
1 2 1

n
n n
a b
.
Bài 20
Cho dãy (a
n
):
1 2
1 2
2 1
.
1 1
, , .
2 3 3. 2.
n n
n
n n
a a
a a a
a a




n
n
u
u
u n N
và dãy (v
n
): v
n
= u
n
2,
*
.

n N

CMR:
1
( )
5

n
n
v

Bài 22
Có tồn tại CSN chứa đồng thời 3 phần tử: 2, 3, 5 không ?

Nguyễn Minh Hải. THPT Lê Xoay - Vĩnh Tờng - Vĩnh phúc

VT. 05 - 2009
23Tài liệu tham khảo

1. SGK Đại số lớp 11. ( Chơng trình không phân ban)
2. SGK Đại số lớp 11. ( Chơng trình phân ban)
3. Phơng pháp quy nạp toán học. Nguyễn Hữu Điển
4. Một số bài toán chọn lọc về dãy số. Nguyễn Văn Mậu
5. Cơ sở lý thuyết và một số bài toán về dãy số. Võ Giang Giai
6. 10.000 bài toán sơ cấp Dãy số và giới hạn. Phan Huy Khải
7. Bất đẳng thức.Phan Đức Chính.
8. Nâng cao giải tích 12. Phan Huy Khải.
9.
Bồi dỡng đại số 11. Phan Huy Khải.

10.
Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30-4, lần X 2004.

11.
Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30-4, lần XI 2005.

12.
Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30-4, lần XII 2006.

13.
Tuyển tập đề thi OLIMPIC 30-4, lần XIII 2007.