Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
1
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
A. MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Lý do chọn vấn đề nghiên cứu:
Trong các môn học ở tiểu học không có môn nào rèn luyện năng lực suy nghĩ và
phát triển trí tuệ cho học sinh như môn Toán, môn Toán không chỉ hình thành cho các
em những kiến thức, kĩ năng cơ bản ban đầu mà còn giúp các em phát triển tư duy rất
nhiều. Chương trình toán tiểu học có nhiều kiến thức được phân loại và sắp xếp theo
từng chương, phần, từng mạch kiến thức riêng biệt. Mạch kiến thức nào cũng rất quan
trọng và có những ưu điểm về phát triển tư duy riêng. Song mạch kiến thức về "số và
chữ số" vẫn là mạch kiến thức trọng tâm xuyên suốt toàn bộ chương trình, xen lồng
với các mạch kiến thức khác, là nguyên tố chính hỗ trợ cho các mạch kiến thức khác.
Trong mạch kiến thức "số và chữ số" có một loại toán rất quan trọng, rất cơ bản trong
việc bồi dương học sinh khá giỏi đó là: "Các bài toán liên quan tới dãy số". Chính
bởi , "Các bài toán liên quan tới dãy số đòi hỏi học sinh phải ghi nhớ và vận dụng
thành thạo các kiến thức, kĩ năng cơ bản của số học để tìm ra những đặc điểm của dãy
số, xác định được chính xác những yêu cầu của đề "Các bài toán liên quan tới dãy
số" giúp rèn cho học sinh khả năng quan sát, phân tích , lựa chọn phương pháp giải
đồng thời còn rèn kĩ năng tính toán nhanh, óc suy luận loogic nhờ vậy mà não bộ của
các em rất phát triển.
Trong thực tế giảng dạy, qua thời gian bồi dưỡng cho học sinh giỏi của bản thân
và qua tham khảo các ý kiến của đồng nghiệp đã, đang bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi
nhận thấy cần có một hướng đi mới thật cụ thể, thật chi tiết khi dạy chuyên đề: "Các
bài toán liên quan đến dãy số" này
Chính vì vậy, tôi đã mạnh dạn nghiên cứu và tìm ra một số nội dung, phương
pháp khi dạy chuyên đề: "Các bài toán liên quan đến dãy số" cho học sinh lớp 5.
Sáng kiến kinh nghiệm tôi nghiên cứu là: “ Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học
tốt các bài toán về dãy số”

2. Cơ sở thực tiễn:
* Thực trạng của học sinh:
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
3
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Học sinh bây giờ thông minh hơn trước đây rất nhiều, đó là ý kiến chung của mọi
người. Các em tuy còn nhỏ, nhưng cũng rất ham hiểu biết, muốn tự mình khám phá,
muốn tự mình chứng tỏ với các bạn trong lớp, với tất cả mọi người. Chính vì vậy các
cuộc thi “ Giải toán qua mạng ”được rất đông đảo các em tham gia. Đặc biệt khả năng
tiếp thu bài của các em rất tốt, chỉ cần giáo viên chúng ta có thể gợi ý nêu cách giải là
các em làm được bài.
Tuy vậy ở vùng nông thôn chúng tôi việc dạy toán ít nhiều còn gặp khó khăn. Bởi
vì, do bố mẹ các em phần lớn làm ruộng, trình độ còn hạn chế, ít quan tâm tới các em,
họ đi làm ăn xa, để con gửi ông bà trông giúp, việc dạy con haaugf như phó mặc cho
thầy cô. Các em giải bài toán còn nhầm lẫn, cách trình bày còn vòng vo dài dòng. Đặc
biệt các em rất ngại giải những bài toán nâng cao
* Thực trạng về giáo viên:
Trong thực tế hiện nay dạy về các dạng toán dãy số ở các giờ Toán trên lớp khi có
bài toán cụ thể được các thầy cô hướng dẫn cụ thể. Tuy vậy để mọi giáo viên đều
nghiên cứu giải các dạng toán nâng cao thì hầu hết đều ngại đọc sách, ngại nghiên cứu
tìm tòi các dạng toán có hệ thống và tìm ra các cách giải cho học sinh. Từ đó dẫn đến
những mặt hạn chế như sau:
- Giáo viên chưa chú trọng hướng dẫn giải toán nâng cao cho học sinh giỏi.
- Chưa hệ thống được các dạng toán đi từ dễ đến khó cho học sinh dễ nhớ.
- Chưa nắm chắc phương pháp giải các dạng toán nâng cao.
- Việc phát hiện học sinh có năng khiếu về môn toán còn hạn chế.
3. Các biện pháp tiến hành
Xuất phát từ những thực tế trên, bản thân tôi là giáo viên trực tiếp giảng dạy
nhiều năm ở lớp 5 nên tôi rất trăn trở. Quả thật, bài toán về dãy số đối với học sinh lớp
5 cũng tương đối khó với các em. Vậy làm thế nào để các em hiểu và dễ dàng đi giải

B. NỘI DUNG
I. MỤC TIÊU:
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
5
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
1. Dựa trên cơ sở nội dung, chương trình dạy học giải toán ở tiểu học nói chung
và ở lớp 5 nói riêng, tìm hiểu về các dạng toán về dãy số trong chương trình ở tiểu
học.
2. Giúp học sinh nắm được các kiến thức cần ghi nhớ trước khi áp dụng vào giải
các bài toán về dãy số.
3. Học sinh nắm được cách giải các bài toán về dãy số trong các sách nâng cao ở
lớp 5 được phân chia theo dạng từ dễ đến khó.
II. NỘI DUNG TIẾN HÀNH
1. Mô tả giải pháp của sáng kiến kinh nghiệm:
Các bài toán về dãy số tương đối khó với các em học sinh giỏi lớp 5. Các em khi
giải bài toán này cần phải kiên trì, suy nghĩ, suy luận để tìm ra cách giải nhanh nhất.
Trong quá trình giảng dạy, tôi đã tham khảo và rút ra được những điều cần ghi nhớ
trước khi giúp học sinh phân nhóm những bài tập thành các dạng bài với các phương
pháp giải khác nhau.
Vấn đề 1: Hệ thống những kiến thức cần ghi nhớ có liên quan đến cách giải
các dạng toán.
1.Kĩ thuật tính toán các phép tính cộng, trừ, nhân, chia đối với số tự nhiên, số thập
phân, phân số.
2. Đặc điểm của dãy số tự nhiên:
Số 0 là nhỏ nhất.
Không có số lớn nhất
Hai đơn số liên tiếp hơn(kém) nhau 1 đơn vị
3. Đặc điểm của dãy số chẵn, số lẻ
Số 0 là số chẵn nhỏ nhất
Số 1 là số lẻ nhỏ nhất

Số cuối cùng(số lớn nhất) =
Khoảng cách x (số lượng số - 1) + số đầu tiên(số nhỏ nhất)
Sau khi học sinh nắm chắc được những kiến thức cần ghi nhớ trên, tôi tiến hành sang
vấn đề 2. Đó là:
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
7
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Vấn đề 2: Hệ thống và hướng dẫn học sinh cách giải các dạng bài tập đi từ dễ
đến khó
1. PHÂN DẠNG TOÁN
Dạng 1: Viết dãy số theo yêu cầu
Dạng 2: Tìm thêm số hạng trong dãy số
Dạng 3: Tìm số lượng số có trong dãy số
Dạng 4: Xác định một số bất kì có thuộc dãy số đã cho hay không
Dạng 5: Tìm số thứ n trong dãy số
Dạng 6: Tìm số lượng chữ số có trong dãy
Dạng 7: Tính tổng của dãy số
Dạng 8: Tìm số thứ N để số lượng chữ số gấp 1 số lần so với số lượng số
Dạng 9: Tìm số thứ N
Dạng 10: Dãy chữ
Dạng 11: Điền số vào băng ô
Dạng 12: Một số bài toán khác
2.PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY
Trước khi dạy từng dạng bài của chuyên đề, tôi cho HS ôn luyện những tính
chất cơ bản, cần thiết cho dạng bài bằng phương pháp chính là đàm thoại gợi mở và
thực hành.
Tiến hành dạy cuốn chiếu từng bài
DẠNG 1: VIẾT DÃY SỐ THEO YÊU CẦU
Ví dụ: Viết dãy số có:
a) 10 số chắn liên tiếp

Hoặc: 100, 102, 104, 106, 108, 110, 112, 114, 116, 118

b) Hai số lẻ liên tiếp hơn hoặc kém nhau 2 đơn vị. Mà các số lẻ trong bài phải là số lớn
hơn 100 và nhỏ hơn 150 nên dãy số theo yêu cầu của đề bài là:
121, 123, 125, 127, 129, 131, 133, 135, 137, 139, 141, 143, 145, 147, 149
Hoặc: 129, 127, 101
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
9
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

c) Các số chia cho 5 dư 2 có tận cùng bằng 2 hoặc 7. Như vậy các số hạng trong dãy
phải có chữ số hàng đơi vị là 2 hặc 7 và phải nhỏ hơn 100 nên dãy số theo yêu cầu là:
22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57
Hoặc: 37, 32, 27, 22, 17, 12, 7, 2

Ghi nhớ :
Khi viết dãy số theo yêu cầu cần:
- Xác định được đặc điểm của các số trong dãy số đó
- Xác định được đặc điểm của 2 số liền kề
- Xác định được giới hạn trong dãy số
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Viết dãy số có:
1) 10 số tự nhiên liên tiếp nhỏ hơn 1000
2) 25 số thập phân liên tiếp lớn hơn 1 và nhỏ hơn 1,3
3) 5 số tự nhiên chia hết cho 3 nhưng chia cho 2 dư 1
4) 7 số tự nhiên mà số liền sau gấp 3 lần số liền trước
5) 12 số tự nhiên giảm dần 4 đơn vị
Gợi ý:
1) Dãy số có thể giảm dần tối thiểu bắt đầu từ 9, 8 0
Dãy số tăng dần có thể tối đa bắt đầu từ 990, 999

Bước 1: Hướng dẫn học sinh quan sát, nhận xét, lựa chọn cách làm.
-Hãy quan sát từng số hạng đã cho trong dãy số, nhận xét mối quan hệ giữa 2 đơn
vị liền kề ?
( Hai đơn vị liền kề hơn (kém) nhau 11 đơn vị )
- Đây là dãy số có đặc điểm gì ?
( Các số hạng tăng dần đều, khoảng cách tăng dần là 11 đơn vị )
- Muốn tìm các số tiếp theo ta làm thế nào ?
( Cộng thêm 11 đơn vị vào số đã biết cho ta số tiếp theo )
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
11
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Bước 2: Trình bày
Nhận xét: 22 - 11 = 11
33 - 22 = 11
44 - 33 = 11

Quy luật: Đây là dãy số mà mỗi số hạng liền sau bằng số hạng liền trước cộng thêm 11
đơn vị.
5 số hạng tiếp theo là:
55 + 11 = 66
66 + 11 = 77
77 + 11 = 88
88 + 11 = 99
99 + 11 = 110
Dãy số đầy đủ theo yêu cầu là: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99
Cách 2:
Bước 1: Hướng dẫn học sinh quan sát, nhận xét, lựa chọn cách làm.
- Hãy quan sát, phân tích và cho biết mối quan hệ của mỗi số hạng trong dãy với số
thứ tự của nó ở trong dãy số ?
( Mỗi số hạng gấp 11 lần số thứ tự của nó trong dãy số )

Bước 1: Quan sát, nhận xét
- Đây là dãy số tăng dần hay giảm dần?
(tăng dần)
- Nhận xét về đặc điểm giữa 2 số liền kề bất kì?
(Khoảng cách giữa 2 số liền kề bất kì không giống nhau)
- Nhận xét về mối quan hệ của số so với số thứ tự của số đó trong dãy số?
(Mối quan hệ không như nhau, mỗi số có mối quan hệ riêng so với số thứ tự của
nó trong dãy số)
- Nhận xét đặc điểm của các số đứng sau so với số hoặc các số đứng trước?
(Câu a: Tổng của 3 số đứng trước bằng số đứng liền sau
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
13
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Hoặc khoảng cách giữa 2 số liền kề tăng dần theo dãy số : 1, 3, 5, 9
Câu b: Số liền sau bằng số đứng liền trước nhân với 2 rồi cộng thêm 1
Hoặc khoảng cách giữa 2 số liền kề lần lượt là: 4, 8, 16 )
- Khoảng cách tiếp theo ở câu a là bao nhiêu?
(Không tìm được vì nó không theo quy luật)
GV chốt: Không chọn cách tìm dựa vào khoảng cách giữa 2 số.
- Khoảng cách tiếp theo ở câu b là bao nhiêu?
(Là 32, 64, 128 vì các khoảng cách này lập thành quy luật)
Bước 2: Trình bày
a) Nhận xét:
Số thứ tư: 6 = 3 + 2 + 1
Số thứ năm: 11 = 6 + 3 + 2
Số thứ sáu: 20 = 11 + 6 + 3

Quy luật: Đây là dãy số mà kể từ số thứ tư trở đi mỗi số hạng liền sau bằng tổng của 3
số hạng đứng liền trước nó.
3 số tiếp theo là:

3, 7, 15, 31, 63, 127, 155
Ghi nhớ :
Muốn viết tiếp đựoc các số trong một dãy số cần trải qua các bước làm sau:
1. Nhận xét:
Lưu ý: Đặc điểm của từng số.
Đặc điểm của 2 số liền kề
Mối quan hệ với số thứ tự
Mối quan hệ của một nhóm số liên tiếp
Nếu là các nhận xét liên quan đến số thứ tự thì ở đầu mỗi nhận xét phải
ghi số thứ tự của mỗi số.
Nếu là các nhận xét không phải của số đầu tiên thì phải ghi số thứ tự của
số đó (ví dụ: 2b, 2a)
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
15
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
2. Rút ra quy luật
Lưu ý: Nhận xét nào phải rút ra quy luật ấy
Có dãy số có một quy luật nhưng có dãy số có nhiều quy luật
Các quy luật không áp dụng với số đầu tiên cần chỉ rõ thoả mãn từ số thứ
mấy.
3. Tìm thêm số
4. Viết dãy số theo yêu cầu
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Viết tiếp 2 số hạng vào dãy số sau:
a)3, 6, 9, 12,
b) 2, 5, 10, 17, 26,
c) 908, 886, 863, 839,
d) 2, 5, 8, 11,
Gợi ý:
a) Dãy số liên tiếp mỗi số hạng đều chia hết cho 3 (Dãy số cách đều 3 đơn vị)

b) Kể từ số thứ ba, mỗi số liền sau bằng tổng của các số hạng đứng trước nó.
c) Mỗi số hạng bằng số thứ tự của nó trong dãy số nhân với chính nó.
d) Mỗi số hạng bằng tích của của 2 số tự nhiên liên tiếp kể từ 1 và không có thừa số là
số tự nhiên được lặp lại.
2 = 1 x 2
12 = 3 x 4
30 = 5 x 6 Suy ra: 11 x 12 = 132 13 x 14 = 182
e) Mỗi số liền sau bằng số liền trước nhân với 2 rồi cộng với một số tự nhiên (lần lượt
từ 3, 4, 5, 6, 7 )
Cụ thể: 5 = 1 x 2 +3
14 = 5 x 2 + 4
33 = 14 x 2 + 5 Suy ra: 72 x 2 + 7 = 151 151 x 2 + 8 = 310
g) Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số liền sau bằng số liền trước cộng với tích của 18 nhân
với số thứ tự của khoảng cách.
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
17
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
Ví dụ: Từ 2 đến 20 là khoảng cách thứ nhất trong dãy số
20 = 2 + 18 x 2
Từ 20 đến 56 là khoảng cách thứ hai trong dãy số
56 = 2 0+ 18 x 3
Tiếp theo là các số:
110 = 56 + 18 x 3
182 = 110 + 18 x 4
Suy ra 2 số cần tìm là: 182 + 18 x 5 = 272
272 + 18 x 6 = 380
Bài 3: Viết tiếp 2 số hạng vào dãy số sau:
a) 100, 93, 85, 76,
b) 10, 13, 18, 26,
c) 0, 1, 2, 4, 7, 12,

Số thứ tám: 63 = 8 x 8 - 1
Số thứ bảy: 48 = 7 x 7 - 1

Quy luật: Mỗi số hạng trong dãy số bằng số thứ tự nhân với số thứ tự của nó trong dãy
số rồi trừ đi 1
Số đầu tiên là: 1 x 1 - 1 = 0
Ghi nhớ :
Dạng bài tìm số hạng đầu tiên thường cho số lượng số cho nên cần nhận xét đến
số thứ tự của số trong dãy số
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1 : Tìm 2 số hạng đầu trong các dãy số sau:
a) 39, 42, 45
b) 4,2,0
c) 23, 25, 27, 29
Gợi ý :
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
19
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
a) Mỗi số hạng bằng số thứ tự nhân với 3.
b) Mỗi số hạng bằng 2 nhân với hiệu của 15 trừ đi số thứ tự của nó trong dãy số.
c) Mỗi số hạng bằng 2 nhân với số thứ tự rồi trừ đi một.
Bài 2 : Viết tiếp 2 số hạng ở đầu dãy số sau:
a) 81, 100
b) 49, 54
Biết mỗi dãy có 10 số hạng
Gợi ý :
a) Mỗi số hạng bằng số thứ tự nhân với số thứ tự của nó.
b) Mỗi số hạng bằng 5 nhân với số thứ tự của nó rồi cộng thêm 4 đơn vị.
DẠNG 3 : TÌM SỐ LƯỢNG SỐ CÓ TRONG DÃY SỐ CÁCH ĐỀU
Ví dụ :

b)1, 8, 15, 22, ,701, 708
Gợi ý:
a) Khoảng cách giữa 2 số liền kề là 4
Số số hạng là: ( 101 - 1) : 4 + 1 = 26 (số)
b) Khoảng cách giữa 2 số liền kề là 7
Số số hạng là: (708 - 1) : 7 + 1 = 102 (số)
Bài 2:
a) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số?
b) Có bao nhiêu số có 3 chữ số đều là lẻ?
c) Có bao nhiêu số có 2 chữ số mà chia cho 5 dư 4?
Gợi ý:
a) Hai số chẵn liên tiếp có khoảng cách là 2 đơn vị.
Số chẵn lớn nhất có 4 chữ số là 9998
Số chẵn nhỏ nhất có 4 chữ số là 1000
Số lượng số chẵn có 4 chữ số là:
(9998 - 1000) : 2 + `1= 4500 (số)
b) Tương tự tìm được 450 số
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
21
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
c) Số lớn nhất có 2 chữ số chia cho 5 dư 4 là 99
Số nhỏ nhất có 2 chữ số chia cho 5 dư 4 là 14
Khoảng cách giữa 2 số liền kề là 5
Số lượng số là:
(99 - 14) : 5 + 1 = 18 (số)
Bài 3: Cho dãy số: 11, 14, 17, 68
Dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
Bài 4: Trong các số có 3 chữ số có bao nhiêu số chia hết cho 4?
Bài 5: Có bao nhiêu số:
a) Có 3 chữ số chia cho 5 dư 1? dư 2?

2002 : 3 = 667 dư 1
Như vậy mỗi số hạng có trong dãy số khi chia cho 3 đều dư 1 mà số lớn nhất
trong dãy số là 2002 nên:
- Số 2920 : 3 = 973 dư 1 nhưng 2920 > 2002 nên số này không có trong
dãy số.
- Số 100: 3 = 33 dư 1 suy ra số 1000 có thuộc dãy số
- Số 1998 : 3 = 666 suy ra số 1998 không thuộc dãy số
c) Nhận xét: 10 = 5 x 2
20 = 10 x 2
Như vậy đây là dãy số mà mỗi số liền sau đều gấp 2 lần số liền trước. Mătf khác số
hạng đầu tiên là 5 nên mỗi số hạng (kể từ số thứ 2 ) phải là số chia hết cho cả 2 và 5.
Số 555 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2 nên số 555 không thuộc dãy số.
Số 1500 chia hết cho cả 2 và 5 nhưng số đứng liền trước 1500 là :
1500 : 2 = 750, số trước số 750 là :
750 : 2 = 375
Số 375 không có mặt trong dãy số vì số này không chia hết cho 2 suy ra số 1500
không thuộc dãy số.
Ghi nhớ:
- Nhận xét đặc điểm của từng số hạng (Dựa vào dấu hiệu chia hết, chia
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
23
Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số
còn dư)
- Tìm ra quy luật chung của dãy số
- Kiểm tra từng số:
- Dựa vào dấu hiêu chia hết, chia còn dư
- Dựa vào số lớn nhất, bé nhất có trong dãy số
- Lưu ý số liền trước liền sau một số
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1 :Em hãy cho biết:

Số khoảng cách có trong dãy số là :
76 – 1 = 75 (khoảng cách)
Hiệu giữa số thứ 76 và số đầu tiên là :
3 x 75 = 225
Số thứ 76 là :
5 + 225 = 230
Vậy số cuối cùng là 230
Ghi nhớ :
1. Xác định khoảng cách giữa 3 số liền kề
2. Tìm số khoảng cách
3. Tìm số
Số lớn = hiệu + số nhỏ nhất
Số nhỏ nhất = số lớn nhất - hiệu
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Cho dãy số 1,1; 2,2; 3,3;…
Số hạng thứ 50 của dãy là số nào ?
Gợi ý: Giải tương tự như ví dụ_số thứ 50 là số 55,0
Bài 2: Cho dãy số ; 122, 111, 100,…
Tìm số cuối cung biết dãy số có 12 số hạng.
Đỗ Thanh Hồi Tiểu học Tân Châu
25