Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

Đỗ Thanh Hồi

Tiểu học Tân Châu

1


Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

A. MỞ ĐẦU
I. ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Lý do chọn vấn đề nghiên cứu:
Trong các môn học ở tiểu học không có môn nào rèn luyện năng lực suy nghĩ và
phát triển trí tuệ cho học sinh như môn Toán, môn Toán không chỉ hình thành cho các
em những kiến thức, kĩ năng cơ bản ban đầu mà còn giúp các em phát triển tư duy rất
nhiều. Chương trình toán tiểu học có nhiều kiến thức được phân loại và sắp xếp theo
từng chương, phần, từng mạch kiến thức riêng biệt. Mạch kiến thức nào cũng rất quan
trọng và có những ưu điểm về phát triển tư duy riêng. Song mạch kiến thức về "số và
chữ số" vẫn là mạch kiến thức trọng tâm xuyên suốt toàn bộ chương trình, xen lồng
với các mạch kiến thức khác, là nguyên tố chính hỗ trợ cho các mạch kiến thức khác.
Trong mạch kiến thức "số và chữ số" có một loại toán rất quan trọng, rất cơ bản trong
việc bồi dương học sinh khá giỏi đó là: "Các bài toán liên quan tới dãy số". Chính bởi
, "Các bài toán liên quan tới dãy số đòi hỏi học sinh phải ghi nhớ và vận dụng thành
thạo các kiến thức, kĩ năng cơ bản của số học để tìm ra những đặc điểm của dãy số,
xác định được chính xác những yêu cầu của đề ..."Các bài toán liên quan tới dãy số"
giúp rèn cho học sinh khả năng quan sát, phân tích , lựa chọn phương pháp giải đồng
thời còn rèn kĩ năng tính toán nhanh, óc suy luận loogic...nhờ vậy mà não bộ của các
em rất phát triển.
Trong thực tế giảng dạy, qua thời gian bồi dưỡng cho học sinh giỏi của bản

+ Dạy số học và các phép tính
+ Dạy học yếu tố hình học
+ Dạy học đại lượng và đo đại lượng
+ Dạy học các yếu tố thống kê
+ Dạy học giải toán có lời văn
Trong 5 kiến thức đó thì mạch “Dạy số học và các phép tính” là mảng kiến thức
được chiếm phần lớn trong chương trình ở các khối lớp. Phần kiến thức toán học về
dãy số không được trình bày tường minh ở chương, bài cụ thể nào mà nó chỉ được
giới thiệu gián tiếp qua các bài tập cụ thể lồng ghép trong các mạch kiến thức khác
- Lớp 2, 3 có bài toán điền số vào ô trống trong băng ô (dãy số là các số hạng được
lặp lại để tạo nên một tổng hoặc là kết quả của phép nhân hoặc phép chia trong bảng)
- Lớp 4, 5 cac bài toán về dãy số được mở rộng với phân số và số thập phân tuy nhiên
đó chỉ là chương trình dành cho đối tượng học sinh khá giỏi.
2. Cơ sở thực tiễn:
Đỗ Thanh Hồi

Tiểu học Tân Châu

3


Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

* Thực trạng của học sinh:
Học sinh bây giờ thông minh hơn trước đây rất nhiều, đó là ý kiến chung của
mọi người. Các em tuy còn nhỏ, nhưng cũng rất ham hiểu biết, muốn tự mình khám
phá, muốn tự mình chứng tỏ với các bạn trong lớp, với tất cả mọi người. Chính vì vậy
các cuộc thi “ Giải toán qua mạng ”được rất đông đảo các em tham gia. Đặc biệt khả
năng tiếp thu bài của các em rất tốt, chỉ cần giáo viên chúng ta có thể gợi ý nêu cách
giải là các em làm được bài.

- Đọc các tài liệu có liên quan đến sáng kiến kinh nghiệm.
- Nghiên cứu chương trình giáo khoa, sách giáo viên các lớp 2, 3, 4, 5.
- Nghiên cứu những yêu cầu cơ bản đối các bài toán liên quan đến dãy số
- Đọc, nghiên cứu các sách nâng cao lớp 5 để tìm hiểu cách giải các dạng toán,
phân loại các dạng toán.
* Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Điều tra việc học và nắm bắt các dạng toán
cơ bản đã học ở lớp 4 về dãy số để nắm bắt thực trạng của học sinh.
* Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm:
Để học sinh hiểu và làm tốt các bài toán về dãy số tôi chọn học sinh lớp 5A do
tôi chủ nhiệm làm đối tượng thực nghiệm và chọn học sinh lớp 5B trong cùng khối 5
làm đối tượng so sánh cho sự thực nghiệm của mình. Trong quá trình thực nghiệm tôi
đã đi sâu vào giải quyết những vấn đề sau:
Vấn đề 1: Hệ thống những kiến thức cần ghi nhớ có liên quan đến cách giải
các dạng toán.
Vấn đề 2: Hệ thống và hướng dẫn học sinh cách giải các dạng bài tập đi từ
dễ đến khó
Ở trên lớp, tôi phân loại các em thành từng nhóm nhỏ để có biện pháp phù
hợp giúp đỡ nhau hiểu bài. Tôi hướng dẫn, giảng giải cho các em cặn kẽ. Xây dựng
cho các em thói quen làm bài, trình bày bài sao cho phù hợp, thật khoa học, dễ hiểu,
đơn giản.
4. Thời gian nghiên cứu:
Để có được những kinh nghiệm “ Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài
toán về dãy số” tôi đã tiến hành nghiên cứu từ năm học 2011-2012 và áp dụng, thử
nghiệm từ năm học 2012- 2013 và đến năm học 2013-2014 tôi đã báo cáo chuyên đề
này trước tổ chuyên môn và nhà trường .

Đỗ Thanh Hồi

Tiểu học Tân Châu


Số 0 là số chẵn nhỏ nhất
Số 1 là số lẻ nhỏ nhất
Không có số chẵn hoặc số lẻ lớn nhất
Đỗ Thanh Hồi

Tiểu học Tân Châu

6


Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

Hai số chẵn hoặc hai số lẻ liên tiếp hơn(kém) nhau 2 đơn vị
4. Dấu hiệu chia hết
Các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2
Các số có chữ số tận cùng là 0, 5 thì chia hết cho 5
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3
Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9
5. Dấu hiệu chia còn dư
Số chia cho 2 dư 1 có chữ số tận cùng là: 1, 3, 5, 7, 9
Số chia cho 5 dư 1 có tận cùng là 1 hoặc 6. Số chia cho 5 dư 2 có tận cùng là 2
hoăc 7....
Số có tổng các chữ số chia cho 3 dư 1 thì số đó chia cho 3 cũng dư 1. Số có
tổng các chữ số chia cho 3 dư 2 thì số đó chia cho 3 cũng dư 2
Số có tổng các chữ số chia cho 9 dư 1 thì số đó chia cho 9 cũng dư 1. Số có
tổng các chữ số chia cho 9 dư 2 thì số đó chia cho 9 cũng dư 2.......
6. Bài toán trồng cây
- Trồng cây trên đường thẳng, trồng cây ở cả hai đầu đường:
Số cây = Số khoảng cách + 1
- Trồng cây trên đường tròn(đường cong) hoặc trên đường khép kín:

Dạng 7: Tính tổng của dãy số
Dạng 8: Tìm số thứ N để số lượng chữ số gấp 1 số lần so với số lượng số
Dạng 9: Tìm số thứ N
Dạng 10: Dãy chữ
Dạng 11: Điền số vào băng ô
Dạng 12: Một số bài toán khác
2.PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY
Trước khi dạy từng dạng bài của chuyên đề, tôi cho HS ôn luyện những tính
chất cơ bản, cần thiết cho dạng bài bằng phương pháp chính là đàm thoại gợi mở và
thực hành.
Tiến hành dạy cuốn chiếu từng bài
DẠNG 1: VIẾT DÃY SỐ THEO YÊU CẦU
Ví dụ: Viết dãy số có:
a) 10 số chắn liên tiếp
b) 15 số lẻ liên tiếp lớn hơn 100 nhưng nhỏ hơn 150
c) 8 số liên tiếp, mỗi số chia cho 5 đều dư 2 và đều nhỏ hơn 100
Bước 1: Hướng dẫn HS tìm hiểu đề, phân tích lựa chọn cách giải
Đỗ Thanh Hồi

Tiểu học Tân Châu

8


Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

a) - Theo đề bài các số được viết theo đặc điểm gì?
(Là các số chẵn liên tiếp)
- Dãy số chẵn liên tiếp có đặc điểm gì?
( Hai số liền kề hơn-kém nhau 2 đơn vị)


Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

121, 123, 125, 127, 129, 131, 133, 135, 137, 139, 141, 143, 145, 147, 149
Hoặc: 129, 127,....101
.............................................................................................
c) Các số chia cho 5 dư 2 có tận cùng bằng 2 hoặc 7. Như vậy các số hạng trong dãy
phải có chữ số hàng đơi vị là 2 hặc 7 và phải nhỏ hơn 100 nên dãy số theo yêu cầu là:
22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57
Hoặc: 37, 32, 27, 22, 17, 12, 7, 2
............................................................................................
Ghi nhớ :
Khi viết dãy số theo yêu cầu cần:
- Xác định được đặc điểm của các số trong dãy số đó
- Xác định được đặc điểm của 2 số liền kề
- Xác định được giới hạn trong dãy số
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Viết dãy số có:
1) 10 số tự nhiên liên tiếp nhỏ hơn 1000
2) 25 số thập phân liên tiếp lớn hơn 1 và nhỏ hơn 1,3
3) 5 số tự nhiên chia hết cho 3 nhưng chia cho 2 dư 1
4) 7 số tự nhiên mà số liền sau gấp 3 lần số liền trước
5) 12 số tự nhiên giảm dần 4 đơn vị
Gợi ý:
1) Dãy số có thể giảm dần tối thiểu bắt đầu từ 9, 8...0
Dãy số tăng dần có thể tối đa bắt đầu từ 990,....999
2) - Nếu các số thập phân có 2 chữ số ở phần thập phân thì dãy số có thể là:
1,01; 1,01.....1,25
- Nếu các số thập phân có 3 chữ số ở phần thập phân thì dãy số có thể là:
1,001; 1,002;.....1,025

11 , 22 , 33 , 44 , 55 . . .
Cách 1:
Bước 1: Hướng dẫn học sinh quan sát, nhận xét, lựa chọn cách làm.
-Hãy quan sát từng số hạng đã cho trong dãy số, nhận xét mối quan hệ giữa 2 đơn
vị liền kề ?
( Hai đơn vị liền kề hơn (kém) nhau 11 đơn vị )
- Đây là dãy số có đặc điểm gì ?
( Các số hạng tăng dần đều, khoảng cách tăng dần là 11 đơn vị )
Đỗ Thanh Hồi

Tiểu học Tân Châu

11


Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

- Muốn tìm các số tiếp theo ta làm thế nào ?
( Cộng thêm 11 đơn vị vào số đã biết cho ta số tiếp theo )
Bước 2: Trình bày
Nhận xét: 22 - 11 = 11
33 - 22 = 11
44 - 33 = 11
................
Quy luật: Đây là dãy số mà mỗi số hạng liền sau bằng số hạng liền trước cộng thêm
11 đơn vị.
5 số hạng tiếp theo là:
55 + 11 = 66
66 + 11 = 77
77 + 11 = 88

Số thứ ba 33 = 3 x 11 ( 3 là số thứ tự trong dãy số)
...................
Quy luật: Đây là dãy số mà mỗi số hạng trong dãy bằng số thứ tự của nó trong dãy
nhân với 11.
5 số tiếp theo là:
Số thứ sáu:

6 x 11 = 66

Số thứ bảy:

7 x 11 = 77

Số thứ tám:

8 x 11 = 88

Số thứ chín:

9 x 11 = 99

Số thứ mười:

10 x 11= 110

Dãy số đầy đủ theo yêu cầu là: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110
Ví dụ 2: Viết thêm 3 số hạng vào dãy số sau:
a) 1, 2, 3, 6, 11, 20...
b) 3, 7, 15, 31, ...
Bước 1: Quan sát, nhận xét

Số thứ sáu: 20 = 11 + 6 + 3
.....................
Quy luật: Đây là dãy số mà kể từ số thứ tư trở đi mỗi số hạng liền sau bằng tổng của 3
số hạng đứng liền trước nó.
3 số tiếp theo là:
Số thứ bảy: 20 + 11 + 6 = 37
Số thứ tám: 37 + 20 + 11 = 68
Số thứ chín: 68 + 37 + 20 = 125
Dãy số đủ theo yêu cầu là:
1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, 125
b) Cách 1:
Nhận xét:
Số thứ nhất: 7 = 3 x 2 + 1
Số thứ tư:
Đỗ Thanh Hồi

15 = 7 x 2 +1
Tiểu học Tân Châu

14


Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

Số thứ tư:

31= 15 x 2 + 1

............................
Quy luật: Đây là dãy số mà mỗi số hạng liền sau (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng



Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

ghi số thứ tự của mỗi số.
Nếu là các nhận xét không phải của số đầu tiên thì phải ghi số thứ tự của
số đó (ví dụ: 2b, 2a)
2. Rút ra quy luật
Lưu ý: Nhận xét nào phải rút ra quy luật ấy
Có dãy số có một quy luật nhưng có dãy số có nhiều quy luật
Các quy luật không áp dụng với số đầu tiên cần chỉ rõ thoả mãn từ số thứ
mấy.
3. Tìm thêm số
4. Viết dãy số theo yêu cầu
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Viết tiếp 2 số hạng vào dãy số sau:
a)3, 6, 9, 12,.....
b) 2, 5, 10, 17, 26,....
c) 908, 886, 863, 839,....
d) 2, 5, 8, 11, .....
Gợi ý:
a) Dãy số liên tiếp mỗi số hạng đều chia hết cho 3 (Dãy số cách đều 3 đơn vị)
b) Mỗi số hạng trong dãy bằng số thứ tự nhân với số thứ tự rồi cộng thêm 1
c) Mỗi số hạng liền sau bằng số hạng liền trước trừ đi 20 rồi trừ đi số thứ tự của nó
trong dãy số.
d) Dãy số cách đều 3 đơn vị, mỗi số chia cho 3 đều dư 2
Bài 2: Mỗi dãy số sau được viết theo quy luật nào? Hãy viết thêm 3 số tiếp theo vào
mỗi dãy số:
a) 1, 3, 5, 7...
b) 0, 2, 4, 6, 8...

d) Mỗi số hạng bằng tích của của 2 số tự nhiên liên tiếp kể từ 1 và không có thừa số là
số tự nhiên được lặp lại.
2=1x2
12 = 3 x 4
30 = 5 x 6 Suy ra:

11 x 12 = 132

13 x 14 = 182

e) Mỗi số liền sau bằng số liền trước nhân với 2 rồi cộng với một số tự nhiên (lần
lượt từ 3, 4, 5, 6, 7...)
Cụ thể: 5 = 1 x 2 +3
14 = 5 x 2 + 4
Đỗ Thanh Hồi

Tiểu học Tân Châu

17


Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

33 = 14 x 2 + 5

Suy ra: 72 x 2 + 7 = 151

151 x 2 + 8 = 310

g) Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số liền sau bằng số liền trước cộng với tích của 18 nhân



Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

( Số thứ 15 vì dãy này có 15 số hạng)
- Tìm mối quan hệ giữa số với số thứ tự?
( Số thứ mười lăm 228 = 15 x 15 + 3
Số thứ mười bốn 199 = 14 x 14 + 3)
- Số đầu tiên là số thứ mấy trong dãy số?
( Số thứ nhất)
b) Gợi mở tương tự
Trình bày:
a) Nhận xét:
Số thứ mười lăm 228 = 15 x 15 + 3 (15 là số thứ tự của số 228 trong dãy số)
Số thứ mười bốn 199 = 14 x 14 + 3 (15 là số thứ tự của số 199 trong dãy số)
..................
Quy luật: Mỗi số hạng trong dãy số bằng số thứ tự nhân với số thứ tự của nó trong
dãy số rồi cộng thêm 3
Số đầu tiên là: 1 x 1 + 3 = 4
b)Nhận xét:
Số thứ tám: 63 = 8 x 8 - 1
Số thứ bảy:

48 = 7 x 7 - 1

..................
Quy luật: Mỗi số hạng trong dãy số bằng số thứ tự nhân với số thứ tự của nó trong
dãy số rồi trừ đi 1
Số đầu tiên là: 1 x 1 - 1 = 0
Ghi nhớ :

Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng ?
Hướng dẫn :
- Quan xét và nhận xét về đặc điểm các số hạng của dãy số ?
(Là các số thập phân, tăng dần)
-

Nhận xét về mối quan hệ giữa 2 số liền kề ?
(Hai đơn vị liền kề hơn (kém) nhau 1,1 dơn vị)

-

Muốn tính tổng ta phải dựa vào bài toán nào ?
( Bài toán trồng cây trên 1 đường thẳng, cả hai đầu đều có cây )

Trình bày:
Nhận xét: 2,2 - 1,1 = 1,1
3,3 - 2,2 = 1,1
110 - 108,9 = 1,1
Đỗ Thanh Hồi

Tiểu học Tân Châu

20


Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

Ta nhận thấy đây là 1 dãy số mà các số hạng đứng liền nhau đều hơn (kém)
nhau 1,1 đơn vị.
Số lượng số hạng có trong dãy số trên là :

Tiểu học Tân Châu

21


Giúp học sinh khá giỏi lớp 5 học tốt các bài toán về dãy số

Số lượng số chẵn có 4 chữ số là:
(9998 - 1000) : 2 + `1= 4500 (số)
b) Tương tự tìm được 450 số
c) Số lớn nhất có 2 chữ số chia cho 5 dư 4 là 99
Số nhỏ nhất có 2 chữ số chia cho 5 dư 4 là 14
Khoảng cách giữa 2 số liền kề là 5
Số lượng số là:
(99 - 14) : 5 + 1 = 18 (số)
Bài 3: Cho dãy số: 11, 14, 17, ...68
Dãy số trên có bao nhiêu số hạng?
Bài 4: Trong các số có 3 chữ số có bao nhiêu số chia hết cho 4?
Bài 5: Có bao nhiêu số:
a) Có 3 chữ số chia cho 5 dư 1? dư 2?
b) Có 4 chữ số chia hết cho 3?
c) Có 3 chữ số nhỏ hơn 500 và chia hết cho 4?
.............................
DẠNG 4: XÁC ĐỊNH MỘT SỐ BẤT KÌ CÓ THUỘC DÃY SỐ ĐÃ CHO HAY
KHÔNG
Ví dụ: Cho dãy số sau:
a) 1, 4, 7, 10, ...2002
b) 5, 10, 20,......
Các số : 100, 1998, 2920 có thuộc dãy số (a) không ?Vì sao ?
Các số : 555, 1998, 1500 có thuộc dãy số (b) không? Vì sao ?

-

Vậy mỗi số hạng trong dãy số phải là số thế nào ?
(Chia hết cho 5 và 2)

-

Kiểm tra từng số đã cho

Trình bày :
a) Nhận xét:
Ta nhận thấy: 1 : 3 = 0 dư 1
4 : 3 = 1 dư 1
7 : 3 = 2 dư 1
2002 : 3 = 667 dư 1
Như vậy mỗi số hạng có trong dãy số khi chia cho 3 đều dư 1 mà số lớn nhất
trong dãy số là 2002 nên:
-

Số 2920 : 3 = 973 dư 1 nhưng 2920 > 2002 nên số này không có trong
dãy số.

-

Số 100: 3 = 33 dư 1 suy ra số 1000 có thuộc dãy số

-

Số 1998 : 3 = 666 suy ra số 1998 không thuộc dãy số


Dựa vào số lớn nhất, bé nhất có trong dãy số

-

Lưu ý số liền trước liền sau một số

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1 :Em hãy cho biết:
a) Các số 50, 133 có thuộc dãy 90, 95, 100,…hay không ?
Gợi ý :
Không thuộc vì 50 < 90; 133 không chia hết cho 5
b) Số 1996 có thuộc daỹ 2,5,8,11…hay không ?
Gợi ý
Số 1996 : 3 =665 dư 1 mà các số trong dãy số đều chia 5 dư 2 nên 1996 không thuộc.
c) Số nào trong các số 666, 1000, 999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24…
Gợi ý :

Không có số nào thuộc dãy số đó
( tương tự như bài ví dụ b )

Bài 2: Số 1995 có thuộc dãy số 1. 4. 7. 10, …? Vì sao?
Gợi ý: Số 1995 : 3 = 665 mà các số trong dãy đều chia co 3 đều dư 1 nên số 1995
không thuộc dãy số đó
Bài 3: Cho dãy số 100,105,110,…,2000
Số 50, 2555, 484 có thuộc dãy số trên không ? Vì sao ?
Gợi ý : 50 < 100
2555 >2000
Đỗ Thanh Hồi

Tiểu học Tân Châu

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Cho dãy số 1,1; 2,2; 3,3;…
Số hạng thứ 50 của dãy là số nào ?
Đỗ Thanh Hồi

Tiểu học Tân Châu

25