Tên đề tài:
KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Ở LỚP 4
Tác giả: Nguyễn Thị Thái Hà
Đơn vị: Trường tiểu học Bồng Sơn
A. MỞ ĐẦU

I.ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết:
Mục tiêu của giáo dục Tiểu học hiện nay là nâng cao chất lượng giáo dục toàn
diện. Nhà trường Tiểu học là cái nôi cung cấp cho học sinh những tri thức khoa học,
kĩ năng, kĩ xảo cần thiết giúp các em hình thành và phát triển nhân cách. Mỗi môn
học đều góp phần vào việc hình thành và phát triển những cơ sở ban đầu rất quan
trọng của nhân cách con người .Trong các môn học, môn toán có vị trí rất quan trọng
Môn toán có tiềm năng giáo dục to lớn, nó góp phần quan trọng trong việc rèn
luyện suy nghĩ, phương pháp suy luận , phương pháp giải quyết vấn đề, góp phần vào
việc hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của con người như: lao động
cần cù, cẩn thận, có ý thức vượt khó,…
Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu tôi thấy môn Toán ở Tiểu học được
chia làm 5 mạch kiến thức cơ bản là: Số học, Đại lượng cơ bản; Yếu tố đại số; Yếu tố
hình học và giải toán có lời văn. Trong năm mạch kiến thức đó thì số học là mạch
kiến thức quan trọng của môn học. Trong đó, ta gặp không ít các bài toán về dãy số ở
cả số tự nhiên, phân số và số thập phân, đặc biệt là trong chương trình bồi dưỡng học
sinh giỏi.Các bài toán về dãy số lại được chia thành các loại nhỏ mà khi gặp phải học
sinh thường lúng túng mơ hồ và sai lầm; khó tìm ra hướng giải quyết và thường nhầm
lẫn từ dạng này sang dạng khác, không phát hiện ra quy luật của dãy số và cách giải.
Nếu không xác định cho học sinh những kiến thức cơ bản ban đầu vững chắc thì học
sinh sẽ không giải quyết được những bài toán ở dạng cơ bản (đối với học sinh trung
bình) và nâng cao lên (đối với học sinh khá giỏi).
Chính vì những lí do đó, qua thực trạng học phần giải các bài toán về dãy số
của học sinh, tôi nhận thấy việc giúp đỡ học sinh phát hiện ra quy luật của dãy số và
tìm cách giải các bài toán về dãy số là việc làm hết sức quan trọng, giúp học sinh có

dựng nội dung hợp lí, khoa học và có phương pháp giải phù hợp, phát triển khả năng
tư duy sáng tạo của học sinh.
Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy được thực trạng việc dạy
và học và giải toán nâng cao của giáo viên và học sinh còn nhiều vấn đề phải quan
tâm. Đó là: Nội dung dạy bồi dưỡng học sinh giỏi chưa đảm bảo logic, giáo viên khi
nghiên cứu tài liệu tham khảo thấy bài nào hay thì chọn để dạy cho học sinh chứ chưa
phân được dạng, loại trong mỗi mạch kiến thức. Về phương pháp dạy các bài toán
nâng cao chưa hợp lí, có những phương pháp giải chưa phù hợp với đặc điểm tâm lý
và khả năng tiếp thu của học sinh. Học sinh chưa có một phương pháp tư duy logic để
giải quyết các dạng bài tập về dãy số. Chính vì vậy, chất lượng dạy bồi dưỡng học
sinh giỏi chưa cao.
2. Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp
2.1. Các biện pháp tiến hành
- Sử dụng phương pháp thống kê, mô tả là chủ yếu.
- Thống kê tình hình học sinh sai lầm khi giải loại toán này ở nhiều năm học.
Sau khi áp dụng phương pháp giải toán theo kinh nghiệm của bản thân thì thống kê
mức độ đạt được.
- Mô tả các dạng toán, thực trạng và phương pháp khắc phục.
- Nêu vấn đề cần giải quyết, phát huy tính tích cực sáng tạo của học sinh.
2.2. Thời gian tạo ra giải pháp
Đề tài được áp dụng từ năm học 2010- 2011 cho đến nay.

2
B. NỘI DUNG
I. Mục tiêu:
Trong khuôn khổ của đề tài này, nhiệm vụ chính là củng cố kiến thức cơ bản
về các dạng toán về dãy số, đề ra một số giải pháp nhằm khắc phục những khó khăn,
sai lầm của học sinh khi giải toán có liên quan đến dạng toán: “Dãy số”. Từ đó, giúp
học sinh có kĩ năng, kĩ xảo khi giải các bài toán dạng này, học sinh có đủ các phương
pháp giải tốt các loại toán về dãy số.

Đến ví dụ này thì các em sẽ lúng túng, chỉ đoán kết quả chưa biết cách nào để
tìm kết quả một cách nhanh nhất. Vì vậy khi dạy dạng này cần cung cấp cho học sinh
một số biện pháp sau:
Biện pháp khắc phục:
3
+ Cần xác định quy luật của dãy số.
+ Tìm số hạng của dãy.
* Những quy luật thương gặp là:
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc
chia) với một số tự nhiên q khác 0.
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc
trừ) với một số tự nhiên q khác 0.
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng trước nó.
- Mỗi số hạng (kể từ số thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng
với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
- Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự;….
Từ ví dụ: Tìm số hạng đầu tiên của dãy:
…;…; 17 ; 19 ; 21( biết rằng dãy số có 10 số)
Học sinh giải:
Nhận xét: Số hạng thứ 10 là: 21 = 2 x 10 + 1
Số hạng thứ 9 là: 19 = 2 x 9 + 1
Số hạng thứ 8 là: 17 = 2 x 8 + 1
Quy luật của dãy số trên: Mỗi số hạng của dãy bằng 2 nhân với số thứ tự của
số hạng rồi cộng với 1.
Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 2 x 1 + 1 = 3
Sau khi học sinh nắm vững cách giải bài toán này thì các em giải một số bài
toán tương tự một cách dễ dàng
*Bài tập vận dụng:
1. Viết tiếp hai số hạng của dãy số sau:
a/ 100; 93; 85; 76; …;…

- Xác định quy luật của dãy số.
- Kiểm tra số a có thuộc quy luật đó không.
VD: Các số 43; 123 có thuộc dãy số: 30; 33; 36; … không? Giải thích tại sao?
Giải:
Quy luật của dãy số trên: các số đều chia hết cho 3 và số bé nhất là 30
Trong hai số trên: chỉ có số 123 thuộc dãy trên, còn số 43 không thuộc dãy số
trên.
*Bài tập áp dụng:
Cho dãy số: 1996; 1993, 1990, 1987, …; …; 55; 52; 49.
Các số sau đây: 100; 123; 456; 789; 1900; 1995, 1999 có phải là số hạng của
dãy không?
* Nhận xét:
1996 : 3 = 665 dư 1
1993 : 3 = 664 dư 1
1990 : 3 = 663 dư 1
1987 : 3 = 662 dư 1

55 : 3 = 18 dư 1
52 : 3 = 17 dư 1
49 : 3 = 16 dư 1
Mỗi số hạng của dãy đã cho là số chia cho 3 dư 1 và trong dãy số này số lớn
nhất là 1996 và số bé nhất là 49.
Vậy các số 100 và 1900 là các số thuộc dãy trên (vì: 100 : 3 = 33 dư 1; 1900 : 3
= 633 dư 1 ), các số còn lại không thuộc dãy trên.
Giải pháp 3: Dạng toán tìm số số hạng của dãy số.
Đây là một dạng toán phức tạp nhưng thường hay gặp trong các kỳ thi học sinh
giỏi ba cấp, khi gặp dạng toán này thì các em các em sẽ mất nhiều thời gian nhưng
kết quả đúng không cao. Để khắc phục lỗi trên cần lưu ý một số lỗi sau:
Ví dụ 1: Cho dãy số: 2; 4; 6; ; ; 12.dãy trên có bao nhiêu số hạng?
Khi giải bài toán này HS chỉ biết liệt kê rồi đếm số . Chảng hạn : 2; 4; 6; 8; 10;

Giải
Nhận xét: Dãy số này có hiệu hai số liền nhau là 3 đơn vị
Vậy số số hạng của dãy là:
( 1996 – 49) : 3 + 1 = 650 (số)
Giải pháp 4: Dạng toán tìm tổng các số hạng của dãy số.
Học sinh chỉ giải dược các bài toán dơn giản (dãy số ít số hạng) bằng cách liệt
kê rồi cộng lần lượt từng số hạng sẽ mất nhiều thời gian. Để khắc phục lỗi trên cần
lưu ý một số lỗi sau:
Ví dụ 1: Tính tổng dãy số: 2; 4; 6; ; ; 12.
Học sinh sẽ giải:
Liệt kê các số: 2; 4; 6; 8; 10; 12.
Tính tổng: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42
Khi gặp các bài toán phức tạp có nhiều số hạng thì các em sẽ gặp nhiều khó
khăn , mất nhiều thời gian mà không giải được bài toán (trong khi đó khi thi học sinh
giỏi thì các em sẽ gặp nhiều dạng toán này)
Ví dụ 2: Tính tổng các số hạng của dãy số: 1; 4; 7; …; … ; 217
6
Đối với ví dụ này HS giải được không cao nhưng lại mất nhiều thời gian. Để
khắc phục cần đưa ra một số biện pháp khắc phục như sau:
Biện pháp khắc phục:
Nếu các số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của hai số hạng cách đều số
hạng đầu và số hạng cuối trong dãy đó bằng nhau. Vì vậy:
Tổng các số hạng của dãy = (Số hạng đầu + số hạng cuối) x số số hạng của dãy
: 2.
Ví dụ: Tính tổng các số số hạng của dãy số: 1; 4; 7; …; …; 217
Giải
Dãy trên có số số hạng là: ( 217 – 1) : 3 + 1 = 71 ( số )
Tổng các số hạng trên là: ( 217 + 1) x 71 : 2 = 7739
*Bài tập vận dụng:
Trong một rạp hát, hàng đầu có 18 ghế, hàng thứ hai có 19 ghế và cứ như thế,

Số số hạng có hai chữ số là: ( 99 – 10 ) : 1 + 1 = 90 ( số )
Số chữ số để viết các số có hai chữ số là: 2 x 90 = 180 ( chữ số)
Số số hạng có ba chữ số là: ( 152 – 100 ) : 1 + 1 = 53 ( số )
Số chữ số để viết các số có một chữ số là: 3 x 53 = 159 ( chữ số)
Số chữ số để viết dãy số trên là: 9 + 180 + 159 = 345 ( chữ số )
Đáp số: 348 chữ số.
*Bài tập vận dụng:
Trong đợt thi cuối học kỳ I vừa qua trường Tiểu học Bồng Sơn có 332 thí sinh
dự thi. Hỏi phải dùng bao nhiêu chữ số để đánh số báo danh thí sinh?
(Biết rằng bắt đầu đánh số báo danh từ số 1)
Giải
Số thí sinh có số báo danh một chữ số là: ( 9 – 1 ) : 1 + 1 = 9 ( thí sinh)
Số chữ số để đánh số báo danh cho những thí sinh có số báo danh một chữ số
là: 1 x 9 = 9 ( chữ số)
Số thí sinh có số báo danh hai chữ số là: ( 99 – 10 ) : 1 + 1 = 90 ( thí sinh)
Số chữ số để đánh số báo danh cho những thí sinh có số báo danh hai chữ số
là: 2 x 90 = 180 ( chữ số)
Số thí sinh có số báo danh ba chữ số là: (332 – 100) : 1 + 1 = 233 (thí sinh)
Số chữ số để đánh số báo danh cho những thí sinh có số báo danh ba chữ số
là: 3 x 233 =699 ( chữ số)
Số chữ số dùng để đánh số báo danh cho 332 thí sinh là:
9 + 180 + 699 = 888 (chữ số )
Đáp số: 888 chữ số.
Giải pháp 6: Dạng toán tìm số số hạng của dãy số cách đều khi biết số chữ
số của dãy:
Đây là dạng toán tương đối phức tạp, học sinh không nắm vững dạng toán thì
rất khó mà giải được hoặc các em nhầm sang dạng toán trồng cây.
Các bước giải chủ yếu:
- Tìm số số hạng có một chữ số.
- Tìm số chữ số để ghi các số có một chữ số: ( 1 x số số hạng).

Các số có ba chữ số là: 102 : 3 = 34 (số)
Số x cần tìm là: 100 + ( 34 - 1) x 2 = 166
Đáp số: x = 166
* Sau khi học song dạng toán này các em sẽ giải được các bài toán có liên
quan đến dãy chữ.
Ví dụ: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TO QUOC VIET NAM thành dãy:
TO QUOC VIET NAM TO QUOC VIET NAM ……
Chữ cái thứ 1996 của dãy là chữ gì?
Giải:
Nhận xét nhóm chữ TO QUOC VIET NAM có 13 chữ cái
Ta có 1996 : 13 = 153 (nhóm) dư 7
Như vậy kể từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 1996 trong dãy người ta đã viết
153 lần nhóm chữ TO QUOC VIET NAM và 7 chữ cái tiếp theo là TO QUOC V.
Vậy chữ cái 1996 là chữ V.
2. Khả năng vận dụng:
- Kết quả nắm bắt kiến thức của học sinh được nâng cao rõ rệt.
- Những giải pháp trên phát huy được tính tích cực, chủ động tìm tòi kiến thức của
học sinh, các em có hứng thú thi đua học tập.
- Đề tài có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả các đối tượng học sinh, đặc biệt là
các em học sinh giỏi, học sinh tham gia các phong trào thi đua giải toán qua mạng.
3. Lợi ích kinh tế - xã hội:
Việc rèn các kĩ năng giải các bài toán về dãy số đòi hỏi giáo viên phải có lòng
nhiệt tình. Điều quan trọng là giáo viên phải dành nhiều thời gian đầu tư nghiên cứu,
tìm hiểu nguyên nhân học sinh không làm được. Từ đó thống kê chất lượng học lực
của học sinh, đề ra biện pháp khắc phục, theo dõi, kiểm tra chất lượng từng kì để nắm
bắt và kịp thời uốn nắn thêm cho học sinh. Tôi nghĩ việc rèn cho học sinh học tốt
9
môn Toán không chỉ tạo điều kiện để nâng cao chất lượng của lớp, của trường mà
còn góp phần rèn luyện cho học sinh những phẩm chất đạo đức tốt như: tính cẩn thận,
tinh thần kỉ luật…

- Mỗi giáo viên cần dạy theo đối tượng học sinh nhất là bồi dưỡng học sinh
giỏi.
- Cần phải gần gũi với học sinh để tìm hiểu đặc điểm riêng của từng em, động
viên khuyến khích để các em say mê học toán
- Giáo viên cần xây dựng kế hoạch cho từng dạng toán, căn cứ vào đối tượng
học sinh của lớp để khai thác các bài tập một cách vừa sức, hợp lí.
10
• Đối với nhà trường:
+ Cần quan tâm đến chất lượng học sinh giỏi, động viên khen thưởng kịp thời
những giáo viên có học sinh giỏi
+ Cần quan tâm chỉ đạo, tổ chức triển khai rộng rãi trong nhà trường để các thầy
cô giáo thực hiện tốt trong việc nâng cao chất lượng giảng dạy./.11
12
MỤC LỤC:
TT NỘI DUNG Trang
A Mở đầu 1
I Lí do chọn đề tài 1
1 Cơ sổ lí luận 1
2 Cơ sở thực tiễn 1
II Nhiệm vụ của đề tài 2
III Phương pháp tiến hành 2
IV Cơ sở và thời gian tiến hành 2
B Kết quả 2
I Mô tả tình trạng thực tại 2
1 Đối với học sinh 2
2 Đối với giáo viên 2
3 Nguyên nhân 2