Tên đề tài:
RÈN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Ở LỚP 4
Tác giả: Nguyễn Thị Thái Hà
Đơn vị: Trường tiểu học Bồng Sơn
A. MỞ ĐẦU
I.ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Thực trạng của vấn đề đòi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết:
Mục tiêu của giáo dục Tiểu học hiện nay là nâng cao chất lượng giáo
dục toàn diện. Nhà trường Tiểu học là cái nôi cung cấp cho học sinh những tri
thức khoa học, kĩ năng, kĩ xảo cần thiết giúp các em hình thành và phát triển
nhân cách. Mỗi môn học đều góp phần vào việc hình thành và phát triển những
cơ sở ban đầu rất quan trọng của nhân cách con người .Trong các môn học, môn
toán có vị trí rất quan trọng
Môn toán có tiềm năng giáo dục to lớn, nó góp phần quan trọng trong
việc rèn luyện suy nghĩ, phương pháp suy luận , phương pháp giải quyết vấn đề,
góp phần vào việc hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của con
người như: lao động cần cù, cẩn thận, có ý thức vượt khó,…
Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu tôi thấy môn Toán ở Tiểu học
được chia làm 5 mạch kiến thức cơ bản là: Số học, Đại lượng cơ bản; Yếu tố
đại số; Yếu tố hình học và giải toán có lời văn. Trong năm mạch kiến thức đó
thì số học là mạch kiến thức quan trọng của môn học. Trong đó, ta gặp không ít
các bài toán về dãy số ở cả số tự nhiên, phân số và số thập phân, đặc biệt là
trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi.Các bài toán về dãy số lại được chia
thành các loại nhỏ mà khi gặp phải học sinh thường lúng túng mơ hồ và sai
lầm; khó tìm ra hướng giải quyết và thường nhầm lẫn từ dạng này sang dạng
khác, không phát hiện ra quy luật của dãy số và cách giải. Nếu không xác định
1
cho học sinh những kiến thức cơ bản ban đầu vững chắc thì học sinh sẽ không
giải quyết được những bài toán ở dạng cơ bản (đối với học sinh trung bình) và
nâng cao lên (đối với học sinh khá giỏi).
Chính vì những lí do đó, qua thực trạng học phần giải các bài toán về dãy

từ đó nâng cao chất lượng dạy toán Tiểu học. Cũng thông qua giải toán nâng
cao có tác dụng thúc đẩy tư duy logic, rèn luyện khả năng sáng tạo toán học của
học sinh.
1.2. Cơ sở thực tiễn
Muốn nâng cao chất lượng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi thì trước hết phải
xây dựng nội dung hợp lí, khoa học và có phương pháp giải phù hợp, phát triển
khả năng tư duy sáng tạo của học sinh.
Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy được thực trạng
việc dạy và học và giải toán nâng cao của giáo viên và học sinh còn nhiều vấn
đề phải quan tâm. Đó là: Nội dung dạy bồi dưỡng học sinh giỏi chưa đảm bảo
logic, giáo viên khi nghiên cứu tài liệu tham khảo thấy bài nào hay thì chọn để
dạy cho học sinh chứ chưa phân được dạng, loại trong mỗi mạch kiến thức. Về
phương pháp dạy các bài toán nâng cao chưa hợp lí, có những phương pháp giải
chưa phù hợp với đặc điểm tâm lý và khả năng tiếp thu của học sinh. Học sinh
chưa có một phương pháp tư duy logic để giải quyết các dạng bài tập về dãy số.
Chính vì vậy, chất lượng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi chưa cao.
2. Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp
2.1. Các biện pháp tiến hành
- Sử dụng phương pháp thống kê, mô tả là chủ yếu.
3
- Thống kê tình hình học sinh sai lầm khi giải loại toán này ở nhiều năm
học. Sau khi áp dụng phương pháp giải toán theo kinh nghiệm của bản thân thì
thống kê mức độ đạt được.
- Mô tả các dạng toán, thực trạng và phương pháp khắc phục.
- Nêu vấn đề cần giải quyết, phát huy tính tích cực sáng tạo của học sinh.
2.2. Thời gian tạo ra giải pháp
Đề tài được áp dụng từ năm học 2010- 2011 cho đến nay.

B. NỘI DUNG
I. Mục tiêu:

Từ đó rút ra quy luật của dãy số: Mỗi số hạng( kể từ số thứ tư) bằng tổng
của ba
số hạng đứng trước nó.
Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau:
0; 2; 4; 6; 12; 22; 40; 74; 136;…
Ví dụ 2: Tìm số hạng đầu tiên của dãy: …;…; 17 ; 19 ; 21( biết rằng dãy
số có 10 số)
Đến ví dụ này thì các em sẽ lúng túng, chỉ đoán kết quả chưa biết cách
nào để tìm kết quả một cách nhanh nhất. Vì vậy khi dạy dạng này cần cung cấp
cho học sinh một số biện pháp sau:
Biện pháp khắc phục:
+ Cần xác định quy luật của dãy số.
+ Tìm số hạng của dãy.
* Những quy luật thương gặp là:
5
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân
(hoặc chia) với một số tự nhiên q khác 0.
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng
(hoặc trừ) với một số tự nhiên q khác 0.
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng trước
nó.
- Mỗi số hạng (kể từ số thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó
cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy.
- Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự;….
Từ ví dụ: Tìm số hạng đầu tiên của dãy:
…;…; 17 ; 19 ; 21( biết rằng dãy số có 10 số)
Học sinh giải:
Nhận xét: Số hạng thứ 10 là: 21 = 2 x 10 + 1
Số hạng thứ 9 là: 19 = 2 x 9 + 1
Số hạng thứ 8 là: 17 = 2 x 8 + 1

Giải pháp 2: Dạng toán xác định số a có thuộc dãy số đã cho hay không.
Gặp dạng này các em rất lúng túng không giải được hoặc chỉ đoán kết quả
chưa có cách giải rõ ràng.
VD: Các số 43; 123 có thuộc dãy số: 30; 33; 36; … không? Giải thích tại
sao?
Khi giải HS có thể nêu được kết quả nhưng giải thích thì phần lớn các em
không giải thích được, hoặc gặp những bài phức tạp hơn các em sẽ lúng túng
vì thế sẽ dẫn đến sự nhàm chán nếu giáo viên không có biện pháp khắc phục.
Biện pháp khắc phục:
- Xác định quy luật của dãy số.
- Kiểm tra số a có thuộc quy luật đó không.
7
VD: Các số 43; 123 có thuộc dãy số: 30; 33; 36; … không? Giải thích tại
sao?
Giải:
Quy luật của dãy số trên: các số đều chia hết cho 3 và số bé nhất là 30
Trong hai số trên: chỉ có số 123 thuộc dãy trên, còn số 43 không thuộc
dãy số trên.
*Bài tập áp dụng:
Cho dãy số: 1996; 1993, 1990, 1987, …; …; 55; 52; 49.
Các số sau đây: 100; 123; 456; 789; 1900; 1995, 1999 có phải là số hạng
của dãy không?
* Nhận xét:
1996 : 3 = 665 dư 1
1993 : 3 = 664 dư 1
1990 : 3 = 663 dư 1
1987 : 3 = 662 dư 1

55 : 3 = 18 dư 1
52 : 3 = 17 dư 1

+ Số thứ n của dãy = số hạng đầu – ( n – 1) x d.
Ví dụ: Cho dãy số: 1; 4; 7; …; … ; 217
- Dãy trên có bao nhiêu số hạng?
- Số hạng thứ 20 của dãy là số nào?
Giải
Dãy số trên hai số hạng đứng liền nhau hơn kém nhau 3 đơn vị
Vậy:
Dãy số trên có số số hạng là: ( 217 – 1 ) : 3 + 1 = 71 ( số)
Số hạng thứ 20 của dãy là: 1 + ( 20 – 1 ) x3 = 58
9
* Bài tập vận dụng:
Cho dãy số : 1996; 1993; 1990; …;…52; 49.
Dãy số này có bao nhiêu số hạng
Giải
Nhận xét: Dãy số này có hiệu hai số liền nhau là 3 đơn vị
Vậy số số hạng của dãy là:
( 1996 – 49) : 3 + 1 = 650 (số)
Giải pháp 4: Dạng toán tìm tổng các số hạng của dãy số.
Học sinh chỉ giải dược các bài toán dơn giản (dãy số ít số hạng) bằng
cách liệt kê rồi cộng lần lượt từng số hạng sẽ mất nhiều thời gian. Để khắc phục
lỗi trên cần lưu ý một số lỗi sau:
Ví dụ 1: Tính tổng dãy số: 2; 4; 6; ; ; 12.
Học sinh sẽ giải:
Liệt kê các số: 2; 4; 6; 8; 10; 12.
Tính tổng: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 42
Khi gặp các bài toán phức tạp có nhiều số hạng thì các em sẽ gặp nhiều
khó khăn , mất nhiều thời gian mà không giải được bài toán (trong khi đó khi
thi học sinh giỏi thì các em sẽ gặp nhiều dạng toán này)
Ví dụ 2: Tính tổng các số hạng của dãy số: 1; 4; 7; …; … ; 217
Đối với ví dụ này HS giải được không cao nhưng lại mất nhiều thời gian.

- Tìm số số hạng có hai chữ số.
- Tìm số chữ số để ghi các số có hai chữ số: ( 2 x số số hạng )
- Tìm số số hạng có ba chữ số.
- Tìm số chữ số để ghi các số có ba chữ số: ( 3 x số số hạng )
* Tương tự tìm tiếp các trường hợp còn lại.
11
- Tìm số chữ số trong dãy: ( số chữ số để ghi các số có một chữ số + số
chữ số để ghi các số có hai chữ số + số chữ số để ghi các số có ba chữ số + )
Ví dụ:
Cho dãy số: 1; 2; 3; ; ; 152. Tìm số chữ số có trong dãy số?
Giải
Số số hạng có một chữ số là: ( 9 – 1 ) : 1 + 1 = 9 ( số )
Số chữ số để viết các số có một chữ số là: 1 x 9 = 9 ( chữ số)
Số số hạng có hai chữ số là: ( 99 – 10 ) : 1 + 1 = 90 ( số )
Số chữ số để viết các số có hai chữ số là: 2 x 90 = 180 ( chữ số)
Số số hạng có ba chữ số là: ( 152 – 100 ) : 1 + 1 = 53 ( số )
Số chữ số để viết các số có một chữ số là: 3 x 53 = 159 ( chữ số)
Số chữ số để viết dãy số trên là: 9 + 180 + 159 = 345 ( chữ số )
Đáp số: 348 chữ số.
*Bài tập vận dụng:
Trong đợt thi cuối học kỳ I vừa qua trường Tiểu học Bồng Sơn có 332 thí
sinh dự thi. Hỏi phải dùng bao nhiêu chữ số để đánh số báo danh thí sinh?
(Biết rằng bắt đầu đánh số báo danh từ số 1)
Giải
Số thí sinh có số báo danh một chữ số là: ( 9 – 1 ) : 1 + 1 = 9 ( thí sinh)
Số chữ số để đánh số báo danh cho những thí sinh có số báo danh một
chữ số là: 1 x 9 = 9 ( chữ số)
Số thí sinh có số báo danh hai chữ số là: ( 99 – 10 ) : 1 + 1 = 90 ( thí sinh)
Số chữ số để đánh số báo danh cho những thí sinh có số báo danh hai chữ
số là: 2 x 90 = 180 ( chữ số)

Số chữ số dùng để đánh số trang sách có hai chữ số là: 2 x 90 = 180
(trang)
Số chữ số dùng để đánh số trang sách có ba chữ số là:
261 - ( 9 + 180 ) = 72 (trang)
Số trang sách có ba chữ số là: 72 : 3 = 24 (trang)
Quyển sách đó dày là: 9 + 90 + 24 = 123 (trang)
Đáp số: 123 trang
2. Cho dãy số: 0; 2; 4 ; . . . .; x. Biết dãy số trên người ta dùng hết 197
chữ số. Tìm số x.
Giải:
Số các số hạng có một chữ số là: ( 8 – 0 ) : 2 + 1 = 5 ( số)
Số chữ số để viết các số có một chữ số là: 1 x 5 = 5 ( chữ số )
Số các số hạng có hai chữ số là: ( 98 – 10 ) : 2 + 1 = 45 ( số)
Số chữ số để viết các số có hai chữ số là: 2 x 45 = 90 ( chữ số )
Số chữ số để viết các số có ba chữ số là: 197 - ( 5 + 90) = 102 (chữ số)
Các số có ba chữ số là: 102 : 3 = 34 (số)
Số x cần tìm là: 100 + ( 34 - 1) x 2 = 166
Đáp số: x = 166
* Sau khi học song dạng toán này các em sẽ giải được các bài toán có
liên quan đến dãy chữ.
Ví dụ: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TO QUOC VIET NAM thành
dãy: TO QUOC VIET NAM TO QUOC VIET NAM ……
Chữ cái thứ 1996 của dãy là chữ gì?
Giải:
Nhận xét nhóm chữ TO QUOC VIET NAM có 13 chữ cái
Ta có 1996 : 13 = 153 (nhóm) dư 7
Như vậy kể từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 1996 trong dãy người ta
đã viết 153 lần nhóm chữ TO QUOC VIET NAM và 7 chữ cái tiếp theo là TO
QUOC V. Vậy chữ cái 1996 là chữ V.
14

2010-2011 70% 50%
2011-2012 80% 70%
GKII:2012-
2013
90% 80%
C. KẾT LUẬN
Trên đây là một số kinh nghiệm tôi đã thực hiện với học sinh trong lớp
chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi trong trường. Với đề tài này, khi dạy giải toán
dạng “Dãy số” cho học sinh, giáo viên cần chọn ra những bài toán tương tự để
học sinh so sánh đối chiếu tìm ra chỗ giống và khác nhau. Từ chỗ giống nhau
để cho học sinh tránh nhầm lẫn, từ chỗ khác nhau dẫn đến cách giải khác nhau.
Đối với học sinh khá giỏi cần nâng cao dần lên từng mức từ dễ đến khó, từ đơn
giản đến phức tạp.
Sau nhiều năm dạy tôi rút được những kinh nghiệm trên, tôi thấy sau khi
áp dụng phương pháp này, hầu hết HS giải được các bài toán dạng dãy số đối
với học sinh trung bình: toán liên quan đến dạng cơ bản. Còn đối với học sinh
khá giỏi thì các em giải được các bài toán nâng cao. Trong nhiều năm liền tôi đã
áp dụng đề tài này trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Đã có nhiều học sinh giỏi
của trường làm thành thạo dạng toán này.
Kiến nghị:
• Đối với giáo viên:
- Mỗi giáo viên cần dạy theo đối tượng học sinh nhất là bồi dưỡng học
sinh giỏi.
- Cần phải gần gũi với học sinh để tìm hiểu đặc điểm riêng của từng em,
động viên khuyến khích để các em say mê học toán
16
- Giáo viên cần xây dựng kế hoạch cho từng dạng toán, căn cứ vào đối
tượng học sinh của lớp để khai thác các bài tập một cách vừa sức, hợp lí.
• Đối với nhà trường:
+ Cần quan tâm đến chất lượng học sinh giỏi, động viên khen thưởng kịp

21