Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài tốn về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học khơng gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
Mục lục
A. Đặt vấn đề 2
I.Lời mở đầu 2
II.Thực trạng nghiên cứu 3
III. Kết quả thực trạng 3
B. Giải quyết vấn đề 3
I. Các giải pháp thực hiện 3
II. Các biện pháp tổ chức thực hiện 3
a. Cơ sở lý thuyết 4
b. Nội dung chính của đề tài 6
C. Kết luận 17
I. Kết quả 17
II. Kiểm nghiệm lại kết quả 17
III. Đề xuất và kiến nghị 19
D. Phụ lục 21
Trang 1
Trang
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
A. Đặt vấn đề
I. Lời mở đầu:
Khi nói đến hình học đặc biệt là hình học không gian lớp 11 thì phần lớn
các em học sinh đều có tâm lý ngại học, bởi vì nó khó phải kiên trì và phải có khả
năng tư duy trừu tượng thì mới học tốt được.Tuy nhiên các bài toán liên quan đến
hình học không gian có trong chương trình THPT lại là một nội dung có mặt
trong các kỳ thi tốt nghiệp và cao đẳng, đại học .Trong các bài toán liên quan đến
hình học không gian lớp 11 thì bài toán về khoảng cách thường xuyên xuất hiện,
do đó để đạt được kết quả cao thì các em phải làm được bài toán này.Đây không
phải là điều mà nhiều em học sinh có thể làm được.

+ Kỹ năng biến đổi, phân loại các dạng toán và tìm mối liên hệ giữa các bài
toán chưa tốt
+ Kỹ năng tính toán còn yếu
III. Kết quả của thực trạng:
Khảo sát chất lượng của học sinh 11B1, 11B3, 11B8 của trường THPT
Tĩnh Gia 4 cho thấy việc học tập các bài toán dạng này chỉ được một số học sinh
lớp 11B1 là làm tốt còn lại một bộ phận học sinh làm được nhưng kết quả không
đúng và thường mất điểm những bài tập dạng này, nhất là học sinh lớp 11B3,
11B8 .Từ những vấn đề trên tôi áp dụng sáng kiến thực tế giảng dạy và bước đầu
đã thu được kết quả tốt trong năm học vừa qua
B. Giải quyết vấn đề
I. Các giải pháp thực hiện:
1. Hệ thống lại kiến thức đã học:
Giúp học sinh hệ thống lại kiến thức đã học về hình học phẳng, hình học không
gian các bài toán liên quan đến khoảng cách, cách vẽ hình học không gian
2. Phân loại các dạng bài toán :
Loại 1: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và một mặt phẳng
Loại 2: Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng
Loại 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
II. Các biện pháp tổ chức thực hiện
Trang 3
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
Để thực hiện đề tài này tôi sử dụng các tiết học chính khóa, ôn tập và tự chọn của
3 lớp khối 11 là 11B1, 11B3, 11B8, qua đó nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán và
phát huy khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh
a. Cơ sở lý thuyết
Yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức cơ bản về
+ Một số kiến thức về hình học phẳng
+ Kỹ năng vẽ hình học không gian

P
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
Nếu AB cắt (p) tại I thì
( ,( ))
( ,( ))
d A p IA
d B p IB
=
3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a) Hai đường thẳng a và b chéo nhau nhưng vuông góc với nhau
- Dựng mặt phẳng
( )
α
chứa a và vuông góc
với đường thẳng b tại B
- Dựng BA vuông góc với a tại A
- Khoảng cách giữa 2 đường thẳng
a và b là :
( , )d a b AB=
b) Hai đường thẳng chéo nhau nhưng
không vuông góc với nhau
Cách 1 :
- Dựng
( )
α
chứa a và // b
- Chọn M trên b, dựng MM'
⊥
( )

b) Nội dung chính của đề tài
Lưu ý : Tất các các hình từ ví dụ 1 đến ví dụ 8 đều được biểu diễn minh họa bằng
phần mền Geometer's Ketchpad 5.0 (Có file đính kèm skkn, tên file : Cac vi du -
SKKN 2013)
Tải trực tiếp theo đường đẫn: http://www.mediafire.com/?qvuqa9e9bhur82f
Dạng toán 1 : Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và đến một đường
thẳng
Bài 1 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA
vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SA = a
a) Hãy dựng đường thẳng qua trung điểm của cạnh SC và vuông góc với mặt
phẳng (ABCD).Tính OI
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
c) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC)
Giải
a) Gọi I là trung điểm SC, O là giao điểm của
AC và BD.Trong tam giác SAC có OI là đường
trung bình của tam giác nên ta có
/ /
( )
( )
OI SA
OI ABCD
SA ABCD

⇒ ⊥

⊥

.Vậy OI là
đường thẳng qua I và vuông góc (ABCD)


⊥

.
Vậy d(A,(SBC) = AH
Tam giác SAB vuông tại A(do
SA ⊥
AB)
Ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4
3 3
3
( ,( ))
2
AH AB AB a a a
a
d A SBC
= + = + =
⇒ =

c) Đường thẳng AC cắt (SBC) tại C ta có
( ,( )) 1
( ,( )) 2
d O SBC CO
d A SBC CA
= =
1 3
( ,( )) ( ,( ))
2 4

Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a,
·
0
3
60 , ( ),
4
a
BAD SO ABCD SO= ⊥ =
.Tính khoảng cách từ O và A đến mp(SBC)
Giải
Dựng OI
⊥
BC tại I
Trang 7
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
Ta có
( )
SO( ( )
BC IO
BC SOI
BC SO ABCD

⊥
⇒ ⊥

⊥ ⊥

Dựng OH
⊥

a
Ta có tam giác ISJ đều (Vì SI = IJ = SJ =
3
2
a
)
Dựng JL
⊥
SI tại L
thì JL
⊥
(SBC) và JL =
1 3
2 4
a
SO SO= =
Vì AD//(SBC) nên d(A,(SBC)) = d(J,(SBC))
=
3
4
a
JL =
Mặt khác ta lại có : OH =
1 3
2 8
a
JL =
3
( ,( )
8

⊥
(ABC),AC
⊂
(ABC)
⇒
AC
⊥
(ABB')
⇒
d(C,(ABB')) = AC = BC.cos60
0
= a
Mặt khác CC'//BB'
⇒
CC'//(ABB')
⇒
d(C',(ABB')) = d(C,(ABB')) = a
b)Ta có
( ')
'( ' ( ))
BA AC
BA ACC
BA CC CC ABC

⊥
⇒ ⊥

⊥ ⊥

⇒

(ACC')
⇒
CH
⊥
AB
'
( ') ( ,( '))
CH AC
CH ABC CH d C ABC
CH AB

⊥
⇒ ⊥ ⇒ =

⊥

Trong tam giác vuông ACC' có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
' 4 4CH CC AC a a a
= + = + =
⇒
2
5
a
CH =
Tứ giác BCC'B' là hình thang vuông tại B và C
nên B'C và BC' cắt nhau tại E
⇒
E = B'C

⊥
B'N(K
∈
B'N)
Ta có
( ' )
'
AL BN
AL BB N AL BK
AL BB

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Mà
{ }
'
( ' ')
'
( ' '), ( ' ')
BK AL
BK B N
BK AB C
AL B N N
AL AB C BL AB C

⊥


0 0
180 150 )LBA ABC= − =
⇒
2
3 39
13
13
a a
BN
a
= =
Trong tam giác vuông B'BN có :
2 2 2 2 2 2
1 1 1 13 1 16 3
4
' 3 3
a
BK
BK BN BB a a a
= + = + = ⇒ =
Trang 10
C
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
Mặt khác : BI cắt AB'C' tại L
⇒
( ,( ' ')) 3 3 3 3
( ,( ' ')) . ( ,( ' '))
( ,( ' ')) 2 2 8
d I AB C LI a

⊥

Gọi K là trọng tâm của tam giác ABC, ta có
1 2
2 2
1 2
3 6
a
OB AC
a
OK OB
= =
= =

Trong tam giác OCK vuông tại O, ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 20 20
20
2 2
6 2
a
OH
OH OK OC a
a a
= + = + = ⇒ =
   
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Trong tam giác vuông OIH có

= = ⇒ = = ⇒ =
Dạng toán 2 : Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng
Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong
đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy
(ABCD).SA =
6a
.Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC)
Giải
Vì AD//BC nên AD//(SBC) do đó
d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC))
Dựng AE
⊥
BC tại E , ta có
( )
BC AE
BC SAE
BC SA

⊥
⇒ ⊥

⊥

Dựng AF
⊥
SE tại F, ta có
( )
( ( ))
AF SE
AF SBC

 
 ÷
 ÷
 
2
2
2 6
3 3
a a
AF AF⇒ = ⇒ =
Vậy : d(AD,(SBC)) =
6
3
a
AF =
Dạng toán 3 : Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
a) Hai đường thẳng chéo nhau nhưng vuông góc với nhau
Bài 6 : Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA =
2a
, đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = a.Gọi M là trung điểm AB.Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC
Giải
Ta có :
( )
BC SA
BC SAB BC SM
BC AB

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥

·
SMA BMH=
(Hai góc đối đỉnh)
⇒
2
2
. 2
. 2
2
3
2
4
a
a
BH SA BM SA a
BH
BM SM SM
a
a
= ⇒ = = =
+
Vậy : d(SM,BC) =
2
3
a
Trang 13
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với
nhau


⇒ = +
ACD⇒ ∆
vuông tại C
Khi đó : d(SA,CD) = AC =
2a
b) Ta có
( )
AB AD
AB SAD AB SD
AB SA

⊥
⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥

Dựng AH
⊥
SD (H
SD∈
) khi đó ta có
( ( ), ( ))
AH SD
AH AB AB SAD AH SAD

⊥

⊥ ⊥ ⊂


∈
AD)
Theo cách dựng ta có : EF = AK = d(AD,SC)
Mặt khác ta có :
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2
2 3AK SA AB a a a
= + = + =
2
2
2 2
3
3
a a
AK AK⇒ = ⇒ =
.Vậy d(AD,SC) =
2
3
a
EF AK= =
Bài 8 : Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh
a.Gọi D,E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC , A'C', C'B'.Tính khoảng cách
giữa các cặp đường thẳng sau
a) DE và AB' b) A'B và B'C'
Giải
a) Ta thấy DF cắt B'C tại K là trung điểm của mỗi
đường.Gọi E' là trung điểm của AC thì E'K//AB'
mà B'C cắt mặt phẳng (DFEE') tại K và
AB'//(DFEE'), suy ra
d(AB',DE) = d(AB',(DFEE')) = d(B',(DFEE'))

3 21
7 7
a a
FH FH⇒ = ⇒ =
Vậy : d(A'B,B'C') =
21
7
a
III - Bài tập đề nghị
Bài 1 : cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên là hình vuông cạnh bằng
a.Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, A'C', B'C'.Tính khoảng cách
giữa các cặp đường thẳng sau
a) DE và AB' b) A'B và B'C' c) DE và A'F
Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O, SO vuông góc
mặt phẳng (ABCD); AC = 4, BD = 2, SO =
3
.Gọi M là trung điểm SC. Tính
a) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
b) Tính khoảng cách giữa SA và BM
Bài 3 : Cho hai tia Ax và By chéo nhau, góc giữa Ax và By bằng 60
0
và AB = a
là đoạn vuông góc chung của chúng.Trên By lấy C sao cho BC = a.Gọi D là hình
chiếu vuông góc của C trên Ax
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD)
b) Tính khoảng cách giữa AC và BD
Trang 16
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
Bài 4 : Cho hình vuông ABCD cạnh a.Gọi I là trung điểm AB.Dựng SI vuông

Trang 17
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
a. Đối với bản thân:
- Giáo viên phải nghiên cứu sâu, kỹ về kiến thức chuyên môn và các kiến thức
liên quan đến bài dạy. Nên từ đó đã xoá đi tính chủ quan của giáo viên, dần theo
thời gian giáo viên đã tự bồi dưỡng cho mình một kiến thức chuyên môn vững
vàng.
- Những cách giải quyết vấn đề khác nhau của học sinh làm cho giáo viên có
nhiều kinh nghiệm trong dự đoán các tình huống và xử lý tình huống.
b. Đối với học sinh:
- Đa số các em đều biết vẽ hình và nhiều em vẽ đẹp và rất chính xác, qua đó các
em đã giải được các bài toán về hình học không gian cơ bản.Nhiều em đã giải
được các bài toán khó, tìm ra được nhiều cách giải khác nhau và độc đáo từ một
bài toán đã được giải
- Học sinh học môn học này không còn gò bó theo khuôn mẫu, mà các em phát
huy được tính tích cực, độc lập, sáng tạo trong học tập.
- Các em học sinh học, từ những bước cơ bản vững chắc đầu tiên, dẫn đến đam
mê, rồi các em hiển nhiên trở thành một học sinh giỏi toán
c. Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn:
Đây là phương pháp không khó, giáo viên nào cũng có thể thực hiện được. Và
đặc biệt là áp dụng được đối với tất cả các đối tượng học sinh. Nên tôi đã đem
phổ biến trong tổ, các anh em trong tổ cũng có nhiều góp ý quí báu và đã mạnh
dạn áp dụng phương pháp này vào lớp mình phụ trách và bước đầu đã mang lại
thành công.
3. Nguyên nhân thành công và tồn tại:
a. Nguyên nhân thành công:
- Sử dụng cơng nghệ thông tin vào môn hình học là một trải nghiệm mới mẻ và
đầy tính sáng tạo, gây hứng thú cho các em, có thể biểu biễn và biến tấu hình học
một cách sinh động, phát huy được tối đa tính sáng tạo trong giải toán

giáo. Với tinh thần đó tôi mong muốn góp phần nhỏ trí tuệ của mình trong giảng
dạy với cc đồng nghiệp, mong tất cả các thầy, cô giáo có nhiều SKKN hay góp
phần nâng cao chất lượng giảng dạy nói chung và bộ môn Toán nói riêng.
Tôi xin chân thành cảm ơn
Trang 19
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, không sao chép nội dung của
người khác
Người thực hiện
Mai Tiến Linh
Trang 20
Skkn : Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về khoảng cách trong chương trình hình học 11, bằng cách
tách hình học phẳng từ hình học không gian và biểu diễn hình với phần mềm Geometer's ketchpad
PHỤ LỤC
MỘT SỐ SÁCH VÀ WEBSITE ĐÃ THAM KHẢO
1 Chuyên đề giải toán hình học không gian
Nguyễn Anh Trường-
Nguyễn Tấn Siêng
2 Các dạng toán luyện thi đại học - Nhà xuất bản HN
Phan Huy Khải
3 500 bài toán hình học không gian chọn lọc
Nguyễn Đức Đồng
4
Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và tuổi trẻ
quyển 1,2,3,4,5,6 - Nhà xuất bản giáo dục
Nhiều tác giả
5 Bài giảng toán trọng tâm chương trình chuẩn toán 11