Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình vô tỷ là một đề tài l thú vị của Đại số, đã lôi cuốn nhiều người nghiên
cứu say mê và tư duy sáng tạo để tìm ra lời giải hay,  tưởng phong phú và tối ưu. Tuy đã
được nghiên cứu từ rất lâu nhưng phương trình vô tỷ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà
những người đam mê Toán học luôn tìm tòi học hỏi và phát triển tư duy.
Mỗi loại bài toán phương trình vô tỷ có những cách giải riêng phù hợp. Điều này có
tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Bên cánh đó, các bài
toán giải phương trình vô tỷ thường có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán ở các cấp
THCS.
Chuyên đề '' Giải phương trình vô tỉ'' được viết theo chương trình SGK hiện hành
nhằm dạy học sinh đại trà trên lớp cũng như ôn thi học sinh giỏi.
Chuyên đề đã giới thiệu một số phương pháp hay dùng để giải phương trình vô tỉ:
Ôn thi học sinh đại trà:
Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA
Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI
Ôn thi học sinh giỏi , lớp chọn:
Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ
Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC
Trong chuyên đề mỗi một phương pháp có dành nhiều bài tập cho học sinh tự luyện.
Chúng tôi hy vọng chuyên đề này sẽ mang lại cho bạn đọc nhiều điều bổ ích và giúp
các bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp của Toán học qua các phương trình vô tỷ.
Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, nhưng chuyên đề không tránh khỏi những sai sót. Chúng tôi
mong nhận được những  kiWn đóng góp qu báu từ các thày cô và các em học sinh để
chuyên đề ngày càng hoàn thiện hơn!
Mọi đóng góp xin gửi về : [email protected]
Chúng tôi xin cảm ơn!

1

 
     
   
≥


= ⇔ ≥


=

2/
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
 
   
   
≥

= ⇔

=

3/
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( )
 

2
2
( ) 0
( ) ( ) ( )
( ) ( )


 
     
   
≥

= ⇔ ∈

=

6/
*
2 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 
         
+ +
= ⇔ = ∈
7/
2 1 *
2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )




2 3 ⇔ + =

2
2
0
2 3
0
2 3 0
0
3
1
3

 

 




≥

⇔

+ =

≥

⇔

⇔ − ≥


+ = − + − + − −


3
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
2
1
2
2 1 2 3 1

  

≤

⇔


+ = − +


2 2
1
2
2 1 0
(2 1) 2 3 1





≤ ≤
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
=

 
+ =



= −


Bài 4: Giải phương trình:
2
2 3 4 0 − − − =
HD:ĐK:
2
2 0
2
4 0



− ≥

⇔ ≥

−

=

− + =


KWt hợp (1) và (2) ta được:x = 2
Bài 5. Giải phương trình :
3 3  − = +
HD:Đk:
0 3≤ ≤
khi đó pt đã cho tương đương:
3 2
3 3 0  + + − =
3
3
1 10 10 1
3 3 3 3
 
−
 
⇔ + = ⇔ =
 ÷
 
Bài 6. Giải phương trình sau :
2
2 3 9 4  + = − −
HD:Đk:
3


Bài 7. Giải phương trình sau :
( ) ( )
2
2
3
3
2 3 9 2 2 3 3 2    + + = + +
HD: pt
( )
3
3 3
2 3 0 1  ⇔ + − = ⇔ =
Bài 8. Giải và biện luận phương trình:
2
x 4 x m− = −
HD: Ta có:
2
x 4 x m− = −
⇔
2 2 2 2
x m x m
x 4 x 4xm m 2mx (m 4) 0
≥ ≥
 
⇔
 
− = − + − + =
 
– NWu m = 0: phương trình vô nghiệm

2
m 4
x
2m
+
=
– NWu –2 < m ≤ 0 hoặc m > 2: phương trình vô nghiệm

4
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Bài 9. Giải và biện luận phương trình với m là tham số:
 −=− 3
2
 !"###$%
HD: Ta có:
2
2 2 2 2
x m x m
x 3 x m
x 3 x m 2mx 2mx (m 3) 0
≥ ≥
 
− = − ⇔ ⇔
 
− = + − − + =
 
– NWu m = 0: phương trình vô nghiệm
– NWu m ≠ 0:
2
m 3

hoặc
m 3≤ −
. Phương trình có một nghiệm:
2
m 3
x
2m
+
=
– NWu
3 m 0− < ≤
hoặc
m 3>
: phương trình vô nghiệm
Bài 10. Giải và biện luận theo tham số m phương trình:
x x m m− = −
HD: Điều kiện: x ≥ 0
– NWu m < 0: phương trình vô nghiệm
– NWu m = 0: phương trình trở thành
x( x 1) 0− =
⇒ có hai nghiệm: x
1
= 0, x
2
= 1
– NWu m > 0: phương trình đã cho tương đương với
( x m)( x m 1) 0− + − =
x m 0
x 1 m


x 1 x 7 12 x+ − − = −

7/
x x 1 x 4 x 9 0− − − − + + =
8/
2 5 0 − − =
9/ 3 =
2
6 −
10/
1
5 1 2 0
2
 − + =
11/
19
3 2 3
6
− + =
12/
2
8 5 2 0
3
− − =
13/
16 17 8 23 + = −
14/
3 1 2 3 + + − =
15/
20 3 2 2 3 − − = −

2
2 3   + − = −
a) Giải phương trình khi m=3
b) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm.

5
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a/
7 3 9 0 − − − =
d/
1 9
1 1 3 1 17
2 2
  − − − + − = −
g/
2 6
4 7
 
 
− −
=
− −
b/
2 1 1 − =
e/
5 3
3 9 27 4 12 1
3 2
  − − − + − = −

(1)
HD: (1) ⇔
2
(x 2) 8 x− = −
⇔ |x – 2| = 8 – x
– NWu x < 2: (1) ⇒ 2 – x = 8 – x (vô nghiệm)
– NWu x
≥
2 : (1) ⇒ x – 2 = 8 – x ⇔ x = 5 (thoả mãn) Vậy: x = 5.
Bài 2: Giải phương trình:
x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1+ + + + + − + = + − +
(2)
HD : (2) ⇔
x 1 0
x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1
+ ≥



+ + + + + + − + + = + − + +


⇔
x 1
x 1 1 | x 1 3 | 2.| x 1 1|
≥ −



+ + + + − = + −

Pt
1 2 1 1 1 2 1 1 2   ⇔ − + − + + − − − + =

1 1 1 1 2 ⇔ − + + − − =
NWu
2
>
pt
1 1 1 1 2 ⇔ − + + − − =

2
⇔ =
(Loại)
NWu
2
≤
pt
1 1 1 1 2 ⇔ − + + − − =
0 0
⇔ =
(Luôn đúng với

∀
)
Vậy tập nghiệm của phương trình là:
{ }
|1 2&  ' = ∈ ≤ ≤

6
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An

12/
2 2 5 2 3 2 5 7 2   − + − + + + − =
13/
2 2
2 2 1 5 0   + − + + − =
14/
45224252642 =−−−+−++ 
15/
2
4 4 2 10  − + + =
16/
2
2 1 2 8  − + + =
17/
1 1
2
2 4
  + + + + =
18/
05261
4
1
2
=−−++

19/
3
2 1 2 1
2


Nhận xét.
2 2
1. 1 1   − − + − =
Đặt
2
1  = − −
thì phương trình có dạng:
1
2 1 

+ = ⇔ =
Thay vào tìm được
1
=
Bài 2. Giải phương trình:
2
2 6 1 4 5  − − = +
HD:Điều kiện:
4
5
 ≥ −
Đặt
4 5( 0)  = + ≥
thì
2
5
4


−


7
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Đơn giản nhất là ta đặt :
2 3 4 5+ − = +
và đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ
đưa về hệ)
Bài 3. Giải phương trình sau:
5 1 6 + + − =
HD:Điều kiện:
1 6
≤ ≤
Đặt
1( 0)+  += − ≥
thì phương trình trở thành:
2 4 2
5 5 10 20 0+ + + + ++ + = ⇔ − − + =
( với
5)+ ≤
2 2
( 4)( 5) 0+ + + +⇔ + − − − =
1 21 1 17
,
2 2
(loaïi)+ +
+ − +
⇔ = =
Từ đó ta tìm được các giá trị của
11 17
2

2 3 
 
+ − = +
Đặt
1
 

= −
, ta giải được.
Bài 6. Giải phương trình :
2 4 23
2 1   + − = +
HD:
0
=
không phải là nghiệm , Chia cả hai vW cho x ta được:
3
1 1
2 
 
 
− + − =
 ÷
 
Đặt t=
3
1


−


=


1+⇔ =
Với y = 1
2
7 7 1 ⇔ + + =

1
6


= −

⇔

= −

Là nghiệm của phương trình đã cho.
Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyWt được một lớp bài đơn
giản, đôi khi phương trình đối với

lại quá khó giải
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
 Chúng ta đã biWt cách giải phương trình:
2 2
0, ,- -
α β
+ + =

phương trình vô tỉ theo dạng này .
a) . Phương trình dạng :
( ) ( ) ( ) ( )
. . . .  /    .   + =
Như vậy phương trình
( ) ( )
0  1 
α
=
có thể giải bằng phương pháp trên nWu:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
.1  .   
0  .  / 
 =


= +


Xuất phát từ đẳng thức :

( )
( )
3 2
1 1 1   + = + − +
( ) ( ) ( )
4 2 4 2 2 2 2
1 2 1 1 1        + + = + + − = + + − +
( ) ( )

, -
, - ,-
, -
=


+ = ⇔

=

Tìm được:
5 37
2

±
=
Bài 2. Giải phương trình :
2 4 2
3
3 1 1
3
   − + = − + +
(*)
HD:Dễ thấy:
( ) ( ) ( )
4 2 4 2 2 2 2
1 2 1 1 1        + + = + + − = + + − +
Ta viWt
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2

( )
( )
( )
2 2
1 1 7 1 1     
α β
− + + + = − + +
Đồng nhất vW trái với (*) ta được :
( ) ( ) ( )
( )
2
3 1 2 1 7 1 1     − + + + = − + +
Đặt
2
1 0, 1 0,  -  = − ≥ = + + >
, ta được:
9
3 2 7
1
4
- ,
, - ,-
- ,
=


+ = ⇔

=


3 2
10 1 3 2 + = +
HD:ĐK:
1
≥ −
Pt
2 2
10 1. 1 3( 2)   ⇔ + − + = +
Đặt
2
1
( , 0)
1
, 
, -
-  

= +

≥

= − +


Phương trình trở thành:10uv = 3(u
2
+v
2
)
⇔


là nghiệm.
b).Phương trình dạng :
2 2
, - , -
α β
+ = +
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nWu ta bình
phương hai vW thì đưa về được dạng trên.
Bài 1. Giải phương trình :
2 2 4 2
3 1 1   + − = − +
HD:Ta đặt :
( )
2
2
, 0;
1
, 
, - , -
- 

=

≥ ≥

= −


khi đó phương trình trở thành :

= −

khi đó ta có hệ :
1 5
2
1 5
2
, -
,- , -
, -

−
=


= − ⇔

+
=


Do
, 0, - ≥
.
( )
2
1 5 1 5
2 2 1
2 2
, -   

= − −

= +

.

10
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Nhưng may mắn ta có :
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
20 1 4 5 1 4 4 5        − − + = + − + = + − −
Ta viWt lại phương trình:
( )
( )
2 2
2 4 5 3 4 5 ( 4 5)( 4)     − − + + = − − +
. ĐWn đây bài toán
được giải quyWt .
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
 Từ những phương trình tích
( ) ( )
1 1 1 2 0  + − + − + =
,
( ) ( )
2 3 2 3 2 0   + − + − + =
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ
khó của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .

1 2 3 1   + − + = +
HD:Đặt :
2
2 3, 2   = − + ≥
Khi đó phương trình trở thnh :
( )
2
1 1  + = +
( )
2
1 1 0  ⇔ + − + =
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có
∆
chẵn :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
2 3 1 2 1 0 1 2 1 0
1

        
 
=

− + − + + − = ⇔ − + + − = ⇔

= −

Bài 3:Giải phương trình:
( )

4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích
 Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô
tỉ mà khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa
về hệ
Xuất phát từ đẳng thức
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3 3
3 /   /   / /   + + = + + + + + +
, Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
3
3 3 3
0 /   /   /   / + + = + + ⇔ + + + =
Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba .
2 23 3
3
7 1 8 8 1 2    + − − − + − + =
3 3 3 3
3 1 5 2 9 4 3 0   + + − + − − − =
Bài 1. Giải phương trình :
2 . 3 3 . 5 5 . 2      = − − + − − + − −
HD:ĐK:
2
≤

11
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Đặt
2 ; 0

2 ,- -2 2,
- 2 , 2
 + + =

− = + +


− = + + ⇔ + + =
 
 
− = + +
+ + =
 
, giải hệ ta
được:
30 239
60 120
, = ⇔ =
Bài 2. Giải phương trình sau :
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2      − + − − = + + + − +
HD:Ta đặt :
2
2
2
2
2 1
3 2
2 2 3
2

2 2
4 5 1 2 1 9 3    + + − − + = −
HD:Đặt
( )
2
2
4 5 1
; 0
1
  
 /
/  

= + +

≥

= − +


Ta được hệ phương trình:
2 2
4 9 3
2 9 3
 / 
 / 

− = −

− = −

0
≥
(1)
VP(*) =
2
2
1 3
1 2 1 1 2 1 3 0
2 4
  
 
− − + = − − + ≤ − <
 ÷
 
(2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
1
3
 =
Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau :
( ) ( ) ( )
3
3 2
4
4
4
4
1 1 1 1       + − + − = − + + −

35
+  +
 +
+ =



+ =


, giải hệ này ta tìm
được
( ; ) (2;3) (3;2) + = =
. Tức là nghiệm của phương trình là
{2;3} ∈
Bài 2. Giải phương trình:
4
4
1
2 1
2
 − − + =

12
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
HD:Điều kiện:
0 2 1≤ ≤ −
Đặt
4
4

, -
- -

= −


+ =
 
⇔
 
 
 
+ = −
− + = −

 ÷

 

Giải phương trình thứ 2:
2
2 2
4
1
( 1) 0
2
- -
 
+ − + =
 ÷

11 17
1 1 5 1 1 5
2
    
−
− + = + − ⇔ − = − ⇒ =
Bài 4. Giải phương trình:
6 2 6 2 8
3
5 5
 
 
− +
+ =
− +
HD:Điều kiện:
5 5
− < <
Đặt
( )
5 , 5 0 , 10,  - + , -= − = − < <
.
Khi đó ta được hệ phương trình:
2
2 2
( ) 10 2
10
2 4
4 4 8
( ) 1

Đặt
4
4
629
( ; 0)
77
, 
, -
- 

= −

≥

= +


706,8
44
=+=+⇒ -,-,
Đặt t = uv



=
=
⇔
=+−⇒
113
15



Với v > u ≥ 0
Phương trình (1) trở thành u + v = 3

13
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Ta có hệ phương trình
2 2
3 2
3 2
3 2
3 2
3
3
3 3 1
( )( ) 3 1 2
1 1
2 2
1 1
2 4
, -
- ,
, - , - ,
- , - , - , -
 
 
 
 
+ =

2
2
2 0
( 1)( 2 2) 0
1 ( 2 2 0 )
 
  
 34   
⇔ + − =
⇔ − + + =
⇔ = + + > ∀
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}
Bài 7. Giải phương trình:
2
2
3
2
1






−=− 
HD: Điều kiện:
2
1 1
1 0
0 1





=






−
−=−
2
2
42
3
2
11
-
,
Do dó ta có hệ
( )
( )
4 4
4 2
2
2
2
2 2 2 2 2 2

, -
, -
, -
, -
, -
, - , - , - , - , -
, -
, -
, - , -
, - , -
, -
, -
, -


+ =
+ =
 
⇔
 
 
+ =
− =




+ =
+ =



+ =



−

=


⇔
+ =
2
5
8 194
.
18
, -













2
)(0
18
1948
3
2
2
2
/++
++
• (b) vô nghiệm
• (a) có 2 nghiệm
3
3
2
97
1
;
2
3
2
97
1
21
−+
=
−−
= ++
Do đó:


97
1 −+
=⇒ 
2
3
3
2
97
1














−+
=⇒ 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
2
3
2
97

≤
−≥
⇔
≥−
≥+
5
64
5
18
5
64
5
18
0564
0518





(*)
Đặt
44
564,518 -, −=+=
, với u ≥ 0, v ≥ 0
Suy ra



−=

82
4
2
2
2244

, ,
-,

-,
-,
Đặt A = u + v và P = u.v, ta có:
( )










≥
=∨=
=
⇔
≥
=+−
=

&
(1) Với S = 4, P = 3
u và v là nghiệm của phương trình:

15
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
2
1
4 3 0
3
+
+ +
+
=

− + = ⇔

=

Do đó ta có:






=
=
∨
=

⇔ ∨
 
− = − =
 
5
63
5
17
=∨−=⇔ 
thoả mãn (*)
(2) Với S = 4, P = 29
⇒
không tồn tại u và v
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
1
2
17
5
63
5



= −



=



1 ( 2 1) 1 2 2    + = + − + ⇔ + = +
Vậy để giải phương trình :
2
2 2  + = +
ta đặt lại như trên và đưa về hệ
Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :
( )
( )
2
2
 + /
+  /
α β
α β

+ = +


+ = +


, ta sẽ xây dựng được
phương trình dạng sau : đặt
+  /
α β
+ = +
, khi đó ta có phương trình :
( )
2


???
Việc chọn
;
α β
thông thường chúng ta chỉ cần viWt dưới dạng :
( )
' '


 !   /
α β γ
+ = + +

là chọn được.
Bài 1: Giải phương trình:
2
2 2 2 1  − = −
HD:Điều kiện:
1
2
 ≥
Ta có phương trình được viWt lại là:
2
( 1) 1 2 2 1 − − = −

16
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
Đặt
1 2 1+ − = −
thì ta đưa về hệ sau:

  
  

− = −


− = −


Giải hệ này ta sẽ tìm được x.
Bài 2. Giải phương trình:
2
2 6 1 4 5  − − = +
HD:Điều kiện
5
4
 ≥ −
Ta biWn đổi phương trình như sau:
2 2
4 12 2 2 4 5 (2 3) 2 4 5 11    − − = + ⇔ − = + +
Đặt
2 3 4 5+ − = +
ta được hệ phương trình sau:
2
2
(2 3) 4 5
( )( 1) 0
(2 3) 4 5
 +
 +  +

2
- 5 = x và kWt hợp với (*) ta được hệ phương trình:
2
2
5
5
 
 

− =


− =


từ đây ta sẽ tìm được nghiệm.
Bài 4:Giải phương trình: 7x
2
+ 7x =
4 9
( 0)
28


+
>
.
HD:Đặt
4 9
28

7 7
2
1
7 7
2
  
  

+ = +




+ = +



Giải hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm.
Bài tập áp dụng:
Giải phương trình:
2
2 2 1 4 1  + + = +
PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
I-KIẾN THỨC:
1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:
Cho hai bộ số : ( a , b), (x , y) thì ta có: (ax + by)
2

2 2 2 2
( )( ) /  +≤ + +

Dấu ‘‘=’’ xảy ra
 /
⇔ =
= c
c) Với bốn số a, b, c, d
≥
0 thì ta có:
4
4
 /  3
/3
+ + +
≥
Dấu ‘‘=’’ xảy ra
 /
⇔ =
= c = d
e) Với n số a
1
, a
2
,…, a
n

≥
0 thì ta có:
1 2
1 2

.

M
ax
. 5
5 . 5
⇒ ≤
⇒ =
Dấu ''='' xảy ra
⇔
g(x) = 0
4. Dùng hằng đẳng thức :
Từ những đánh giá bình phương :
2 2
0. + ≥
, ta xây dựng phương trình dạng
2 2
0. + =
Từ phương trình
( ) ( )
2 2
5 1 2 9 5 2 1 0   − − + − − + − =
ta khai triển ra có phương trình :
( )
2
4 12 1 4 5 1 9 5    + + − = − + −
5. Dùng bất đẳng thức
Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức:
(1)
(2)
. 
 

1 2008 1 2008 1
1
  

− + + = + +
+
Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ  tưởng :
( )
( )
.  
  
 ≥


≤


khi đó :
( )
( )
.  
. 
  
 =

= ⇔

=



 
   
 
 
+ ≤ + + + = +
 ÷  ÷
 
  +
+ +
 
   
 
Dấu bằng
2 2 1 1
7
1 1

 
⇔ = ⇔ =
+ +
Bài 2. Giải phương trình :
2 4 2 4
13 9 16   − + + =
HD:Đk:
1 1− ≤ ≤
BiWn đổi pt ta có :
(
)
2
2 2 2

10 16 10
5




 


=
+

− =


⇔ ⇔



= −
= −



Bài 3. Giải phương trình:
3` 2
4
3 8 40 8 4 4 0   − − + − + =
HD:Ta chứng minh :
4

2
3 2 1 2  − + − + + =
HD:ĐK:
[ ]
1;2 (1) ∈
PT
2
3 2 2 1 (2)  ⇔ − + − = − +

Từ (2) ta có:

2 1 0
1 2
1 2
1 (3)




− + ≥
⇔ + ≤
⇔ + ≤
⇔ ≤
Từ (1) và (3) Ta có x = 1 thW vào (2) thoả mãn.Vậy :x = 1
Bài 6:Giải phương trình :
x 4x 1
2
x
4x 1
−

(x 2) 3
x 2 3
⇔ − + =
⇔ − =
⇔ = ±
Dấu “=” xảy ra ⇔
2
x 4x 1 x 4x 1 0= − ⇔ − + =
⇔
2 2
x 4x 4 3 0 (x 2) 3 x 2 3 x 2 3− + − = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔ = ±
(Thoả mãn)
Vậy :
2 3 = ±
Bài 7:Giải phương trình :
x 1 5x 1 3x 2− − − = −
HD: Cách 1. điều kiện x ≥ 1
Với x ≥ 1 thì: VW trái:
x 1 5x 1− < −
⇒ vW trái luôn âm
VW phải:
3x 2−
≥ 1 ⇒ vW phải luôn dương
Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm
Cách 2. Với x ≥ 1, ta có:

x 1 5x 1 3x 2− = − + −
⇔
x 1 8x 3 2 (5x 1)(3x 2)− = − + − −
⇔

+
HD: điều kiện x ≥
1
2

Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình
– NWu
1
x 2
2
≤ <
: VT =
6
1 8 8 3
x 1
+ + < +
+
. Mà: VP >
8 3+
– NWu x > 2: VP = 2x
2
+
2x 1−
> 2.2
2
+
3
=
8 3+
. VT <

−
và
8
4
2 x
<
−
⇒
6 8
6
3 x 2 x
+ <
− −
.
Tương tự với
3
2
< x < 2:
6 8
6
3 x 2 x
+ >
− −
Bài 11:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
( )
1 1 1 1 4 4
1.2 2.3 3.4 . 1
4 5

 

1 2 1 2
1 2 1 2
 
 
 
− +
− + + = +
+ −
2
2
1 1
2 2 4 
 
 
− + − = − +
 ÷
 
4 4 4
2 8 4 4 4 4  + = + + −
4 33
16 5 6 4  + = +
3` 2
4
3 8 40 8 4 4 0   − − + − + =
3 3 4 2
8 64 8 28   + + − = − +
4 4 4
1 1 2 8   + − + − − = +
2
3 5 8 18   − + − = − +

( ) ( )      )= ⇔ = =
do đó
0

là nghiệm
• Với
0 0
( ) ( )      )> ⇔ > =
do đó phương trình vô nghiệm
• Với
0 0
( ) ( )      )< ⇔ < =
do đó phương trình vô nghiệm
• Vậy
0

là nghiệm duy nhất của phương trình
Hướng 2: Thực hiện theo các bước
67: Chuyển phương trình về dạng:
( ) ( )   =
67: Dùng lập luận khẳng định rằng
( ) 
và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và
xác định
0

sao cho
0 0
( ) ( )   =


Xét hàm số
( )
(
)
2
2 3   = + +
, là hàm đồng biWn trên R, ta có
1
5
 = −
Ví Dụ 2: Giải phương trình:
3 3 3
6 2 3 0  + + + + + =
HD: nhận thấy x = -2 là một nghiệm của phương trình
Đặt
( )
3 3 3
6 2 3    = + + + + +
Với
( ) ( )
1 2 1 2
     < ⇒ <
vậy hàm số f(x) đồng biWn trên R.
Vậy x = -2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài tập áp dụng:
Giải phương trình:
a)
2
4 1 4 1 1 − + − =
c)

( )
0.  =
vô nghiệm
Bài 1:Giải phương trình:
( ) ( )
2
2 1 2    + + − =
(1)
HD: C1: ĐK
2; 1 ≤ − ≥
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2 2
2
1 2
1 2
3
2 2
1 2
   

   


   
− − −
⇔ =
− − +

NWu x
≤
-2 ta có
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3
1 2
3
2
2 1 2 4
2
1 2 2
   
  
    

− − + =

⇒ − = − +


− + + = −

Giải (4) ta tìm được x
C2: ĐK:
2; 1 ≤ − ≥
NWu x
≥
1 ta chia cả hai vW cho

Sau đó tìm ra x.
Trong C1 ta đã sử dụng kiWn thức liên hợp. Còn trong C2 ta vận dụng kiWn thức miền xác
định về ẩn của phương trình.nhìn chung thì việc vận dụng theo C2 đơn giản hơn.
Bài 2 . Giải phương trình sau :
( )
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4      − + − − = − − − − +
HD:
Ta nhận thấy :
( ) ( )
( )
2 2
3 5 1 3 3 3 2 2    − + − − − = − −
v
( ) ( )
( )
2 2
2 3 4 3 2   − − − + = −
Ta có thể trục căn thức 2 vW :
( )
2 2
2 2
2 4 3 6
2 3 4
3 5 1 3 1
 
  
   
− + −
=

 
 
 
 
− −
+ − = − + + − ⇔ = − +
+ + + +
 
+ +
⇔ − − − = ⇔ =
 ÷
+ + + +
 
Dễ dàng chứng minh được :
2 2
2 2 5
3 0,
3
12 4 5 3
 

 
+ +
− − < ∀ >
+ + + +
Bài 4. Giải phương trình :
2 33
1 1  − + = −
HD :Đk
1 ≥

Ta chứng minh :
( )
(
)
2
2
2 2 23 3
3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
 
  
+ +
+ = + <
− + − + − + +
2
3
3 9
2 5
 

+ +
<
− +
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 3
Bài 5:Giải phương trình sau:
2 2
2 2
3 3

3
2 2 4 2
0
3 3 2 3 27

   
>


⇒

− + + + − =


( )
( )
( )
2 4
2
4 3 2 4
4 3 4 4
0 ; 9 2 0
0
2 ( 3) 9 2
4( 3) 9 2
  

  
  




≥ −



≠

Pt
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 3 9 2
9
3 9 2 3 9 2
 

 
+ +
⇔ = +
− + + +

( )
2
2
2 18 2 6 9 2
9
4

3 10



= + −
+
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Tìm tất cả các số thực x
1
; x
2
; …; x
2005
thoả mãn:
( )
2 2 2
1 2 2005 1 2 2005
1
1 2 2 2005 2005
2
     
− + − + + − = + + +
Bài 2: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:
( )
1
1 2
2
 + 9  + 9+ − + − = + +
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1 2 3 2 − + − =

2( 2) 5 1 + = +
2 2
17 . 17 9   + − + − =
2 2
1
1 1
2
   + + − − + =

24
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ Tổ Toán Trường THCS Mỹ An
4 3 10 3 2 − − = −
 +=− 3.3
2 2 2
1 1 2     + − + − + = − +
08645.27
5
610
5
=+− 
2 2
3 2 2 1    + = + + −
83124
22
++=++ 
Bài 4: Giải các phương trình sau:
3x10x25
22
=−−−
2 2 2

=+−+
5 1 4 20 1 − + = − −
3
7 1 2 + + − =
2 2
3 5 3 5 12 48 5   + − − = +
1 1
4 6 0 


 
 
+ − + + =
 ÷
 ÷
 
 
2 2
5 1
5 3 3 1
 
− = +
− +
5 1
4 20 3 9 45 4
9 3

 
−
− + − − =

+
−
3
3
.
x
4
+
2
2005 2005 + =
.
1 1 1 /   / + − = + − −
(a , b > 0)
2 2
5 4 5 5 28 0   + + − + + =
64x
6
- 112x
4
+ 56x
2
- 7 = 2
2
1 −
.
Bài 5: K hiệu [x] là phần nguyên của x
Giải phương trình sau:
3 3
3 3
1 2 1 855

+ + = − − − − − −
− − −

Bài 9:Giải các phương trình sau :
2 2
5 14 9 20 5 1    − + − − − = +
3
3
6 1 8 4 1  + = − −
1 1 1
2 1 3

 
  
−
+ = − + −
( )
( )
2
15
30 4 2004 30060 1 1
2
  − = + +
( )
3 3
4 1 1 2 2 1   − + = + +
2 2
4 4 10 8 6 10   − − = − −
(
)