HÖ thøc Vi - Ðt vµ øng dông
MỤC LỤC
Chỉ số Tên đề mục Trang
Phần I Đặt vấn đề 2
Phần II
I
II
Nội dung
Thực trạng của vấn đề
Giải quyết vấn đề
3
A Kiến thức cơ bản 3
B
Dạng 1
Một số bài tập vận dụng
Loại toán tìm nghiệm, tìm hai số và xét dấu của các nghiệm
4
4
Dạng 2 Tìm điều kiện của tham số để phương trình có một nghiệm x = x
1

cho trước; tìm nghiệm kia
8
Dạng 3 Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có hai nghiệm x
1
,
x
2
thoả mãn điều kiện cho trước
10
Dạng 4 Loại toán tính giá trị của biểu thức chứa tổng và tích hai nghiệm 14

để giải và biện luận phương trình bậc hai thì còn có một số bài toán yêu cầu tìm
mối quan hệ giữa hai nghiệm , các phép tính trên hai nghiệm… và đặc biệt là giúp
học sinh tổng hợp được một số dạng toán về phương trình bậc hai có chứa tham số
nhằm phục vụ tốt cho tuyển sinh THPT, các trường chuyên, lớp chọn và tạo tiền đề
vững chắc cho các em khi học lên THPT. Trong bài viết này tôi đã tổng hợp lại
một số bài toán có sử dụng hệ thức Vi- ét từ dễ đến khó nhằm giúp học sinh nắm
được kiến thức và kỹ năng làm bài. Tôi hy vọng rằng đề tài của tôi có phần góp ích
cho bạn bè đồng nghiệp và cho học sinh.
PHẦN II. NỘI DUNG
I. Thực trạng của vấn đề
Trong quá trình giảng dạy và ôn luyện cho học sinh lớp 9 để chuẩn bị tốt cho kì
thi tuyển sinh THPT. Và cũng như qua nhiều tiết dự giờ của bạn bè đồng nghiệp
Phan ViÕt Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An
2
HÖ thøc Vi - Ðt vµ øng dông
tôi thấy: Khi dạy bài “ HỆ THỨC VI - ÉT VÀ ỨNG DỤNG” Hầu hết HS đều
nhận biết được kiến thức cơ bản của “ Hệ thức Vi - ét” . Nhưng về việc vận dụng
“Hệ Thức” sao cho có hiệu quả trong từng bài toán, dạng toán thì HS gặp rất nhiều
lúng túng và bỡ ngỡ. Mà trong các đề thi tuyển sinh vào các trường THPT ( kể cả
một số trường chuyên, lớp chọn) thì thường có bài toán giải phương trình bậc hai
và có câu sẽ vận dụng được hệ thức Vi - ét để làm bài. Bên cạnh đó một số giáo
viên khi giảng dạy chỉ chú trọng việc cung cấp kiến thức cho HS mà ít rèn cho HS
kĩ năng vận dụng kiến thức đó vào bài tập. Chính xuất phát từ những vấn đề đó mà
khi giảng dạy tôi luôn trăn trở và tìm tòi những phương pháp, biện pháp để phát
huy tính hiệu quả.
II. Giải quyết vấn đề
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Cho phương trình ax
2

thì phương trình vô nghiệm
2. Công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai
Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) và b= 2b
’
biệt thức
' '2
b ac
∆ = −

+ Nếu
'
0∆ >
thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:
' '
1;2
b
x
a
− ± ∆
=
+ Nếu
'
0∆ =
thì phương trình có nghiệm kép
'
1 2





× =


Phan ViÕt Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An
3
HÖ thøc Vi - Ðt vµ øng dông
Áp dụng: Tính nhẩm nghiệm
+) Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) có a + b + c = 0 thì phương trình có
một nghiệm x
1
= 1, còn nghiệm kia là x
2
=
c
a
+) Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) có a - b + c = 0 thì phương trình có
một nghiệm x
1

2
– 7x + 12 = 0 (4)
e) ( m - 1) x
2
- ( 2m + 3) x + m + 4 = 0 ( với m
≠
1) (5)
Giải
a) Phương trình (1) có dạng a + b+ c = 0 nên x
1
= 1 ; x
2
= là hai nghiệm của
phương trình đã cho
b) Phương trình (2) có dạng a - b+ c = 0 nên x
1
= - 1 ; x
2
= - là hai nghiệm của
phương trình đã cho
c) Phương trình (3) có dạng a + b+ c = 0 nên x
1
= 1 ; x
2
=
3
3(2 3)
2 3
= +
−

e) u + v = -8 , u
2
- v
2
= 16
Giải
a) Hai số u và v cần tìm là hai nghiệm của phương trình:
x
2
- 15x + 56 = 0
2
15 4 56 1 0
∆ = − × = >

Nên phương trình có hai nghiệm là: x
1
= 7 và x
2

= 8
Vậy Các cặp số ( u, v) cần tìm là: ( 7; 8), (8; 7)
b)
15 ( ) 15
100 ( ) 100
u v u v
uv u v
− = + − =
 
⇔
 

các cách sau:
Cách 1.
2 2
2 2
2
u 25
u 25
12
( ) 144
v
v
uv
uv

+ =

+ =

⇔
 
=
=



Như vậy từ bài toán tìm u và v ta đưa về bài toán tìm u
2
và v
2
Hai số u

u = 4 hoặc u = -4
Với u = 4 thì v = 3
Với u = - 4 thì v = - 3
Vậy các cặp số ( u, v) cần tìm là: ( 3; 4), (- 3; -4) , ( 4; 3) , ( -4 ; -3)
Cách 2:
2 2 2
7
12
u 25 (u ) 25 2
12 12
7
12
u v
uv
v v uv
uv uv
u v
uv

+ =



=
 
+ = + = +


⇔ ⇔
 

+ = + − =

 
Hai số u và v cần tìm là hai nghiệm của phương trình:
x
2
- 5x + 6 = 0
2
5 4 6 1 0
∆ = − × = >

Nên phương trình có hai nghiệm là: x
1
= 2 và x
2

= 3
Vậy Các cặp số ( u, v) cần tìm là: ( 2 ; 3), ( 3 ; 2 )
e) Ta có
2 2
8
8 8
( ) ( ) 16 2
16
u v
u v u v
u v u v u v
u v
+ = −
+ = − + = −

a
−
= 5
P = x
1
x
2
=
c
a
= 3
Phan ViÕt Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An
6
Hệ thức Vi - ét và ứng dụng
Do P > 0 nờn hai nghim cựng du
S > 0 nờn hai nghim cựng du dng
b) Phng trỡnh: 3x
2
5x - 2 = 0
Theo h thc Vi-ột ta cú: S = x
1
+ x
2
=
b
a

=
5
3

P = x
1
x
2
=
c
a
=
1
2
Do P > 0 nờn hai nghim cựng du
S < 0 nờn hai nghim cựng õm
d) Phng trỡnh: 5x
2
+ 12x - 3 = 0
Theo h thc Vi-ột ta cú: S = x
1
+ x
2
=
b
a

=
12
5


P = x
1

2
ta cú cỏc kt qu sau:
Hai nghim x
1
và x
2
trái dấu ( x
1
< 0 < x
2
)

p < 0
Nu S > 0 thỡ nghim dng cú giỏ tr tuyt i ln hn
Phan Viết Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An
7
Hệ thức Vi - ét và ứng dụng
Nu S < 0 thỡ nghim õm cú giỏ tr tuyt i ln hn
Hai nghim cựng dng( x
1
> 0 và x
2
> 0 )

0
0
0
P
S


1
= 0)

0
0
0
P
S
>


=


>

Mt nghim bng 0 v mt nghim õm (x
1
< x
2
= 0)

0
0
0
P
S
>






) (*)
- Thay x = x
1
vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của
tham số
- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*)
để kết luận
+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện
0
(hoặc
0
/

) mà ta thay luôn
x = x
1
vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số
- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và
giải phơng trình
Phan Viết Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An
8
Hệ thức Vi - ét và ứng dụng
Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng
trình bậc hai này có

< 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng
trình có nghiệm x






a = 1

0

m

R

2 2 2
( 1) 4(2 2) 6 9 ( 3) 0m m m m m m = + = + =
(*)
Vỡ x = -2 l nghim ca phng trỡnh ( 1) nờn
( -2)
2
- ( m 1)(-2) + 2m -2 = 0 ( **)

4m + 4 = 0

m = -1 ( tho món iu kin (*))
Vy vi m = -1 thỡ phng trỡnh cú nghim x = -2
( chỳ ý: Trong bi ny cú th khụng cn phi xỏc nh iu kin phng trỡnh
cú nghim)
Phan Viết Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An
9
Hệ thức Vi - ét và ứng dụng

2
= 2m - 2

(-2 ) x
2
= 2 (- 1) - 2

x
2
= 2
Vy nghim kia l x
2
= 2
Dng 3: Tỡm iu kin ca tham s phng trỡnh bc 2 cú hai nghim x
1
, x
2

tho món iu kin cho trc.
Cỏch bin i mt s h thc gia cỏc nghim ca phng trỡnh.
*) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2

3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
) = S
3
3SP
*) x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2

1
2
2
1
xx
xx
x
x
x
x
+
=+
=
2
2S P
P

*) (x
1
a)( x
2
a) = x
1
x
2
a(x
1
+ x
2
) + a

1
, x
2
thoả
mãn
1 2 1 2
x x x x
− = +
(2)
Giải
a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là
0
0
a
≠


′
∆ >

Có a = 1
≠
0
∀
m
R
∈
2 2
( 2) 9 4 13m m m
′

+ ≥
nên suy ra
2 0 2m m
+ ≥ ⇔ ≥ −
(**)
Khi đó: (2)
⇔
4m + 13 = ( m + 2 )
2

⇔
m
2
= 9
⇔
m = 3 hoặc m = -3
m = 3 thoả mãn ( **), m = -3 không thoả mãn ( **)
Vậy: Với m = 3 thì
1 2 1 2
x x x x
− = +
Cách 2: Theo Vi – ét có:
1 2
2
1 2
2( 2)
9
x x m
x x m
+ = +

+ − = + +

⇔

1 2
0x x
=

⇔
m
2
– 9 = 0
⇔
m = 3 hoặc m = -3
m = 3 thoả mãn ( **), m = -3 không thoả mãn ( **)
Vậy với m = 3 thì
1 2 1 2
x x x x
− = +
Bài 6 . Cho ph¬ng tr×nh : x
2
+ 2kx + 6 – 5k = 0 (1) víi k lµ tham sè
Phan ViÕt Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An
11
Hệ thức Vi - ét và ứng dụng
a.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
b. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2

=1 hoc k
2
= - 6 thỡ phng trỡnh cú nghiờmk kộp.
b) iu kin phng trỡnh (1) cú hai nghim l:
6k

hoc
1k

(*)
Theo Vi-et cú:
1 2
1 2
2
6 5
x x k
x x k
+ =


=

Nờn x
1
2
+ x
2
2
= 10


4
k
+
=
( tho món K (*))

2
5 113
4
k

=
( khụng tho món K(*) )
Chỳ ý: Cng cú th khụng cn lp K (*) , sau khi tỡm c cỏc giỏ tr ca k ta
thay vo phng trỡnh ó cho kim tra li.
Bi 7. Cho phơng trình (m + 2) x
2
+ (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân
biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia.
Gii
a)+ Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;
5x 5 = 0

x = 1
Phan Viết Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An
12
Hệ thức Vi - ét và ứng dụng
+ Nếu : m + 2

m
m
x
2
=
2
3
)2(2
)3(2
)2(2
512
+

=
+

=
+

m
m
m
m
m
m
Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
b) Cỏch 1 ( Gii theo phng phỏp tỡm nghim)
Theo câu a) ta có m

- 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để

m


m + 2 = 3m 9

m =
2
11
(thoả mãn điều
kiện m

- 2)
Kiểm tra lại: Thay m =
2
11
vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình :
15x
2
20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm
x
1
= 1 , x
2

=
15
5
=
3
1

( 3)
T (1) v (3) Suy ra:
1
3(2 1)
2
m
x
m

=
+
;
2
2 1
2
m
x
m

=
+
Thay vo (2) ta cú:
2
2
3(2 1) 3
( 2) 2
m m
m m

=

1
, x
2
thoả
mãn x
1
+ x
2
=
5
2
x
1
x
2
Giải
Ta có: a = 2
≠
0
∀
m
R
∈
2 2 2
( 3) 8 2 9 ( 1) 8 0m m m m m m R∆ = + − = − + = − + > ∀ ∈
Theo Vi-et có:
1 2
1 2
3
2

+
=

⇔

2m
=
Dạng 4: Loại toán tính giá trị của biểu thức chứa tổng và tích hai nghiệm.
Bài 9. ( Đề tuyển sinh tỉnh Nghệ An 2009 – 2010)
Cho phương trình sau với tham số m: 2 x
2
- ( m +3) x + m = 0 (1)
Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P =
1 2
x x
−
Giải
Từ bài 8. Ta có: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt
∀
m
R
∈
(*)
Cách 1. Có
2

2
m
P
− +
=
Do
2
( 1) 0m m R
− ≥ ∀ ∈

2
( 1) 8 8m⇒ − + ≥
Nên
8
2
2
P
≥ =
2 1 0 1P m m
= ⇔ − = ⇔ =
(thoả mãn (*))
Vậy Min
2 1P m
= ⇔ =
Cách 2) Sử dụng Vi – ét
Do P
≥
0 nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi P
2
nhỏ nhất


+ =




× =


⇒

2
2
( 3)
2
4
m
P m
+
= −
2
2
( 1) 8
4
m
P
+ +
=

2

∀ ∈
2P
=

1m
⇔ =
Vậy Min
2 1P m
= ⇔ =
Bài 10. Cho phương trình sau với tham số m: x
2
- 2( m - 1) x + 2m - 4 = 0 (1)
Phan ViÕt Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An
15
HÖ thøc Vi - Ðt vµ øng dông
Tìm các giá trị của m để tổng bình phương hai nghiệm của phương trình (1) đạt giá
trị nhỏ nhất.
Giải
Do a = 1 nên phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi
0
′
∆ ≥
2 2
( 1) 2 4 3m m m
′
∆ = − + − = −
0
′
∆ ≥


)
2
– 2x
1
x
2
=
2
4( 1) 2(2 4)m m
− − −
A =
2
(2 3) 3 3m − + ≥

m R
∀ ∈
A = 3
⇔

2 3 0m
− =

⇔

3
2
m
=
( Thoả mãn điều kiện (*) )
Vậy Min A = 3

0
′
∆ ≥
2 2
2( 2) 4m m m
′
∆ = − − = −
0
′
∆ ≥

⇔

2 2m
− ≤ ≤
(*)
Theo Vi – ét có
1 2
2
1 2
2
2
x x m
m
x x
+ = −



−

2
1 25 25
( )
2 4 4
P m= − − + ≤

25
4
P
=

⇔

1
2
m
=
thoả mãn
2 2m
− ≤ ≤
Vậy Max
25
4
P
=

⇔

1
2

m m
m
P x x
m m

= + = = +


− −

−

= = = −

− −

⇒

1 2
1 2
1 1
1 3
S
m
P
m
−

=


- 2(m + 1) x + 2m = 0 (1)
Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình . Chứng tỏ: M = x
1
+ x
2
– x
1
x
2
không phụ
thuộc vào giá trị của m.
Giải
Phan ViÕt Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An
17
HÖ thøc Vi - Ðt vµ øng dông
Ta có:
2 2
( 1) 2 1 0m m m
′
∆ = + − = + >

m R
∀ ∈
nên phương trình luôn có hai
nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
Theo Vi-ét có:

Ngoài những dạng toán thường gặp ở trên . Khi giải phương trình bậc hai có chứa
tham số ta còn gặp những dạng toán khó hơn như “ Tìm nghiệm hữu tỉ , nghiệm
nguyên của phương trình bậc hai” .
Dạng 6: Tìm nghiệm hữu tỉ , nghiệm nguyên của phương trình bậc hai” .
Bài 14. Cho phương trình: x
2
+ mx + 3 = 0 (1) ( với m là những số nguyên)
a) Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó
là số nguyên
b) Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình (1)
Giải
a)Nếu x = 0 là nghiệm của (1) thì m = -3. ta có điều phải chứng minh
Nếu (1) có nghiệm hữu tỉ x
a
b
=
≠
0 ( với
*
, 0,a Z a b N∈ ≠ ∈
,
( ; ) 1a b
=
)
Thay vào (1) ta có:
2
3 0
a a
m
b b



Theo câu a) ta có x
1
phải là những số nguyên nên từ x
1
x
2
= 3 suy ra x
1
= 1, x
2
= 3
hoặc x
1
= -1, x
2
= -3
Khi đó tìm được m = 4 hoặc m= -4
+) Với m = 4 thì ( 1)
⇔
x
2
+ 4x+ 3 = 0
+) Với m = -4 thì (1)
⇔
x
2
- 4x+ 3 = 0
Phan ViÕt Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An

≥
m - k nên ta có các trường hợp sau xẩy ra:

6
2
m k
m k
+ =


− =

(I) và
2
6
m k
m k
+ = −


− = −

(II)
Giải ( I) tìm được m = 4. khi đó thì ( 1)
⇔
x
2
+ 4x+ 3 = 0
Giải (II) ) tìm được m =-4. khi đó thì ( 1)
⇔

2
- (m - 1) = -2m + 2
Phan ViÕt Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An
19
Hệ thức Vi - ét và ứng dụng
0 -2m + 2 0 m 1 (***)
Kt hp (*), (**), (***) ta cú: Vi m < 1 thỡ phng trỡnh (1) cú nghim.
c) Gii tng t bi 6 b)
Bi 2. Cho phng trỡnh:
2x
2
(4m + 3)x + 2m
2
- 1 = 0 (1) ( Vi m l tham s)
a) Gii phng trỡnh ó cho vi m = 1
b) Tỡm m phng trỡnh cú nghim x
1
= 1. Tỡm nghm kia?
c) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit
trong ú cú mt nghim bng 1?
d) Tỡm m biu thc A = x
1
2
+ x
2
2

t giỏ tr nh nht ( vi x
1
, x

(1 x
1
2
) = -8.
HD: x
1
2
(1 x
2
2
) + x
2
2
(1 x
1
2
) = -8

(x
1
+ x
2
)
2
- 2(x
1
x
2
)
2



0.
HD : x
1
3
+ x
2
3


0

x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1
x
2
(x

0

(m + 4)[(m + ) + ]

0

m + 4

0 vỡ (m + ) +

0

m

4
Phan Viết Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An
20
Hệ thức Vi - ét và ứng dụng
Bài 5: Cho phơng trình : x
2
2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
a) Giải phơng trình (1) với m =
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
phân biệt với
mọi m
c) Tìm m để
21

0 1m

c) Gi hai nghim ca phng trỡnh l x
1
, x
2
, chng minh:
1 2 1 2
9
8
x x x x
+ +
HD: t A =
1 2 1 2
x x x x
+ +


A =
2
2 3 1 2 2m m m
+ +
=
2
2 1m m


A =
2
1 9

9
8

Bi 8. Cho phng trỡnh:
x
2
(m - 1)x - m
2
+ m -2 = 0 ( Vi m l tham s)
a) Gii phng trỡnh ó cho vi m = 2
b) Chng t rng phng trỡnh cú hai nghim trỏi du vi mi m
Phan Viết Thành - Trờng THCS Nam Lĩnh - Nam Đàn - Nghệ An
21
Hệ thức Vi - ét và ứng dụng
c) Tỡm m biu thc A =
3 3
1 2
2 1
x x
x x

+
ữ ữ

t giỏ tr ln nht.
HD: Do phng trỡnh cú hai nghim trỏi du nờn:

< 0

(

3
= - a = -1

x
1
= - x
2


x
1
+ x
2
= 0

x
1
+ x
2
= m - 1 = 0

m = 1
Suy ra Min -A = 2

m = 1 nờn MaxA = - 2

m = 1
Vy vi m = 1 thỡ A dt giỏ tr lnn nht l - 2.
Bài 9. Cho phơng trình (2m-1)x
2





<
>+

012
01
12
1
m
m
=>





<
>

012
0
12
2
m
m
m
=>m<0

A
-1
f
x
( )
=
x
2

PHẦN III. KẾT LUẬN
1 Kết quả đạt được
- Như người ta thường nói: “ Vụ mùa của người nông dân thì trông chờ hạt lúa;
Vụ mùa của người giáo viên thì trông chờ kết quả ở những kỳ thi”
Thật vậy: Kết quả của những kỳ thi không những chỉ đánh giá tố chất của người
học mà còn đánh giá năng lực giảng dạy của người thầy. Sự thành công hay thất
bại của HS phụ thuộc rất nhiều vào khả năng và phương pháp truyền thụ tri thức
của thầy. Kết quả này không phải một sớm một chiều là có được mà phải là qua
một quá trình rèn luyện dài lâu.
Học sinh trường tôi có nhiều hoàn cảnh khó khăn; việc học thêm ở trường đã
là khó chứ chưa nói đến việc đi học thêm nơi khác. Thế nhưng bằng sự nỗ lực của
cả thầy và trò thì trong năm qua trường tôi cũng gặt hái được một số thành công
đáng kể đặc biệt là về mặt chất lượng đại trà. cụ thể:
Những năm trước đây qua các kì thi KSCL của phòng, của sở trường tôi
thường đứng ở tốp cuối, qua kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thì thường đứng thứ 16
Phan ViÕt Thµnh - Trêng THCS Nam LÜnh - Nam §µn - NghÖ An
23
HÖ thøc Vi - Ðt vµ øng dông
(năm học 2007 - 2008) và 17 ( năm học 2008 - 2009) trên 21 trường trong huyện.
Nhưng bằng những kinh nghiệm của mình tôi cũng đã góp một phần vào thành
công của trường trong năm học vừa qua như : Đạt kết quả tương đối cao trong kì