LuyÊN THI BIÊN HOÀ
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP
HÌNH HỌC 10
Họ và tên:………………………….
Lí THUYT V BI TP TON 10 LUYN THI BIấN HO - 0935991949
1. Cỏc nh ngha
Vect l mt on thng cú hng. Kớ hiu vect cú im u A, im cui B l
AB
uuur
.
Giỏ ca vect l ng thng cha vect ú.
di ca vect l khong cỏch gia im u v im cui ca vect, kớ hiu
AB
uuur
.
Vect khụng l vect cú im u v im cui trựng nhau, kớ hiu
0
r
.
Hai vect gl cựng phng nu giỏ ca chỳng song song hoc trựng nhau.
Hai vect cựng phng cú th cựng hng hoc ngc hng.
Hai vect gl bng nhau nu chỳng cựng hng v cú cựng di.
Chỳ ý: + Ta cũn s dng kớ hiu
a b, ,
r
r
biu din vect.
+ Qui c: Vect
0
r
cựng phng, cựng hng vi mi vect.
r
l vect
b
r
sao cho
a b 0+ =
r r
r
. Kớ hiu vect i ca
a
r
l
a
r
.
Vect i ca
0
r
l
0
r
.
( )
a b a b = +
r r
r r
.
Qui tc ba im: Vi ba im O, A, B tu ý, ta cú:
OB OA AB =
.
Tớnh cht:
( )
k a b ka kb+ = +
r r
r r
;
k l a ka la( )+ = +
r r r
;
( )
k la kl a( )=
r r
ka 0=
r
r
k = 0 hoc
a 0=
r
r
.
iu kin hai vect cựng phng:
( )
a vaứ b a cuứng phửụng k R b ka0 : =
r r r
r r r
iu kin ba im thng hng: A, B, C thng hng k
0:
AB kAC=
r
OA OB OC OG3+ + =
uuur uuur uuur uuur
(O tu ý).
Trang 2
I. VECT
I. VECT
CHNG I
VECT
CHNG I
VECT
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ – www.luyenthibienhoa.com
VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ
Baøi 1. Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác
0
r
) có điểm đầu và điểm cuối là các
điểm A, B, C, D ?
Baøi 2. Cho ∆ABC có A′, B′, C′ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.
a) Chứng minh:
BC C A A B
′ ′ ′ ′
= =
uuuur uuur uuuur
.
b) Tìm các vectơ bằng
B C C A,
′ ′ ′ ′
uuuur uuuur
.
Baøi 8. Cho ∆ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ
HA HB HC, ,
uuur uuur uuur
.
Baøi 9. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ
AB AD+
uuur uuur
,
AB AC+
uuur uuur
,
AB AD−
uuur uuur
.
VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ
Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, ta
thường sử dụng:
– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.
– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.
– Tính chất của các hình.
Baøi 1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:
a)
AB DC AC DB+ = +
uuur uuur uuur uuur
b)
AD BE CF AE BF CD+ + = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:
.
b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh:
OA OB OC OI2 4+ + =
uuur uuur uuur uur
.
Baøi 6. Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Chứng minh:
a)
AH OM2=
uuur uuur
b)
HA HB HC HO2+ + =
uuur uuur uuur uuur
c)
OA OB OC OH+ + =
uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 7. Cho hai tam giác ABC và A′B′C′ lần lượt có các trọng tâm là G và G′.
a) Chứng minh
AA BB CC GG3
′ ′ ′ ′
+ + =
uuur uuur uuuur uuuur
.
Trang3
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ - 0935991949
b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.
Baøi 8. Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh:
AM AB AC
1 2
1
2
= −
uuur uuur uuur
c)
( )
MN OC OB
1
2
= −
uuuur uuur uuur
.
Baøi 11. Cho ∆ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng:
a)
AB CM BN
2 4
3 3
= − −
uuur uuur uuur
c)
AC CM BN
4 2
3 3
= − −
uuur uuur uuur
c)
MN BN CM
1 1
3 3
= −
giác BCI. Phân tích các vectơ
BI AG,
uur uuur
theo
a b,
r
r
.
Baøi 14. Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ
BC vaø BD
uuur uuur
theo các vectơ
AB vaø AF
uuur uuur
.
Baøi 15. Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ
AM
uuur
theo các vectơ
OA OB OC, ,
uuur uuur uuur
.
Baøi 16. Cho ∆ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
MB MC NA CN PA PB3 , 3 , 0= = + =
uuur uuur uuur uuur uur uuur
r
.
a) Tính
PM PN,
uuur uuur
Baøi 18. Cho ∆ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho
5FB = 2FC.
a) Tính
AI AF theo AB vaø AC,
uur uuur uuur uuur
.
b) Gọi G là trọng tâm ∆ABC. Tính
AG theo AI vaø AF
uuur uur uuur
.
Baøi 19. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.
a) Chứng minh:
HA HB HC5 0− + =
uuur uuur uuur
r
.
b) Đặt
AG a AH b,= =
uuur uuur
r
r
. Tính
AB AC,
uuur uuur
theo
a vaø b
r
r
.
VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Baøi 3. Cho hình bình hành ABCD.
a) Chứng minh rằng:
AB AC AD AC2+ + =
uuur uuur uuur uuur
.
b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện:
AM AB AC AD3 = + +
uuur uuur uuur uuur
.
Baøi 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Chứng minh:
MN AB DC
1
( )
2
= +
uuuur uuur uuur
.
b) Xác định điểm O sao cho:
OA OB OC OD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
.
Baøi 5. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của MN.
Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta có:
SA SB SC SD SO4+ + + =
uur uur uur uuur uuur
.
Baøi 6. Cho ∆ABC. Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:
a)
IB IC2 3 0+ =
FA FB FC AB AC+ + = +
uur uuur uuur uuur uuur
c)
KA KB KC3 0+ + =
uuur uuur uuur
r
d)
LA LB LC3 2 0− + =
uuuur uur uuur
r
.
Baøi 9. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng thức sau:
a)
IA IB IC ID4+ + =
uur uur uur uur
b)
FA FB FC FD2 2 3+ = −
uur uuur uuur uuur
c)
KA KB KC KD4 3 2 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur
r
.
Baøi 10. Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý.
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho
MD MC AB= +
uuuur uuur uuur
,
ME MA BC= +
uuur uuur uuur
đều bằng
k MI.
uuur
với mọi điểm M:
a)
v MA MB MC2= + +
uuur uuur uuur
r
b)
v MA MB MC2= − −
uuur uuur uuur
r
c)
v MA MB MC MD= + + +
uuur uuur uuur uuuur
r
d)
v MA MB MC MD2 2 3= + + +
uuur uuur uuur uuuur
r
.
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau
Trang5
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ - 0935991949
•
Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đó thoả mãn đẳng thức
AB k AC=
uuur uuur
,
với k
uur uur
,
JC JA
1
2
= −
uur uur
,
KA KB= −
uuur uuur
.
a) Tính
IJ IK theo AB vaø AC,
uur uur uuur uuur
. (HD:
IJ AB AC
4
3
= −
uur uuur uuur
)
b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm ∆AIB).
Baøi 4. Cho tam giác ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho
MB MC3=
uuur uuur
,
NA CN3=
uuur uuur
,
PA PB 0+ =
Baøi 7. Cho ∆ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi:
MA MB3 4 0+ =
uuur uuur
r
,
NB NC3 0− =
uuur uuur
r
. Chứng minh 3 điểm
M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ∆ABC.
Baøi 8. Cho ∆ABC. Lấy các điểm M N, P:
MB MC NA NC PA PB2 2 0− = + = + =
uuur uuur uuur uuur uur uuur
r
a) Tính
PM PN theo AB vaø AC,
uuur uuur uuur uuur
. b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.
Baøi 9. Cho ∆ABC. Về phía ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh các tam
giác RIP và JQS có cùng trọng tâm.
Baøi 10. Cho tam giác ABC, A′ là điểm đối xứng của A qua B, B′ là điểm đối xứng của B qua C, C′ là điểm đối
xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A′B′C′ có chung trọng tâm.
Baøi 11. Cho ∆ABC. Gọi A′, B′, C′ là các điểm định bởi:
A B A C2 3 0
′ ′
+ =
uuur uuur
r
,
B C B A2 3 0
1
2
=
uuur uuur
. Chứng
minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của ∆ABC.
Baøi 15. Cho tam giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho
BD DE EC= =
uuur uuur uuur
.
a) Chứng minh
AB AC AD AE+ = +
uuur uuur uuur uuur
.
b) Tính
AS AB AD AC AE theo AI= + + +
uur uuur uuur uuur uuur uur
. Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng.
Baøi 16. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức
BM BC AB2= −
uuur uuur uuur
,
CN xAC BC= −
uuur uuur uuur
.
a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng.
b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC. Tính
IM
IN
.
uur uur uur
r
.
b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
c) Gọi P là trung điểm của BN. Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định.
VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ
Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đó để đưa về các tập
hợp điểm cơ bản đã biết. Chẳng hạn:
– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.
– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng không đổi đường tròn có tâm là điểm cố định và
bán kính là khoảng không đổi.
Baøi 1. Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a)
MA MB MA MB+ = −
uuur uuur uuur uuur
b)
MA MB MA MB2 2+ = +
uuur uuur uuur uuur
.
HD: a) Đường tròn đường kính AB b) Trung trực của AB.
Baøi 2. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a)
MA MB MC MB MC
3
2
+ + = +
uuur uuur uuur uuur uuur
b)
MA BC MA MB+ = −
uuur uuur uuur uuur
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỐN 10 LUYỆN THI BIÊN HỒ - 0935991949
a) Xác định điểm I sao cho:
IA IB IC3 2 0+ − =
uur uur uur
r
.
b) Xác định điểm D sao cho:
DB DC3 2 0− =
uuur uuur
r
.
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.
d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
MA MB MC MA MB MC3 2 2+ − = − −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
1. Trục toạ độ
• Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị
e
r
. Kí
hiệu
( )
O e;
r
.
• Toạ độ của vectơ trên trục:
u a u a e( ) .= ⇔ =
r r r
.
2. Hệ trục toạ độ
• Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vng góc với nhau. Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt là
i j,
r r
. O là gốc
toạ độ, Ox là trục hồnh, Oy là trục tung.
• Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ:
u x y u x i y j( ; ) . .= ⇔ = +
r r
r r
.
• Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ:
M x y OM x i y j( ; ) . .⇔ = +
uuur
r r
.
• Tính chất: Cho
a x y b x y k R( ; ), ( ; ),
′ ′
= = ∈
r
r
,
A A B B C C
A x y B x y C x y( ; ), ( ; ), ( ; )
:
+
x x
a b
y y
R:
x kx và y ky
′ ′
= =
.
⇔
x y
x y
′ ′
=
(nếu x
≠
0, y
≠
0).
+
B A B A
AB x x y y( ; )= − −
uuur
.
+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB:
A B A B
I I
x x y y
x y;
2 2
+ +
= =
.
+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:
VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục
Baøi 1. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −2 và 5.
a) Tìm tọa độ của
AB
uuur
.
b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.
c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho
MA MB2 5 0+ =
uuur uuur
r
.
d) Tìm tọa độ điểm N sao cho
NA NB2 3 1+ = −
.
Baøi 2. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lượt là −3 và 1.
a) Tìm tọa độ điểm M sao cho
MA MB3 2 1− =
.
b) Tìm tọa độ điểm N sao cho
NA NB AB3+ =
.
Baøi 3. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(−2), B(4), C(1), D(6).
a) Chứng minh rằng:
AC AD AB
1 1 2
+ =
.
b) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh:
IC ID IA
= + = − = = −
r r
r r r r r r
r r
.
b)
a i j b i j c i j d j e i
1 3
3 ; ; ; 4 ; 3
2 2
= − = + = − + = − =
r r
r r r r r r r r
r r r
.
Baøi 2. Viết dưới dạng
u xi yj= +
r r
r
khi biết toạ độ của vectơ
u
r
là:
a)
u u u u(2; 3); ( 1;4); (2;0); (0; 1)= − = − = = −
r r r r
.
b)
u u u u(1;3); (4; 1); (1;0); (0;0)= = − = =
r r r r
.
a) Tìm toạ độ của vectơ
d a b c2 3 5= − +
r r
r r
.
b) Tìm 2 số m, n sao cho:
ma b nc 0+ − =
r r
r r
.
c) Biểu diễn vectơ
c a btheo ,
r
r r
.
Baøi 5. Cho hai điểm
A B(3; 5), (1;0)−
.
a) Tìm toạ độ điểm C sao cho:
OC AB3= −
uuur uuur
.
b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C.
Trang9
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ - 0935991949
c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3.
Baøi 6. Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB.
uuur uuur uuur uuur uur
.
b) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh:
GA GB GC GD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur
r
.
c) Gọi P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD; M, N là trung điểm của các đoạn thẳng AD và
BC. Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ và MN có chung trung điểm.
Baøi 3. Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý.
a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho
MD MC AB= +
uuuur uuur uuur
,
ME MA BC= +
uuur uuur uuur
,
MF MB CA= +
uuur uuur uur
. Chứng minh
các điểm D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b) So sánh hai tổng vectơ:
MA MB MC+ +
uuur uuur uuur
và
MD ME MF+ +
uuuur uuur uuur
.
Baøi 4. Cho ∆ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
a) Chứng minh:
c) Tìm điểm M thoả mãn:
MA MB MC 0− + =
uuur uuur uuur
r
.
Baøi 7. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi
AD AB2=
uuur uuur
,
AE AC
2
5
=
uuur uuur
.
a) Tính
AG DE DG theo AB vaø AC, ,
uuur uuur uuur uuur uuur
.
b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng.
Baøi 8. Cho ∆ABC. Gọi D là điểm xác định bởi
AD AC
2
5
=
uuur uuur
và M là trung điểm đoạn BD.
a) Tính
AM
uuur
Baøi 10. Cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
b) Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Baøi 11. Cho A(2; 3), B(−1; −1), C(6; 0).
a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
b) Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
Baøi 12. Cho A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1). Tìm toạ độ các điểm M, N, P sao cho:
a) Tam giác ABC nhận các điểm M, N, P làm trung điểm của các cạnh.
b) Tam giác MNP nhận các điểm A, B, C làm trung điểm của các cạnh.
Trang11
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỐN 10 LUYỆN THI BIÊN HỒ - 0935991949
O x
y
M
x
y
1
-1
1. Định nghĩa
Lấy M trên nửa đường tròn đơn vò tâm O. Xét góc nhọn α =
·
xOM
. Giả sử M(x; y).
sin
α
= y (tung độ)
cos
α
α
< 0.
– tan
α
chỉ xác định khi
α
≠
90
0
, cot
α
chỉ xác định khi
α
≠
0
0
và
α
≠
180
0
.
2. Tính chất
• Góc phụ nhau • Góc bù nhau
0
0
0
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
180
0
sin
α
0
1
2
2
2
3
2
1 0
cos
α
1
3
2
2
2
1
α
α
α α
α
α α α α
= ≠
= ≠
= ≠
2 2
2
2
2
2
sin cos 1
1
1 tan (cos 0)
cos
1
1 cot (sin 0)
sin
α α
α α
α
α α
α
+ =
+ = ≠
+ = ≠
Chú ý:
0 sin 1; 1 cos 1
r
a
r
b
r
c)
a b c
2 0 2 0 2 0
sin90 cos90 cos180+ +
d)
2 0 2 0 2 0
3 sin 90 2cos 60 3tan 45− + −
e)
a a a
2 2 0 0 2 0 2
4 sin 45 3( tan45 ) (2 cos45 )− +
Baøi 11. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
x xsin cos
+
khi x bằng 0
0
; 45
0
; 60
0
. b)
x x2sin cos2
+
khi x bằng 45
Baøi 14. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:
a)
x x
0 0
1
sin , 90 180
3
= < <
. Tính
x x
A
x x
tan 3cot 1
tan cot
+ +
=
+
.
b)
tan 2
α
=
. Tính
B
3 3
sin cos
sin 3cos 2sin
α α
α α α
−
d)
x
x x
x
2
2
1 cos
tan .cot
1 sin
−
+
−
e)
x x
x x
2 2
2
1 4sin .cos
(sin cos )
−
+
f)
x x x x x
0 0 2 2 2
sin(90 ) cos(180 ) sin (1 tan ) tan− + − + + −
Baøi 17. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
2 0 2 0 2 0 2 0
cos 12 cos 78 cos 1 cos 89+ + +
b)
( )
a b,
r
r
= 90
0
⇔
a b⊥
r
r
+
( )
a b,
r
r
= 0
0
⇔
a b,
r
r
cùng hướng
+
( )
a b,
r
Trang13
II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TỐN 10 LUYỆN THI BIÊN HỒ - 0935991949
• Tính chất: Với
a b c, ,
r
r r
bất kì và ∀k
∈
R, ta có:
+
. .a b b a=
r r
r r
;
( )
. .a b c a b a c+ = +
r r
r r r r r
;
( )
( ) ( )
. . .ka b k a b a kb= =
r r r
r r r
;
2 2
0; 0 0a a a≥ = ⇔ =
( )
,a b
r
r
nhọn +
.a b
r
r
< 0
⇔
( )
,a b
r
r
tù
.a b
r
r
= 0
⇔
( )
,a b
r
r
vuông.
3. Biểu thức toạ độ của tích vơ hướng
a b
a a b b
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos( , )
.
+
=
+ +
r
r
;
a b a b a b
1 1 2 2
0⊥ ⇔ + =
r
r
• Cho
A A B B
A x y B x y( ; ), ( ; )
. Khi đó:
B A B A
AB x x y y
2 2
( ) ( )= − + −
.
Bài 1. Cho tam giác ABC vng tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vơ hướng:
a)
AB AC.
AM AI AB AI BN BI BA BI. . , . .= =
uuur uur uuur uur uuur uur uur uur
.
b) Tính
AM AI BN BI. .+
uuur uur uuur uur
theo R.
Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.
a) Tính
AB AC.
uuur uuur
, rồi suy ra giá trị của góc A.
b) Tính
CA CB.
uur uuur
.
c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD = 3. Tính
CD CB.
uuur uuur
.
Bài 7. Cho hình vng ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
AB AC.
uuur uuur
b)
AB AD BD BC( )( )+ +
uuur uuur uuur uuur
c)
AC AB AD AB( )(2 )− −
uuur uuur uuur uuur
c) Tính giá trị biểu thức S =
GA GB GB GC GC GA. . .+ +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.
d) Gọi AD là phân giác trong của góc
·
BAC
(D ∈ BC). Tính
AD
uuur
theo
AB AC,
uuur uuur
, suy ra AD.
Trang 14
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ – www.luyenthibienhoa.com
HD: a)
AB AC
3
.
2
= −
uuur uuur
,
A
1
cos
4
= −
b)
Baøi 9. Cho tam giác ABC có AB = 2, AC = 3, A = 60
0
. M là trung điểm của BC.
a) Tính BC, AM.
b) Tính IJ, trong đó I, J được xác định bởi:
IA IB JB JC2 0, 2+ = =
uur uur uur uur
r
.
HD: a) BC =
19
, AM =
7
2
b) IJ =
2
133
3
Baøi 10. Cho tứ giác ABCD.
a) Chứng minh
AB BC CD DA AC DB
2 2 2 2
2 .− + − =
uuur uuur
.
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:
AB CD BC DA
2 2 2 2
+ = +
.
Baøi 14. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).
a) Tính
AB AC.
uuur uuur
. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.
b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC.
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC.
e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.
f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N.
g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
i) Tìm toạ độ điểm T thoả
TA TB TC2 3 0+ − =
uur uur uuur
r
k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ∆ABC.
Baøi 15. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a)
MA MA MB
2
2 .=
uuur uuur
b)
MA MB MB MC( )(2 ) 0− − =
uuur uuur uuur uuur
c)
MA MB MB MC( )( ) 0+ + =
uuur uuur uuur uuur
2
+ =
uuur uuur uuur uuuur
.
Baøi 18.
a)
Trang15
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ - 0935991949
A
B CH
O
M
A
B
C
D
T
R
Cho ∆ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
– độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: m
a
, m
b
, m
c
– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: h
a
, h
b
2
2( )
4
+ −
=
;
b
a c b
m
2 2 2
2
2( )
4
+ −
=
;
c
a b c
m
2 2 2
2
2( )
4
+ −
=
4. Diện tích tam giác
S =
a b c
ah bh ch
1 1 1
AC BC CH
2
.=
•
AH BH CH
2
.=
,
AH AB AC
2 2 2
1 1 1
= +
•
AH BC AB AC. .=
•
b a B a C c B c C.sin .cos tan cot= = = =
;
c a C a B b C b C.sin .cos tan cot= = = =
6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
• Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.
P
M/(O)
=
MA MB MC MD MO R
2 2
. .= = −
uuur uuur uuur uuuur
• Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.
Trang 16
S AB AC AB AC
2
2 2
1
. .
2
=
uuur uuur
Baứi 2. Cho tam giỏc ABC. Chng minh rng:
a) Nu b + c = 2a thỡ
a b c
h h h
2 1 1
= +
b) Nu bc = a
2
thỡ
b c a
B C A h h h
2 2
sin sin sin ,= =
c) A vuụng
b c a
m m m
2 2 2
5+ =
Baứi 3. Cho t giỏc li ABCD, gi l gúc hp bi hai ng chộp AC v BD.
a) Chng minh din tớch S ca t giỏc cho bi cụng thc:
S AC BD
sin , cos , tan
.
Baứi 6. Gii tam giỏc ABC, bit:
a)
à
à
c A B
0 0
14; 60 ; 40= = =
b)
à
à
b A C
0 0
4,5; 30 ; 75= = =
c)
à
à
c A C
0 0
35; 40 ; 120= = =
d)
à
à
a B C
0 0
137,5; 83 ; 57= = =
Baứi 7. Gii tam giỏc ABC, bit:
BI TP ễN CHNG II
Baứi 1. Chng minh cỏc ng thc sau:
a)
x x
x x x
sin 1 cos 2
1 cos sin sin
+
+ =
+
b)
x x
x x
x x
3 3
sin cos
1 sin .cos
sin cos
+
=
+
c)
x
x
x x
2
2
2 2
tan 1 1
1
Trang17
Lí THUYT V BI TP TON 10 LUYN THI BIấN HO - 0935991949
f)
x x
x x
x x x x
cos sin 1
tan . cot
1 sin 1 cos sin .cos
+ + =
ữ ữ
+ +
g)
x x x x x
2 2 2 2 2
cos (cos 2sin sin tan ) 1+ + =
Baứi 2. Bit
0
5 1
sin18
4
=
. Tớnh cos18
0
, sin72
0
, sin162
a b, 0
r r
r
v hai vect
u a b v a b2 , 5 4= + =
r r
r r r r
vuụng gúc.
b) Tớnh
a b+
r
r
, bit
a b a b11, 23, 30= = =
r r
r r
.
c) Tớnh gúc
( )
a b,
r
r
, bit
a b a b a b a b( 3 ) (7 5 ), ( 4 ) (7 2 )+
r r r r
r r r r
.
d) Tớnh
a b a b, 2 3 +
r r
Baứi 6. Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú AB =
3
, AD = 1,
ã
BAD
0
60=
.
a) Tớnh
AB AD BA BC. , .
uuur uuur uur uuur
.
b) Tớnh di hai ng chộo AC v BD. Tớnh
( )
AC BDcos ,
uuur uuur
.
Baứi 7. Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhn. V phớa ngoi tam giỏc v cỏc tam giỏc vuụng cõn nh A l ABD v
ACE. Gi I l trung im ca BC. Chng minh AI DE.
Baứi 8. Cho t giỏc ABCD cú hai ng chộo ct nhau ti O. Gi H, K ln lt l trc tõm ca cỏc tam giỏc
ABO v CDO. Gi I, J ln lt l trung im ca AD v BC. Chng minh HK IJ.
Baứi 9. Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh bng 1, M l trung im cnh AB. Trờn ng chộo AC ly im N sao
cho
AN AC
3
4
=
uuur uuur
.
a) Chng minh DN vuụng gúc vi MN.
a b c b c a bc( )( ) 3+ + + =
thỡ
à
A
0
60=
.
b) Nu
b c a
a
b c a
3 3 3
2
+
=
+
thỡ
à
A
0
60=
.
c) Nu
A C Bcos( ) 3cos 1+ + =
thỡ
à
B
0
60=
.
=
thỡ ABC cõn nh B.
c) Nu
a b C2 .cos
=
thỡ ABC cõn nh A.
d) Nu
b c a
B C B Ccos cos sin .sin
+ =
thỡ ABC vuụng ti A.
e) Nu
S R B C
2
2 sin .sin=
thỡ ABC vuụng ti A.
Baứi 14. Cho ABC. Chng minh iu kin cn v hai trung tuyn BM v CN vuụng gúc vi nhau l:
b c a
2 2 2
5+ =
.
Baứi 15. Cho ABC.
a) Cú a = 5, b = 6, c = 3. Trờn cỏc on AB, BC ln lt ly cỏc im M, K sao cho BM = 2, BK = 2. Tớnh
MK.
b) Cú
A
5
cos
9
=
B
0
90<
, AQ v CP l cỏc ng cao,
ABC BPQ
S S9
=
.
a) Tớnh cosB.
b) Cho PQ =
2 2
. Tớnh bỏn kớnh R ca ng trũn ngoi tip ABC.
HD: a)
B
1
cos
3
=
b)
R
9
2
=
Baứi 18. Cho ABC.
a) Cú
à
B
0
60=
= =
.
a) Tớnh AC theo R v ; AD theo r v .
b) Tớnh bỏn kớnh ca ng trũn ngoi tip ACD.
HD: a) AC =
R2 sin
2
, AD =
r2 sin
2
b)
Rr
.
Baứi 20. Cho t giỏc ABCD ni tip trong ng trũn ng kớnh AC, BD = a,
ã
CAB
=
,
ã
CAD
=
.
a) Tớnh AC. b) Tớnh din tớch t giỏc ABCD theo a, , .
HD: a) AC =
a
sin( )
2
α
, AD =
m
5 4cos
3
α
+
b)
11
cos
16
α
= −
.
Trang 20
LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP TOÁN 10 LUYỆN THI BIÊN HOÀ – www.luyenthibienhoa.com
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ
u 0≠
r
r
đgl vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu giá của nó song song hoặc trùng với ∆.
Nhận xét:– Nếu
u
r
là một VTCP của
∆
thì
ku
là một VTCP và
n
r
là một VTPT của
∆
thì
u n
⊥
r r
.
3. Phương trình tham số của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTCP
u u u
1 2
( ; )=
r
.
Phương trình tham số của ∆:
x x tu
y y tu
0 1
0 2
= +
= +
=
·
xAv
,
α
≠
0
90
.
+ k =
u
u
2
1
, với
u
1
0≠
.
4. Phương trình chính tắc của đường thẳng
Cho đường thẳng ∆ đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTCP
u u u
1 2
( ; )=
0+ ≠
đgl phương trình tổng quát của đường thẳng.
Nhận xét: – Nếu
∆
có phương trình
ax by c 0+ + =
thì
∆
có:
VTPT là
n a b( ; )=
r
và VTCP
u b a( ; )= −
r
hoặc
u b a( ; )= −
r
.
– Nếu
∆
đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTPT
n a b( ; )=
r
thì phương trình của
∆
+ =
∆
// Oy hoặc
∆
≡
Oy
•
∆
đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b
≠
0): Phương trình của
∆
:
x y
a b
1+ =
.
(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) .
•
∆
đi qua điểm
M x y
0 0 0
( ; )
và có hệ số góc k: Phương trình của
∆
:
+ + =
+ + =
(1)
• ∆
1
cắt ∆
2
⇔ hệ (1) có một nghiệm ⇔
a b
a b
1 1
2 2
≠
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0≠
)
• ∆
1
// ∆
2
⇔ hệ (1) vô nghiệm ⇔
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
= ≠
( ; )=
r
)
và ∆
2
:
a x b y c
2 2 2
0+ + =
(có VTPT
n a b
2 2 2
( ; )=
r
).
·
n n khi n n
n n khi n n
0
1 2 1 2
1 2
0 0
1 2 1 2
( , ) ( , ) 90
( , )
180 ( , ) ( , ) 90
∆ ∆
≤
•
∆
1
⊥
∆
2
⇔
a a b b
1 2 1 2
0+ =
.
•
Cho
∆
1
:
y k x m
1 1
= +
,
∆
2
:
y k x m
2 2
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆:
ax by c 0+ + =
và điểm
M x y
0 0 0
( ; )
.
ax by c
d M
a b
0 0
0
2 2
( , )
∆
+ +
=
+
•
Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng ∆:
ax by c 0+ + =
và hai điểm
M M N N
M x y N x y( ; ), ( ; )
∉ ∆.
– M, N nằm cùng phía đối với ∆ ⇔
M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0+ + + + >
2 2 2 2
1 1 2 2
+ + + +
= ±
+ +
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình đường thẳng
• Để lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
∆
ta cần xác định một điểm
M x y
0 0 0
( ; )
∈
∆
và một VTCP
u u u
1 2
( ; )=
r
của
∆
.
PTTS của
∆
:
x x tu
y y tu
0 1
0 2
∆
và một
VTPT
n a b( ; )=
r
của
∆
.
PTTQ của
∆
:
a x x b y y
0 0
( ) ( ) 0− + − =
• Một số bài toán thường gặp:
+
∆
đi qua hai điểm
A A B B
A x y B x y( ; ) , ( ; )
(với
A B A B
x x y y,≠ ≠
):
PT của
∆
:
A A
B A B A
Để tìm điểm M
′
đối xứng với điểm M qua đường thẳng d, ta có thể thực hiện như sau:
Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng
∆
qua M và vuông góc với d.
– Xác định I = d
∩
∆
(I là hình chiếu của M trên d).
– Xác định M
′
sao cho I là trung điểm của MM
′
.
Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM
′
. Khi đó:
M
′
đối xứng của M qua d
⇔
d
MM u
I d
′
– Nếu d
∩
∆
= I:
+ Lấy A
∈
d (A
≠
I). Xác định A
′
đối xứng với A qua
∆
.
+ Viết phương trình đường thẳng d
′
qua A
′
và I.
•
Để viết phương trình đường thẳng d
′
đối xứng với đường thẳng d qua điểm I,
∆
, ta có thể thực hiện như
sau:
– Lấy A
∈
d. Xác định A
′
Baøi 19. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT
n
r
:
a) M(–2; 3) ,
n (5; 1)= −
r
b) M(–1; 2),
n ( 2;3)= −
r
c) M(3; –1),
n ( 2; 5)= − −
r
d) M(1; 2),
n (5;0)=
r
e) M(7; –3),
n (0;3)=
r
f) M ≡ O(0; 0),
n (2;5)=
r
Baøi 20. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc k:
a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = 3 c) M(5; 2), k = 1
d) M(–3; –5), k = –1 e) M(2; –4), k = 0 f) M ≡ O(0; 0), k = 4
Baøi 21. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B:
a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8)
d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2)
g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6)
Baøi 22. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d:
y t
1 2
3 4
= −
= +
e) M(0; 3), d:
x y1 4
3 2
− +
=
−
Baøi 24. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của tam giác
với:
a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2)
c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6)
Baøi 25. Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường cao của tam
giác, với:
a)
AB x y BC x y CA x y:2 3 1 0, : 3 7 0, : 5 2 1 0− − = + + = − + =
b)
AB x y BC x y CA x y:2 2 0, :4 5 8 0, : 4 8 0+ + = + − = − − =
Baøi 26. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh BC, CA,
AB lần lượt là các điểm M, N, P, với:
a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b)
M N P
3 5 5 7
; , ; , (2; 4)
b) M(3; – 1),
d x y: 2 5 30 0+ − =
c) M(4; 1),
d x y: 2 4 0− + =
d) M(– 5; 13),
d x y:2 3 3 0− − =
Baøi 30. Lập phương trình đường thẳng d
′
đối xứng với đường thẳng d qua đường thẳng ∆, với:
a)
d x y x y:2 1 0, : 3 4 2 0
∆
− + = − + =
b)
d x y x y: 2 4 0, :2 2 0
∆
− + = + − =
c)
d x y x y: 1 0, : 3 3 0
∆
+ − = − + =
d)
d x y x y:2 3 1 0, :2 3 1 0
∆
− + = − − =
Baøi 31. Lập phương trình đường thẳng d
′
đối xứng với đường thẳng d qua điểm I, với:
a)
d x y I: 2 1 0, (2;1)− + =
– Dựng AC qua C và vuông góc với BB
′
.
– Xác định A = AB
∩
AC.
Dạng 2: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao BB
′
, CC
′
.
Cách dựng: – Dựng AB qua A và vuông góc với CC
′
.
– Dựng AC qua A và vuông góc với BB
′
.
– Xác định B = AB
∩
BB
′
, C = AC
∩
CC
′
.
Dạng 3: Dựng tam giác ABC, khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường trung tuyến BM,
CN.
Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM
∩
∩
AC.
– Dựng d
1
qua M và song song với AB.
– Dựng d
2
qua M và song song với AC.
– Xác định trung điểm I của AC: I = AC
∩
d
1
.
– Xác định trung điểm J của AB: J = AB
∩
d
2
.
– Xác định B, C sao cho
JB AJ IC AI,= =
uur uur uur uur
.
Cách khác: Trên AB lấy điểm B, trên AC lấy điểm C sao cho
MB MC= −
uuur uuur
.
Baøi 1. Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường cao. Viết phương trình hai cạnh và đường
cao còn lại, với: (dạng 1)
a)
AB x y BB x y CC x y: 4 12 0, :5 4 15 0, : 2 2 9 0
Baøi 4. Cho tam giác ABC, biết phương trình một cạnh và hai đường trung tuyến. Viết phương trình các cạnh
Trang25
Copyright: Tài liệu đại học ©