Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng I:
2 2 2 2
0 ( )( ) 0A B A B A B A B A B⇔ ⇔ − ⇔ − +d d d d
(Dấu
d
có thể thay bằng dấu “
, , ,> < ≥ ≤
” )
( Biểu thức
B
có thể là một số nguyên dương)
Dạng II:
( )ax b p x+ d
(Trong đó
ax b+
là nhị thức bậc nhất (
0a
≠
),Dấu
d
có thể thay bằng dấu “
, , ,> < ≥ ≤
”,
( )p x
là một biểu thức chứa x)
Phương pháp giải:
0
( )
0
( ) ( )

0a
≠
),Dấu
d
có thể thay bằng dấu
“
, , ,> < ≥ ≤
”,
( )p x
là một biểu thức chứa x bậc lớn hơn bậc 1)
Phương pháp giải:
1/
( )p x ax b> +
2 2
0
0
( ) ( )
ax b
ax b
p x ax b
+ <


⇔
+ ≥




> +

+ ≥

⇔

≥ +

4/
( )p x ax b< +
2 2
0
( ) ( )
ax b
p x ax b
+ >

⇔

< +

Bất phương trình chứa căn bậc 2: (quy bất phương trình về hệ bất phương trình)
1/
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
q x
p x

( ) 0
( ) 0
( ) ( )
q x
p x
p x q x
q x
p x
p x q x
 ≤



≥



≥ ⇔
≥



≥




≥



≤

5/
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
q x
p x q x p x
p x q x
≥


⇔ ≥



d
d
Phương trình bậc hai chứa tham số
Cho phương trình
2
ax bx c 0(2)+ + =
. Đặt
1 2 1 2
b c
S x x ;P x .x
a a
= + = − = =
trong đó
1 2



2/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm
a 0
b 0
a 0
0


=

≠


⇔


≠


∆ =



3/ Pt(2) có 2 nghiệm phân biệt
2
a 0
b 4ac 0

≠



>

7/ Pt(2) có 2 nghiệm âm
1 2
0
x x 0 P 0
S 0

∆ ≥

⇔ ≤ < ⇔ >


<

8/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm dương
1 2
1 2
1 2
a 0
a 0; x>0
a 0
0
x 0 x
c
S 0
x 0
x x 0





= >





=
<
= ∧ >





>



9/ Pt(2) có đúng 1 nghiệm âm
1 2
1 2
1 2
a 0
a 0; x<0
a 0
0


<
⇔ ⇔ ∨
= − <





= <





=
<
= ∧ <





<



10/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm dương
1 2
1 2

⇔ ≤ < ⇔ ∨



>




≤
≥ >



>



>


11/ Pt(2) có ít nhất 1 nghiệm âm
1 2
1 2
a 0
a 0
a 0; x>0
c
x 0
0




≤
≥ >



>



>


12/ Pt(2) có nghiệm


=

≠


⇔


≠


∆ ≥