Bất phương trình chứa dấu
giá trị tuyệt đốiBẤT PHƯƠNG TRÌNH
CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Trần Văn Toàn,
Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh,
Biên Hoà, Đồng Nai.
Ngày 7 tháng 1 năm 2009
Tóm tắt nội dung
Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối được học trong chương trình Toán Trung
học phổ thông. Tuy nhiên, trong chương trình hiện hành, cũng chỉ đưa ra một vài bài toán
nhỏ mà phương pháp giải chủ yếu là dùng định nghĩa về giá trị tuyệt đối hoặc xét dấu của
biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối để sao cho bất phương trình đang xét không còn
chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa. Lấy ý tưởng chính từ một bài viết trong [1], tôi viết đề tài
này với mục đích là đưa thêm một cách giải nữa, chủ yếu là tránh việc xét dấu biểu thức
bên trong dấu giá trị tuyệt đối, mà công việc xét dấu này đôi khi thật sự không đơn giản.
1 Các bất phương trình cơ bản
Sách Giáo viên Đại số lớp 10 của Nhà xuất bản Giáo dục, xuất bản năm 2006, trang 107 có
chứng minh rằng nếu a là một số thực bất kì thì ta có
1. |f(x)|  a ⇔ −a  f (x)  a.
2. |f(x)|  a ⇔

f(x)  a
f(x)  −a

). (1.2)
Mặt khác, vì f(x
0
)  0 và g(x
0
)  0, nên
f(x
0
)  −g(x
0
). (1.3)
Từ (1.2) và (1.3) suy ra
−g(x
0
)  f (x
0
)  g(x
0
).
Hay x
0
cũng thoả
−g(x)  f(x)  g(x).
• Trường hợp f(x
0
) < 0.
Khi đó, |f(x
0
)| = −f(x
0

).)
• Trái lại, nếu có x
0
thoả −g(x
0
)  f (x
0
)  g(x
0
), ta cũng có |f (x
0
)| < g(x
0
).
Vậy ta có
|f(x)|  g(x) ⇔ −g (x)  f(x)  g(x).
Chứng minh tương tự, ta có các kết quả như sau:
1. |f(x)| < g(x) ⇔

f(x) < g(x),
f(x) < −g(x);
2. |f(x)|  g(x) ⇔

f(x)  g(x),
f(x)  −g(x);
3. |f(x)| > g(x) ⇔

f(x) > g(x)
f(x) > −g(x)
Ta có thể viết các bất phương trình dạng trên dưới dạng sau:

Lời giải. Bất phuong trình (1.4) tương đương với hệ



x − 6 < x
2
− 5x + 9,
−(x − 6) < x
2
− 5x + 9
⇔



x
2
− 6x + 15 > 0,
x
2
− 4x + 3 > 0
⇔ x ∈ (−∞; 1) ∪ (3; +∞). ❏
Ví dụ 1.2. Giải bất phương trình
|x
2
− 2x − 8| > 2x. (1.5)
Lời giải.
(1.5)⇔

x
2



x
3
− 7x − 3 < x
3
+ x
2
+ 3
−(x
3
− 7x − 3) < x
3
+ x
2
+ 3
⇔



x
2
+ 7x + 6 > 0
2x
3
+ x
2
− 7x > 0
⇔ −1 < x < 0 hoặc x >
−1 +

−3  x  −1 và x = 1. ❏
Chú ý rằng, việc xét dấu các biểu thức x
3
− x
2
+ 4 và −x
3
+ x
2
+ 2x + 2 là không đơn giản.
Ví dụ 1.5. Giải bất phương trình ||x| − 1| < 1 − x.
Lời giải. Ta có
||x| − 1| < 1 − x ⇔



|x| − 1 < 1 − x
−|x| + 1 < 1 − x
⇔



|x| < 2 − x
x < |x|
⇔






|x|
1 + |x|





1
2
⇔




1 −
|x|
1 + |x|

1
2
−1 +
|x|
1 + |x|

1
2
⇔




• y = −1 khi và chỉ khi −1 − 2a + 2 = 0 ⇔ a =
1
2
.
• y = 5 khi và chỉ khi 5 − 2a + 2 = 0 ⇔ a =
7
2
.
Vậy tập giá trị của x + a là đoạn [−1; 5]. ❏
Ví dụ 1.8. Giải bất phương trình
||x
2
− 3x − 7| + 2x − 1| < x
2
− 8x − 5. (1.9)
Lời giải.
(1.9) ⇔



|x
2
− 3x − 7| + 2x − 1 < x
2
− 8x − 5
|x
2
− 3x − 7| + 2x − 1 > −x
2
+ 8x + 5




x
2
− 3x − 7 < x
2
− 10x − 4
−x
2
+ 3x + 7 < x
2
− 10x − 4


x
2
− 3x − 7 > −x
2
+ 6x + 6
−x
2
+ 3x + 7 > −x
2
+ 6x + 6
⇔







































x <
9 −
√
85
4
x >
9 +
√
85
4
x <
1
3
⇔ x <
13 −
√
257
4
.
❏
Ví dụ 1.9. Giải bất phương trình |x
2
− |x
2
− 3x − 5| − 5| < x + 1.
4
Giải tương tương tự, nghiệm bất phương trình trên là

Bằng đồ thị, ta tìm được −
9
4
< m < 2.
❏
Ví dụ 1.11. Giải bất phương trình
|x − 1| + |x − 2| > 3 − x. (1.10)
Lời giải. Ta có |x −1|+|x −2| > 3 −x ⇔ |x −1| > 3 −x −|x −2| ⇔

x − 1 > 3 − x − |x − 2|,
−x + 1 > 3 − x − |x − 2|
⇔

|x − 2| > 4,
|x − 2| > 2x + 2
⇔





x − 2 > 4,
−x + 2 > 4,
x − 2 > 2x + 2,
−x + 2 > 2x + 2
⇔





+ |x − 5|
 0 ⇔
|x
2
− 4x| + 3
x
2
+ |x − 5|
 1 ⇔ |x
2
− 4x|  x
2
− 3 + |x − 5|
⇔

x
2
− 4x  x
2
− 3 + |x − 5|,
−x
2
+ 4x  x
2
− 3 + |x − 5|
⇔

|x − 5|  3 − 4x,
|x − 5|  −2x
2

3
,
1
2
 x  2.
❏
Xin đưa ra một số các kết quả sau:
1.













f
1
(x) < 0,
f
2
(x) < 0,
. . . . . . . . .
f
n

n
(x)  0
⇔ max{f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
n
(x)}  0.
5
3.













f
1
(x)  0,
f
2
(x)  0,

(x) > 0,
. . . . . . . . .
f
n
(x) > 0
⇔ min{f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
n
(x)} > 0.
5.





f
1
(x) < 0,
f
2
(x) < 0,
. . . . . . . . .
f
n
(x) < 0
⇔ min{f
1





f
1
(x)  0,
f
2
(x)  0,
. . . . . . . . .
f
n
(x)  0
⇔ max{f
1
(x), f
2
(x), . . . , f
n
(x)}  0.
8.





f
1
(x) > 0,














g < h − f,
−g < h − f,
g < h + f,
−g < h + f
⇔















f + g < k − |h|,
f − g < k − |h|,
−f + g < k − |h|,
−f − g < k − |h|
⇔













|h| < k − f −g,
|h| < k − f + g,
|h| < k + f −g,
|h| < k + f + g
⇔








h < k − f −g,
−h < k − f −g,
h < k − f + g,
−h < k − f + g,
h < k + f −g,
−h < k + f −g,
h < k + f + g,
−h < k + f + g
⇔




















| + |f
2
| + |f
3
| + ··· + |f
n
| < f
tương đương với hệ gồm 2
n
bất phương trình.
Ví dụ 1.15. Giải bất phương trình
|3x + 2| + |2x − 3| < 11. (1.12)
Lời giải. Để ý bất phương trình có dạng |f| < g.
(1.12) ⇔













(3x + 2) + (2x − 3) < 11,
(3x + 2) − (2x − 3) < 11,
−(3x + 2) + (2x − 3) < 11,

|x
2
− 3x − 7| + |2x
2
− x − 9| + |3x
2
− 7x − 5| < x + 15. (1.13)
7
Lời giải. Ta có (1.13)
⇔





















− 7x − 5) < x + 15,
x
2
− 3x − 7 − (2x
2
− x − 9) + 3x
2
− 7x − 5 < x + 15,
x
2
− 3x − 7 − (2x
2
− x − 9) − 3x
2
− 7x − 5 < x + 15,
−(x
2
− 3x − 7) + (2x
2
− x − 9) + (3x
2
− 7x − 5) < x + 15,
−(x
2
− 3x − 7) + (2x
2
− x − 9) − (3x
2
− 7x − 5) < x + 15,
−(x




























6x
2
− 12x − 36 < 0,

5 −
√
61
6
.
❏
Ví dụ 1.17. Tìm quan hệ giữa f, g, h, biết
|f| + |g| > h. (1.14)
Bằng cách chứng minh tương tự như Ví dụ 1.13, ta có kết quả sau:
|f| + |g| > h ⇔





f + g > h,
f − g > h,
−f + g > h,
−f − g > h.
Ví dụ 1.18. Giải phương trình |x − 1| + |2 − x| > 3 + x.
Lời giải.
|x − 1| + |2 − x| > 3 + x ⇔





x − 1 + 2 − x > 3 + x,
x − 1 − (2 − x) > 3 + x,
−(x − 1) + 2 − x > 3 + x,

−f − g < h,
−f + g < h.
❏
Ví dụ 1.20. Tìm quan hệ giữa f, g, h, biết
|f| − |g| > h. (1.16)
Lời giải. Bằng cách chứng minh tương tự như Ví dụ 1.13, ta có kết quả sau:
|f| − |g| > h ⇔







f − g > h,
f + g > h,

−f − g > h,
−f + g > h.
❏
Ví dụ 1.21. Giải bất phương trình
|x
2
− 3x − 17| − |x
2
− 5x − 7| > 3. (1.17)
Lời giải.
(1.17) ⇔







2x
2
− 8x − 27 > 0,
2x > 13;

−2x > −7,
−2x
2
+ 8x + 21 > 0
⇔



















x <
7
2
4 −
√
58
2
< x <
4 +
√
58
2
⇔



4 −
√
58
2
< x <
7
2
x >
13
2
❏
Ví dụ 1.22. [1] Giải và biện luận bất phương trình sau theo tham số p:





12x − 12p + 12  0,
2x + 18p + 12  0,
6x − 6p + 12  0,
−4x + 24p + 12  0
⇔













x  p − 1,
x  −9p − 6,
x  p − 2,
6p + 3  x
⇔





p  −1,
p  −
9
15
⇔ p  −1 ⇒ p − 2 < −9p −6
Kết luận
• Nếu p  −1, thì bất phương trình (1.18) có nghiệm là 6p + 3  x  p − 2;
• Nếu p > −1 bất phương trình (1.18) vô nghiệm.
❏
Ví dụ 1.23. Giải và biện luận bất phương trình theo tham số
|2x + 21p| − 2.|2x − 21p| < x − 21p. (1.19)
Lời giải. Bất phương trình (1.19) tương đương với hệ


















• Nếu p < 0, thì 42p < 28p < 6p < 0;
• Nếu p = 0, thì 0 = 6p = 28p = 42p;
• Nếu p > 0, thì 0 < 6p < 28p < 42p.
Kết luận
• Nếu p < 0, thì x ∈ (−∞; 42p) ∪ (6p; +∞);
• Nếu p = 0, x ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞);
• Nếu p > 0, thì x ∈ (−∞; 0) ∪ (28p; +∞).
❏
10
Ví dụ 1.24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a sao cho bất phương trình
x
2
− |x − a| − |x − 1| + 3  0 (1.20)
đúng với mọi x ∈ R.
Lời giải. Bất phương trình (1.20) có dạng |f|  g.
(1.20) ⇔













x

+ a + 2  0,
x
2
− a + 4  0,
x
2
+ 2x − a + 2  0,
Bất phương trình (1.20) đúng với mọi x ∈ R khi và chỉ khi mỗi bất phương trình của hệ trên
đúng với mọi x ∈ R. Điều này xảy ra khi và chỉ khi













1
2
− (a + 4)  0,
−(a + 2)  0,
−(−a + 4)  0,
1
2
− (−a + 2)  0

− mx + 1) < 0,
−2x
2
− (x − m) + x
2
− mx + 1 < 0,
−2x
2
− (x − m) − (x
2
− mx + 1) < 0
⇔













x
2
+ (m − 1)x + m − 1 > 0,
3x
2

+ 4(m + 1) < 0,
(m − 1)
2
+ 12(m − 1) < 0
⇔













1 < m < 5,
−1 < m < 11,
−5 < m < −1,
−11 < m < 1.
Hệ bất phương trình trên vô nghiệm. Vậy không có giá trị của m thoả yêu cầu đề bài. ❏
Ví dụ 1.26. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x
2
+ 2x − 1 + |x − a| (1.22)
lớn hơn 2.
11
Lời giải. Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm a để x

R
(−x
2
− x + 3) < a
⇔



a < −
21
4
,
a >
13
4
.
❏
Ví dụ 1.27. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x
2
+ |x − a| + |x − 1| (1.23)
lớn hơn 2.
Lời giải. Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm a để y = x
2
+ |x −a| + |x −1| > 2, ∀x ∈ R.
Ta có
y = x
2
+ |x − a| + |x − 1| > 2 ⇔


− 1,
a < −x
2
+ 2x + 1
Yêu cầu bài toán thoả mãn khi và chỉ khi


a < max

min
R
(x
2
+ 2x − 3); min
R
(x
2
− 1)

,
a > min

max
R
(−x
2
+ 3); max
R
(−x
2

2
+ |x −m| < 4, ∀x ∈ R.
Bất phương trình trên có dạng |f| < g, ta tìm m để



x
2
− 5x + 4 + m > 0, ∀x ∈ R
x
2
− 5x + 4 − m > 0, ∀x ∈ R
⇔



m >
9
4
m <
7
4
Hệ trên vô nghiệm. Vậy không tồn tại m thoả yêu cầu đề bài. ❏
12
 1.1. Tìm tất cả các giá trị của tham số a sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = x
2
+ 2x − 1 + |x − a|
lớn hơn 2.
Đáp số. a < −

Đáp số. 1 < m < 5 + 2
√
3.
 1.5. Tìm m sao cho với mọi x ∈ R, ta có x
2
− 2mx + 2|x − m| + 2 > 0.
Đáp số. −
√
2 < m <
√
2.
 1.6. Tìm m sao cho với mọi x ∈ R, ta có x
2
+ (m + 1)
2
+ 2|x − m + 1|  3.
Đáp số. −1  m 
√
2
2
.
 1.7. Tìm tham số m để f (x) = (x − 2)
2
+ 2|x − m|  3 với mọi x ∈ R.
Đáp số. m  0 hoặc m  4.
2 Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng cách đưa về
phương pháp khoảng
Xét bất phương trình dạng log
a
f(x) > log

của tích (a − 1)[f(x) − g(x)].
Để chỉ dấu của log
a
f(x) − log
a
g(x) là dấu của tích (a −1)[f(x) −g(x)], tôi kí hiệu
log
a
f(x) − log
a
g(x) ↔ (a −1)[f(x) −g(x)].
Ta có các kết quả sau:
1. u − v ↔ u
2
− v
2
, u, v  0;
2. |u| − |v| ↔ u
2
− v
2
;
3.
√
u −
√
v ↔ u
2
− v
2

10. log
a
u −v ↔ (a − 1)(u −a
v
), (a, u > 0).
Ví dụ 2.1. Giải bất phương trình
(|x − 2| − 4 − x
2
)

|x + 4| −
√
x
2
− x − 2

(|1 − x| − 4) (|3 + x| − |x − 5|)
> 0. (2.1)
Lời giải. Bất phương trình (2.1) tương đương với

|x − 2|
2
− (4 + x
2
)
2


|x + 4|
2

2
)
2
) ((x + 4)
2
− (x
2
− x − 2))
((1 − x)
2
− 4
2
) ((3 + x)
2
− (x − 5)
2
)
> 0
x
2
− x − 2  0
⇔





9(−x
2
+ x − 6)(x










(x
2
− 3x − 4) − (x + 7)
x + 7 − (2x − 1)
2
 0
x
2
− 3x − 4  0
x + 7  0
⇔

−7  x  2 −
√
15
x  2 +
√
15
❏
14
Ví dụ 2.3. Giải bất phương trình

(2x
2
− 8x + 2)(8 − 4x)
 0
⇔











−x
2
+ 7x − 6 = 0
(2x
2
− 8x + 2)(8 − 4x) = 0



−x
2
+ 7x − 6 > 0
2x
2

 0 (2.6)
Nhân hai vế bất phương trình (2.6) với
√
2 − x + |3 − 2x|, ta được bất phương trình tương
đương
2 − x − (3 − 2x)
2
x
 0 ⇔
4x
2
− 11x + 7
x
 0 ⇔


x < 0,
1  x 
7
4
.
Do 0 = x <
3
2
, nên


x < 0,
1  x <
3

√
5,
x = 3,
x = −11.
Ta có (2.7) ⇔
√
x
2
− 5 + 4 − |x + 4|
|x + 4| − 7
 0 ⇔
(
√
x + 5 + 4)
2
− |x + 4|
2
|x + 4|
2
− 49
 0
⇔
x
2
− 5 + 8
√
x
2
− 5 + 16 − x
2

(x − 3)(x + 11)
 0. Dẫn tới


x < −11
−
69
16
 x < 3.
Do điều kiện x 
√
5, ta được

x < −11
√
5  x < 3.
Từ hai trường hợp trên, ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là x ∈ (−∞; −11) ∪ [
√
5; 3).
❏
Ví dụ 2.6. Giải bất phương trình log
−4x
2
+12x−8
|4x − 5| > 0.
Lời giải. Bất phương trình đã cho tương đương với





2
− 1) > 0
⇔









1 < x < 2,
x =
5
4
,
(2x − 3)
2
(4x − 6)(4x − 4) < 0
⇔



1 < x <
5
4
,
5
4










x
2
> 0,
x
2
= 1,
4x − 5
|x − 2|
> 0
⇔



x = 2,
x >
5
4
.
16
Khi đó, log
x

2
− 6x + 5)  0
⇔

−
√
6 − 1  x  1,
√
6 − 1  x  5.
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = [
√
6 −1; 2) ∪(2; 5]. ❏
Ví dụ 2.8. Giải bất phương trình |x
2
− 1|
log
2
|x
2
−3x+1|
> 1.
Lời giải. Nhận xét x = ±1 không là nghiệm của bất phương trình.
Ta có |x
2
− 1|
log
2
|x
2
−3x+1|

(|x
2
− 1| − 1).(|x
2
− 3x + 1| − 1) > 0
⇔









x
2
− 1 = 0,
x
2
− 3x + 1 = 0,
(|x
2
− 1|
2
− 1).(|x
2
− 3x + 1|
2
− 1) > 0

5
2
,
x
2
(x
2
− 2)(x
2
− 3x + 2)(x
2
− 3x) > 0.
Giải hệ trên, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là
S = (−∞; −
√
2) ∪

0;
3 −
√
5
2

∪

3 −
√
5
2
; 1

3
(x + 1)
⇔
log
3
(x + 1) − log
3
√
2x
2
− 3x + 1
log
3
√
2x
2
− 3x + 1. log
3
(x + 1)
< 0
⇔










2x
2
− 3x + 1 > 0,
(x + 1)
2
− (2x
2
− 3x + 1)
(2x
2
− 3x).(2x
2
− 3x + 2)x
< 0
⇔




0 < x < 1,
1 < x <
3
2
,
x > 5.
❏
Ví dụ 2.10. Giải bất phương trình
log
|x|


Khi đó, (2.10) ⇔
1
log
|x+1/3|
|x|

2
log
|x+1/3|
|2x + 3|
⇔
log
|x+1/3|
|2x + 3| − log
|x+1/3|
|x|
2
log
|x+1/3|
|x|. log
|x+1/3|
|2x + 3|
 0
⇔
(|x + 1/3| − 1)(|2x + 3| − x
2
)
(|x + 1/3| − 1)
2
.(|x| − 1)(|2x + 3| − 1)

−
1
3
; −1

∪

2
3
; 1

∪ [3; +∞).
❏
Ví dụ 2.11. Giải bất phương trình
log
5
log
1/2

x
2
− 4|x|
|x| − 7

 0. (2.11)
Lời giải. (2.11) ⇔





2
− 4|x|
|x| − 7

1
2
,
x
2
− 4|x|
|x| − 7
< 1
⇔







2x
2
− 9|x| + 7
|x| − 7
 0,
x
2
− 5|x| + 7
|x| − 7
< 0

.
❏
Ví dụ 2.12. Giải bất phương trình
log
x+2
(2 − x) 
|log
5
(2x + 3) − 1|
log
5
(x + 2)
. (2.12)
Lời giải. Điều kiện

















5

2x + 3
5





log
5
(x + 2)
 0 (2.13)
hay
log
5
(2 − x) −




log
5

2x + 3
5





(x + 2)
 0.
Hay

log
5
(2 − x) + log
5

2x + 3
5

log
5
(2 − x) − log
5

2x + 3
5

log
5
(x + 2)
 0.
Do đó, ta có
log
5
(2 − x)

2x + 3

Hay
(−2x
2
+ x + 1)(−7x + 7)
x + 1
 0.
Giải bất phương trình trên cùng với điều kiện −
3
2
< x < −1, ta được



−
3
2
< x < −1
−
1
2
< x < 1.
• Nếu log
5
(2 − x) < 0 ⇔ x > 1. Khi đó,
log
5
(2 − x) −




. ❏
Xin được tạm kết thúc đề tài với bài toán trong [1] như sau.
Ví dụ 2.13. Giải bất phương trình
(8 − x
3
)(2
x
− 1)(
√
x + 20 −
√
2x + 30)(|x − 2| − 4 − x
2
)

|x|
2x−1
− |x|
5−x

(log
x+20
(12 − |x|) − log
x+20
(20 − |x|)). log
3
5
x
2
< 0. (2.15)