115
CHƯƠNG 3:
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ
TUYỆT ĐỐI.
A. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1.Đònh nghóa và tính chất:
a. Đònh nghóa :
a nếu a 0
a
a nếu a 0
≥
⎧
=
⎨
−≤
⎩

b. Tính chất :
*
a0≥

*aaa−≤≤

*a b a b+≤+
dấu “ =” khi
ab 0≥

*a b a b−≤+
dấu “ =” xảy ra khi

khử dấu trò tuyệt đối trên mỗi khoảng. Giải phương trình trên mỗi
khoảng.
Có thể dùng ẩn phụ.

116
II. CÁC VÍ DỤ.
Ví dụ 1:
Giải phương trình:
2x 2 3x 1 5 (1)++ −=

Giải
Xét dấu x + 2 và x – 1

.
7
x2:(1) 2(x2)2(x1)5x
4
≤ −⇔−+−−=⇔=−
(loại)
. 2x1:(1) 2(x2)2(x1)5 0x65:
− << ⇔ + − − =⇔ += vô nghiệm
.
3
x1:(1) 2(x2)2(x1)5 x
4
≥⇔++−=⇔=
(loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2:


44 39
x,y
77
==−

Vậy hệ có nghiệm
44 39
x,y
77
⎛⎞
==−
⎜⎟
⎝⎠117
Ví dụ 3:
Đònh m để phương trình:
22
2x 10x 8 x 5x m
−+−=−+
có 4 nghiệm phân biệt.
Giải
Phương trình cho
22
2x 10x 8 x 5x m
⇔− + − − + =

Đặt f(x) =
22

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt
khi và chỉ khi:
43
4m
4
<< .
Ví dụ 4:

Giải và biện luận:
2
2m x m
m
x(m0) (1)
xx
+
+=≠

Giải
Điều kiện: x
≠
0
(1)
22
x 2m x m m (2)
⇔+ +=

Đặt
22 2
txm xtm x t 2mtm=+ ⇒=− ⇒ = − +


⎪
⎩
⎣

t0
t4m
m0
=
⎡
⎢
=
⎧
⎢
⎨
⎢
<
⎩
⎣

.
t0 x m= ⇒=−

. t 4m x 3m(m 0)
= ⇒= <
Tóm lại:
m < 0: Phương trình có 2 nghiệm: x
1
= 3m ; x
2
= - m

⎧⎧
⎪⎪
⇔∨
⎨⎨
+−= +++=
⎪⎪
⎩⎩

(2) x 0 x 1 2m
⇔ =∨=−
Ta nhận thấy x = 0 thỏa điều kiện
x1,≥−
nê điều kiện cần để phương
trình (1) có nghiệm duy nhất là:
12m 0
1
mm1
12m 1
2
−=
⎡
⇔ =∨ >
⎢
−<−
⎣

Thử lại: + với
2
1
m:(3)x2x20


có nghiệm duy nhất.

1.4. Đònh m để phương trình có nghiệm:
22
x2xmx3xm1−+=+−−

1.5. Đònh m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt :
22
2x (2m 1)x m 2 x (m 1)x 2 m−+++=−−+−
120
Hướng dẫn và giải tóm tắt

1.1. Bảng xét dấu :

Xét các trường hợp :
*
2
x:
3
≤ − phương trình cho
23
x
3x 23
5x
9
2x 4 9

=
−
⎪
⇔ =⇔ ⇔=
⎨
⎪
≠
⎩
không
thoả điều kiện
2
x0
3
−<≤
.
*
3
0x :
2
< ≤ phương trình cho
33x 3
5x
4x 23
−
⇔=⇔= thỏa điều kiện
3
0x
2
< ≤ .
*
121
1.2.
2
2
2
2(x k) (x 1)
(x 1) 2x k(1)
2(x k) (x 1)
⎡
−=−
−= − ⇔
⎢
⎢
−=−−
⎣

2
2
x4x2k10 (2)
x2k1 (3)
⎡
−++=
⇔
⎢
⎢
=−
⎣


∆>
⎧
⎪
−> ⇔ < < ∧ ≠
⎨
⎪
≠
⎩1.3.
22
2x 3x 2 5a 8x 2x−−=−−
22
2x 8x 2x 3x 2 5a⇔++−−=

Đặt
2
22
1
4x 5x 2 nếu x x 2
2
f(x) 2x 8x 2x 3x 2
1
11x + 2 nếu - x 2
2
⎧
+− ≤−∨≥
⎪
⎪

57 57
a
16.5 80
−
⇔=− =

1.4.
22
x2xmx3xm1− +=+−−
(*)
(*)
2
222 2
x3xm10
(x 2x m) (x 3x m 1)
⎧
+−−≥
⎪
⇔
⎨
−+ = +−−
⎪
⎩

2
2
x3xm10
5x 2m 1 2x x 1 0
⎧
+−−≥

f0
m3m
5
4
f( 1) 0 m 3 m R
3
1
m
f0
4
2
⎡
+
⎛⎞
⎡
≥
≤− ∨ ≥
⎢
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎢
⎢
⎢
⇔−≥ ⇔ ≤− ⇔∈
⎢
⎢
⎢
⎛⎞
⎢

g(x)
x(m2)x2m0 (1)
3x 3mx 4 0 (2)
⎡
−+ + =
⇔
⎢
⎢
−+=
⎣


Để phương trình cho có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân
biệt, (2) có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm phân biệt của (1) và (2)
khác nhau.
(1) có :
2
112
(m 2) 0 m 2: x m,x 2∆= − > ⇔ ≠ = =

(2) có :
2
2
43 43
9m 48 0
mm
33
g(m) 0
8
g(2) 0