Khóa học: Bất đẳng thức trong đề thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –ThS. Nguyễn Thế Chinh

BÀI GIẢNG SỐ 4. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Dạng 1. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Cho hàm số f(x). Khi đó, ta có:
 Nếu f(x) đồng biến


0
f '(x)

thì f(x) > f()  x > ; f(x) < f()  x < .
 Nếu f(x) nghịch biến


0
f '(x)

thì f(x) > f()  x < ; f(x) < f()  x > .
 Nếu f(x) đồng biến hoặc nghịch biến, ta đều có f(x) = f()  x = .

Ví dụ 1: Chứng minh mọi x > 0, ta có:
a) e
x
> 1 + x.
b)

> x + 1  đpcm.
b) Xét 1x
2
x
e)x(g
2
x
 , x > 0.
Có g
’
(x) = e
x
– x – 1 > 0 (theo a)  g(x) đồng biến trên x > 0.
Do đó với x > 0 thì g(x) > g(0)
1x
2
x
e01x
2
x
e
2
x
2
x

 đpcm.
c)
2
cos 2 0, .

f x

có nghiệm duy nhất
0.
x


Bảng biến thiên.
Khóa học: Bất đẳng thức trong đề thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –ThS. Nguyễn Thế Chinh
x


0


'( )
f x

- 0 +
( )







0
1
y
x
1
y
x
2
y
x
ln
1
y
x
1
y
x
2
y
x
ln
yx
yx
2ylnxln 

2tln)t(f 




 .
Có 1t0
)1t(t
)1t(
)1t(
4
t
1
)t(f
2
2
2
'






 f(t) đồng biến với t > 1  f(t) > f(1) = 0  t > 1  đpcm.

Ví dụ 3. Cho a  6, b  -8, c  3. Chứng minh mọi x  1, ta có: x
4
– (ax
2

Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –ThS. Nguyễn Thế Chinh

 Với x  1 thì f
’
(x)  f
’
(1) = 4 – (2a + b)  4 – (12 – 8) = 0
 f(x) đồng biến trên x  1
 Với x  1 thì f(x)  f(1) = 1 – (a + b + c)  1 – (6 – 8 + 3) = 0
 x
4
– (ax
2
+ bx + c)  0  đpcm.

Dạng 2. Sử dụng hàm đặc trưng

Ví dụ 4. Cho 0 < a < b < 1. Chứng minh rằng
a
2
lnb – b
2
lna > lna – lnb (1)
Lời giải
Có
1
b
bln
1





 f(t) đồng biến với 0 < t < 1.
Do đó với 0 < a < b < 1  f(a) < f(b)  (2) đúng  (1) đúng  đpcm.

Ví dụ 5. Chứng minh: 2005
2006
> 2006
2005

Lời giải
Có 2005
2006
> 2006
2005
 ln2005
2006
> ln2006
2005

 2006ln2005 > 2005ln2006
2006
2006ln
2005
2005ln

(1)
Xét

2
1
2(  (1)
Khóa học: Bất đẳng thức trong đề thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –ThS. Nguyễn Thế Chinh

Lời giải
Có
abbaabba
ab
ab
ab
ba
)14ln()14ln()14()14(
2
)14(
2
)14(
)1( 





b
)14ln(
a










 )14ln(
14
4ln.t.4
t
1
)14ln(t.
14
)14(
t
1
)t(f
t
t
t
2
t
t
't
2
'


1 1 1 1
( cos3 cos2 cos ) ( cos3 cos2 cos ) ( , 0;
3 2 3 2 2
VT A A A B B B A B

 
      
 
 

Xét hàm đại diện
1 1
( ) cos3 cos2 cos ( 0; )
3 2 2
f x x x x x

 
   
 
 
. Ta cú
'( ) sin3 sin 2 sin
f x x x x
   

sin3 sin2 sinx 0 sin 2 (1 2cos ) 0
3
x x x x x

        


   
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
3
A B

 
.
Khóa học: Bất đẳng thức trong đề thi ĐH Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi
Biên soạn: ThS. Đỗ Viết Tuân –ThS. Nguyễn Thế Chinh

Suy ra tam giác ABC đều.

BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Chứng minh mọi
)
2
,0(x


, ta có:
a) sinx + tgx – 2x > 0 b) 2sinx + tgx – 3x > 0
c) .
1xtgxxsin
2
2
2

Bài 5.
a. Tìm giá trị lớn nhất của
1x
3x
y
2



.
b. Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng: 101c1b1a
222
 .
Bài 6. Cho hai số
*
, , (0 )
2
p q N

   
. Chứng minh rằng:
 
sin cos
p q
p q
p q
p q
p q

  

cot cot cot 3 3 2( )
sin sin sin
A B C
A B C
     
b.
2 2 2
125
(1 cos )(1 cos )(1 cos )
64
A B C   
Bài 10. Chứng minh rằng với mọi
0;
2
x

 

 
 
, ta luôn có:
2
2
4 4
sin
x x x
 
 