ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MATHCAD
SÁNG TẠO VÀ GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN
----------------------------------------------
PHẦN MỞ ĐẦU
I. Bối cảnh của đề tài :
- Bài toán chứng minh bất đẳng thức là một bài toán khó trong các kì
thi học sinh giỏi và thi đại học, mặc dù học sinh đã được trang bị khá nhiều
kiến thức về bất đẳng thức từ các lớp trung học cơ sở , các lớp 10, 11, 12 ở
trung học phổ thông tuy nhiên, đối với một số dạng bất đẳng thức khó trong
các kì thi học sinh giỏi, thi đại học các em rất lúng túng trong cách giải
quyết và thậm chí là mất khá nhiều thời gian vẫn không giải quyết được.
- Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi xin đóng góp một phương pháp
khá hiệu quả trong việc giải quyết một lớp bất đẳng thức thuần nhất, đối
xứng 2,3,..,n biến bằng phương pháp tiếp tuyến và sử dụng phần mềm
Mathcad để tạo ra các bài tập tương tự cho học sinh luyện tập từ đó nâng cao
được khả năng giải quyết các bài toán bất đẳng thức thuộc dạng này.
II. Lý do chọn đề tài
Trong các đề thi đại học từ năm 2000- 2001 đến nay , đa số đều có
câu hỏi về chứng minh bất đẳng thức, đây là một câu hỏi khó và đa số học
sinh đều bỏ câu này. Đôi lúc câu hỏi này cũng không phải là khó lắm nhưng
do học sinh mất bình tĩnh, chưa nắm được phương pháp nên không giải
quyết được.
Trong các đề thi toán học sinh giỏi vòng tỉnh, vòng khu vực, vòng
toàn quốc và quốc tế, rải rác cũng có các bài toán dạng này và không phải
học sinh nào cũng giải được nếu không biết phương pháp.
III. Phạm vi và đối tượng của đề tài :
Đối tượng nghiên cứu của tôi chỉ là dạng bất đẳng thức thức đối xứng,
thuần nhất 3 biến trong các kì thi thi đại học, thi học sinh giỏi các cấp.
Đề tài được áp dụng cho các học sinh lớp 12 luyện thi đại học, lớp 11,
12 chuyên toán ( đã học xong phần khảo sát hàm số , viết phương trình tiếp

2
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
( Đề thi ĐH Cần Thơ 1995)
2. Cho a, b, c là 3 số thực thỏa điều kiện : a + b + c = 1
Chứng minh rằng :
a b c a b c
1 1 1 a b c
3
3 3 3 3 3 3
 
+ + ≥ + +
 ÷
 

( Đề thi Học viện bưu chính viễn thông 2001)
3. Cho x,y,z > 0 và
x y z 1+ + ≤
. Chứng minh rằng :

2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z 82
x y z
+ + + + + ≥
( Đề thi ĐH khối A 2003)
4. Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh :
2 2 2

7. cho
3
a,b,c
4
≥ −
và a + b + c = 1. Chứng minh rằng
2 2 2
a b c 9
10
a 1 b 1 c 1
+ + ≤
+ + +
(Đề thi vô địch Ba lan 1996)
8. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. CM:
a b c ab bc ca+ + ≥ + +

(vô địch Nga 2002)
9. Cho a, b, c > 0. CMR
2 2 2
2 2 2 2 2 2
(2a b c) (2b c a) (2c a b)
8
2a (b c) 2b (c a) 2c (a b)
+ + + + + +
+ + ≤
+ + + + + +

(vô địch Mỹ 2003)
10. Cho a, b, c > 0. CMR:
2 2 2

0
) , x
0
∈ (α,
β) và (C) luôn nằm phía trên (hoặc phía dưới) tiếp tuyến trong khoảng (α, β)
thì f(x) ≥ Ax + B
∀x
∈
(α, β) (hoặc f(x) ≤ Ax + B ∀x ∈ (α, β))
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = x
0
. Như vậy với mọi x
1
, x
2
,…, x
n

∈ (α, β) thì
1 1
2 2
n n
1 2 n 1 2 n
f (x ) Ax B
f (x ) Ax B
.........
f (x ) Ax B
f (x ) f (x ) ... f (x ) A(x x ... x ) nB
≥ +
≥ +

i 1
f (x ) A.C nB
=
≥ +
∑
(hoặc
n
i
i 1
f (x ) AC nB
=
≤ +
∑
)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 2 n 0
C
x x ... x x
n
= = = = =
III. Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề :
4
III.1 Các bước tiến hành :
Bước 1 : Nhận dạng cho được bất đẳng thức đã cho là bất đẳng
thức thuần nhất, đối xứng 2,3,.., n biến.
Bất đẳng thức thuần nhất
Đa thức
( , , )f a b c
thuần nhất trên miền D
⇔

( ; )
α β
Bước 3 : Dự đoán điểm rơi
0
x
của bất đẳng thức, viết phương
trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại
0 0
( ; )M x y
là y = Ax + B.
Bước 4 : Chứng minh f(x) ≥ Ax + B ∀x
∈
(α, β) (hoặc f(x) ≤
Ax + B ∀x ∈ (α, β)); từ đó suy ra điều phải chứng minh.
III.2 Các ví dụ minh họa :
Bài toán 1 :
Cho
3
a,b,c
4
≥ −
và a + b + c = 1. Chứng minh rằng
2 2 2
a b c 9
10
a 1 b 1 c 1
+ + ≤
+ + +
(Đề thi vô địch Ba lan 1996)
Giải

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ
1
x
3
=
là
18 3
y x
25 50
= +
Ta chứng minh rằng :

18 3 3
( ) ;3
25 50 4
 
≤ + ∀ ∈ −
 
 
f x x x
Thật vậy :
3
;3
4
 
∀ ∈ −
 
 
x
xét

a b c
2 2 2
18 3 18 9 9
( ) .3
1 1 1 25 50 25 50 10
⇒ + + ≤ + + + = + =
+ + +
a b c
a b c
a b c
• Bất đẳng thức đã được chứng minh.
Bài toán này dễ dàng thấy ngay cần phải xét hàm số nào, giới hạn
trong đoạn nào. Bài toán sau khó thấy hơn và phải có kỹ thuật thích hợp như
sau :
Bài toán 2 :
Chứng minh với mọi a,b,c dương thì

3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
( Bất đẳng thức Nesbit)
Giải
• Bất đẳng thức có dạng thuần nhất, đối xứng 3 biến
• Bất đẳng thức đã cho chưa có dạng
( ) ( ) ( )+ + ≥f a f b f c M
Ta biến đổi như sau :
Do vai trò a, b, c bình đẳng như nhau nên có thể đặt a + b + c = s và dự đoán