SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
Tên đề tài :
Một số kinh nghiệm
GIẢi BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ
KÝ HIỆU :
LOẢI ÂÃƯ TI : KINH NGHIÃÛM GING DẢY
T
á
c giả : Lê Thừa Thành
Chức vụ : Giáo viên
Đơn vị : Trường THPT Nguyễn Hiền
Đăng ký ngày : Góp ý ngày :
Kiểm tra thực tế ngày : Hồn chỉnh
bài viết ngày :
NHÁÛN XẸT, ÂẠNH GIẠ, XÃÚP LOẢI
TỔ CHUN MƠN
Nhận xét :

Xếp loại :
Ng
à

SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
NĩI DUNG TRầNH BAèY
Phỏửn I : T VN ệ
01 -
02
Phỏửn II : GIAI QUYT VN ệ
03 -
27
A- Toùm từt caùc kióỳn thổùc cồ baớn vóử phổồng phaùp toaỷ õọỹ
trong khọng gian
03
B- Quy trỗnh giaới caùc baỡi toaùn Hỗnh hoỹc khọng gian bũng
phổồng phaùp toaỷ õọỹ
12 -
27
I. Xỏy dổỷng hóỷ toaỷ õọỹ óửcac vuọng goùc trong mọỹt baỡi toaùn hỗnh
hoỹc khọng gian
12 -
15
II. Sổỷ chuyóứn õọứi tổỡ ngọn ngổợ hỗnh hoỹc thọng thổồỡng
sang ngọn ngổợ toaỷ õọỹ
15 -
18
III. Caùc vờ duỷ minh hoaỷ 18 -
27
C. Bióỷn phaùp tióỳn haỡnh vaỡ hióỷu quaớ õaỷt õổồỹc 28 -
29
I- Bióỷn phaùp tióỳn haỡnh 28
II - Caùc hióỷu quaớ õaợ õaỷt õổồỹc 29
Phỏửn III : KT LUN CHUNG

tích thuần tuý , nó đã được người ta nghiên cứu và vận dụng nhiều vào
việc giải quyết các kiến thức ,nội dung toán học khác như : chứng minh
bất đẳng thức ; tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của một hàm số ; bài
toán cực trị trong hình học ; giải phương trình và bất phương trình …
Đặc biệt , phương pháp tọa độ đã giải quyết được nhiều bài toán
hình học không gian mà HS được học ở năm l1 – Đây là loại toán
khó và đòi hỏi ở học sinh khả năng tư duy tưởng tượng phong
phú , nên trong thực tế đa số học sinh đều “sợ “ môn học này .
Cũng trên tinh thần đổi mới và khẳng định vị thế , vai trò của hình
học giải tích và PPTĐ trong chương trình toán PTTH hiện nay , nên
những năm gần đây trong các bộ đề tuyển sinh đại học trên toàn quốc
đã có nhiều bài toán hình học không gian –mà nếu như thí sinh dùng
3
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
PPT hoc kt hp phng phỏp ny cựng phng phỏp hỡnh hc
truyn thng n thun thỡ bi toỏn s tr nờn d gii hn .
Nh vy ,vic ỏp dng c v bit cỏch ỏp dng phng
phỏp ta mt cỏch cú hiu qu vo vic gii quyt mt s bi
toỏn hỡnh hc khụng gian tr thnh mt nhu cu ca hc sinh cui
cp PTTH hin nay .
Tuy vy , qua thc t ging dy tụi thy hc sinh ó gp mt s
khú khn sau:
*Khi gp mt bi toỏn hỡnh hc khụng gian thỡ nhng du
hiu , tớn hiu no nhn bit phỏt hin c rng nú cú th
gii bng PPT ?
*Nu dựng PPT thỡ HS phi t xõy dng mt h to
ờcac gii toỏn .Vn l xõy dng h to ú nh th
no ?
*Vn cũn li l t bi bng ngụn ng hỡnh hc tng
hp thun tuý nh vy , nu chuyn i qua ngụn ng ta thỡ

dài vectơ , vectơ bằng nhau , phép cộng vectơ và các tính chất ,
5
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
phép trừ vectơ và các tính chất , phép nhân vectơ với một số, tích
vơ hướng của hai vectơ và các tính chất của chúng .
Lên lớp 11 ,học sinh được học HHKG mà các đối tượng mà
các đối tượng nghiên cứu của nó có thể khơng cùng nằm trong
nằm trong một mặt phẳng. Chẳng hạn nếu ta lấy ba vectơ
, ,AB AC AD
uuur uuuur uuuur
trên ba cạnh của tứ diện ABCD thì được ba vectơ
khơng cùng nằm trên một mặt phẳng. Từ đó hình thành khái niệm
vectơ trong khơng gian mà HS được học ở lớp 12.
Tuy nhiên , khái niệm vectơ trong khơng gian và những phép
tốn trên nó đều được định nghĩa hồn tồn như trong hình học
phẳng. Do đó , để tập trung vào nội dung chính cần trình bày , ở
đây tơi sẽ khơng nhắc lại các định nghĩa của các khái niệm nói trên
,chỉ trình bày thêm phần khái niệm các vectơ đồng phẳng .
BA VECTÅ ÂÄƯNG PHÀĨNG:
a) ÂN : Ba vectå
a
,
b
,
c
âỉåüc gi l âäưng phàóng nãúu ba
âỉåìng thàóng chỉïa chụng cng song song våïi mäüt màût
phàóng.
b) Cạc âënh lê: Cho
a

0
v khäng âäưng phàóng. Khi âọ: Våïi
u
l mäüt vectå
báút kç thç
u
ln âỉåüc phán têch mäüt cạch duy nháút dỉåïi
dảng :
u
= x.
a
+ y.
b
+ z.
c
IV. ÂỈÅÌNG THÀĨNG TRONG KHÄNG GIAN
Trong khäng gian cọ hãû trủc ta âäü Oxyz
1- PHỈÅNG TRÇNH CA ÂỈÅÌNG THÀĨNG
1.1 PHỈÅNG TRÇNH THAM SÄÚ - PHỈÅNG TRÇNH CHÊNH TÀÕC.
Âỉåìng thàóng d qua âiãøm M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) v cọ mäüt vectå chè phỉång
d
=


=

=

(a, b, c 0)
Qui ổồùc rũng : vồùi phỏn sọỳ
B
A
, nóỳu B = 0 thỗ A = 0
1.2. PHặNG TRầNH TỉNG QUAẽT CUA ặèNG THểNG
ổồỡng thúng d õổồỹc xem laỡ giao tuyóỳn cuớa hai mỷt phúng :
(
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0 vaỡ (
2
) : A
2
x + B
2
y + C
2









22
11
22
11
22
11
BA
BA
;
AC
AC
;
CB
CB

2- Vậ TRấ TặNG I CUA ặèNG THểNG VAè MT
PHểNG
Cho õổồỡng thúng d:
c
zz
b
yy





=+++
=++
0
0
000
DCzByAx
CcBbAa
ỷt bióỷt : d

()

a : b : c =A : B : C
7
d :



=+++
=+++
)2(0
)1(0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH

v
= (a
1
,
b
1
, c
1
) v d
2
qua M
2
(x
2
, y
2
, z
2
) cọ phỉång
2
v
= (a
2
, b
2
, c
2
)
d
1

// d
2

⇔
)(:)(:)(::::
121212222111
zzyyxxcbacba −−−≠=
d
1

≡
d
2

⇔
)(:)(:)(::::
121212222111
zzyyxxcbacba −−−==
d
1
v d
2
chẹo nhau
⇔
[ ]
0.,
2121
≠MMVV
rrr
4- GỌC GIỈỴA ÂỈÅÌNG THÀĨNG V MÀÛT PHÀĨNG:

1
Sin
ϕ
= |cos (
v
,
n
)| =
222222
CBAcba
|cCbBaA|
++++
++

2
∆
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
5- GỌC GIỈỴA HAI ÂỈÅÌNG THÀĨNG :
d
1
cọ vectå chè phỉång
1
v
= (a
1
, b
1
, c
1
)

b
yy
a
xx
111
−
=
−
=
−
a) Cạch 1:
Viãút phỉång trçnh màût phàóng
)(
α
qua I v
)(
α
⊥ d
Xạc âënh giao âiãøm H ca d v
)(
α

Khi âọ : d (I, d) = IH
b) Cạch 2 :
Âỉåìng thàóng d âi qua âiãøm A(x
1
, y
1
, z
1

, y
1
, z
1
) cọ phỉång
1
V
= (a
1
, b
1
, c
1
)
(
2
∆
)

2
∆
qua N(x
2
, y
2
, z
2
) cọ phỉång
2
V

9
I
H
d
I
A
d
H
u
r

Cos
ϕ
= cos(
1
v
,
2
v
)| =
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1

222
CBA
|CcBbAa|
++
++
a) Nãúu d > R thç (P) khäng càõt (S)
b) Nãúu d = R thç (P) tiãúp xục (S) tải 1 âiãøm T
(P) cn gi l tiãúp diãûn ca (S) tải âiãøm T.
c) Nãúu d < R thç (P) càõt (S) theo giao tuún l mäüt âỉåìng
trn (C) cọ phỉång trçnh l :

(C ) cọ tám H l hçnh chiãúu vng gọc ca I trãn (P) bạn kênh r =
22
dR −
3. VË TRÊ TỈÅNG ÂÄÚI CA ÂỈÅÌNG THÀĨNG V MÀÛT CÁƯU:
x = x
0
+ ta
1

∆
: y = y
0
+ ta
2
, (S) : (x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z - c)

⇔
0
2
=++
γβα
tt
(*)
Säú giao âiãøm ca
∆
v (S) l säú nghiãûm ca (*)
10
I
H M N
d
R
(S) : (x - a)
2
+ (y - b)
2
+ (z - c)
2
= R
2

(S) : x
2
+ y
2
+ z
2

thãø lm xút hiãûn mäüt tam diãûn vng.Khi âọ ta chn âènh
tam diãûn lm gäúc ta âäü ,cn cạc trủc honh ,trủc tung,trủc
cao ca hãû thäúng s láưn lỉåüt nàòm trãn cạc cảnh ca tam diãûn
vng âọ.Do âo,ï phỉång phạp ta âäü ny hay âỉåüc sỉí dủng
âãø gii quút cạc váún âãư vãư âënh tênh,âënh lỉåüng ca cạc
úu täú v dỉỵ liãûu trong mäüt hçnh láûp phỉång,hçnh häüp
chỉỵ nháût,hồûc ca mäüt váût thãø khäng gian âỉåüc càõt ra
tỉì cạc hçnh âọ,hồûc trong mäüt hçnh chọp hay làng trủ cọ
dảng âàûc biãût, Váún âãư âàût ra l phi “khẹo lẹo” chn ( v
âáy l c mäüt”nghãû thût” ) hãû ta âäü vng gọc Oxyz sao cho
cạc gi thiãút bi toạn,cạc u cáưu âãư bi âỉåüc chuøn qua
ngän ngỉỵ ta âäü mäüt cạch dãù dng v thûn tiãûn.
Dỉåïi âáy l mäüt säú vê dủ vãư cạch chn hãû trủc ta âäü
Âãư cạc vng gọc trong khäng gian thỉåìng gàûp:
Vê dủ 1:
Cho hçnh häüp chỉỵ nháût ABCD.A’B’C’D’ cọ cạc kêch thỉåïc láưưn
lỉåüt l :
AB = a; AD = b; AA’ = c.
Ta láûp hãû ta âäü Axyz cọ:
Ax chỉïa AB , chiãưu dỉång tỉì A âãún B
Ay chỉïa AD , chiãưu dỉång tỉì A âãún D
Az chỉïa AA’ , chiãưu dỉång tỉì A âãún A’
Våïi hãû ta âäü Axyz âọ thç :
A(0;0;0) , B(a;0;0) , C(a;b;0)
D(0;b;0) , A’(0;0;c) , B’(a;0;c)
C’(a;b;c) , D’(0;b;c)

11
A
B C

* Trón mp (P),choỹn (dổỷng) hai õổồỡng thúng a,b vuọng goùc vồùi
nhau taỷi H
* Dổỷng hóỷ toỹa õọỹ vuọng goùc Hxyz vồùi Hx nũm trón õổồỡng
thúng a ,Hy nũm trón õổồỡng thúng b , Hz nũm trón õổồỡng
thúng HS
Vờ duỷ 3: Hỗnh choùp S.ABCD coù õaùy ABCD laỡ
hỗnh vuọng caỷnh a vaỡ SA = SB = SC = SD = a
2
.
Goỹi I,J lỏửn lổồỹt laỡ trung õióứm cuớa AD vaỡ BC.

Goỹi O laỡ tỏm hỗnh vuọng ABCD .
Tổỡ giaớ thióỳt ,ta coù:
SA=SB=SC=SD=BD=AC= a
2
nón
caùc tam giaùc SAC vaỡ
SBD laỡ caùc tam giaùc õóửu.
=>SO

AC vaỡ SO

BD
12
z
y
S
D
A
B

2
2
;0) , D(-a
2
2
;0;0) , S(0;0;a
2
6
) ; I(-a
4
2
;-a
4
2
;0) vaỡ J(a
4
2
; a
4
2
;0)
*Tuy vỏỷy , coù khi choỹn gọỳc toỹa õọỹ khọng phaới laỡ hỗnh chióỳu H
cuớa S trón (P) maỡ laỡ mọỹt õióứm õỷc bióỷt naỡo õoù trón (P) (thổồỡng
laỡ mọỹt õốnh cuớa õa giaùc õaùy) cuỡng caùch choỹn cỷp õổồỡng thúng
a,b trón (P) vuọng goùc vồùi nhau taỷi õióứm gọỳc õoù mọỹt caùch hồỹp
lyù thỗ vióỷc tỗm toỹa õọỹ caùc õióứm seợ trồớ nón dóự daỡng hồn vaỡ toỹa
õọỹ caùc õióứm cuợng coù daỷng õồn giaớn hồn.
Vờ duỷ 4:
Cho hỗnh choùp S.ABC , õaùy ABC laỡ tam giaùc vuọng cỏn õốnh C
; CA=CB=a; õốnh S coù hỗnh chióỳu trón õaùy laỡ troỹng tỏm G cuớa

chióửu dổồng tổỡ G õóỳn S . Khi õoù ta coù:
A(0;0;0) ,
B(a;a;0) ,
C(0;a;0) ,
13
S
A
G
x
S
z
y
G
C
A
B
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
S(
3
a
;2
3
a
;h)
*Nháûn xẹt:
Våïi cạch 2 thç ta âäü cạc âiãøm cáưn dng dãù tçm hån v cọ
dảng âån gin hån
II. SỈÛ CHUØN ÂÄØI TỈÌ "NGÄN NGỈỴ" HÇNH HC THÄNG
THỈÅÌNG SANG "NGÄN NGỈỴ" TA ÂÄ Ü:
Âáy l váún âãư cäút li v âënh hỉåïng âãø ngỉåìi gii toạn

thàóng thỉï nháút (hçnh 2).
Cạch 3: Khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng chẹo nhau AB
v CD bàòng khong cạch giỉỵa hai màût phàóng song song láưn
lỉåüt chỉïa hai âỉåìng thàóng âọ (hçnh 3).
Cạc cạch xạc âënh nãu trãn âỉåüc
phạt biãøu bàòng "ngän ngỉỵ" hçnh hc
täøng håüp ph håüp våïi biãøu tỉåüng
trỉûc quan tỉång ỉïng thãø hiãûn trãn
cạc mä hçnh 1, 2, 3.
PHỈÅNG PHẠP TA ÂÄÜ
Viãûc xạc âënh khong cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng chẹo
nhau AB v CD bàòng PPTÂ cọ thãø tiãún hnh theo hỉåïng chuøn
trỉûc tiãúp cạch xạc âënh diãùn âảt bàòng "ngän ngỉỵ" hçnh hc
thong thuong ra "ngän ngỉỵ" ta âäü nhåì sỉí dủng cạc biãøu
tỉåüng trỉûc quan hçnh thnh trãn cå såí phán têch täøng håüp cạc
hçnh 1, 2, 3.Cu the la :

ÅÍ hçnh 1: Âỉåìng thàóng MN vng gọc våïi AB v CD, do váûy
MN ⊥ mp (R) song song AB v CD, k hiãûu  l âỉåìng thàóng
vng gọc våïi mp (R) thç MN // , nghéa l âỉåìng thàóng MN cọ
phỉång hon ton xạc âënh.
Âãø tênh âäü di âoản thàóng MN ta
tçm cạch xạc âënh âỉåìng thàóng MN l
âỉåìng vng gọc chung ca hai âỉåìng
thàóng chẹo nhau AB v CD (hçnh 4).
15
Hçnh 2 Hçnh 3
Hçnh 1
A M
B


B'

D

R

∆

SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
Sổớ duỷng kióỳn thổùc õaợ bióỳt vóử õổồỡng thúng kóỳt hồỹp
vồùi sổỷ phan tich hỗnh 4 ta coù õổồỹc caùc bióứu tổồỹng khaùc nhau
vóử caùc caùch xaùc õởnh õổồỡng thúng trong khọng gian "ổồỡng
thúng õổồỹc xaùc õởnh bồới hai mỷt phúng; ổồỡng thúng xaùc
õởnh bồới mọỹt õióứm vaỡ vuọng goùc vồùi mọỹt mỷt phúng hay song
song vồùi mọỹt õổồỡng thúng. ổồỡng thúng xaùc õởnh bồới hai õióứm
phỏn bióỷt.
óứ laỡm roợ vai troỡ "chố dỏựn" cuớa bióứu tổồỹng trổỷc quan,
trong mọựi caùch giaới sau, trổồùc hóỳt toi xin õổồỹc nóu bióứu tổồỹng
trổỷc quan sau õoù laỡ nọỹi dung caùch giaới bũng PPT.
Kyù hióỷu caùc vectồ chố phổồng cuớa caùc õổồỡng thúng AB, CD
vaỡ tổồng ổùng laỡ
c,b,a
vồùi
c
= [
b,a
]. ọỹ daỡi MN coù thóứ tờnh
bũng caùc caùch sau:


c
. Xaùc õởnh M laỡ
giao õióứm cuớa õổồỡng thúng MN vaỡ õổồỡng thúng AB.
* Caùch 3:
Bióứu tổồỹng trổỷc quan: M thuọỹc õổồỡng thúng AB, N
thuọỹc õổồỡng thúng CD. ổồỡng thúng MN vuọng goùc AB vaỡ CD.
Nọỹi dung caùch giaới bũng PPT: Lỏỷp phổồng trỗnh tham
sọỳ t
1
, t
2
cuớa caùc õổồỡng thúng AB vaỡ CD. Xaùc õởnh toỹa õọỹ M
thuọỹc AB theo t
1
, xaùc õởnh toỹa õọỹ N thuọỹc CD theo t
2
. Tờnh toỹa
õọỹ vectồ
MN
. Bióứu dióựn õióửu kióỷn MN AB, MN CD dổồùi
daỷng toỹa õọỹ õóứ tờnh t
1
, t
2
tổỡ õoù tờnh õổồỹc toỹa õọỹ caùc õióứm
M, N vaỡ tờnh õổồỹc khoaớng caùch giổợa hai õióứm M vaỡ N.
* hỗnh 2:
Bióứu tổồỹng trổỷc quan: MN bũng khoaớng caùch tổỡ õổồỡng
thúng AB tồùi mp (P) chổùa CD song song vồùi AB.
Nọỹi dung caùch giaới bũng PPT:

ở trên.
III.CÁC VÍ DỤ MINH HỌA :
Sau đây là một số bài tốn HHKG đượcdùng PPTĐ( hoặc phối
hợp cùng PPHH thơng thường ) để giải quyết .
Bi toạn 1:
Cho hçnh häüp chỉỵ nháût
ABCD.A'B'C'D' cọ AB = a, BC =
b, CC' = c. Tênh khong cạch
giỉỵa hai âỉåìng thàóng BC' v
CD'.
Låìi gii:
Chn hãû ta âäü Oxyz, våïi C ≡ B,
trủc Ox, Oy, Oz tỉång ỉïng l :
BA, BC, BB'. Ta cọ B (0, 0, 0) ;
C' = (0, b, c); C = (0, b, 0); D' = (a, b, c);
)c,0,a('CD;)c,b,0('BC ==
Mat phang () l mặt phẳngđi qua C va cọ càûp vectå chè phỉång l
'BC
v
'CD
nãn cọ mäüt vectå phạp tuún l n = [ BC’,CD’ ] = (bc ,
ac , -ab)
Vç váûy mp () cọ phỉång trçnh l: (): bcx + acy - abz - abc =
0.
Khong cạch giỉỵa BC' v CD' bàòng khong cạch tỉì B tåïi
mp ().
d(B,()) =
222222
accbba
|abc|

cạch giỉỵa hai âỉåìng thàóng B'C
18
SKKN : Một số kinh nghiệm giải bài tốn Hình KG bằng PP tọa độ GV : LÊ THỪA THÀNH
v BA' bàòng khong cạch tỉì B' tåïi
mp (BA'B
1
) tỉïc l bàòng B'H.
Xẹt hãû ta âäü Oxyz våïi O ≡
B'; trủc Ox trng våïi B'B
1
, Oy ⊥ B'B
1
,
trủc Oz trng våïi B'B.
Ta cọ B'(0, 0, 0) ; B(0, 0, a) ; A' = (
2
3a
;a
2
1 −
−
, 0)
C(-a, 0, a) ;
C'B
= (-a, 0, a);
B'A
= (
2
3a
;a

5
5a
5
a
)3(3)3(
|3a|
222
==
++
−
BI 3: Cho gọc tam diãûn vng Oxyz. Trãn Ox, Oy,Oz
láúy láưn lỉåüt cạc âiãøm A, B, C cọ OA = a, OB = B, OC = c (a,
b, c > 0).
1) C/m ràòng tam giạc ABC cọ ba gọc nhn.
2) Gi H l trỉûc tám ca tam giạc ABC. Hy tênh OH
theo a, b, c.
3) C/m ràòng bçnh phỉång diãûn têch tam giạc ABC bàòng
täøng bçnh phỉång diãûn têch cạc màût cn lải cu
tỉï diãûn OABC.
(ÂH An Ninh - Khäúi D)
Gii:1.Theo âënh l cosin ta cọ: cosA=
ACAB
BCACAB
.2
222
−+
=
( ) ( )
ACAB
cbcaba

Theo õởnh lyù ba õổồỡng vuọng goùc ,ta coù:
AB

OI,BC

AK=> AB

mp (COI),
BC

mp(AOK) => AB

OH,BC

OH
=>OH

mp(ABC) .Tổỡ õoù OH laỡ khoaớng
caùch tổỡ O õóỳn mp (ABC).
Ta coù phổồng trỗnh cuớa mp(ABC) laỡ:
0
1
=++
=++
abcabzacybcx
c
z
b
y
a

OAB
+S
2
OBC
+S
2
OCA
=
( )
222222
4
1
accbba ++
Ta coù V
OABC
=
ABC
SOH
ab
c .
3
1
2
.
3
1
=
)(
4
1

1
D
1
, bióỳt baùn kờnh hỗnh
cỏửu nọỹi tióỳp trong tổù dióỷn ACB
1
D
1
laỡ r.
Tờnh dióỷn tờch toaỡn phỏửn cuớa tổù dióỷn ACB
1
D
1
vaỡ thóứ tờch
hỗnh lỏỷp phổồng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
.
(HY Thaùi Bỗnh)
Giaới :
ABCD.A
1
B
1
C

a
vaỡ mỷt
phúng (ACD
1
) coù phổồng trỗnh :
a
z
a
y
a
x
++
= 1 x + y + z - a = 0
Ta coù r laỡ khoaớng caùch tổỡ I õóỳn mỷt phúng (ACD
1
)
20
C
K
B
y
A
x
O
H
I
SKKN : Mt s kinh nghim gii bi toỏn Hỡnh KG bng PP ta GV : Lấ THA THNH
r =
32a
32







Vỏỷy dióỷn tờch toaỡn phỏửn cuớa tổù dióỷn ACB
1
D
1
laỡ : S =
2
r36
x 4 =
2
r324
Thóứ tờch hỗnh lỏỷp phổồng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
laỡ : V = a
3
= (
3
)r62
=

)
MN
= (-a;
2
a
;
2
a
) =
2
a
(-2, 1, 1)
Tổỡ õoù
MN.n
=
2
a
[(-2). 1 + (1).1 + (1).1] = 0
Vỏỷy MN song song vồùi mỷt phúng (A'BD)
2/ MN // mp (A'BD), mp (A'BD) chổùa BD nón khoaớng caùch giổợa
hai õổồỡng thúng BD vaỡ MN bũng khoaớng caùch tổỡ mọỹt õióứm
bỏỳt kỗ thuọỹc MN õóỳn mp (A'BD), khoaớng caùch õoù laỡ:
d = d(M, (A'BD)) =
6
3a
111
a0
2
a
a

2t
; 0
;
2
2t
),
N(
2a
-
2
2t
;
2
2t
; 0)
Tổỡ õoù MN
2
= (
2a
-
2t
)
2
+
2
t
2
+
2
t

3
2a
(1; 0; 1)
CN
= (-
3
2a
;
3
2a
; 0) =
3
2a
(-1; 1; 0)
MN
= (
3
2a
;
3
2a
; -
3
2a
) =
3
2a
(1 ; 1; -1)
Tổỡ õoù ta coù :
AM

a), B(a; 0; 0), C(0; a; 0) K(
2
a
; 0;
2
a
), M(
2
a
;
2
a
; 0), N(0;
2
a
;
2
a
), E(a; 0; a)
1/
OM
= (
2
a
;
2
a
; 0) ,
ON
= (0;

a
2
(1; -1; 1) =
4
a
.
CE
Vỏỷy CE mp (OMN)
2/ mp (OMN) coù phổồng trỗnh : x - y + z = 0
ổồỡng thúng CE coù phổồng trỗnh :
1
z
1
ay
1
x
=


=
Toỹa õọỹ giao õióứm I cuớa CE vaỡ mp (OMN) laỡ nghióỷm cuớa
hóỷ :
x - y + z = 0
1
z
1
ay
1
x
=

a
(-2; -1; 1)
Vỏỷy dióỷn tờch tổù giaùc OMIN laỡ :
S
OMIN
= S
OMN
+ S
MIN
=
2
1
|[
ON,OM
]| +
2
1
|[
IM
,
IN
]|
23
I(
)
3
a
;
3
a2

BB
1
, CC
1
, DD
1
, vaỡ õọỹ daỡi caỷnh AB = a. Cho caùc õióứm M, N
trón caỷnh CC
1
sao cho CM = MN = NC
1
. Xeùt mỷt cỏửu (K) õi
qua 4 õióứm A, B
1
, M vaỡ N.
a) Chổùng minh rũng caùc õốnh A
1
vaỡ B thuọỹc mỷt cỏửu (K).
b) Tờnh õọỹ daỡi cuớa baùn kờnh mỷt cỏửu (K) theo a.
(H An Giang - Khọỳi A, B)
Giaới :
ổa vaỡo hóỷ toỹa õọỹ óử caùc
vuọng goùc, õỷt gọỳc taỷi A, AB trón Ay,
AD trón Ax, AA
1
trón Az.
Goỹi I laỡ tỏm mỷt cỏửu (K). Khi õoù
I thuọỹc giao õióứm cuớa ba mỷt phúng
trung trổỷc cuớa MN, AB
1

3
a
)
phổồng trỗnh mỷt phúng trung trổỷc cuớa AM laỡ :
a(x -
2
a
) + a(y -
2
a
) +
3
a
(z -
6
a
) = 0 x + y +
3
1
z -
18
a19
= 0
Vỏỷy toỹa õọỹ cuớa I laỡ nghióỷm cuớa hóỷ :
z =
2
a

y + z - a = 0
x + y +




+






= IA
B coù toỹa õọỹ B(0; a; 0) IB =
222
2
a
2
a
18
a7






+





a
18
a7






+






+






=
18
211a
Baỡi 9 : Cho hỗnh lỏỷp phổồng ABCD.ABCD coù caỷnh bũng
a(a>0).
1.Tờnh goùc vaỡ khoaớng caùch giổợa hai õổồỡng thúng AD ,DC.
2.Goỹi M laỡ trung õióứm cuớa BC ,I laỡ tỏm cuớa mỷt bón CDDC.Tờnh

2
1
a)
[ ]
)3;2;1(
4
)
4
3
;
2
;
4
(,
)
2
;;
2
(),0;
2
;(
2222
==
==
aaaa
IAMA
a
a
a
IA

3
;;(),0;
2
;(
a
aaNA
a
aMA ==
rr
[ ]
12
14
36
14
4936
,
2
4444
2
a
S
aaaa
ANMA
AMN
=
=++=
r
[ ]
6
14

A
B C
D
P
I
N
Mx
y
z
K