LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng C hu y ên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức
= = =
( ) ' '( )
dy df x y dx f x dx
Ví d
ụ
:
 d(x
2
– 2x + 2) = (x
2
– 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
 d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx

Chú ý:
Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau

( ) ( )
1
2 2
2
2
d x dx dx d x
= ⇒ =


x dx d d x d x a d a x
 
= = = ± = − −
 
 
 


(
)
( ) ( )
ax
1 1
ln ax ln
ax
d b
dx dx
d b d x
ax b a b a x
+
= = + → =
+ +

( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
1 1 1
sin ax sin ax ax cos ax sin2
os2
2

(
)
( )
( ) ( )
2 2 2
ax
1 1 1
tan tan2
2
cos cos cos 2
d b
dx dx
d ax b d x
a a
ax b ax b x
+
= =

+

→ =
 
+ +


( )
(
)
( )
( ) ( )

c g
ọ
i là nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố
f(x) n
ế
u F’(x) = f(x) và
đượ
c vi
ế
t là
( )f x dx
∫
. T
ừ

đ
ó ta có :
( ) ( )
f x dx F x
=
∫

Nh
ậ
n xét:
V
ớ

ố
f(x). V
ớ
i m
ộ
t giá tr
ị
c
ụ
th
ể
c
ủ
a C thì ta
đượ
c m
ộ
t nguyên hàm
c
ủ
a hàm s
ố

đ
ã cho.
Ví d
ụ
:

Hàm s

t 1:
( )
( ) ( )
f x dx f x
′
=
∫

Ch
ứ
ng minh:
Tài li
ệ
u tham kh
ả
o:
01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
Download ebook, tài li󰗈u, đ󰗂 thi, bài gi󰖤ng t󰖢i : http://diendan.shpt.info
Trang 1
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có
( )
( )
( ) ( ) ( )
f x dx F x f x
′

ĩ
a nguyên hàm thì v
ế
ph
ả
i chính là nguyên hàm c
ủ
a f(x) + g(x).
T
ừ

đ
ó ta có
[
]
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
+ = +
∫ ∫ ∫

c) Tính chất 3:
(
)
. ( ) ( ) , 0
k f x dx k f x dx k
= ∀ ≠
∫ ∫


t trên
đượ
c g
ọ
i là
tính bất biến
c
ủ
a nguyên hàm, t
ứ
c là nguyên hàm c
ủ
a m
ộ
t hàm s
ố
ch
ỉ
ph
ụ
thu
ộ
c vào hàm,
mà không ph
ụ
thu
ộ
c vào bi
ế
n.

ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
du u C
= +
∫



 Công thức 2:
n 1
n
x
x dx C
n 1
+
= +
+
∫

Ch

ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
1
1
n
n
u
u du C
n
+
= +
+
∫

+ V
ớ
i
1
2 2 2
2

( )
5
4 4 2
2 2
5
x
x x dx x dx xdx x C
+ = + = + +
∫ ∫ ∫

c)
1 1
2
2 2 2 2
3
3 3
3
3
3
1
2 2 2
3
x x x x x x x
dx dx xdx x dx C x C
x x
−
−
= − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫ ∫


3 2011
n
u du
x
I x dx x d x I C
−
= − = − − − → = − +
∫ ∫

f)
( )
(
)
( )
( )
2
2 2
2 1
1 1 1 1
.
2 2 2 1 2 2 1
2 1 2 1
du
u
d x
dx
I I C C
x x
x x
+

dx
x C x C
x x
′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp
( )
u u x
=
, ta được ln
du
u C
u
= +
∫

+
( )
1
ln 2
1 1
2x 2
ln ax
1
ax ax
ln 2

a)
4
3 3
1 1 1
2 ln
4
dx x
x dx x dx dx x x C
x x
x x
 
+ + = + + = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
(
)
3 2
1 1
ln 3 2
3 2 3 3 2 3
du
u
d x
dx
I I x C
x x
+

dx x C
= − +
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
( )
cos sin x sinx cos
x C dx x C
′
− + = ⇒ = − +
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h

sinx sinx cos
2 1 2 1 2 2 1
d x
dx
x x dx x xdx dx x dx x
x x x
−
 
+ + = + + = − + =
 
− − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

5
2
2 1
cos ln 2 1
5 2
x
x x C
= − + − +

b)
( )
(
)
4 3
3 1 3 1 3
sin2 sin 2 3 sin2 2 os2 ln 4 3

   
= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
   
   

T
ừ đó :
( ) ( )
1 1
sin sinx sin3 sin sin2 sin3 2 sin sin 2 2 sin3 3
2 2 2 2 2 3
x x x x
x dx dx xdx xdx d xd x xd x
   
+ + = + + = + +
   
   
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Trang 3
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
4

1 1
2cos os2 os3
2 2 3
x
c x c x C
= − − − +

ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c cosu sin
du u C
= +
∫

+
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
os ax os ax ax sin ax os2 sin2
2
c b dx c b d b b C c xdx x C
a a
+ = + + = + + → = +
∫ ∫ ∫

Ví dụ:
a)
4 1 5

c x
xdx dx c x dx x c xd x x x C
−
 
= = − = − = − +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫



 Công thức 6:
2
tan
cos
dx
x C
x
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do
( )
2 2
1
tan tan x
cos cos
dx
x C C

cos cos cos 2 2
d ax b
dx dx
ax b C x C
ax b a ax b a x
+
= = + + → = +
+ +
∫ ∫ ∫

Ví dụ:
a)
2 2
1 1
cos sin2 cos sin2 tan sin cos2
cos cos 2
dx
x x dx xdx xdx x x x C
x x
 
+ − = + − = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( ) ( )
(
)
( )

→ = − − − +

c)
( )
(
)
( )
( )
2
os
2 2
3 2
1 1
tan 3 2
cos 3 2 2 cos 3 2 2
du
c u
d x
dx
I I x C
x x
−
= = − → = − − +
− −
∫ ∫



 Công thức 7:
2

+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
2
cotu
sin
du
C
u
= − +
∫

+
( )
(
)

x x dx xdx x dx x x C
x x
 
− + = − + = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( )
(
)
( )
( ) ( )
2
sin
2 2
1 3
1 1 1
cot 1 3 cot 1 3
sin 1 3 3 sin 1 3 3 3
du
u
d x
dx
I I x C x C
x x
−
= = − → = − − −  + = − +
 




 Công thức 8:
x x
e dx e C
= +
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
( )
x x x x
e C e e dx e C
′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ

k x k x
e dx e C
e dx e d b e C
a a
e dx e C
+ +
+ + +
− −

= +


= + = + →


= − +


∫
∫ ∫
∫

Ví dụ:
a)
( )
(
)
2 1 2 1 2 1
2 2 2
3

3 2 3 2 3 2
4 1
4 os 1 3 4 os 1 3 3 2 os 1 3 1 3
3 3
x x x
e c x dx e dx c x dx e d x c x d x
+ + +
+ − = + − = + − − −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
3 2
4 1
sin 1 3
3 3
x
e x C
+
= − − +



 Công thức 9:
ln
x
x
a
a dx C
a
= +

p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
u u
a du a C
= +
∫

+
( )
1 1
kx m kx m kx m
a dx a d kx m a C
k k
+ + +
= + = +
∫ ∫

Ví dụ:
a)
( )
( ) ( )
3 2
3 2 3 2 3 2
1 1 2 3
2 3 2 3 2 3 3 2

1
2
I x x dx
= +
∫
2)
3
5
2
7
1
3
I x dx
x
 
= −
 
 
∫
3)
(
)
5
2 3 3
3
4 2
I x x x dx
= − +
∫


 
∫
6)
4
6
2
2 3
x
I
dx
x
+
=
∫

7)
(
)
2
7
1x
I
dx
x
−
=
∫

8)
(

I
dx
x
+ − +
=
∫
11)
2
11
x x x x
I dx
x
− −
=
∫
12)
12
3
1 1
I dx
x x
 
= −
 
 
∫

13)
3
13

dx
x
−
=
∫
16)
(
)
(
)
4
16
2
I x x x x dx
= − −
∫
17)
17
5
1
(2 3 )
I dx
x
=
−
∫
18)
18
4
1

 
 
∫
21)
21
sin
2
x
I
x dx
 
= +
 
 
∫

22)
22
π 1
sin 3 sin
4 2
x
I x dx
 
+
 
= + −
 
 
 

∫27)
( )
27
2
cos 2 1
dx
I
x
=
−
∫
28)
(
)
28
tan 2
2
I x x dx
= +
∫

29)
4
29
tan
I x dx
=
33)
2 2
33
2
1
cot dx
I x x
x
 
= + +
 
 
∫
34)
2
34
1
dx
3 2
I x
x
 
= +
 
+
 
∫


1
4 3
x
I
dx
x
−
=
+
∫

38)
38
6 5
x
I
dx
x
=
−
∫

39)
2
39
11
3
x x
I
dx

=
+
∫

42)
3 2
42
4 4 1
2 1
x x
I
dx
x
+ −
=
+
∫
43)
2
43
4 6 1
2 1
x x
I
dx
x
+ +
=
+
∫

− +
=
∫

47)
47
2
2
sin (3 1 )
x
I e dx
x
−
 
= +
 
+
 
∫
48)
48
2
2
cos
x
x
e
I e dx
x
−

x
I dx
=
∫
52
3
x
52)
2 1
I dx
+
=
∫

Download ebook, tài li󰗈u, đ󰗂 thi, bài gi󰖤ng t󰖢i : http://diendan.shpt.info
Trang 6
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1 1. Khái niệm nguyên hàm
• Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu
'( ) ( )
F x f x
=
, ∀x ∈ K

•
( ) ( ) ( 0)
kf x dx k f x dx k
= ≠
∫ ∫

3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
• 0
dx C
=
∫

•
dx x C
= +
∫

•
1
, ( 1)
1
x
x dx C
+
= + ≠ −
+
∫
α
α
α

= +
∫

•
sin cos
xdx x C
= − +
∫

•
2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
∫

•
2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +
∫

•

= + +
+
∫Ví dụ 1.
Ch
ứ
ng minh F(x) là m
ộ
t nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố
f(x) bi
ế
t r
ằ
ng
a)
( ) (4 5)
( ) (4 1)
x
x
F x x e
f x x e

= −



x
x
f x
x x

 
+
=

 

+
 

−

=

+ +

d)
2
2
2
4
2 1
( ) ln
2 1
2 2( 1)
( )

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau
1)
2
1
– 3

x x dx
x
 
+ =
 
 
∫

2)
4
2
2 3
x
dx
x
+
=

)
3
4
x x x dx+ + =
∫

6)
3
1 2dx
x x
 
− =
 
 
∫

7)
2
2sin

2
x
dx =
∫


sin .cos
x
dx
x x
=
∫

12)
2sin3 cos2

x xdx =
∫

13)
(
)
– 1

x x
e e dx =
∫

14)
2
2

cos
x
x

ủ
a hàm s
ố
f(x) tho
ả

đ
i
ề
u ki
ệ
n cho tr
ướ
c:
a)
3
( ) 4 5; (1) 3
f x x x F
= − + =
b) π
= − =
( ) 3 5cos ; ( ) 2
f x x F

c)
2
3 5
( ) ; ( ) 1
x
f x F e


g)
 
π
= =
 
 
( ) sin2 .cos ; ' 0
3
f x x x F
h)
4 3
2
3 2 5
( ) ; (1) 2
x x
f x F
x
− +
= =

Trang 8
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

i)
3 3
2
3 3 7

g x x x x f x x x F

b)
π
= + = =
2
( ) sin ; ( ) cos ; ( ) 0
g x x x x f x x x F

c)
2
( ) ln ; ( ) ln ; (2) 2
g x x x x f x x F
= + = = −

Ví dụ 5. Tìm
đ
i
ề
u ki
ệ
n c
ủ
a tham s
ố

để
hàm s
ố
F(x) là m

F x x mx
Tìm m
x
f x
x x

= − +

+

=

+ +


c)
2 2
2
( ) ( ) 4
. , , .
( ) ( 2) 4
F x ax bx c x x
Tìm a b c
f x x x x


= + + −

= − −


−


= + +

= − − +


f)
2
2
( ) ( )
. , , .
( ) ( 3 2)
x
x
F x ax bx c e
Tìm a b c
f x x x e
−
−


= + +

= − +



g)

= + + −

− +

=

−

Trang 9
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1
CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG
1.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
2 2 2
xdx d x d x a d a x
= = ± = − − 6.
( ) ( ) ( )

(
)
(
)
x x x x
e dx d e d e a d a e
= = ± = − −

4.
cos (sin ) (sin ) ( sin )
xdx d x d x a d a x
= = ± = − −

9.
( ) ( ) ( )
ln ln ln
dx
d x d x a d a x
x
= = ± = − −

5.
( ) ( ) ( )
2
tan tan tan
cos
dx
d x d x a d a x
x
= = ± = − −

c)
2
3
3
1
x dx
I
x
=
+
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
( ) ( )
( )
2

2
1 1
2 2 2
1
1 1 1
ln 1 .
2 2 2
1 1 1
du
d u u C
u
d x d x
x
I dx I x C
x x x
= = +
+
= = = ←→ = + +
+ + +
∫ ∫
∫ ∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân


Ta có
( ) ( ) ( )
(
)
11
2
10 10
2 2 2
2
1
1
1 1 1 .
2 22
x
I x x dx x d x C
+
= + = + + = +
∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
( )
( )

3
3 3 3
1 1
1 2 2 1
.
3 3 3
1 1 2 1
d x d x
x dx x
I C
x x x
+ +
+
= = = = +
+ + +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
2
4
1
I x x dx
= −
∫
b)
5
2 1
dx
I

n
x
xdx d d x d a x
u
u du d
n
+

 
= = = − −

 
  

 

=
 

+
 


Ta có

( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
2
1 1

u

= + = − −




=



Ta có
(
)
(
)
( )
2
5 5
2 1 2 1
1
2 1 .
2
2 1 2 1 2 2 1
du
d u
u
d x d x
dx
I I x C


+
 


( ) ( ) ( )
( )
( )
3
3
1
2
2
6
5 2
2 5 2
1 1 1
5 2 5 2 2 5 2 5 2 . .
2 2 2 3 3
x
x
I x dx x d x x d x C C
−
−
⇒ = − = − = − − − = − + = − +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3


Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân
( ) ( )
4
3 4 4
1
1 1
4 4 4
1
n
n
x
x dx d d x a d a x
du u
d
n
u
− +

 
= = ± = − −

 
  

 

=
 

d
x
x
x
I dx x d x C C
x x
−
 
 
−
−
 
⇒ = = = − − = + = +
− −
∫ ∫ ∫

b)
Ta có

( ) ( )
( )
6
5
8
5
3 2
1
3 2 3 2 .
(3 2 ) 2 12
x

I dx xd x C
x
= = = +
∫ ∫

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )
10
2010
3
4 2
dx
I
x
=
−
∫
b)
11
cos
x
I dx
x
=
∫
c)
12
cos sin
I x xdx

−
−
−
= = − − − = − + = +
−
− −
∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
(
)
( )
cos sin
2
udu d u
dx
d x
x
 =


=


cos sin
sin x cos
udu d u
dx d x

=


= −



Ta có
( ) ( )
( )
3
3
1
2
2
12
2 cos
2 cos
cos sin cos cos .
3 3
x
x
I x xdx x d x C
= = − = − = − +
∫ ∫

)
( )
sin cos
cos sin
udu d u
xdx d x

= −


=



Ta có
( ) ( )
( )
1 4
3 3
4
3
3
4
1
3
4
3
3
3 13
3 sinx

= = − = − + = +
−
∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
(
)
1
cos sin
1
n
n
xdx d x
u
u du d
n
+
 =

 

=
 

∫ ∫

Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
16
tanx
I dx
=
∫
b)
17
sin 4 cos4
I x xdx
=
∫
c)
18
sin
1 3cos
xdx
I
x
=
+
∫

H
ướ
ng d
ẫ

cos
sin
tan ln cos .
cos cos
d x
xdx
I xdx x C
x x
= = = − = − +
∫ ∫ ∫

b)
Ta có
( ) ( )
17
1 1
sin 4 cos4 sin 4 cos4 4 sin 4 sin 4
4 4
I x xdx x xd x x d x
= = =
∫ ∫ ∫

( )
3
3
2
2 sin 4
1 sin 4
. .
4 3 6

2
2cos
2 5sin
xdx
I
x
=
−
∫
b)
20
cos
4sin x 3
xdx
I =
−
∫
c)
(
)
21
tan .ln cos
I x x dx
=
∫

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng công thức vi phân
2
cos (sin x)

5 5 2 5sin
2 5sin 2 5sin 2 5sin
d x d x
xdx
I C
x
x x x
−
⇒
= = = − = +
−
− − −
∫ ∫ ∫

Trang 12
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
4

b) Sử dụng công thức vi phân
( )
cos (sin x)
2
xdx d
du
d u
u
=



S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c nguyên hàm c
ơ
b
ả
n
(
)
2
cos
sin
tan ln cos
cos cos
2
d x
xdx
xdx x C
x x
u
udu C

= = − = − +




x x
C I C
= − + → = − +

Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
22
2
tan
cos
x
I dx
x
=
∫
b)
3
23
4
tan
cos
x
I dx
x
=
∫
c)
24
2
tan2 1

∫

Ta có
( )
2 2
22 22
2 2
tan tan tan
tan . tan tan .
2 2
cos cos
x dx x x
I dx x xd x C I C
x x
= = = = + → = +
∫ ∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
( )
2
2
2
tan

x x x
= = = + = +
∫ ∫ ∫ ∫

6 4 6 4
23
tan tan tan tan
.
6 4 6 4
x x x x
C I C
= + + → = + +

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
( )
2 2
2
1 ( ) 1
tan( )
cos cos
2
dx d ax
d ax

tan2 (tan2 ) (tan2 ) .
2 2 4 2 4 2
x x x x
xd x d x C I C
= + = + + → = + +
∫ ∫

Ví dụ 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
25
2
cot
sin
x
I dx
x
=
∫
b)
26
3
tan
cos
x
I dx
x
=
∫
c)
27




= +


∫

Trang 13
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
5

Ta có
( )
2 2
25 25
2 2
cot cot cot
cot . cot cot .
2 2
sin sin
x dx x x
I dx x xd x C I C
x x
= = = − = − + → = − +
∫ ∫ ∫

b) Sử dụng các công thức
(

x xdx
I dx C C I C
x x x x x
−
= = = − = − + = + → = +
−
∫ ∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
( )
2
cos sin
π
cos sin
2
1
xdx d x
x x
du
C
u u



−
 
+
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
28
3
x
e
I dx
x
=
∫
b)
tan 2
29
2
cos
x
e dx
I
x
+
=
∫
c)

a) Sử dụng các công thức
( )
2
u u
dx
d x
x
e du e C

=



= +

∫

Ta có
( )
28 28
3
3.2 6 6 6 .
2
x
x x x x
e dx
I dx e e d x e C I e C
x x
= = = = + → = +
∫ ∫ ∫

tan 2 tan 2 tan 2 tan 2
29 29
2 2
tan 2 .
cos cos
x
x x x x
e dx dx
I e e d x e C I e C
x x
+
+ + + +
= = = + = + → = +
∫ ∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
( ) ( )
2 2
1 1
1
2 2
u u
xdx d x d x

e du e C

= −


= +


∫

Ta có
(
)
cos cos cos cos
31 31
sin cos .
x x x x
I e xdx e d x e C I e C
= = − = − + → = − +
∫ ∫

e) Sử dụng các công thức
( ) ( )
ln ln
u u
dx
d x d x k
x
e du e C



Vậy
2ln 3
2ln 3
32
1
.
2
x
x
e
I dx e C
x
+
+
= = +
∫

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
1
2
1
x
I dx
x
=
+
∫
2)

=
∫6)
3
6
sin cos
I x xdx
=
∫

7)
7
2
5
x
I dx
x
=
+
∫
4)
8
2 1
dx
I
x
=
−

sin cos
I x xdx
=
∫

13)
13
5
sin
cos
x
I dx
x
=
∫
14)
14
cot
I xdx
=
∫
15)
15
2
tan
cos
x
I dx
x
=

19
5
(3 2 )
dx
I
x
=
−
∫
20)
2 3
20
5
I x x dx
= +
∫
21)
2
21
3
1
x dx
I
x
=
+
∫

22)
2

26
.
x
I x e dx
+
=
∫
27)
27
sin
1 3cos
xdx
I
x
=
+
∫

28)
2
1
28
.
x
I x e dx
−
=
∫
29)
(

CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG
1.
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
2 2 2
xdx d x d x a d a x
= = ± = − − 6.
( ) ( ) ( )
2
cot cot cot
sin
dx
d x d x a d a x
x
= − = − ± = −
2.
( ) ( ) ( )
2 3 3 3
1 1 1
3 3 3
x dx d x d x a d a x
= = ± = − −
7.
( ) ( ) ( )
2
dx
d x d x a d a x
x
= = ± = − −

5.
( ) ( ) ( )
2
tan tan tan
cos
dx
d x d x a d a x
x
= = ± = − −
10.
( ) ( )
1 1
dx d ax b d b ax
a a
= + = − −

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

1
2
1
x
I dx
x
=
+
∫
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
( ) ( )
( )
2
2 2
1 1
2 2 2
ln
x
xdx d d x d x a
du
d u
u

 
= = = ±

 

 


=




b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
( ) ( )
2
2 2
1
1 1
2 2 2
1
n
n
x
xdx d d x d x a
u
u du d
n
+

 
= = = ±

 
  

S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
( )
( )
3
2 3
1
3 3
2
x
x dx d d x a
du
d u
u

 
= = ±

 

 


=


1
I x x dx
= −
∫
b)
5
2 1
dx
I
x
=
−
∫
c)
6
5 2
I x dx
= −
∫

Tài liệu tham khảo:

02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 16
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Hướng dẫn giải:



Ta có

( ) ( ) ( ) ( )
( )
3
2
1 1
2 2 2 2 2
2 2
4
1
1 1
1 1 1 1 .
2 2 3
x
I x x dx x d x x d x C
−
= − = − = − − − = − +
∫ ∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân

2 1 .
2
2 1 2 1 2 2 1
du
d u
u
d x d x
dx
I I x C
x x x
=
− −
= = = ←→ = − +
− − −
∫ ∫ ∫

c) Sử dụng các công thức vi phân
( ) ( )
1
1 1
ax ax
1
n
n
dx d b d b
a a
u
u du d
n
+

I x dx x d x x d x C C
−
−
⇒ = − = − = − − − = − + = − +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3
7
5
4
2
5
x
I dx
x
=
−
∫
b)
8
5
(3 2 )
dx
I
x
=
−
∫

= = ± = − −

 
  

 

=
 

− +
 


( ) ( )
( )
( )
4
4
4
4
4
5
5
1
3
4 4
5
7
5 5

6
5
8
5
3 2
1
3 2 3 2 .
(3 2 ) 2 12
x
dx
I x d x C
x
−
= = − − − = − +
−
∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c vi phân
( )
ln
dx
d x
x

x
I dx
x
=
∫
c)
12
cos sin
I x xdx
=
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Ta có

( )
( ) ( )
( )
( )
2009
2010
10
2010 2009

udu d u
dx
d x
x
 =


=



Trang 17
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

Ta có
( )
11
cos cos
2 2 os 2sin .
2
x x
I dx dx c x d x x C
x x
= = = = +
∫ ∫ ∫

c)
S

2 cos
2 cos
cos sin cos cos .
3 3
x
x
I x xdx x d x C
= = − = − = − +
∫ ∫

Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3
13
sin cos
I x xdx
=
∫
b)
14
5
sin
cos
x
I dx
x
=
∫
c)
4

3
4
1
3
4
3
3
3 13
3 sinx
3 sin
sin cos sinx sin
4 4
u du d u
x
I x xdx d x I C C
 
 
=
 
 
= = ←→ = + = +
∫ ∫

b)
Ta có

( )
4
14
5 5 4

u du d
n
+
 =

 

=
 

+
 


Khi
đ
ó ta
đượ
c
( )
5
4
5
5
4 4
15 15
sin
sin cos sin sin .
5
u

x
=
+
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
sin x (cos )
ln
dx d x
du
u C
u
= −





( )
3
3
2
2 sin 4
1 sin 4
. .
4 3 6
x
x
C C
= + = +

c)
Ta có

(
)
(
)
18
cos 3cos 1
sin 1 1
ln 1 3cos .
1 3cos 1 3cos 3 1 3cos 3
d x d x
xdx
I x C
x x x

tan .ln cos
I x x dx
=
∫

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng công thức vi phân
2
cos (sin x)
1
xdx d
du
d
u
u
=



 
= −
 

 


( )
(
)
( )

cos (sin x)
2
xdx d
du
d u
u
=



=



Ta
đượ
c
(
)
(
)
(
)
20
sin 4sin 4sin 3
cos 1 1 1
4sin x 3 .
4 2 2
4sin x 3 4sin x 3 4sin x 3 2 4sin x 3
d x d x d x

xdx x C
x x
u
udu C

= = − = − +




= +


∫ ∫ ∫
∫

Ta có
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
21
cos
sin
tan .ln cos ln cos ln cos ln cos ln cos
cos cos
d x
x
I x x dx x dx x x d x

x
I dx
x
=
∫
c)
24
2
tan2 1
cos 2
x
I dx
x
+
=
∫

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức
( )
2
2
tan
cos
2
dx
d x
x
u
u du C

ụ
ng các công th
ứ
c
( )
2
2
2
tan
cos
1
1 tan
cos
dx
d x
x
x
x

=




= +



Ta có
( ) ( )

( )
2 2
2
1 ( ) 1
tan( )
cos cos
2
dx d ax
d ax
ax a ax a
u
udu C

= =




= +


∫

Ta có
24
2 2 2 2 2
tan2 1 tan2 1 tan 2 (2 ) 1 (2 )
2 2
cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
x xdx dx xd x d x

tan
cos
x
I dx
x
=
∫
c)
27
cot
π
cos
2
x
I dx
x
=
 
+
 
 
∫

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức
( )
2
2
cot
sin

sin sin
x dx x x
I dx x xd x C I C
x x
= = = − = − + → = − +
∫ ∫ ∫

b) Sử dụng các công thức
(
)
1
sin x cos
1
n
n
dx d x
du u
C
u n
− +
 = −


= +

− +

∫

Ta có

2
1
xdx d x
x x
du
C
u u


=


 
+ = −

 
 


= − +


∫

Ta có
( )
27 27
2 2
cot cos cos (sin ) 1 1
.

cos
x
e dx
I
x
+
=
∫
c)
2
1
30
.
x
I xe dx
−
=
∫

d)
cos
31
sin
x
I e xdx
=
∫
e)
2ln 3
32

3.2 6 6 6 .
2
x
x x x x
e dx
I dx e e d x e C I e C
x x
= = = = + → = +
∫ ∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c
( ) ( )
2
tan tan
cos
u u
dx
d x d x k
x
e du e C

= = ±


ứ
c
( ) ( )
2 2
1 1
1
2 2
u u
xdx d x d x
e du e C

= = − −



= +

∫

Ta có
( )
2 2 2 2 2
1 1 1 2 1 1
30 30
1 1 1
. 1 .
2 2 2
x x x x x
I x e dx e xdx e d x e C I e C
− − − − −

e) Sử dụng các công thức
( ) ( )
ln ln
u u
dx
d x d x k
x
e du e C

= = ±



= +

∫

Ta có
( ) ( )
2ln 3
2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln 3
32
1 1
ln 2ln 3 .
2 2
x
x x x x
e dx
I dx e e d x e d x e C
x x

x
I dx
x
=
+
∫
2)
2 10
2
( 1 )
I x x dx
= +
∫
3)
3
cos
x
I dx
x
=
∫

4)
4
cos sin
I x xdx
=
∫

5)

∫
4)
8
2 1
dx
I
x
=
−
∫
3)
9
5 2
I xdx
= −
∫

10)
3
10
ln
x
I
dx
x
=
∫
11)
11
.

=
∫
15)
15
2
tan
cos
x
I
dx
x
=
∫

16)
tan
16
2
cos
x
e
I
dx
x
=
∫
17)
17
x
e

21)
2
21
3
1
x dx
I
x
=
+
∫

22)
2
22
1
I x x dx
= −
∫
23)
23
cos 1 4sin
I x x dx
= +
∫
24)
2
24
1
I x x dx

∫

28)
2
1
28
.
x
I x e dx
−
=
∫
29)
(
)
sinx
29
cos cos
I e x xdx
= +
∫
30)
2ln 1
30
x
e
I
dx
x
+

•
3
24
3 2
xdx
I
x
= =
−
∫

•
5
4
6
1 5
x
I dx
x
= =
−
∫

•
3
5
4
3
2 3
x

sin(1 5 )
I x x dx
= + =
∫

•
2
4 5
9
x
I xe dx
− +
= =
∫

•
4
10
2
x
e dx
I
x
= =
∫

•
3
11
2

cos .sin
I x xdx
= =
∫

•
3
sin . 3cos 2
I x x dx
= + =
∫

•
4
4
cos . 5 2sin
I x xdx
= − =
∫

•
5
sin
2 5cos
xdx
I
x
= =
+
∫

1 2sin
xdx
I
x
= =
−
∫

•
8
sin 2
7 2cos2
xdx
I
x
= =
−
∫

•
9
sin3
1 2cos3
xdx
I
x
= =
+
∫


∫

•
2 5sin 2
13
cos2 .
x
I x e dx
−
= =
∫

•
2cot 1
14
2
sin
x
e
I dx
x
−
= =
∫

•
15
2
sin 4cot 3
dx

= =
−
∫

•
( )
2
3
2
2
1 3
x
x
e
I dx
e
−
−
= =
−
∫

•
3
4
ln x
I dx
x
= =
∫

x x
= =
−
∫Trang 23
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1

Dạng 1. Đổi biến số cho các hàm vô tỉ
Phương pháp giải:
Nếu hàm f(x) có chứa
( )
n
g x
thì
đặ
t
1
( ) ( ) . '( )
n n
n
t g x t g x n t g x dx
−
= ⇔ = → =

Ộ
T S
Ố
VÍ D
Ụ
M
Ẫ
U:
Ví dụ 1.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s
ố
sau:
a)

1
4 1
xdx
I
x
=
+
∫b)

3 2
2

2 2
2
1
1
2 4
.
1
4 2
4 1 4 1 ( 1)
1
8
4 1
4
t tdt
tdt dx
xdx
t x t x I t dt
t
t
x
x
−
=


= + ⇔ = + → → = = = −

−
+
=

đ
ó

( ) ( )
( ) ( )
5 3
2 2
5 3
2 3 2 4 2
2
2 2 2
2. . 2 2 2.
5 3 5 3
x x
t t
I x x dx t t tdt t t dt C C
+ +
= + = − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫

c) Đặ
t
( )
(
)
2
2
2
2 2
2

2 1 2 2 1 2 2 1
5 3 5 3
x x
t t
t dt t t dt t C x C
 
 
− −
 
= − − = − − + = − − + + = − − + − +
 
 
 
 
∫ ∫

Khi
đ
ó

( ) ( )
( ) ( )
5 3
2 2
5 3
2 3 2 4 2
2
2 2 2
2. . 2 2 2. .
5 3 5 3

3
ln
2 ln
xdx
I
x x
=
−
∫c)

6
ln 3 2ln
x x dx
I
x
+
=
∫

Hướng dẫn giải:
a) Đặt
( )
2
2
2
4
ln 1

4
(1 ln ) 2 (1 ln )
2 1 2 2 1 ln 2 1 ln .
3 3 3
x x
t
t dt t C x C I x C
 
+ +
 
 
= − = − + = − + + → = − + +
 
 
 
 
∫

b) Đặ
t
3
2 3 2 2
3
3
5
2
3
ln 2
ln (2 ) .3
2 ln 2 ln .

2

( )
8 5
8 5
3 3
7 4 2 2
3
(2 ln ) 4 (2 ln )
4
3 4 4 3 2 3 2 (2 ln )
8 5 8 5
x x
t t
t t t dt t C x C
 
− − 
 
= − + = − + + = − + − +
 
 
 
 
∫

c) Đặt
2
2
3
ln

6
ln 3 2ln 3 1
ln 3 2ln . . . 3
2 2
x x dx dx t
I x x t tdt t t dt
x x
 
+ −
= = + = = −
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )
5 3 5 3
5 5 3
3
6
3 2ln 3 2ln 3 2ln 3 2ln
1
.
2 5 10 2 10 2 10 2
x x x x
t t t
t C C C I C
+ + + +
 
= − + = − + = − + → = − +
 

=
+
∫
c)
9
2
4
dx
I
x x
=
+
∫
d)
10
4
1
dx
I
x x
=
+
∫

Hướng dẫn giải:
a) Đặt
2
2
2
2



Khi đó
7
2 2
2 2 2 ( 1) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 1
.( 1) 1
1
x
dx tdt dt dt t t dt dt
I dt
t t t t t t
t t t
e
+ − −
= = = = = = −
− + − + − +
− −
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

7
1 1 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln ln .
1
1 1 1 1
x x
x x
t e e

t tdt
e t
e dx e e dx
t e t e I
t
e dx tdt
e e
−

= −

= + ⇔ = + → → = = =

=


+ +
∫ ∫ ∫

(
)
2
2
3 2 2
1 .2
1 1 1
2 2 2 2 1 .
1
x
x

x t
x t
t x t x
dx xdx tdt
xdx tdt
x
x t

= −

= −
 
= + ⇔ = + → ←→
 
=
= =



−


Khi
đ
ó,
9
2 2
2 2
1 1 1 ( 2) ( 2) 1
.

− + − + −
= − − + + = + = + → = +
+
+ + + +

d)

Đặ
t
4 2
4 2
4 2 4
3
3
4 2
1
1
1 1
4 2
2( 1)
x t
x t
t x t x
dx x dx tdt
x dx tdt
x
x t

= −


= = = = =
+ −
− −
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
4
4
1 1 1 1 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln .
4 1 1 4 4 1 4
1 1
dt dt t x
t t C C C
t t t
x
− + −
 
= − = − − + + = + = +
 
− + +
 
+ +
∫ ∫

Ví dụ 4.
Tìm nguyên hàm c
ủ
a các hàm s