Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 1
LƯNG GIÁC
1 – Các công thức lượng giác cơ bản:

1.
1cossin
22
=+ xx
2.
x
xtg
2
2
cos
1
1 =+

3.
x
xg
2
2
sin
1
cot1 =+

4. tgx.cotgx = 1


(III) (IV)
+
0cot
0
0cos
0sin
)(:
2
0
>
>
>
>
∈≤≤
α
α
α
α
α
π
α
g
tg
I

A
α
cos
- cos
sin

π
αα
π
tgg
gtg
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=


T =
π
Sin(
α + kπ) = sinα
cos(
α + kπ) = cosα ;k∈Z
6 - Cơng thức cộng:

sin( a ± b ) = sinacosb ± sinbcosa
cos( a ± b ) = cosacosb
m
sina sinb
tgatgb
tgbtga
batg
−
±
=±
1
)(

Cách nhớ: Sin tổng bằng tổng sin co
Cos tổng bằng hiệu đôi cô đôi chàng
Tg tổng tử đã rõ ràng
Mẫu 1 trừ với tích tg đôi mình.
Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT

x
cos3x = 4cos
3
x – 3cosx
9 – Công thức hạ bậc:()
()
xxx
xxx
x
x
x
x
3sinsin3
4
1
sin
3coscos3
4
1
cos
2
2cos1
sin
2
2cos1
cos
3

cos2sinsin
2
cos
2
sin2sinsin
2
sin
2
sin2coscos
2
cos
2
cos2coscos
+
=+
−+
=−
−+
=+
−+
=−
−+
=+

11 – Công Thức biến đổi tích thành tổng:[]
[]
[]

–
Công thức đổi biến:
Đặt t = tg(x/2)
2
2
2
1
1
cos
1
2
sin
t
t
x
t
t
x
+
−
=
+
=

Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 4

Chú ý
: cos(-u) = cosu; cos(π-u) = cosu;
sin(-u) = -sinu ; sin(
π-u) = -sinu
tg(-u) = - tgu ; tg(
π-u) = - tgu
cotg(-u) = -cotgu ; cotg(
π-u) = -cotgu

Bμi 1. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh l−ỵng gi¸c sau:
a) sin3x = -
3
2
b) sin(2x - 15
0
) =
2
2

c) sin(
2
x
+ 10
0
) = -
1
2
d) sin4x =
2

a) cos(x + 3) =
1
3
b) cos(3x - 45
0
) =
3
2

c) cos(3x +
3
π
) = -
1
2
d) (2 + cosx)(3cos2x - 1) = 0
Bμi 4. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh l−ỵng gi¸c sau:
a) tan(2x + 45
0
) = - 1 b) cot(x +
3
π
) =
3

c) tan(
24
x
π
− ) = tan

sin 3
0
cos 3 1
x
x
=
−
b) cos 2 .cot( ) 0
4
xx
π
−=
c) tan(2x + 60
0
).cos(x + 75
0
) = 0 d) (cotx + 1).sin3x = 0
Bμi 7. T×m nh÷ng gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ gi¸ trÞ cđa c¸c hμm sè t−¬ng øng b»ng nhau:
a) y = cos(2x -
3
π
) vμ y = cos(
4
π
- x)
b) y = sin(3x -
4
π
) vμ y = sin(x +
6

0
)
e) tanx. tan2x = - 1 f) cot2x.cot3x = 1
Bμi 9. T×m TX§ cđa hμm sè sau:
y =
3sin2 cos
2
cos(4 ) cos(3 )
54
xx
xx
ππ
+
++ −

Bμi 10. T×m nghiƯm cđa c¸c ph−¬ng tr×nh sau trªn c¸c kho¶ng ®· cho:
a) sin2x = -
1
2
víi 0 < x < π b) cos(x - 5) =
3
2
víi - π < x < π
c) tan(2x - 15
0
) = 1 víi - 180
0
< x < 90
0
d) cot3x = -


Bμi 1. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
a) 2cos
2
x + 3cosx + 1 = 0 b) 3sin
2
x - 5sinx - 2 = 0
c) cos2x + sinx - 1 = 0 d)
2
3
23tan 6 0
cos
x
x
−−=

Bμi 2. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
a) 3sin
2
2x + 7cos2x - 3 = 0 b) 6cos
2
x +5sinx - 7 = 0
Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 6
c) cos2x - 5sinx - 3 = 0 d) cos2x + cosx + 1 = 0
e) 6sin
2
3x + cos12x = 14 f) 4sin

(2x -
4
π
) + 4cos(
3
4
π
- 2x) + 3 = 0 d)
2
2
11
sin 4 3(sin )
sin sin
xx
x
x
++= +

Bμi 5. Gi¶i vμ biƯn ln ph−¬ng tr×nh sau:
sin
2
x - (m + 1)sinx + m = 0 (m lμ tham sè)

Bμi 6: Giải phương trình :
22
4sin 2 6sin 9 3cos 2
0
cos
xx x
x

của phương trình :

cos3 sin 3
53cos2
12sin2
xx
sinx x
x
+
⎛⎞
+=+
⎜⎟
+
⎝⎠

Bμi 11: Cho phương trình :
cos 2 (2 1) cos 1 0 (*)xm xm−+ ++= .
a) Giải phương trình khi m = 3/2.
b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng
3
;
22
ππ
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
Bμi 12: Giải phương trình :
2
2cos4 6 s 1 3cos2

của phương trình :

sin 3 cos3
74cos2
2sin2 1
xx
cosx x
x
−
⎛⎞
−=−
⎜⎟
−
⎝⎠

Bμi 17: Cho phương trình :
cos 2 (2 1)sin 1 0 (*)xm xm++ −−= .
a) Giải phương trình khi m = 2.
Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 7
b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm trên khoảng
()
;2
ππ
.

Dạng 3: Phương trình bậc nhất theo sin và cos của một cung:


8sinx
cosx sinx
=+

Bài 3: Giải phương trình :
sin 2 2 cos 2 1 4
x
xsinxcosx+=+−

Bài 4
: Giải phương trình :
96cos3sin2cos28sinx x x x+− +=

Bài 5
: Giải phương trình :
3
2cos2 0cos x x sinx++=

Bài 6
: Giải phương trình :
33
sin
x
cos x sinx cosx+=−
Bài 7
: Giải phương trình : 4
44
(sin ) 3 sin 4 2xcosx x++ =
Bài 8: Giải phương trình :
3

8(sin ) 3 3sin 8 2x cos x x+− =
Bài 15: Giải các phương trình :
a)
+=−cos 3sin 1xx
b)
2sin3cos =+ xx

c)
44
4(sin cos ) 3 sin4 2xx x++ = d)
x
tgx
cos
1
3 =−

e)
3
1sincos2
2sincos
2
=
−−
−
x
x
xx

Dạng 4: Phương trình đẳng cấp:


*Cách 2: Ta sử dụng công thức hạ bậc

22
1 cos 1 cos
sin cos
22
x
x
x
−+
==

Ta đưa pt (1) về pt bậc nhất theo sin và cos.

Bài 1: Giải phương trình cos
2
x -
3
sin2x = 1 + sin
2
x
Bài 2
: Giải phương trình 3cos
4
x – 4sin
2
xcos
2
x + sin
4

2
x + sinxcosx – 5cos
2
x = 1
Bài 10: Giải phương trình : cos
2
x – 3sin
2
x – 4sinxcosx = 0
Bài 11: Giải phương trình : 10cos
2
x – 5sinxcosx + 3sin
2
x = 4
Bài 12: Giải phương trình : cos
2
x + sinxcosx + 3sin
2
x = 3

E. Phương Trình đối xứng:
)
Có dạng: a( cosx ± sinx ) + b.sinx.cosx + c = 0 (1)
) Phương Pháp giải:
+ Đặt u = cosx
± sinx (
22u−≤≤
)
Ta đưa pt (1) về pt bậc 2 theo u.
Bài 1: Giải phương trình :

) Ph−¬ng ph¸p tỉng c¸c sè h¹ng kh«ng ©m
) Ph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸
) Ph−¬ng ph¸p hμm sè
ª H−íng thø hai
Dïng lËp ln ®Ĩ kh¼ng ®Þnh ph−¬ng tr×nh cÇn gi¶i v« nghiƯm
II. Ví dụ minh họa:
a. Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết
Ví dụ
: Giải phương trình:

0
2
3
2sincossin
44
=−++ xxxb. Phương pháp 2
: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số
Cơ sở của phương pháp là dựa vào các đònh lý sau đây: A=0
.0
B=0
AB
⎡
=⇔
⎢

sin(2cos222sin =++++
π
xxx

c. Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ
Một số dấu hiệu nhận biết :
* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)

Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 10
Ví dụ : Giải các phương trình :
a.
01cos2cos3cos =−−+ xxx

b.
01cos42coscos4
3
=+−− xxx

c.
1
2cos2 8cos 7
cos
xx
x
−+=
d.
22cossin

π
) + cos3x (1)
Gi¶i:
§Ỉt t = x -
6
π
⇒ 2x -
3
π
= 2t vμ 3x = 3t +
2
π

Khi ®ã (1)
⇔ sin2t = 5sint + cos(3t +
2
π
) ⇔ sin2t = 5 sint - sin3t

⇔ sin3t + sin2t = 5sint ⇔ 3sint - 4sin
3
t + 2sint.cost = 5sint

⇔ (3 - 4sin
2
t + 2cost - 5) sint = 0 ⇔ (2sin
2
t - cost + 1)sint = 0

⇔ (2cos


⇔ x =
6
π
+ k
π
, k ∈


VËy ph−¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiƯm
VÝ dơ 2
: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
sin(
3
10 2
x
π
−
) =
13
sin( )
2102
x
π
+
(2)
Gi¶i
§Ỉt t =
3
10 2

Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 11
⇔
sin 0
1
cos 2
2
t
t
=
⎡
⎢
⎢
=
⎣
⇔
22
3
tk
tk
π
π
π
=
⎡
⎢
⎢
=± +

π
π
ππ
π
ππ
π
⎡
−=
⎢
⎢
⎢
−= +
⎢
⎢
⎢
−=−+
⎢
⎣ ⇔
3
2
5
4
2
15
14
2
15

) = sin2x.sin(x +
4
π
) (3)

Gi¶i
§Ỉt t = x +
4
π
suy ra
33
4
22
2
xt
xt
π
π
π
⎧
−=−
⎪
⎪
⎨
⎪
=−
⎪
⎩

Khi ®ã (2)

⇔ x = -
42
k
ππ
=
, k ∈


VËy ph−¬ng tr×nh cã 1 nghiƯm

VÝ dơ 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
2cos(
6
x
π
+ ) = sin3x - cos3x (4)

Gi¶i
§Ỉt t =
6
x
π
+
⇒ 3x = 3t -
2
π

Khi ®ã (4)
⇔ 2cost = sin(3t -
2

Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 12
Khi ®ã ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: 3sin(
2
k
π
π
+ ) - 4sin
3
(
2
k
π
π
+ ) = 0 (V« lý)
VËy t =
2
k
π
π
+
kh«ng lμ nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh.
TH2
: Víi cost ≠ 0 ⇔ t ≠
,
2
kk
π
π
+∈


⎢
⎢
=−
⎣
⇔
4
3
3
tk
tk
tk
π
π
π
π
π
π
⎡
=− +
⎢
⎢
⎢
=+
⎢
⎢
⎢
=− +
⎢
⎣
⇔

6
2
x
k
x
k
x
k
π
π
π
π
π
π
⎡
=− +
⎢
⎢
⎢
=+
⎢
⎢
⎢
=− +
⎢
⎣
, k ∈ 
VËy ph−¬ng tr×nh cã 3 nghiƯm.
Bμi tËp ¸p dơng:


) = 3sin(
3
10 2
x
π
−
) c. cos9x + 2cos(6x +
2
3
π
) + 2 = 0
b.
sin(
3
24
x
π
+
) = 3sin(
42
x
π
−
) d. 2cos
6
5
x
+ 1 = 3cos
8
5

1cos2
1cos2
x
x
+
−

5. sin
3
x =
1
4
(3sinx - sin3x) 6. cos
3
x =
1
4
(3cosx + cos3x)
7. tan
3
x =
3sin sin3
3cos cos3
x
x
x
x
−
+
8. cot

2
x.sinx.cos3x + cos
2
x.cosx.sin3x
= (1 - cos
2
x).sinx.cos3x + (1 - sin
2
x).cosx.sin3x
= sinx.cos3x + cosx.sin3x - (cosx.cos3x + sinx.sin3x)sinx.cosx
= sin4x -
1
2
cos2x.sin2x =
3
4
sin4x

C¸ch 2: Ta cã
A =
1
4
(3sinx - sin3x)cos3x +
1
4
(3cosx + cos3x)sin3x
=
3
4
(sinx.cos3x + cosx.cos3x) =

⇔ 2cos10x + 2cos10x.cos2x = 0

⇔ (cos2x + 1)cos10x = 0

⇔
cos 2 1
cos10 0
x
x
=−
⎡
⎢
=
⎣
⇔
22
10
2
x
k
x
k
ππ
π
π
=+
⎡
⎢
⎢
=+

4x = sin
2
5x - cos
2
6x (2)

Gi¶i
Sư dơng c«ng thøc h¹ bËc ta cã:
(2)
⇔
1 cos 6 1 cos8 1 cos10 1 cos12
22 2 2
x
xxx−−− −
−= −⇔ (cos12x - cos6x) + (cos10x - cos8x) = 0

⇔ - 2sin9x.sin3x - 2sin9x.sinx = 0 ⇔ - 2sin9x(sin3x + sinx) = 0

⇔ - 4sin9x.sin2x.cosx

⇔
sin 9 0
sin 9 0
9
sin 2 0 ,
sin 2 0
cos 0

⎣
⎢
⎣


VËy ph−¬ng tr×nh cã hai nghiƯm.
B×nh ln: Víi nh÷ng ph−¬ng tr×nh chøa sè lỴ c¸c nh©n tư bËc cao (gi¶ sư b»ng 3). Th«ng th−êng ta kh«ng ®i
h¹ bËc tÊt c¶ c¸c nh©n tư ®ã mμ chØ chän ra hai nh©n tư ®Ĩ h¹ bËc. Cơ thĨ ta xÐt vÝ dơ sau:

VÝ dơ 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 14
sin
2
3x - sin
2
2x - sin
2
x = 0 (3)

Gi¶i
Ta cã (3) ⇔
2
1cos6 1cos2
sin 2 0
22
xx
x

⎢
⎢
=
⎣
⎢
=+
⎢
⎣


VËy ph−¬ng tr×nh cã hai nghiƯm.

VÝ dơ 4: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
sin
3
2x .cos6x + sin6x .cos
3
2x =
3
8Gi¶i
Ta cã thĨ lùa chän mét trong hai c¸ch sau ®Ĩ biÕn ®ỉi cho VT:
C¸ch 1
: Ta cã:
VT = sin
2
2x.sin2x.cos6x + sin6x.cos2x.cos
2

4
(sin2x.cos6x + cos2x.sin6x) =
3
4
sin8x
Ph−¬ng tr×nh ®−ỵc biÕn ®ỉi vỊ d¹ng:
3
4
sin8x =
3
8
⇔ sin8x =
1
2
⇔
48 4
,
5
48 4
k
x
k
k
x
ππ
ππ
⎡
=+
⎢
∈

5
x
⇔ 2 + cos
6
5
x
= 3cos
4
5
x
.
§Ỉt t =
2
5
x
, ph−¬ng tr×nh ®−ỵc biÕn ®ỉi vỊ d¹ng:
Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 15
2 + cos3t = 3cos2t ⇔ 2 + 4cos
3
t - 3cost = 3(2cos
2
t - 1)

⇔ 4cos
3
t - 6cos
2

2
5
2
5
,
5
2
5
2
2
5
x
xk
k
k
x
xk
k
π
π
α
π
απ
⎡
=
=
⎡
⎢
⎢
⇔∈

8

Gỵi ý: H¹ bËc ®−a ®−ỵc ph−¬ng tr×nh vỊ d¹ng: 2cos
2
2x + cos2x - 1 = 0

⇔ cos2x =
26
2
−+
⇔ x = ,kk
απ
±+ ∈

.
VËy ph−¬ng tr×nh ®· cho cã hai nghiƯm.
Bμi tËp ¸p dơng:

Bμi tËp 1: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau.
a.
sin
2
2x - cos
2
8x = sin(10x +
17
2
π
)
b.

2
2x + cos
2
4x
e.
sin
2
x = cos
2
2x + cos
2
3x
f.
sin
2
3x + sin
2
2x + sin
2
x =
3
2

Bμi tËp 2: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau.
a.
sin
3
x.sin3x + cos
3
x.cos3x =

Bμi tËp 3: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau.
a. cos
2
x = cos
4
3
x
b. 32cos
6
x = 1 + cos6x
c. sin
2
2x - cos
2
8x = sin(
17
2
π
+ 10x) d. cos
4
x - cos2x + 2sin
6
x = 0
e. cos
4
x + cos
4
(x +
4
π

Ph−¬ng ph¸p ln hƯ sè.
5.
Ph−¬ng ph¸p h»ng sè biÕn thiªn.
6.
Ph−¬ng ph¸p nh©n.
7.
Sư dơng c¸c phÐp biÕn ®ỉi hçn hỵp.
Ta ®−a ph−¬ng tr×nh cÇn gi¶i vỊ ph−¬ng tr×nh d¹ng tÝch: A.B = 0
⇔
0
0
A
B
=
⎡
⎢
=
⎣

trong ®ã c¸c ph−¬ng tr×nh A = 0, B = 0 lμ c¸c ph−¬ng tr×nh cã d¹ng chn.
Víi c¸c bμi to¸n cã tham sè, ®Ĩ x¸c ®Þnh ®iỊu kiƯn sao cho ph−¬ng tr×nh cã ®óng k nghiƯm trªn miỊn
D, ta cÇn chó ý tíi sè nghiƯm cđa mçi ph−¬ng tr×nh thμnh phÇn.

D¹ng 1: Ph−¬ng ph¸p biÕn ®ỉi tỉng, hiƯu thµnh tÝch.
VÝ dơ 1
. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0 (1)
Gi¶i
Ta cã thĨ lùa chän mét trong hai c¸ch sau
C¸ch 1
: BiÕn ®ỉi ph−¬ng tr×nh thμnh tÝch

22
x
xk
xk
xk
xxkxk k
xk
x
xxk
k
ππ
π
π
ππ
ππ
ππ
π
π
πππ
π
⎡
⎡
=+
=+
⎡
⎢
⎢
=
⎡
⎢



VËy ph−¬ng tr×nh cã hai nghiƯm.
C¸ch 2
: BiÕn ®ỉi vỊ ph−¬ng tr×nh chøa mét hμm l−ỵng gi¸c
(1)
⇔ 1 + cosx + 2cos
2
x - 1 + 4cos
3
x - 3cosx = 0

⇔ 4cos
3
x + 2cos
2
x - 2cosx = 0 ⇔ (2cos
2
x + cosx - cosx).2cosx = 0

⇔
cos 0
2
2
cos 1 2 ,
2
1
cos 2
33
23

⎢
⎢
=+
⎢
==±+
⎢
⎣
⎢
⎣
⎣


VËy ph−¬ng tr×nh cã hai nghiƯm.
B×nh ln: C¸ch gi¶i 1 lμ ®¬n gi¶n h¬n. Nh−ng nÕu VP cđa ph−¬ng tr×nh lμ h»ng sè kh¸c kh«ng hc chøa
tham sè th× c¸ch 2 lμ sù lùa chän tèi −u.

VÝ dơ 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh:
cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 (2)

Gi¶i
Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 17
Ta cã (2) ⇔ (cosx + cos3x) + (cos2x + cos4x) = 0

⇔ 2cos2x.cosx + 2cos3x.cosx = 0 ⇔ 2cosx(cos2x + cos3x) = 0

⇔ 2.cosx.cos
5

kxk
π
π
ππ
π
π
ππ
ππ
ππ
πππ
π
⎡
⎡
=+
⎡
⎢
⎢
=+
=
⎡
⎢
⎢
=+
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
=⇔ =+ ⇔ =+ ⇔ ∈
⎢

x
.cosx.cos
3
2
x
- sin
2
x
.sinx.sin
3
2
x
=
1
2
(1)

Gi¶i
Ta cã (1) ⇔
1
2
(cos2x + cosx).cosx +
1
2
(cos2x - cosx).sinx =
1
2⇔ cos2x .cosx + cos

xk
ππ
π
π
π
π
π
π
π
⎡
−= +
⎢
⎡
⎡
⎢
−=
⎢
⎢
+=
⎢
⎢
⇔⇔=−+
⎢
⎢
−=
⎢
⎢
=−
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
=− +
⎢
⎣


VËy ph−¬ng tr×nh cã ba nghiƯm.
Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 18
D¹ng 3: Lùa chän phÐp biÕn ®ỉi cho cos2x
VÝ dơ 1
: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
2cos
3
x + cos2x + sinx = 0 (1)

Gi¶i
Ta cã (1) ⇔ 2cos
3
x + 2cos
2
x - 1 + sinx = 0 ⇔ 2(cosx + 1)cos
2


⇔
sin 1
22
22
,
sin( ) 0
4
44
x
xk xk
k
x
xk x k
ππ
ππ
π
ππ
ππ
⎡⎡
=
=+ =+
⎡
⎢⎢
⎢
⇔⇔ ∈
⎢⎢
⎢
+=
⎢⎢


⇔ 2(1 - cos
2
x)(sinx + 1) - 1 + cosx = 0

⇔ (1- cosx)[2(sinx + 1)( 1 + cosx) - 1] = 0
⇔ … ⇔
cos 1 2
,
sin( ) 0
44
xxk
k
xxk
π
ππ
π
==
⎡⎡
⎢⎢
⇔∈
⎢⎢
+= =−+
⎣⎣


VËy ph−¬ng tr×nh cã hai nghiƯm.
B×nh ln: Nh− vËy chóng ta ®· cã ®−ỵc ph−¬ng ph¸o suy ln trong viƯc lùa chän hai h−íng biÕn ®ỉi cho
cos2x. Ci cïng trong tr−êng hỵp hƯ sè ®èi xøng ta sÏ lùa chän phÐp biÕn ®ỉi: cos2x = cos
2

−+−=
⎣
(1)
(2)

Gi¶i (1): Ta ®−ỵc x = -
,
4
kk
π
π
+∈

Gi¶i (2): Ta ®−ỵc
2
,
2
2
xk
k
xk
π
π
ππ
⎡
=− +
⎢
∈
⎢
=+

=
⎡
⎢
+−=
⎣

(vn)
⇔ x = kπ, k ∈


VËy ph−¬ng tr×nh cã mét nghiƯm
NhËn xÐt: Trong lêi gi¶i trªn khi chun ph−¬ng tr×nh vỊ d¹ng ®¬n, ta lùa chän phÐp biÕn ®ỉi cos2x = 1 -
2sin
2
x bëi khi ®ã sÏ hkư ®−ỵc sè h¹ng tù do vμ cïng víi nhËn xÐt c¸c to¸n tư cßn l¹i ®Ịu chøa sinx.

D¹ng 4: Ph−¬ng ph¸p ln hƯ sè.
VÝ dơ 1
: Gi¶i ph−¬ng tr×nh.
cosx + cos3x + 2cos5x = 0
Gi¶i
BiÕn ®ỉi ph−¬ng tr×nh vỊ d¹ng
(cos5x + cosx) + (cos3x + cos5x) = 0 ⇔ 2cos3x.cos2x + 2cos4x.cosx = 0
⇔ (4cos
3
x - 3cosx)cos2x + cos4x.cosx = 0
⇔ [(4cos
2
x - 3).cos2x + cos4x].cosx = 0
⇔ [(2(1 + cos2x) - 3).cos2x + 2cos

π
⎡
=+
⎢
⎢
±
⎢
=± +
⎢
⎣VËy ph−¬ng tr×nh cã ba nghiƯm.
VÝ dơ 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh
sin3 sin5
53
x
x
=

Gi¶i
BiÕn ®ỉi ph−¬ng tr×nh vỊ d¹ng:
5sin3x = 3sin5x ⇔ 2sin3x = 3(sin5x - sin3x)
⇔ 2(3sinx - 4sin
3
x) = 6.cos4x.sinx ⇔ (3 - 4sin
2
x - 3cos4x).sinx = 0
⇔ [3 - 2(1 - cos2x) - 3(2cos
2

⎢⎢
⎢
==
⎣⎣
⎢
=
⎣

Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 20

12
arccos( )
,
23
xk
k
xk
π
π
⎡
=± − +
⎢
⇔∈
⎢
=
⎣


xxxx
=
⎡
⎢
++ −=
⎣
(1)
(2)

Gi¶i (1): Ta ®−ỵc x =
,
2
kk
π
π
+∈
Gi¶i (2): Ta ®−ỵc
2
,
2
2
xk
k
xk
π
π
π
=
⎡
⎢

x
, víi
01t≤≤

Khi ®ã ph−¬ng tr×nh cã d¹ng:
(sinx + 3)t
2
- (sinx + 3)t + 1 = 0
Ta cã Δ = (sinx + 3)
2
- 4(sinx + 3) = (sinx + 3)(sinx - 1)
≤
0
Do ®ã ph−¬ng tr×nh trë thμnh:
2
0
sin 1 0
sin 1
1
1cos 1
sin
2
22
x
x
b
x
x
t
a

BiÕn ®ỉi ph−¬ng tr×nh vỊ d¹ng:
(sin
2
2
x
- 1)(sinx + 3)sin
2
2
x
+ 1 = 0 ⇔ - (sinx + 3).cos
2
2
x
.sin
2
2
x
+ 1 = 0
⇔ -
1
4
(sinx + 3).sin
2
x + 1 = 0 ⇔ sin
3
x + 3sin
2
x - 4 = 0
⇔ (sinx - 1)(sin
2

+∈ kh«ng ph¶i lμ nghiƯm cđa ph−¬ng tr×nh ⇒ cosx ≠ 0. Nh©n c¶ hai vÕ cđa ph−¬ng
tr×nh víi cosx ta ®−ỵc:
2sin3x.(4cos
2
x - 3).cosx = cosx ⇔ 2sin3x.(4cos
3
x - 3cosx) = cosx
⇔ 2sin3x.cos3x = cosx ⇔ sin6x = sin(
2
π
- x)
⇔
2
62
14 7
2
,
2
62
2105
xk
xxk
k
xxkxk
ππ
π
π
πππ
ππ
⎡

Gi¶i
Ta xÐt hai tr−êng hỵp
Tr−êng hỵp 1: Víi cos
2
x
= 0, ta ®−ỵc: sin
2
x
=
1±
vμ cosx = 2cos
2
2
x
- 1 = - 1
5VP⇒ =±
. Khi ®ã (*) ⇔
sin
5
2
x
=
5±
(v« lý)
Tr−êng hỵp 2: Víi cos
2
x
≠ 0 2,
22
x

3
x.sinx
⇔ 3sinx - 4sin
3
x + 2sinx.cosx = 5cos
3
x.sinx
⇔ (5cos
3
x - 4cos
2
x - 2cosx + 1)sinx = 0
⇔ (5cos
2
x + cosx - 1)(cosx - 1)sinx = 0
⇔
2
121 121
cos arccos( ) 2
10 10
5cos cos 1 0
121 121
cos 1 cos arccos( ) 2 ,
10 10
sin 0
sin 0
xx k
xx
xxx kk
x

arccos( ) 2
10
121
arccos( ) 2 ,
10
2
xk
xkk
xk
π
π
π
⎧
−
=± +
⎪
⎪
⎪
+
⎪
=± + ∈
⎨
⎪
=
⎪
⎪
⎪
⎩




Gi¶i (1): Ta ®−ỵc x =
2,
2
kk
π
π
−+ ∈

Gi¶i (2): §Ỉt t = sinx + cosx,
2
1
2sin.cos
2
t
txx
−
≤ ⇒ =
Khi ®ã ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: t -
2
1
2
t −
= 0 ⇔ t
2
- 2t - 1 = 0 ⇔
12
12
t
t

⇔
12
arcsin( ) 2
4
2
,
312
arcsin( ) 2
4
2
xk
k
xk
π
π
π
π
⎡
−
=−+
⎢
⎢
∈
⎢
−
⎢ =− +
⎣


VËy ph−¬ng tr×nh cã ba nghiƯm.

+− =
⎣
(1)
(2)

Gi¶i (1): Ta ®−ỵc x =
,kk
ππ
+∈

Gi¶i (2): §Ỉt sinx + cosx = t,
2
1
2sin.cos
2
t
txx
−
≤ ⇒ =

Khi ®ã ph−¬ng tr×nh cã d¹ng: t -
2
1
2
t −
= 0 ⇔ t
2
- 2t - 1 = 0 ⇔
12
12

4
2
,
312
arcsin( ) 2
4
2
xk
k
xk
π
π
π
π
⎡
−
=−+
⎢
⎢
∈
⎢
−
⎢ =− +
⎣


VËy ph−¬ng tr×nh cã ba nghiƯm.
VÝ dơ 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh.
9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8


+∈


Tài Liệu Luyện Thi Đại Học GV: NGUYỄN MINH TRIẾT Vấn Đề : Lượng Giác- PT Lượng Giác http://www.ebook.edu.vn 24
VËy ph−¬ng tr×nh cã mét nghiƯm x= 2,
2
kk
π
π
+∈


VÝ dơ 3: Gi¶i ph−¬ng tr×nh.
cos10x + 2cos
2
4x + 6cos3x.cosx = cosx + 8 cosx.cos
3
3x

Gi¶i
BiÕn ®ỉi ph−¬ng tr×nh vỊ d¹ng:
cos10x + 1 + cos8x = cosx + 2(4cos
3
3x - 3cos3x)cosx
⇔ (cos10x + cos8x) + 1 = cosx + 2(4cos
3
3x - 3cos3x)cosx

6
cos 4 1
2
xk
x
xkk
x
xk
π
π
π
π
π
⎡
=+
⎢
⎢
⎡
=−
⎢
⎢
⇔= + ∈
⎢
⎢
=
⎢
⎣
⎢
=
⎢

5
x + sin
7
x +
1
2
(cos
3
x + sin
5
x)sin2x = cosx + sinx

Gi¶i
BiÕn ®ỉi ph−¬ng tr×nh vỊ d¹ng:
cos
5
x + sin
7
x + (cos
3
x + sin
5
x)sinx.cosx =sinx + cosx
⇔ cos
5
x + sin
7
x + cos
4
x.sinx + sin

⇔ sin
2
x(sinx + cosx)(sin
4
x + sin
2
x - 2) = 0
⇔
4
,
2
xk
k
xk
π
π
π
⎡
⎡
⎡
=− +
⎢
⎢
⎢
⎢
⇔⇔∈
⎢
⎢
⎢
⎢

3
x + cos2x - sinx = 0
c)
sin3x - sinx + sin2x = 0
Bμi tËp 2: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau.
a)
2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4
b)
sin3x -
2
3
sin
2
x = 2cos2x.sinx
Bμi tËp 3: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau.
a)
3tan3x + cot2x = 2tanx +
2
sin 4
x

b)
cotx - tanx = sinx + cosx
Bμi tËp 4: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau.
a)
3sin3x -
3
cos9x = 1 + 4sin
3
3x

b)
sin
2
x + 2sin
2
2
x
- 2sinx. sin
2
2
x
+ cotx = 0
Bμi tËp 7: Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh sau:
a) sin3x.sin6x = sin9x
b)
1 + tanx =
2
1sin2
cos 2
x
x
−

Bμi tËp 8: Cho ph−¬ng tr×nh
(2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 - 4cos
2
x
a)
Gi¶i ph−¬ng tr×nh khi m = 1.
b)