Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên.
Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ.
1
BẢNG CÔNG THỨC TÍCH PHÂN
CÔNG THỨC CƠ BẢN
CÔNG THỨC MỞ RỘNG

 Cxdx

C
x
dxx 




1
1





 Cx
x
dx
ln

 
C


 Cxdxx sin.cos
;

 Cnx
n
dxnx sin
1
).(cos


 Cxdxx cos.sin
;

 Cnx
n
dxnx cos
1
.sin
 
 Ctgxxtgdx
x
)1(
cos
1
2
2

 
 Cgxgxdx



 Cudu

C
u
duu 




1
1







Cbax
a
dx
bax
ln
1
)(
1

C

u


ln


 Cbax
a
dxbax )cos(
1
)sin(

 Cbax
a
dxbax )sin(
1
)cos(

 
 Cu
u
du
dx
u
u
ln
'
;

 Cudx




Caxx
ax
dx
2
2
ln

CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
 PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.
I. Phƣơng pháp đổi biến số dạng 1.
Để tính tích phân dạng này , ta cần thực hiện theo các bước sau
1/ Quy tắc :
 Bước 1: Đặt x=v(t)
 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận
 Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt
 Bước 4: Tính
()
()
()
( ) ( ) ( )
()
vb
b
a v a
vb
f x dx g t dt G t
va


   

Biên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên.
Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ.
2
22
xa

 
;
sin 2 2
0; \
ost 2
a
xt
t
a
xt
c





   


  


a x a x
a x a x




x=a.cos2t
  
x a b x

x=a+
 
2
sinb a t

b. Quan trọng nhất là nhận ra dạng :
- Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ :
*
 
22
2
2
1 1 1 1
0
ax
b
a x+

  



.
* áp dụng để giải bài toán tổng quát :
 
 
21
22
k
dx
kZ
ax






.
II. Đổi biến số dạng 2

1. Quy tắc : ( Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước sau : )
 Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x) .
 Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx
 Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt .
 Bước 4: Tính
()
()





* Chú ý đến công thức :
ln ax+b
ax+b
mm
dx
a






. Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoắc bằng 2 thì ta
chia tử cho mẫu dẫn đến
( ) 1
( ) ( )
ax+b ax+b ax+b
P x m
dx Q x dx Q x dx m dx
   
   
   
   

B. DẠNG :
2



Ta có hai cách
Cách 1: ( Hệ số bất định )
Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu )
2. Tam thức :
2
( ) axf x bx c  
có hai nghiệm kép
Công thức cần chú ý :
 
'( )
ln ( )
()
u x dx
ux
ux







Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t .
3. Tam thức :
2
( ) axf x bx c  
vô nghiệm :
Ta viết : f(x)=















Khi đó : Đặt u= ktant
C. DẠNG :
32
()
ax
Px
dx
bx cx d


  


1. Đa thức : f(x)=
 
32
 PHÂN THỨC HÀM VÔ TỶ
I. KIẾN THỨC
1. Cần nhớ một số công thức tìm nguyên hàm sau :
-
'( )
()
2 ( )
fx
dx f x C
fx



-
2
2
1
lndx x x b C
xb
   



- Mở rộng :
2
2
'( )
ln ( ) ( )

2
b
xu
b
a
bx c a x du dx
aa
K
a







       












Khi đó ta có :

  



(2)
- Nếu :
0
.
+/ Với a>0 :
     
1 2 1 2
( ) ( ) .f x a x x x x f x a x x x x      
(3)
+/ Với a<0 :
     
1 2 1 2
( ) ( ) .f x a x x x x f x a x x x x        
(4)
Căn cứ vào phân tích trên , ta có một số cách giải sau :
b. Cách giải .
*. Trường hợp :
 
2 2 2 2
0, 0 ( ) ( ) .a f x a u k f x a u k        

Khi đó đặt :
 
2
2
2


     

     




  




*. Trường hợp :
2
0
0 ( )
( ) .
2
2
a
b
f x a x
b
f x a x a u
a
a




a








  




  




   






*. Trường hợp :
0, 0a  

- Đặt :

ax
x x t
bx c a x x x x
x x t


     





2. Tích phân dạng :
 
2
0
ax
mx n
I dx a
bx c







Phƣơng pháp :
b.1 : Phân tích




  


(2)
Trong đó
 
2
1
0
ax
dx a
bx c





đã biết cách tính ở trên
3. Tích phân dạng :
 
 
2
1
0
ax
I dx a
mx n bx c


2
11
1
1 1 1
ax
n
y t dy dx
x t m x t
n
x
ym
x t bx c a t b t c
y y y


    





  

   

         
   

   







( Trong đó : R(x;y) là hàm số hữu tỷ đối với hai biến số x,y và
, , ,
   
là các hằng số đã biết )
Phương pháp :
b.1 Đặt : t=
m
x
x




(1)
b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế của (1) ta có dạng
 
xt



b.3. Tính vi phân hai vế : dx=
 
' t dt

và đổi cận

I dx a
ax bx c






.
(trong đó
2
()
mx n
fx
ax bx c



liên tục trên đoạn
 
;

)
+) Bằng phương pháp đồng nhất hệ số, ta tìm A và B sao cho:

cbxax
B
cbxax
baxA
cbxax



222
)2(





. Tích phân
dx
cbxax
baxA



2
)2(


=


cbxaxA 
2
ln

Tích phân
2
dx

12
12
()

()
n
n
A
AA
Px
Q x x x x
  
   
  
.
+ Khi
 
 
22
( ) , 4 0Q x x x px q p q

       
thì đặt
2
()
.
()
P x A Bx C
Q x x x px q



 
''
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
bb
aa
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a



hay
bb
aa
b
udv uv vdu
a


.
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
 Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng
'
udv uv dx
bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x)
làm u(x) và phần còn lại
'
( ) .dv v x dx


b
a
P x xdx


( )cos
b
a
P x xdx


cos
b
x
a
e xdx


u
P(x)
lnx
P(x)
x
e

dv
x
e dx

P(x)dx

()
()
()
du P x dx
u P x
dv Q x dx
v Q x dx














 Nếu tính tích phân
( ) ( )P x Q x dx



mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì
ta đặt
 
'

sin
ax
J e bxdx




thì
ta đặt
1
cos
sin
ax
ax
du ae dx
ue
dv bxdx
v bx
b












1. Tính
cos
dx
I
asinx b x c




Phƣơng pháp:
Đặt
2
2
tan
21
  

x dt
t dx
tBiên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên.
Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ.
8
Ta có:
2
2
sin
1

22
sin sin cos cos
dx
I
a x b x x c x d

  


Phƣơng pháp:
   
22
sin sin cos cos
dx
I
a d x b x x c d x

   
   
2
2
cos
tan tan

   

dx

Phƣơng pháp:
+)Tìm A, B, C sao cho:
   
sin cos sin cos cos sin ,m x n x p A a x b x c B a x b x C x        
+) Vậy
sin cos
sin cos
m x n x p
I dx
a x b x c




=
=
  





cxbxa
dx
Cdx
cxbxa
xbxa
BdxA
cossincossin
sincos

là một hàm hữu tỉ theo sinx, cosx
Để tính nguyên hàm trên ta đổi biến số và đa về dạng tích phân hàm hữu tỉ mà ta đã biết
cách tính tích phân.
 Trường hợp chung: Đặt
2
2
tan
21
  

x dt
t dx
tBiên soạn: Nhóm GUG – ebooktoan.com Trường: ĐH CNTT và TT Thái Nguyên.
Bảng công thức tích phân và các dạng bài tập đầy đủ.
9
Ta có
2
22
21
sin ;cos
11
tt
xx
tt




   
sin , cos sin ,cosR x x R x x  
thì đặt
sintx
.
TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT
1.Cho hàm số
()y f x
liên tục và lẻ trên đoạn
 
;aa
. Khi đó

( ) 0
a
a
I f x dx



.
2.Cho hàm số
()y f x
liên tục và chẵn trên đoạn
 
;aa
. Khi đó
0
( ) 2 ( )
aa

00
( ) ( ) ( ) ( )
aa
aa
J f x dx f t dt f t dt f x dx

      
   
(2)
Thay (2) vào (1) ta được
0
( ) 2 ( )
aa
a
I f x dx f x dx




3.Cho hàm số
()y f x
liên tục và chẵn trên đoạn
 

:
. Khi đó





t
t
a
a


Khi x= -

thì t =

; x =

thì t =-


Vậy
 
 



















Idxxfdt
a
tf
dttf
t
)(
1
)(
)(

Suy ra









dxxfdx
a
xf
I

Khi x = 0 thì
2
t


, khi
2
x


thì t = 0
Do đó
0
2 2 2
0 0 0
2
(sin ) (sin( ) (cos ) (cos )
2
f x dx f t dt f t dt f x dx
  


    
   
.
Nhận xét : Bằng cách làm tương tự ta có các công thức
*Nếu f(x) liên tục trên
 
0;1
thì