I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
x x dx+ +
∫
2.
e
x x dx
x x
+ + +
∫
2.
x dx−
∫
3.
x dx+
∫
4.
x cosx dx
x
π
π
+ +
∫
9.
x
e x dx+ +
∫
10.
x x x x dx+ +
∫
11.
x x x dx− + +
∫
12.
x 2+ + −
∫
16.
( ).
ln
+
+
∫
17.
cos .
sin
π
π
∫
18.
+
∫
22.
ln
.
−
+
∫
22.
sin
π
+
∫
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
4.
gxdx
π
π
∫
5.
xcosxdx
π
+
∫
6.
x x dx+
∫
7.
x x dx−
∫
8.
dx
x+
∫
dx
x x
−
+ +
∫
dx
x +
∫
x
e xdx
+
∫
19.
xcos xdx
π
π
∫
20.
x
e cosxdx
π
π
∫
21.
cosx
e xdx
x
dx
cosx
π
+
∫
tgxdx
π
∫
gxdx
π
π
∫
xcosxdx
∫
33.
x x dx−
∫
34.
dx
x x +
∫
35.
e
x
dx
x
+
∫
36.
e
x
dx
x x
+
∫
40.
e
e
dx
cos x+
∫
41.
x
dx
x+ −
∫
42.
x
dx
x +
e
x
dx
x
+
∫
47.
e
x
dx
x
∫
48.
e
x x
dx
x
+
∫
49.
52.
+
∫
x x dx
53.
( )
+
∫
x xdx
π
54.
x dx−
∫
55.
x dx−
∫
56.
∫
&
ax ax
u f x du f x dx
ax ax
dv ax dx v cosax dx
e e
= =
⇒
= =
∫
'D$ng 2:
f x ax dx
β
∫
ax
ax
e dx
cosax
β
α
*+ 1#, -$
x
x e
dx
x +
∫
/)
x
u x e
dx
dv
x
=
−
.
dx x x dx x dx
dx I I
x x x x
+ −
= = − = −
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫
12
dx
x
=
+
∫
e
x
dx
x
∫
e
x xdx
∫
x x dx
+
∫
e
x xdx
∫
x c dx
π
+
∫
e
x xdx
x
+
∫
x x dx
+
∫
-x xdx
π
π
∫
13.
∫
+−
−
dx
xx
x
∫
++
b
a
dx
bxax
∫
+
++
dx
x
dx
xx
∫
+
−
dx
xx
x
∫
−
+−
++−
dx
−
dx
xxx
x
∫
+
dx
xx
∫
+
dx
x
∫
+−
dx
xxx
∫
+−
++
dx
xx
xx
∫
+
−
∫
+
−
dx
x
x
∫
+
+
dx
x
x
∫
π
∫
π
xdxx
dxxx
∫
π
∫
+
π
dxx
∫
π
dxxxxx
∫
−
π
x
dx
∫
+
π
dx
x
∫
+
π
dx
x
x
∫
−
π
dx
x
x
∫
+
π
dx
x
x
π
π
x
xdx
∫
−
++
+−
π
π
dx
xx
xx
∫
π
xdxtg
dxxg
∫
π
π
xx
dx
∫
++
++
π
dx
xx
xx
∫
+
π
dxx
∫
++
π
π
dx
x
x
∫
−
π
π
xx
dx
∫
π
dx
x
x
++
π
xx
dx
∫
+
π
x
dx
∫
π
π
xdxx
∫
+
π
π
π
xx
dx
∫
+
π
π
π
xx
dx
∫
π
π
x
x
∫
π
dxx
∫
π
xdxx
∫
+
+−
π
xx
xdx
∫
dxx
∫
π
π
dx
x
x
dxxx
∫
−
π
xdxxe
x
∫
+
π
dxtgx
∫
+
π
xx
dx
∫
−+
−
+
∫
x
dx
x
π
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
∫
b
a
dxxfxR :
Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng:
+) R(x,
xa
xa
+
−
) §Æt x = a cos2t, t
;
<=
π
∈
Khi ®ã ®Æt t =
γβα
++ xx
, hoÆc ®Æt t =
bax +
+) R(x,
xa +
) §Æt x =
tgta
, t
;
<
=
ππ
−∈
+) R(x,
ax −
) §Æt x =
x
a
, t
>
xx
dx
3.
∫
−
+++
xxx
dx
4.
∫
+
xx
dx
5.
∫
+
dx
xx
x
10.
∫
−
+
dx
x
x
11.
∫
+
x
dx
12.
∫
−
π
x
xdx
16.
∫
−
π
dxxxx
17.
∫
+
π
x
xdx
18.
∫
+
+
++
xx
dxx
23.
∫
++
x
dx
24.
dxxx
∫
+
25.
∫
−
x
e
dxe
29.
∫
−−
dxxx
30.
∫
+
e
dx
x
xx
31.
∫
+
+
dx
x
35.
+
dx
x
tgx
x
x
36.
+
x
x
e
dxe
37.
40.
+
a
dxax
VI. MT S TCH PHN C BIT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:
+=
aa
a
dxxfxfdxxf
;=
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [-
<
] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x
,
dxxf
= 0.
Ví dụ: Tính:
++
dxxx
++
dxxxx
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:
a
a
dxxf
= 2
a
dxxf
aa
a
x
dxxfdx
b
xf
(1
b>0,
a)
Ví dụ: Tính:
+
+
dx
x
x
dx
xx
x
+
dx
xx
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó:
=
dxxfdxxxf
Ví dụ: Tính
+
Ví dụ: Tính
+
dx
x
xx
+
dxtgxx
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
=
+ TTa
a
dxxfdxxf
=
dx
x
xxxx
3.
++
xe
dx
x
4.
+
+
dx
x
x
8.
=
+
+
+
ga
e
tga
e
xx
dxmxx
4.
dxx
5.
dxx
6.
+
dxxgxtg
7.
∫
−
−
π
π
dxxxx
12.
VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1#1ABCDE0F
(GHIJ8K9L
M
:N+I:/4OC9M%I/4OC
9
0.(GHIJ8K9
L:N+I:/4OC9%I/4OC9
.(GHIJ8K9
M:N+I:/4OC9M%I/4OC
9
.(GHIJ8K9:N+I:N+$%I/4OC9
π
Ví dụ 2#1ABCDE0F
(GHIJ8K9L
M
Copyright: Tài liệu đại học ©