I. Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x
2
– 3x +
x
1
ĐS. F(x) =
Cx
xx
 ln
2
3
3
23

2. f(x) =
2
4
32
x
x 
ĐS. F(x) =
C
x
x

3
3
2
3

xxx 
ĐS. F(x) =
C
xxx

5
4
4
3
3
2
4
5
3
4
2
3

6. f(x) =
3
21
xx

ĐS. F(x) =
Cxx 
3
2
32

7. f(x) =

x ĐS. F(x) =
Cxx  2sin
4
1
2
1

12. f(x) = (tanx – cotx)
2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) =
xx
22
cos.sin
1
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin
2cos
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =
Cx  3cos
3
1

16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =
Cxx  cos5cos

x
ĐS. F(x) =
C
a
a
xx

3ln
3
ln
2

20. f(x) = e
3x+1
ĐS. F(x) =
Ce
x

13
3
1

2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x
2
+ x + 3
2. f’(x) = 2 – x
2
và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) =
1

2
 x
x
x

5. f’(x) = 4x
3
– 3x
2
+ 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x
4
– x
3
+ 2x + 3
6. f’(x) = ax +
2)1(,4)1(,0)1(',
2
 fff
x
b
ĐS. f(x) =
2
51
2
2

x
x

II. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM

dx

5.

 xdxx
72
)12(
6.

 dxxx
243
)5(
7.
xdxx .1
2


8.


dx
x
x
5
2

9.


dx

4
14.

dx
x
x
5
cos
sin
15.

gxdxcot
16.

x
tgxdx
2
cos

17.

x
dx
sin
18.

x
dx
cos
19.


2
4 x
dx

25.

 dxxx .1
22
26.


2
1 x
dx
27.


2
2
1 x
dxx
28.

 1
2
xx
dx

29.

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1.

xdxx sin.
2.

xdxxcos
3.

 xdxx sin)5(
2
4

 xdxxx cos)32(
2

5.

xdxx 2sin
6.

xdxx 2cos
7.

dxex
x
.
8.

xdxln


dxxsin
16.

 dxx )1ln(
2

17.

xdxe
x
cos.
18.

dxex
x
2
3
19.

 dxxx )1ln(
2
20.

xdx
x
2

21.


()
e
x x dx
xx
  


2.
3
1
2x dx

3.
2
1
1x dx


4.
2
3
(2sin 3 )x cosx x dx




5.
1
0
()

( 1)
x
e x dx


10.
2
2
3
1
()x x x x dx

11.
2
1
( 1)( 1)x x x dx  


12.
3
3
1
x 1 dx( ).



13.
2
2
2

ln



17.
2
3
3
6
x dx
x
cos .
sin




18.
4
2
0
tgx dx
x
.
cos


19.
1
xx

22.
3
xx
0
dx
ee
ln
.



22.
2
0
dx
1xsin




24.



1
1
2
)12( dxxx
25.








2
1
32
11
29.


2
1
3
2
2
dx
x
xx

30.

e
e
x
dx
1
1

8
1
3
2
3
1
4

II. PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1.
2
32
3
sin xcos xdx



2.
2
23
3
sin xcos xdx




3.
2
0
sin

1
2
0
1x x dx

7.
1
2
0
1x x dx


8.
1
32
0
1x x dx

9.
1
2
3
0
1
x
dx
x 


10.

dx
xx




14.
1
2
0
1
1
dx
x 

15.
1
22
0
1
(1 3 )
dx
x


16.
2
sin
4
x



20.
2
sin
4
x
e cosxdx



21.
2
4
sin
cosx
e xdx




22.
2
1
2
0
x
e xdx



4
0
tgxdx


27.
4
6
cot gxdx




28.
6
0
1 4sin xcosxdx



29.
1
2
0
1x x dx


30.
1
2

1
1
1
dx
xx

35.
1
1 ln
e
x
dx
x



36.
1
sin(ln )
e
x
dx
x

37.
1
1 3ln ln
e
xx
dx

1
(1 ln )
e
e
dx
cos x

41.
2
1
11
x
dx
x


42.
1
0
21
x
dx
x 

43.
1
0
1x x dx



dx
x



47.
1
sin(ln )
e
x
dx
x

48.
1
1 3ln ln
e
xx
dx
x



49.
2ln 1
1
e
x
e
dx

5

x x dx

53.
 
2
4
0
sin 1 cos

x xdx

54.
4
2
0
4 x dx


55.
4
2
0
4 x dx

56.
1
2
0

60.
1
0
x
dx
2x 1


61.
1
0
x 1 xdx

62.
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6




63.
1
2
0
2x 5
dx




67.
4
2
0
1 sin2x
dx
cos x



68.
2
4
0
cos 2xdx



69.
2
6
1 sin2x cos2x
dx
sinx cosx





73.


2
0
13cos2
3sin

dx
x
x
74.


2
0
sin25
cos

dx
x
x

75.




0




79.
4
2
0
sin4x
dx
1 cos x



80.
1
32
0
x 1 x dx


81.
2
23
0
sin2x(1 sin x) dx



82.
4

dx
x


86.
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx


87.
6
2
0
cosx
dx
6 5sinx sin x



88.
3
4
0
tg x
dx
cos2x



3ln
32
xx
ee
dx
92.


2
0
2
)sin2(
2sin

dx
x
x

93.

3
4
2sin
)ln(


dx
x
tgx
94.


dx
x
xx

97.


2
0
cos1
cos2sin

dx
x
xx
98.


2
0
sin
cos)cos(

xdxxe
x

99.



1
2
0
1 x dx


103.
1
2
0
1
dx
1x

104.
1
2
0
1
dx
4x


105.
1
2
0
1
dx
x x 1


109.
2
22
1
x 4 x dx

110.
2
3
2
2
1
dx
x x 1


101.
3
2
2
1
9 3x
dx
x


112.
1
5



115.
1
4
6
0
1
1
x
dx
x



116.
2
0
cos
1 cos
x
dx
x




117.



1
dx
xx


121.
7
3
3
2
0
1
x
dx
x

122.
3
52
0
1x x dx


123.
ln2
x
0
1
dx
e2


II. PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần :
u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
bb
b
a
aa
x d u x v x v x u x dx


Tch phân cc hm s d pht hin u v dv

@ Dng 1
sin
()
ax
ax
f x cosax dx
e









Đặt
ln( )
()
()
dx
du
u ax
x
dv f x dx
v f x dx














@ Dng 3:
sin
.



dx
dv
x








b/
3
8
43
2
( 1)
x dx
x 

đă
̣
t
5
3
43
( 1)
ux
x dx
dv

0
1
dx
x



bằng phương pha
́
p đô
̉
i biến số
Tính I
2
=
1
2
22
0
(1 )
x dx
x

bằng phương pha
́
p tư
̀
ng phần : đă
̣
t

x xdx


3.
1
2
0
ln( 1)x x dx

4.
2
1
ln
e
x xdx


5.
3
3
1
ln
e
x
dx
x

6.
1
ln

x xdx
x



11.
2
2
1
ln( )x x dx

12.
3
2
4
tanx xdx




13.
2
5
1
ln x
dx
x

14.
2


2
0
cos)1(

xdxx
3)


6
0
3sin)2(

xdxx

4)

2
0
2sin.

xdxx

5)

e
xdxx
1
ln
6)



0
.cos. dxxx
11)

2
0
2
.cos.

dxxx
12)


2
0
2
.sin).2(

dxxxx

13)
2
5
1
lnx
dx
x


dx
cos x



19)
2
0
xsinxcos xdx


20)
4
2
0
x(2cos x 1)dx




21)
2
2
1
ln(1 x)
dx
x


22)

26)
1
2
0
xtg xdx

27)


1
0
2
)2( dxex
x

28)


1
0
2
)1ln( dxxx
29)

e
dx
x
x
1
ln

3
2
23
12
dx
xx
x
2.


b
a
dx
bxax ))((
1

3.



1
0
3
1
1
dx
x
xx
4.
dx

1
dx
xx

7.



2
1
2008
2008
)1(
1
dx
xx
x
8.




0
1
2
23
23
9962
dx
xx



2
1
24
2
)23(
3
dx
xxx
x
12.


2
1
4
)1(
1
dx
xx

13.


2
0
2
4
1

dx
x
x

17.


4
2
23
2
1
dx
xxx
18.



3
2
3
2
23
333
dx
xx
xx

19.


1
2
dx
x
xxx
22.



1
0
2
4
1
2
dx
x
x

23.



1
0
6
4
1
1
dx

1
2
dx
x
x

27.
dx
x
x










1
0
3
1
22
28.





2
0
1
2
13
30.
dx
x
xx



1
0
2
3
32

31.
dxx
x
xx









1
1
22

33.


1
0
2
34xx
dxIV. TÍCH PHÂN HÀM LƢỢNG GIÁC:
1.
xdxx
4
2
0
2
cossin


2.

2
0
32
cossin

6.


2
0
22
)coscossinsin2(

dxxxxx

7.

2
3
sin
1


dx
x
8.


2
0
441010
)sincoscos(sin

dxxxxx


dx
x
x
12.

3
6
4
cos.sin


xx
dx

13.


4
0
22
coscossin2sin

xxxx
dx
14.


2
0
cos1



2
0
3
cos1
cos

dx
x
x
18.


2
0
1cossin
1

dx
xx

19.


2
3
2
)cos1(
cos

6
3
cot



23.

3
4
4


xdxtg
24.


4
0
1
1

dx
tgx

25.


4
0

4
0
13cos3sin2

xx
dx

29.


4
0
4
3
cos1
sin4

dx
x
x
30.



2
0
cossin
2sin2cos1

dx

3
cos
sin

dx
x
x
34.


2
0
32
)sin1(2sin

dxxx

35.


0
sincos dxxx
36.


3
4
3
3
3

4
53
sincos


xdxx
40.


4
0
2
cos1
4sin

x
xdx

41.


2
0
3sin5

x
dx
2.

6



xx
dx

45.

3
4
6
2
cos
sin


x
xdx
46.
dxxtgxtg )
6
(
3
6






47.

dxx
50.

2
0
2
cos

xdxx

51.


2
0
12
.2sin

dxex
x
52.
dxe
x
x
x



2
0

2
1
)cos(ln dxx
56.

3
6
2
cos
)ln(sin


dx
x
x

57.
dxxx


2
0
2
cos)12(

58.


0
2

4
0
)1ln(

dxtgx

63.


4
0
2
)cos2(sin

xx
dx
64.



2
0
2
)cos2)(sin1(
cos)sin1(

dx
xx
xx




2
2
3cos.5cos


xdxx

69.


2
2
2sin.7sin


xdxx
70.

4
0
cos
2
sin

xdx
x

71.

22
xa 
) §Æt x =
ta sin
hoÆc x =
ta cos

+) R(x,
n
dcx
bax


) §Æt t =
n
dcx
bax



+) R(x, f(x)) =

 xxbax
2
)(
1
Víi
(

 xx

cos
, t
}
2
{\];0[




+) R
 
1 2 i
n n n
x x x; ; ;
Gäi k = BCNH(n
1
; n
2
; ;
n
i
)
§Æt x = t
k

1.


32
5

1xx
dx

5.


2
1
2
2008dxx
6.


2
1
2
2008x
dx

7.


1
0
22
1 dxxx
8.


1

11.


1
0
32
)1( x
dx
12.


2
2
0
32
)1( x
dx

13.


1
0
2
1 dxx
14.


2
2

0
2
cos2
cos

x
xdx
18.



2
0
cos31
sin2sin

dx
x
xx

19.


7
0
3
2
3
1 x
dxx

112x
dx
24.
dxxx


1
0
815
31 25.


2
0
5
6
3
cossincos1

xdxxx
26.


3ln
0
1
x

2
8412 dxxx
30.


e
dx
x
xx
1
lnln31

31.



3
0
2
35
1
dx
x
xx
32.
dxxxx


4
0

2
2
cos
32
cos
2cos

dx
x
tgx
x
x
36.


2ln
0
3
)1(
x
x
e
dxe

37.


3
0
2cos2


a
dxax
2
0
22VI. MT S TCH PHN C BIT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi
đó:



aa
a
dxxfxfdxxf
0
)]()([)(

Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [-
2
3
;
2
3

] thỏa mãn
f(x) + f(-x) =
x2cos22



a
a
dxxf )(
= 0.
Ví dụ: Tính:



1
1
2
)1ln( dxxx




2
2
2
)1ln(cos


dxxxx

Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a,
a], khi đó:



dx
x



Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a,
a], khi đó:




aa
a
x
dxxfdx
b
xf
0
)(
1
)(
(1

b>0,

a)
Ví dụ: Tính:




2
0
2
0
)(cos)(sin

dxxfxf

Ví dụ: Tính


2
0
20092009
2009
cossin
sin

dx
xx
x



2
0
cossin
sin

dx

x
xx

Bài toán 6:


b
a
b
a
dxxfdxxbaf )()(





bb
dxxfdxxbf
00
)()(

Ví dụ: Tính



0
2
cos1
sin
dx


Ví dụ: Tính



2008
0
2cos1 dxx

Các bài tập áp dụng:
1.




1
1
2
21
1
dx
x
x
2.



4
4
4


dx
x
xx

5.




2
1
2
1
)
1
1
ln(2cos dx
x
x
x
6.
dxnx)xsin(sin
2
0




7.

xx
dx
x
xdx
(tga>0)
VII. TCH PHN HM GI TR TUYT I:
1.



3
3
2
1dxx
2.


2
0
2
34 dxxx

3.


1
0
dxmxx
4.


4
2sin


dxx
8.



2
0
cos1 dxx

9.



5
2
)22( dxxx
10.


3
0
42 dx
x

11.


2
1
x 2dx
x



15.
3
x
0
2 4dx

16.
0
1 cos2xdx




17.
2
0
1 sinxdx



18.
dxxx


x
+1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x =
1
c/ Đồ thị hàm số y = x
3
- 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
= 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2


Bµi 1: Cho (p) : y = x
2
+ 1 vµ ®-êng th¼ng (d): y = mx +
2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®-êng
trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt
Bµi 2: Cho y = x
4
- 4x
2
+m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi
h¹n bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x vµ phÝa
d-íi 0x b»ng nhau
Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng
giới hạn bởi











4
2
4
22
1
1
32
a
axa
y
a
aaxx
y
Tìm a để diện tích lớn nhất
Bài 6: Tớnh din tớch ca cỏc hỡnh phng sau:
1) (H
1
):
2
2
x
y4
4
x
y
42














4) (H
4
):
2
2
yx
xy







5) (H
5
):

x1













8) (H
8
) :
2
2
y x 2x
y x 4x







9) (H
9




)(
2:)(
:)(
Ox
xyd
xyC
12)








1:)(
2:)(
:)(
x
yd
eyC
x

13)




0
02
y
yx
xy

16










2
2
1
1
2
x
y
x
y
17







3
;
6
cos
1
;
sin
1
22

xx
x
y
x
y
20): y = 4x x
2
; (p) và tiếp
tuyến của (p) đi qua M(5/6,6)
21)

















ex
y
x
y
xy
0
1

24)





5//
/1/
2
xy
xy
25)


4
2
2
28)








1
54
22
2
2
y
xxy
xxy
29)







7
/1/

xx
y
xxy
;0
3
cos2sin
32)







0
2
3
y
x
xy

33)





2
2
2


36)








2
12
2
2
2
y
xxy
xy
37)





2
/23/
2
y
xxy


3
/34/
2
y
xxy

41)









1x
ey
ey
x
Ï
42)









2
2
2
y
xxy
xy
45)








0
0122
2
2
y
yx
xy
46)




0
)(
2222



2
/1/
2
x
yx
32)








0
sin
)1(
2
x
xy
yx
33)







1
;0
4
y
x
x
y
x
x

35)









xyx
y
y
x
3;0
0
5
2
36)


27
27
2
2
38)







xy
xy
4
)4(
2
32
39)










10,

x
xxy
xy
0
sin
2
42)







22
2
)1(827
2
xy
xy
43)
x
2
/25+y
2
/9 = 1 vµ hai tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x
2
vµ ®iÓm A(2;5) ®-êng th¼ng (d) ®i qua
A cã hÖ sè gãc k .X¸c ®Þnh k ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi

y
O
b
a
x
y
0x
O
)(:)( yfxC 
by 
ay   
dxxfV
b
a
2
)(




 
dyyfV
b
a

1
;
12
x
yy
x



Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x
2
và y = 2x + 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y
2
= 4x và y = x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y =
22
1
.
x
ex
; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x
)1ln(








1,0,0
1
1
2
xxy
x
y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4)





0
2
2
y
xxy
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
5)



n»m ngoµi y = x
2
7)







xy
xy
2
quay quanh trôc a) 0x;
8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)
2
+ y
2
= 1 quay quanh
trôc a) 0x; b) 0y
9) MiÒn trong (E):
1
49
22

yx
quay
quanh trôc a) 0x; b) 0y
10)


;
2
0
sincos
44
quay quanh trôc 0x;
12)





xy
xy
310
2
quay quanh trôc 0x;
13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc
a) 0x; b) 0y
14)









