Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Trang 1
CỔNG LUYỆN THI ĐẠI HỌC TRỰC TUYẾN

§ÆNG VIÖT HïNG BÀI GIẢNG TRỌNG TÂM
TÍCH PHÂN Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Trang 2
I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ
Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức
= = =
( ) ' '( )
dy df x y dx f x dx

Ví d

1 1 1
2 2 2 2
x
xdx d d x d x a d a x
 
= = = ± = − −
 
 
 



( ) ( ) ( )
3
2 3 3 3
1 1 1
3 3 3 3
x
x dx d d x d x a d a x
 
= = = ± = − −
 
 
 



(
)
( ) ( )

2
ax b dx ax b d ax b d ax b xdx d x
a a
+ = + + = + → =


( )
(
)
(
)
ax 2 2
1 1 1
ax
2
b ax b ax b x x
e dx e d b d e e dx d e
a a
+ + +
= + = → =


( )
(
)
( )
( ) ( )
2 2 2
ax
1 1 1

ax b ax b x
+
= = −  +  → = −
 
+ +

II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM
Cho hàm s
ố
f(x) liên t
ụ
c trên m
ộ
t kho
ả
ng (a; b). Hàm F(x)
đượ
c g
ọ
i là nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố
f(x) n
ế
u F’(x) =
f(x) và
đượ
c vi
ế

ế
t ( ) ( )
f x dx F x C
= +
∫
,
khi
đ
ó F(x) + C
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t h
ọ
nguyên hàm c
ủ
a hàm s
ố
f(x). V
ớ
i m
ộ
t giá tr
ị
c
ụ
th
ể

Cho các hàm s
ố
f(x) và g(x) liên t
ụ
c và t
ồ
n t
ạ
i các nguyên hàm t
ươ
ng
ứ
ng F(x) và G(x), khi
đ
ó ta có các tính
ch
ấ
t sau:
a) Tính ch
ấ
t 1:
( )
( ) ( )
f x dx f x
′
=
∫

Chứng minh:
01. ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM

t 1 ta có,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f x dx g x dx f x dx g x dx f x g x
′ ′ ′
+ = + = +
∫ ∫ ∫ ∫

Theo
đị
nh ngh
ĩ
a nguyên hàm thì v
ế
ph
ả
i chính là nguyên hàm c
ủ
a f(x) + g(x).
T
ừ

đ
ó ta có
[
]
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx

đ
pcm.

d) Tính chất 4:
( ) ( ) ( )
f x dx f t dt f u du
= =
∫ ∫ ∫

Tính ch
ấ
t trên
đượ
c g
ọ
i là
tính bất biến
c
ủ
a nguyên hàm, t
ứ
c là nguyên hàm c
ủ
a m
ộ
t hàm s
ố
ch
ỉ
ph

′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
du u C
= +
∫



 Công thức 2:

+ = ⇒ = +
 
+ +
 
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
1
1
n
n
u

∫ ∫

Ví dụ:
a)
3
2
3
x
x dx C
= +
∫

b)
( )
5
4 4 2
2 2
5
x
x x dx x dx xdx x C
+ = + = + +
∫ ∫ ∫

c)
1 1
2
2 2 2 2
3
3 3
3

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Trang 4

e)
( ) ( ) ( )
( )
2011
2010 2010
1 3
1
1 3 1 3 1 3
3 2011
n
u du
x
I x dx x d x I C
−
= − = − − − → = − +
∫ ∫

f)
( )
(
)
( )
( )
2
2 2
2 1

 Công thức 3: ln
dx
x C
x
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do
( )
1
ln ln
dx
x C x C
x x
′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp
( )
u u x
=
, ta được ln
du
u C
u
= +


+ +

= − − +

−

∫
∫ ∫
∫

Ví dụ:
a)
4
3 3
1 1 1
2 ln
4
dx x
x dx x dx dx x x C
x x
x x
 
+ + = + + = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
(

+ +
 
= + = + = + = + + +
 
+ + + +
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫



 Công thức 4:
sinx cos
dx x C
= − +
∫

Ch
ứ
ng minh:
Th
ậ
t v
ậ
y, do
( )
cos sin x sinx cos
x C dx x C
′
− + = ⇒ = − +
∫

∫ ∫ ∫
ax b dx ax b d ax b ax b C xdx x C
a a

Ví dụ:
a)
(
)
3
2
2 1
1 1
sinx sinx cos
2 1 2 1 2 2 1
d x
dx
x x dx x xdx dx x dx x
x x x
−
 
+ + = + + = − + =
 
− − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

5
2
2 1
cos ln 2 1

+ +
 
 
∫

Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
2 ; 2 2 2 ; 3 3 3
2 2 2 2 3
x x
d dx dx d d x dx dx d x d x dx dx d x
   
= ⇒ = = ⇒ = = ⇒ =
   
   

T
ừ đó :
( ) ( )
1 1
sin sinx sin3 sin sin 2 sin3 2 sin sin2 2 sin3 3
2 2 2 2 2 3
x x x x
x dx dx xdx xdx d xd x xd x
   
+ + = + + = + +
   
   
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫
x C x xdx x C


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c cosu sin
du u C
= +
∫

+
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1
cos cos sin cos2 sin 2

x
x x x dx xdx xdx xdx x x C

c)
( )
2
1 cos2 1 1 1 1 1 1
sin cos2 cos2 2 sin2
2 2 2 2 4 2 4
−
 
= = − = − = − +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
x
xdx dx x dx x xd x x x C



 Công thức 6:
2
tan
cos
dx
x C
x
= +
∫


+
( )
(
)
( )
( )
2 2 2
1 1 1
tan tan2
cos cos cos 2 2
d ax b
dx dx
ax b C x C
ax b a ax b a x
+
= = + + → = +
+ +
∫ ∫ ∫

Ví dụ:
a)
2 2
1 1
cos sin 2 cos sin2 tan sin cos2
cos cos 2
dx
x x dx xdx xdx x x x C
x x
 
+ − = + − = + + +

( )
2
os
1 1
tan 2 1 ln 5 4
2 2
du
c u
x x C
→ = − − − +

c)
( )
(
)
( )
( )
2
os
2 2
3 2
1 1
tan 3 2
cos 3 2 2 cos 3 2 2
du
c u
d x
dx
I I x C
x x

dx
x C C
sin x x
′
− + = ⇒ = − +
∫


Chú ý:
+ M
ở
r
ộ
ng v
ớ
i hàm s
ố
h
ợ
p
( )
u u x
=
, ta
đượ
c
2
cotu
sin
du

6
5 5
2 2
1 1
cos2 2 cos2 2 sin2 cot
sin sin 2 3
dx x
x x dx xdx x dx x x C
x x
 
− + = − + = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

b)
( )
(
)
( )
( ) ( )
2
sin
2 2
1 3
1 1 1
cot 1 3 cot 1 3
sin 1 3 3 sin 1 3 3 3
du
u

= = → = − +
 
   
 
   
   
∫ ∫



 Công thức 8:
x x
e dx e C
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do
( )
x x x x
e C e e dx e C
′
+ = ⇒ = +
∫


Chú ý:
+ Mở rộng với hàm số hợp
( )
u u x

∫ ∫
∫
x k x k
ax b ax b ax b
k x k x
e dx e C
e dx e d ax b e C
a a
e dx e C

Ví dụ:
a)
( )
(
)
2 1 2 1 2 1
2 2 2
3
1 4 4 1 1
2 1 4.2
sin 3 sin 3 2 3 sin 3
x x x
d x
dx
e dx e dx dx e d x x
x x x
x x
− + − + − +
 
− + = − + = − − + − +

4 1
sin 1 3
3 3
x
e x C
+
= − − +



 Công thức 9:
ln
x
x
a
a dx C
a
= +
∫

Chứng minh:
Thật vậy, do
ln
ln ln ln
x x x
x x
a a a a
C a a dx C
a a a
′

+
( )
1 1
kx m kx m kx m
a dx a d kx m a C
k k
+ + +
= + = +
∫ ∫

Ví dụ:
a)
( )
( ) ( )
3 2
3 2 3 2 3 2
1 1 2 3
2 3 2 3 2 3 3 2
3 2 3ln2 2ln3
u
x x
a dux x x x x x
I dx dx dx d x d x I C
= + = + = + → = + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b)
( )
( ) ( )
1 2

I x dx
x
 
= −
 
 
∫
3)
(
)
5
2 3 3
3
4 2
I x x x dx
= − +
∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Trang 7

4)
3
4
2
5
1 2
4
x

∫

7)
(
)
2
7
1x
I dx
x
−
=
∫
8)
(
)
2
3
8
2 1
I x dx
= −
∫

9)
(
)
2
2
9

3
1 1
I dx
x x
 
= −
 
 
∫

13)
3
13
1
I x dx
x
 
= −
 
 
∫

14)
2
14
3
1
I x dx
x
 

17
5
1
(2 3)
I dx
x
=
−
∫
18)
18
4
1
( 3)
x
I dx
x
+
=
−
∫

19)
19
π
sin
2 7
x
I dx
 

sin 3 sin
4 2
x
I x dx
 
+
 
= + −
 
 
 
 
∫
23)
2
23
cos
2
x
I dx
=
∫
24)
2
24
sin
2
x
I dx
=

= +
∫

29)
4
29
tan
I x dx
=
∫
30)
2
30
cot
I xdx
=
∫
31)
( )
31
2
sin 2 3
dx
I
x
=
+
∫
 
= +
 
+
 
∫

35)
2
35
1
sin
2 5
I x dx
x
 
= −
 
−
 
∫
36)
36
2
dx
3
x
I
x
+

x x
I dx
x
+ +
=
+
∫
40)
2
40
2 5
1
x x
I dx
x
− +
=
−
∫

41)
3 2
41
3 2 1
2
x x x
I dx
x
+ + +
=

I e dx
− +
=
∫
45)
3 1
45
cos(1 )
x
I x e dx
−
 
= − +
 
∫
46)
2
1
46
.
x
I x e dx
− +
=
∫

47)
47
2
2

1 2 4 3
49
2
x x
I e dx
− +
= −
∫

50)
50
1
2
x
I dx
=
∫

51)
51
2
7
x
x
I dx
=
∫
52)
2 1
52

2.
( ) ( ) ( )
2 3 3 3
1 1 1
3 3 3
x dx d x d x a d a x
= = ± = − −
7.
( ) ( ) ( )
2
dx
d x d x a d a x
x
= = ± = − −

3.
sin (cos ) (cos ) ( cos )
xdx d x d x a d a x
= − = − ± = −

8.
(
)
(
)
(
)
x x x x
e dx d e d e a d a e
= = ± = − −

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

1
2
1
x
I dx
x
=
+
∫b)

2 10
2
(1 )
I x x dx
= +
∫

c)
2
3
3
1
x dx
I

 

 


=



Ta có
(
)
(
)
( )
2 2
(ln ) ln
2
1 1
2 2 2
1
1 1 1
ln 1 .
2 2 2
1 1 1
du
d u u C
u
d x d x
x

n
+

 
= = = ±

 
  

 

=
 

+
 


Ta có
( ) ( ) ( )
(
)
11
2
10 10
2 2 2
2
1
1
1 1 1 .


 

 


=



Ta có
(
)
(
)
3 3
2 3
3
3 3 3
1 1
1 2 2 1
.
3 3 3
1 1 2 1
d x d x
x dx x
I C
x x x
+ +
+

ng d
ẫ
n gi
ả
i:
02. PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Trang 9

a) Sử dụng các công thức vi phân
( ) ( )
2
2 2
1
1 1
2 2 2
1
n
n
x
xdx d d x d a x
u
u du d
n
+

 
= = = − −

= − = − = − − − = − +
∫ ∫ ∫

b)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
( ) ( )
( )
1 1
ax ax
2
dx d b d b
a a
du
d u
u

= + = − −




=



1 1
ax ax
1
n
n
dx d b d b
a a
u
u du d
n
+

= + = − −



 

=
 

+
 


( ) ( ) ( )
( )
( )
3
3

∫
b)
8
5
(3 2 )
dx
I
x
=
−
∫
c)
3
9
ln
x
I dx
x
=
∫

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức vi phân
( ) ( )
4
3 4 4
1
1 1
4 4 4
1

4
4
4
5
5
1
3
4 4
5
7
5 5
4 4
5 5
5 5
4
2 1 1
2 5 5 . .
2 2 4 8
5 5
x
d
x
x
x
I dx x d x C C
x x
−
 
 
−

ử
d
ụ
ng công th
ứ
c vi phân
( )
ln
dx
d x
x
= ta được
( )
3 4
3
9
ln ln
ln ln .
4
x x
I dx xd x C
x
= = = +
∫ ∫

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )
10
2010

a)
Ta có

( )
( ) ( )
( )
( )
2009
2010
10
2010 2009
4 2
3 3 3 3
4 2 4 2 .
2 2 2009
4 2 4018 4 2
x
dx
I x d x C C
x x
−
−
−
= = − − − = − + = +
−
− −
∫ ∫

b)
S

x x
= = = = +
∫ ∫ ∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Trang 10

c) Sử dụng các công thức vi phân
(
)
( )
cos sin
sin x cos
udu d u
dx d x

=


= −



Ta có
( ) ( )
( )
3
3
1

∫
c)
4
15
sin cos
I x xdx
=
∫

Hướng dẫn giải:
a)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c vi phân
(
)
( )
sin cos
cos sin
udu d u
xdx d x

= −


=

= = ←→ = + = +
∫ ∫

b)
Ta có

( )
4
14
5 5 4
cos
sin (cos ) 1
.
cos cos 4 4cos
x
x d x
I dx C C
x x x
−
= = − = − + = +
−
∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ

5
4
5
5
4 4
15 15
sin
sin cos sin sin .
5
u
u du d
x
I x xdx xd x I C
 
=
 
 
 
= = ←→ = +
∫ ∫

Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
16
tanx
I dx
=
∫
b)
17

sin x (cos )
ln
dx d x
du
u C
u
= −



= +


∫

Ta có
(
)
16
cos
sin
tan ln cos .
cos cos
d x
xdx
I xdx x C
x x
= = = − = − +
∫ ∫ ∫


)
18
cos 3cos 1
sin 1 1
ln 1 3cos .
1 3cos 1 3cos 3 1 3cos 3
d x d x
xdx
I x C
x x x
+
= = − = − = − + +
+ + +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
( )
19
2
2cos
2 5sin
xdx
I
x
=
−
∫
b)
20

= −
 

 


( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
19
2 2 2
2 sin 2 5sin
2cos 2 2
.
5 5 2 5sin
2 5sin 2 5sin 2 5sin
d x d x
xdx
I C
x
x x x
−
⇒
= = = − = +
−

20
sin 4sin 4sin 3
cos 1 1 1
4sinx 3 .
4 2 2
4sinx 3 4sinx 3 4sin x 3 2 4sinx 3
d x d x d x
xdx
I C
−
= = = = = − +
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ
c nguyên hàm c
ơ
b
ả
n
(
)
2

cos
sin
tan .ln cos ln cos ln cos ln cos ln cos
cos cos
d x
x
I x x dx x dx x x d x
x x
= = = − = − =
∫ ∫ ∫ ∫

2 2
21
ln (cos ) ln (cos )
.
2 2
x x
C I C
= − + → = − +

Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
22
2
tan
cos
x
I dx
x
=

cos
2
dx
d x
x
u
u du C

=




= +


∫

Ta có
( )
2 2
22 22
2 2
tan tan tan
tan . tan tan .
2 2
cos cos
x dx x x
I dx x xd x C I C
x x


= +



Ta có
( ) ( )
3
3 3 2 5 3
23
4 2 2
tan 1
tan . . tan . 1 tan (tan ) tan tan (tan )
cos cos cos
x dx
I dx x x x d x x x d x
x x x
= = = + = +
∫ ∫ ∫ ∫

6 4 6 4
23
tan tan tan tan
.
6 4 6 4
x x x x
C I C
= + + → = + +

c)

Ta có
24
2 2 2 2 2
tan2 1 tan2 1 tan 2 (2 ) 1 (2 )
2 2
cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2
x xdx dx xd x d x
I dx
x x x x x
+
= = + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2
24
1 1 tan 2 tan2 tan 2 tan 2
tan2 (tan2 ) (tan2 ) .
2 2 4 2 4 2
x x x x
xd x d x C I C
= + = + + → = + +
∫ ∫

Ví dụ 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
25
2
cot
sin
x

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức
( )
2
2
cot
sin
2
dx
d x
x
u
udu C

= −




= +


∫

Ta có
( )
2 2
25 25
2 2
cot cot cot


− +

∫

Ta có
( ) ( )
3
26 26
3 4 4 3 3
cos cos
tan sin 1 1
.
cos cos cos 3 3cos 3cos
d x x
x xdx
I dx C C I C
x x x x x
−
= = = − = − + = + → = +
−
∫ ∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng các công th
ứ

Ta có
( )
27 27
2 2
cot cos cos (sin ) 1 1
.
π
sin . sin sin sin sin sin
cos
2
x x xdx d x
I dx dx C I C
x x x x x x
x
= = = − = − = + → = +
−
 
+
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
28
3
x
e
I dx
x

x
I e xdx
=
∫
e)
2ln 3
32
x
e
I dx
x
+
=
∫

Hướng dẫn giải:
a) Sử dụng các công thức
( )
2
u u
dx
d x
x
e du e C

=



= +

dx
d x d x k
x
e du e C

= = ±



= +

∫

Ta có
( )
tan 2
tan 2 tan 2 tan 2 tan 2
29 29
2 2
tan 2 .
cos cos
x
x x x x
e dx dx
I e e d x e C I e C
x x
+
+ + + +
= = = + = + → = +
∫ ∫ ∫

30 30
1 1 1
. 1 .
2 2 2
x x x x x
I x e dx e xdx e d x e C I e C
− − − − −
= = = − − = − + → = − +
∫ ∫ ∫

d) Sử dụng các công thức
(
)
sin cos
u u
xdx d x
e du e C

= −


= +


∫

Ta có
(
)
cos cos cos cos

ln 2ln 3 .
2 2
x
x x x x
e dx
I dx e e d x e d x e C
x x
+
+ + + +
= = = = + = +
∫ ∫ ∫ ∫

Vậy
2ln 3
2ln 3
32
1
.
2
x
x
e
I dx e C
x
+
+
= = +
∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95

4)
4
cos sin
I x xdx
=
∫
5)
5
3
sin
cos
x
I dx
x
=
∫
6)
3
6
sin cos
I x xdx
=
∫

7)
7
2
5
x
I dx

2
1
11
.
x
I xe dx
+
=
∫
12)
4
12
sin cos
I x xdx
=
∫

13)
13
5
sin
cos
x
I dx
x
=
∫
14)
14
cot

x
=
∫
18)
2
18
1
I x x dx
= +
∫

19)
19
5
(3 2 )
dx
I
x
=
−
∫
20)
2 3
20
5
I x x dx
= +
∫
21)
2
25)
cos
25
sin
x
I e xdx
=
∫
26)
2
2
26
.
x
I x e dx
+
=
∫
27)
27
sin
1 3cos
xdx
I
x
=
+
∫
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Trang 14
DẠNG 1: ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC
 Nếu hàm f(x) có chứa
2 2
a x
−
thì đặt
2 2 2 2 2
(asin ) cos
asin
sin cos
dx d t a tdt
x t
a x a a t a t
= =


= →

− = − =




+ = + =




N
ế
u hàm f(x) có ch
ứ
a
2 2
x a
−
thì
đặ
t
2
2
2 2 2
2
cos
sin sin
sin
sin cot
a a t dt
dx d
t t
a
x
t

x
b)
( )
2
2
1 ; 1
= − =
∫
I x dx a
c)
( )
2
3
2
; 1
1
= =
−
∫
x dx
I a
x
d)
( )
2 2
4
9 ; 3
= − =
∫
I x x dx a

−


∫ ∫ ∫

T
ừ
phép
đặ
t
1
2sin arcsin arcsin
2 2
x x
x t t I C
   
= ⇔ = → = +
   
   

b) Đặ
t
2 2
(sin ) cos
sin
1 1 sin cos
dx d t t dt
x t
x t t
= =

t x


= − = −
= ⇒ → = = −

=



2
2
arcsin 1
1
2 2
x
I x x C
→ = + − +

c) Đặt
2 2
(sin ) cos
sin
1 1 sin cos
dx d t t dt
x t
x t t
= =



t t x
x t t t t x x
t x


= − = −
= ⇒ → = = −

=



2
3
arcsin 1
1
2 2
x
I x x C
→ = − − +

d) Đặt
2 2
(3sin ) 3cos
3sin
9 9 9sin 3cos
dx d t t dt
x t
x t t
= =

t
dt c tdt t C
   
= − = − +
 
 
   
∫ ∫

Từ
2
2
2
cos 1 sin 1
2
9
3sin sin2 1
3 9
arcsin
3
x
t t
x x
x t t
x
t

= − = −




đ
ó ta
đượ
c
2 2
4
arcsin
81 2
3
1 . 1 .
4 2 6 9 9
x
x x x
I C
 
 
 
 
 
 
 
= − − − +
 
 
 
 
 

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

2
; 2
4
x dx
I a
x
= =
+
∫

Hướng dẫn giải:
a) Đặ
t
2
2
2
1
2
2 2
(tan ) (1 tan )
(1 tan )
tan
cos
1 tan
1 1 tan
dt
dx d t t dt
t dt
x t I dt t C
t


1
2 2 2
2
2 5 ( 1) 4 ( 1) 4
t x
I x x dx x d x I t dt
= +
= + + = + + + → = +
∫ ∫ ∫Đặ
t
2
2
2
2
2 2
2
(2tan )
2 cos
cos
2tan
2
2
cos cos
.cos
4 4 4tan
cos

+ + − +
= = = + = +
− + − − + −
∫ ∫ ∫ ∫

T
ừ
phép
đặ
t
2 2
2 2
2 2 2
1 4
2tan tan 1 sin 1 os 1
2 os 4 4 4
t t t
t u u u c u
c u t t
= ⇔ = → = + → = − = − =
+ +

T
ừ

đ
ó ta
đượ
c
2 2

2
2
2 2
2
(2tan ) 2(1 tan )
os
2tan
4 4tan 4
dt
dx d t t dt
c t
x t
x t

= = = +

= →


+ = +


( )
2 2 2 2 2
2 2
3
2
3 4
2
2

u t I du du du
u u u
u
 
+ − −
 
= → = = =
 
 
− + −
 
 
−
∫ ∫ ∫

2
2 2 2 2
1 1 2 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
1 1 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 )(1 )
du du du d u d u u u du
du
u u u u u u u u u u
− + − + +
 
= − = + − = − + −
 
− + − + − + − + − +
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫


2 2
2 2 2
2 2 2
1 4
2tan tan 1 tan 1 os sin
2 os 4 4 4
x x x
x t t t c t t
c t x x
= ⇔ = → = + = + ⇔ = → =
+ +

2
3
2
2 2 2
1
1 1
4
sin ln .
4
1 1 1
4 4 4
x
x
x
t I C
x x x
x
x x x

−
∫c)

3
2
2 2
dx
I
x x
=
− −
∫

Hướng dẫn giải:
a) Đặ
t
2
2
1
2
2
2
2
2
1 cos
cos
sin sin

 
 
= → ←→ → = =
 
−
 
− =
− = −



∫ ∫

2 2
sin (cos ) (cos ) 1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos
(cos ) ln .
sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) 2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos
t dt d t d t t t t
d t C
t t t t t t t
− + + +
= − = = = = +
− − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫

T
ừ
phép
đặ
t

t
2
2
2 2 2
2
2
2
2 2cos
2cos
sin sin
2
sin
8cot
sin
4
4 2cot 4
4 4
sin
sin
t dt
t dt
dx d
dx
t t
t
x
t
t
x t x x
x

2 2
2
2
2cos 1 1
sin cos .
8cot
4 4
4
sin .
sin
dx t dt
I t dt t C
t
x x
t
t
−
= = = − = +
−
∫ ∫ ∫

T
ừ

2 2
2 2
2
2
2 4 4 4
os 1 sin 1 cos .

t
2
2
2
2
2
3 3cos
3cos
sin sin
3
sin
sin
3
3 3cot
3 3
sin
udu
dt d
udu
dt
u u
t
u
u
t u
t
u

 
−

t
−
→ = = = − = =
− − +
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 (1 cos ) (1 cos ) 1 1 cos
(cos ) ln .
2 (1 cos )(1 cos ) 2 1 cos
u u u
d u C
u u u
− + + +
= = +
− + −
∫

T
ừ
2 2
2
2
3
2
2 2
3 2 2
1 1
3 3 3 1 1
1

1
arctan .
dx x
C
x a a a
 
= +
 
+
 
∫


2 2
1
ln .
2
dx x a
C
x a a x a
+
= +
− −
∫


2 2
1
ln .
2

∫
2)
2
2
2
1 x
I dx
x
−
=
∫
9)
2
3
2
4
x dx
I
x
=
−
∫

4)
4
2
1
3 2
I dx
x x

ứ
a
( )
n
g x
thì
đặ
t
1
( ) ( ) . '( )
n n
n
t g x t g x n t g x dx
−
= ⇔ = → =
Khi
đ
ó,
( ) ( )
I f x dx h t dt
= =
∫ ∫
, vi
ệ
c tính nguyên hàm
( )
h t dt
∫

đơ

2
I x x dx
= +
∫c)

2
3
1
x dx
I
x
=
−
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)

Đặ
t
2



∫ ∫ ∫

3
3
(4 1)
1 1
4 1 .
8 3 8 3
x
t
t C x C
 
+ 
 
= − + = − + +
 
 
 
 

b) Đặ
t
2 2 2 2 2 3 2 2
2 2 2 2 2 . ( 2).
t x t x x t xdx tdt x dx x xdx t tdt
= + ⇔ = + → = − ⇔ = → = = −

Khi

3
2 2
2
1 .
1 1 1 2
1 1
dx tdt
t tdt
x dx
t x t x x t I
t
x t x
= −

−

= − ⇔ = − ⇔ = − → → = = −

= − −


∫ ∫

( ) ( )
5 3
5 3
2
2 4 2
(1 ) 2 (1 )
2

x x
t t
I x x dx t t tdt t t dt C C
+ +
= + = − = − = − + = − +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

4
ln
1 ln
xdx
I
x x
=
+
∫b)

2
5
3
ln
2 ln
xdx
I

ln
1 ln 1 ln
1 ln
2
x t
t tdt
x dx
t x t x I
dx
x t
x
tdt
x

= −
−

= + ⇔ = + → → = =

+
=


∫ ∫

( )
3 3
3
2
4

x t
x dx t t dt
t x t x I
dx
x t
x
t dt
x

= −
−

= − ⇔ = − → → = =

−
=


∫ ∫

( )
8 5
8 5
3 3
7 4 2 2
3
(2 ln ) 4 (2 ln )
4
3 4 4 3 2 3 2 (2 ln )
8 5 8 5

x

−
=


= + ⇔ = + →


=



T
ừ

đ
ó ta có
( )
2
4 2
6
ln 3 2ln 3 1
ln 3 2ln . . . 3
2 2
x x dx dx t
I x x t tdt t t dt
x x
 
+ −

I
e
=
−
∫
b)
( )
2
8
3
1
x
x
e dx
I
e
=
+
∫
c)
9
2
4
dx
I
x x
=
+
∫
d)

dx
e dx tdt
t

= −

= −
 
= − ⇔ = − → ←→
 
=
=



−


Khi đó
7
2 2
2 2 2 ( 1) ( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1) 1 1
.( 1) 1
1
x
dx tdt dt dt t t dt dt
I dt
t t t t t t
t t t

2
2
8
3
3 3
1 .2
1
.
1 1
2
1 1
x
x x x
x x
x
x x
t tdt
e t
e dx e e dx
t e t e I
t
e dx tdt
e e
−

= −

= + ⇔ = + → → = = =

=

   
+
 
∫ ∫ ∫ ∫

c) Đặ
t
2 2
2 2
2 2 2
2 2
4
4
4 4
2 2
4
x t
x t
t x t x
dx xdx tdt
xdx tdt
x
x t

= −

= −
 
= + ⇔ = + → ←→
 

 
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
2 2
9
2 2
1 1 2 1 4 2 1 4 2
ln 2 ln 2 ln ln ln .
4 4 2 4 4
4 2 4 2
t x x
t t C C C I C
t
x x
− + − + −
= − − + + = + = + → = +
+
+ + + +

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Trang 19

d) Đặt
4 2
4 2
4 2 4
3

Khi
đ
ó,
10
2 2
4 4
1 1 1 1 ( 1) ( 1)
. .
2 4 ( 1)( 1)
2( 1) 1
1 1
dx dx tdt dt t t
I dt
x t t t
t t
x x x
+ − −
= = = = =
+ −
− −
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
4
4
1 1 1 1 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln .
4 1 1 4 4 1 4
1 1

1 2
xdx
I
x
=
− +
∫c)

3
13
3
2
4
x dx
I
x
=
+
∫
d)
2
14
1 4ln ln
x x
I dx
x
+

I dt dt t t C
t t t
x
+ −
 
= = − = − = − − = − − + +
 
+ + +
+ −
 
∫ ∫ ∫ ∫

(
)
11
2
2 5 ln 2 5 1 .
5
I x x C
→ = − − − − + +

b) Đặt
2 2 2
2 2 2 2
t x t x tdt xdx xdx tdt
= + ⇔ = + ⇔ = → =

Khi
đ
ó,

2 3 2 3 3 2
2
2
4
4
3
4 4 4
3
2
3 2
2
x t
x t
t x t x x dx t t dt
t dt
t dt xdx
xdx

= −

= −
 
= + ⇔ = + → ←→ → = −
 
=
=





+
 
∫ ∫ ∫

d) Đặ
t
2 2 2
ln
1 4ln 1 4ln 2 4.2ln .
4
dx xdx tdt
t x t x tdt x
x x
= + ⇔ = + ←→ = → =

( )
3
2
3
2 2
14
1 4ln
ln 1
1 4ln . .
4 4 12 12
x
xdx tdt t
I x t t dt C C
x
+

3
1 3ln ln
x x
I dx
x
+
=
∫4)
3 2
4
1
I x x dx
= −
∫5)
5
3
1
dx
I
x x
=
+
∫


9)
9
1 1
xdx
I
x
=
+ −
∫

10)
2
10
3 2
I x x dx
= −
∫

11)
11
4 3
1
x
I dx
x
−
=
+
∫


x
a
=


= + →
−

=



Ví dụ. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

( )
19
1
3 1
I x x dx
= +
∫b)

2 99
2
(2 )
I x x dx

1
3 1 3 1 . .3
1
3 21 20
3
dt dx
t t t
t x I x x dx t dt t t dt C
t
x
=

−

= + → → = + = = − = − +
−
=


∫ ∫ ∫

( ) ( )
21 20
1
3 1 3 1
.
21 20
x x
I C
+ +

x x x
t t t t t t
C C C
  − − −
= − − + + = + − + = + − +
 
 

V
ậ
y
( ) ( ) ( )
100 101 102
2
2 4 2 2
.
25 101 102
x x x
I C
− − −
= + − +

c) Đặ
t
(
)
2
2
3
2010 2010 2008 2009 2010

= − + − + = − + − +
+ + +

( ) ( ) ( )
3
2007 2008 2009
1 1 3
.
2007 1 1004 1 2009 1
I C
x x x
→ = − + − +
+ + +

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
20
1
(1 )
I x x dx
= −
∫2)
9
2
(3 1)
I x x dx
= +

)
( )
10
2
5
3 5 2 3 dx
I x x x= + − −
∫
6)
( ) ( )
2 21
6
1 2 dx
I x x= − +
∫

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Trang 21

CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP:
Công thức nguyên hàm từng phần
( ). ( )
I P x Q x dx udv uv vdu
= = = −
∫ ∫ ∫


có ch
ứ
a
[
]
ln ( )
n
g x
thì
đặ
t
[
]
[
]
(
)
ln ( ) ln ( ) '
n n
u g x du g x
= → =
 Nếu I có chứa hàm đa thức (không chứa hàm loga) thì đặt u = P(x)
 Nếu I có chứa cả hàm lượng giác và hàm mũ thì ta có thể đặt tùy ý, tuy nhiên qua trình tính sẽ gồm các vòng
lặp. Để việc tính toán đúng thì trong mỗi vòng lặp, các thao tác đặt u phải cùng dạng hàm với nhau.



Chú ý:
Với các bài toán tìm nguyên hàm từng phần, chúng ta có thể sử dụng cách giải truyền thống (đặt u, tìm v) hoặc
cách giải nhanh(chuyển nguyên hàm cần tính về dạng

4
ln
I x xdx
=
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

a)
1
sin
I x xdx
=
∫



 Cách 1: Đặ
t
sin cos
u x du dx
xdx dv v x
= =
 




 Cách 1: Đặt
3
3
1
3
x
x
du dx
u x
v e
e dx dv
=

=

 
←→
 
=
=





3 3 3 3 3 3 3
2

2
3
cos
I x xdx
=
∫



 Cách 1: Đặt
2
2
sin
cos
du xdx
u x
v x
xdx dv

=

=

←→
 
=
=




2
3
sin 2 cos sin .
I x x x x x C
→ = − − + +



 Cách 2:
2 2 2 2 2
3
cos (sin ) sin sin ( ) sin 2 sin
I x xdx x d x x x xd x x x x xdx
= = = − = −
∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2
sin 2 (cos ) sin 2 cos 2 cos sin 2 cos 2sin .
x x xd x x x x x xdx x x x x x C
= + = + − = + − +
∫ ∫04. PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Trang 22

d)



←→ → = = − = − +
 
=


=


∫ ∫



 Cách 2:
( )
2 2 2 2 2 2 2
4
ln ln ln ln ln ln .
2 2 2 2 2 2 4
x x x x x dx x x
I x xdx xd x d x x x C
x
 
= = = − = − = − +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

8
sin
x
I e xdx
=
∫

Hướng dẫn giải:

a)

2
5
ln
I x xdx
=
∫



 Cách 1: Đặ
t
3 3 3 3
2
5
2 3
ln
ln ln . ln .
3 3 3 9
3

3 3 3 3 3 3 3
2
5
ln ln ln ln ln ln .
3 3 3 3 3 3 9
x x x x x dx x x
I x xdx xd x d x x x C
x
 
= = = − = − = − +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫b)

( )
2
6
ln 1
I x x dx
= +
∫

Ta có

( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2

Xét
( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1
ln 1 ln 1 1 ln 1
1 1 1
x x
J x dx x dx x x dx
x x x
− +
 
= + = + = − + + =
 
+ + +
 
∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
1 2
dx x
x x dx x x d x x d x
x
 
= − + + + = + − + + + =
 
+
 

3 3 3ln 1
1 1 2
x x x
K dx x dx x x
x x
−
 
= = − + = − + +
 
+ +
 
∫ ∫

( )
(
)
2
2 2
ln 1
1
ln 1 3 3ln 1 .
2 2 2 2
x
x x
J x x x x C
    +
→ = − + − − + + + +
   
   


)
2
7
ln 1
I x x dx
= + +
∫

Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 2 2 2
7
2
1
1
ln 1 ln 1 ln 1 ln 1
1
x
x
I x x dx x x x xd x x x x x xdx
x x
+

x x x x x x x x x x C
x x
+
= + + − = + + − = + + − + +
+ +
∫ ∫

Vậy
(
)
2 2
7
ln 1 1 .
I x x x x C
= + + − + +d)
8
sin
x
I e xdx
=
∫

Ta có
(
)
( )
(

 

Nhận xét: Trong nguyên hàm I
8
chúng ta thấy rất rõ là việc tính nguyên hàm gồm hai vòng lặp, trong mỗi vòng
ta đều nhất quán đặt u là hàm lượng giác (sinx hoặc cosx) và việc tính toán không thể tính trực tiếp được.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
1
1
ln
I x xdx
x
 
= +
 
 
∫

2)
2
2
ln(3 )
I x x dx
= +
∫3)
2

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT quốc gia
Trang 24

Xét nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ
( )
( )
P x
I dx
Q x
=
∫

2
1
1
x
I dx
x
+
=
−
∫
c)
3
2 1
3 4
x
I dx
x
+
=
−
∫
d)
2
4
4
3
x x
I
x
+ +

1 1 1 1
x x dx
I dx dx dx dx x x C
x x x x
+ − +
 
= = = + = + = + − +
 
− − − −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

c)

( )
( )
( )
3
1 5
3 4
3 4
2 1 1 5 1 5 1 5
2 2
3 4 3 4 2 2 3 4 2 2 3 4 2 8 3 4
x
d x
x dx
I dx dx dx x x
x x x x x
− − +

x x x
+
+ +
 
= = − + = − + = − + + +
 
+ + +
 
∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
3
5
7
2 5
x x
I dx
x
− +
=
+
∫
b)
3 2
6
3 3 2
1
x x x
I dx

= − + −
+ +

Khi đó
3
2 2
5
49
7 1 5 21 1 5 21 49
8
2 5 2 4 8 2 5 2 4 8 8 2 5
x x dx
I dx x x dx x x dx
x x x
 
 
− +
 
= = − + − = − + −
 
 
+ + +
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

(
)
3 2 3 2

∫ ∫

c)
Chia t
ử
s
ố
cho m
ẫ
u s
ố
ta
đượ
c
4 2
3 2
5
4 3 2 1
2
2 2
2 1 2 2 1
x x x
x x x
x x
+ + +
= − + − +
+ +

Khi
đ

Trang 25

(
)
4 3 4 3
2 2
2 1
1 5 1 5
2. ln 2 1 .
4 3 2 4 2 1 2 3 2 4
d x
x x x x
x x x x x C
x
+
= − + − + = − + − + + +
+
∫

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
1
2 1
3
x
I dx
x
−
=
+

2 5
x x
I dx
x
− +
=
+
∫
5)
5
1
4 3
x
I dx
x
+
=
−
∫
4)
4 2
6
5 3
3 1
x x x
I dx
x
− +
=
+

ng nh
ấ
t h
ệ
s
ố

ở
hai v
ế
ta
đượ
c A, B. T
ừ

đ
ó, quy v
ề
bài toán nguyên hàm có m
ẫ
u s
ố
là hàm b
ậ
c nh
ấ
t
đ
ã xét
ở

ư

trên
để
gi
ả
i.
Chú ý:


Vi
ệ
c phân tích
đ
a th
ứ
c thành nhân t
ử
v
ớ
i các ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai có h
ệ
s
ố
a khác 1 ph
ả


 Khi tử số là bậc nhất thì ngoài cách đồng nhất ở trên, ta có thể phân tích tử số có chứa đạo hàm của mẫu, rồi
tách thành 2 nguyên hàm (xem các ví dụ dưới đây).
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
1
2
2 3
dx
I dx
x x
=
− −
∫
b)
2
2
2
3 4 1
dx
I
x x
=
− + −
∫

c)

3
2

a)
1
2
1 ( 1) ( 3) 1 1 3
ln .
( 1)( 3) 4 ( 1)( 3) 4 3 1 4 1
2 3
dx dx x x dx dx x
I dx dx C
x x x x x x x
x x
+ − − −
 
= = = = − = +
 
+ − + − − + +
− −
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

b)
2
2 2
2 2 (3 1) 3( 1)
2 2
3 4 1 3 4 1 ( 1)(3 1) 4 ( 1)(3 1)
dx dx dx x x
I dx
x x x x x x x x
− − − −


 Cách 1:
Nhận thấy mẫu số có hai nghiệm x = –1 và x = 4, khi đó
( )( )
2
2 3 2 3
1 4 1 4
3 4
x x A B
x x x x
x x
+ +
= = +
+ − + −
− −

Đồng nhất ta được
( ) ( )
1
2
5
2 3 4 1
3 4 11
5
A
A B
x A x B x
A B
B
