*GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ BẰNG KĨ
THUẬT NHÂN LIÊN HỢP.
Ta đã biết:
(
)
(
)
44444 344444 21321
B
nnnn
A
nn
babbaababa
1221

−−−−
++++−=−
Khi đó: A và B gọi là 2 biểu thức liên hợp của nhau.
Ví dụ:
a+b và a-b là 2 biểu thức liên hợp của nhau vì:
22
))(( bababa −=−+
33
ba −
và
3 2
3
3 2
baba ++
là 2 biểu thức liên hợp của nhau vì:
(

3
3 2
33
baba
ba
ba
++
−
=−
(
)
→++−=−
2244
))(( babababa
( )( )
baba
ba
ba
++
−
=−
44
44
Luôn nhớ:
bababa
bababa
bababa
,,0
,,0
,,0

( )
0222
3312
22
0442
3312
3312
2
22
2
2
22
22
=−−+
+++++
−−
⇔=−−+
+++++
++−++
⇔ xx
xxxx
xx
xx
xxxx
xxxx
( )
3102202
3312
1
22

(
)
0232112(*)
2
=−−++−−⇔ xxxx
( )
012
112
1
20)12)(2(
112
2
=






++
++−
−⇔=+−+
++−
−
⇔ x
xx
xxx
xx
x
Suy ra: x=2. (Vì x>0 nên biểu thức còn lại luôn dương).









−
+++
+++
−⇔
−=+++
+++
−
2
1
2/1
022213)12(
0221324)4)(13()12(
02
213
4)4)(13(
)12(
)12(24273
213
12
2
x
x




++++=−
=
⇔
=








−
++++
−
−⇔
++−+=−
)2(181624212
1
01
1816242
12
1
)1(18162421
22
2
2






−
−=
7
32573
;1;1S
Ví dụ 5: Giải bất phương trình:
32532 −≤−−− xxx
Đk:
2
≥
x
. BPT đã cho tương đương với:
2
3
0
532
1
1)32(32
532
23
≥⇔≥





(
)
11
12
)43(
2
222
22
++
+++−
=−⇔
x
xxx
xxx
0
11
12
43
2
22
22
=









++−+
+






−=
++
+++
+−
x
xx
x
x
xx
xx
Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất: x=0.
Bài tập rèn luyện: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
123223432)1
2222
++++=+++++ xxxxxxx
(
)
3
223 2
2211)2 ++=++++ xxxxx
33
1452)316(22)3 −=−−++ xxxx

≥
x
Rõ ràng khi liên hợp 2 biểu thức chứa căn ta không thấy xuất hiện nhân tử
chung. Ta sẽ giải phương trình (*) như sau:
(
)
(
)
057225132
2
=+++−++−+ xxxx
( )
1052
25
1
132
2
1
0)52)(1(
25
1
132
22
−=⇒=







5+x
và 2?
Quy tắc: nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ thì khi dùng lượng liên hợp
trước hết ta sẽ nhẩm nghiệm hữu tỷ đó (dùng máy tính), giả sử là a, sau đó
lần lượt thế giá trị a vào các căn thức, giá trị nhận được chính là lượng liêp
hợp với các căn thức đó. Phương pháp này gọi là Hệ số bất định.
Ta thử giải lại ví dụ trên:
(*)0272532
2
=++++++ xxxx
-Bước 1: nhẩm được nghiệm: x= -1
-Bước 2: thay x=-1 vào căn thức
32 +x
ta được giá trị bằng 1, nên
32 +x
và 1 là 2 biểu thức liên hợp của nhau, tương tự thay x=-1 vào căn thức
5+x
ta được giá trị bằng 2, vậy
5+x
và 2 là hai biểu thức liên hợp của
nhau. Do đó ta mới có bước:
(
)
(
)
057225132
2
=+++−++−+ xxxx
rồi giải
tương tự như trên. Thử xét ví dụ 2:

83
0303423(*)
3
3
2
3
3
2
3
3
2
2
3
=








−+
+−
+
+−+−
+⇔
=−++
+−
+

≤
x
nên 6-x>0. Vậy phương trình có 1 nghiệm x=-5.
Bài tập rèn luyện: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
51103325)1
2
=−++ xx
3
4
361)2 +=−+ xx
02361)3
23
3
2
=−−+++− xxxxx
***Phương pháp gọi số hạng vắng:
Ví dụ 1: Giải phương trình:
(*)1343212
222
−=−−+−−+−− xxxxxxx
Đk:
3
≥
x
Phương trình này có nghiệm nhưng là nghiệm vô tỷ, không nhẩm được, do
đó phương pháp hệ số bất định không khả thi, ta sẽ làm như sau:
( )
02301
132
1

++−−
−−⇔
=−−+
−+−−
−−−−
+
++−−
+−−−
⇔
=−−+−−−−++−−−⇔
xx
xxxxxx
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxxxx
Giải phương trình này, so điều kiện, kết luận phương trình có 1 nghiệm:
2
173+
=x
Nhận xét: bài toán này vẫn giải bằng phép nhân biểu thức liên hợp nhưng
biểu thức liên hợp không là hằng số mà là biểu thức chứa x. Những biểu
thức như vậy được gọi là "số hạng vắng".
Ví dụ 2: Giải phương trình:
(*))1(3112125
22
+=−+++++ xxxxx



+−
+
+++
+
++++
−⇔
=
+−
−
+
+++
+−+
+
++++
+−++
⇔
=−−++−+++−++⇔
x
x
xx
x
xxx
x
x
x
x
xx
xx

−=⇔=+⇔+=++⇔+=






++
+−
⇔ xxxxx
x
x
x
So điều kiện, ta kết luận phương trình đã cho có 1 nghiệm: x= -9.
Như vậy: khi gặp một phương trình vô tỷ, ta có thể giải bằng phép nhân liên
hợp, trước hết ta thử nhẩm nghiệm của phương trình, nếu được nghiệm hữu
tỷ ta áp dụng phương pháp hệ số bất định, nếu phương trình có nghiệm vô tỷ
thì ta nên thử liên hợp các biểu thức chứa căn với nhau trước, nếu vẫn
không được thì chuyển qua phương pháp gọi số hạng vắng hoặc giải bằng
phương pháp khác.
Ví dụ 4: Giải bất phương trình:
(
)
(*)1512
2
−≤−−−− xxxxx
Đk:
5/10
≤
≤





−+
+
−+−
+−⇔
−+
−+−
≤
−+−
+−
⇔
−−≤−−−⇔
xxx
xx
xxx
xx
xx
xxx
xxx
xx
xxxxx
Kết hợp với điều kiện ban đầu, suy ra bất phương trình đã cho có nghiệm:
2230 −≤≤ x
Ví dụ 5: Giải phương trình:
027412.94
2
3

x
x
xx
xx
xxxxPT
Bài tập rèn luyện: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1)
7134129 =++++++++ xxxxx
2)
09730296
2
3
=++++++ xxxx
3)
(
)
08312122
22
=+++−−+−++ xxxxxx
4)
0162
49
129
2
2
2
=−++
+++
+++
xx

(
)
(
)
xxxxxxxx 343413113
22
−+≥−−−+−+
HẾT.