Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
A. PHN M U
Bt ng thc l mt trong nhng dng toỏn hay v khú i vi hc sinh trong quỏ
trỡnh hc tp cng nh trong cỏc k thi, trc ht l k thi i hc m hu ht hc sinh THPT
u phi vt qua. Ngoi ra bt ng thc cng l mt dng thng gp trong cỏc k thi hc
sinh gii toỏn cỏc cp: Tnh, Quc gia, Olympic khu vc v Olympic quc t.
giỳp cỏc em cú thờm mt s kinh nghim trong quỏ trỡnh hc tp nhm nm vng
cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc ng thi s dng linh hot hn trong vic gii
cỏc bi toỏn v bt ng thc, tụi quyt nh vit ti ny nhm chia s cựng ng nghip,
hc sinh v c gi mt s phng phỏp, kinh nghim gii bi toỏn bt ng thc.
ti gm 2 phn c bn:
Phn I: Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc.
Phn II: Bt ng thc lng giỏc trong tam giỏc.
Do khuụn kh ca ti, mi phn tụi xin min nhc li cỏc kin thc c bn v bt
ng thc vỡ nhng kin thc ny c trỡnh by chi tit trong sỏch giỏo khoa trung hc ph
thụng, m ch tp trung vo cỏc phng phỏp bin i ng thi nờu mt s vớ d minh ha.
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
1
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
B. NI DUNG
Phn I: MT S PHNG PHP CHNG MINH BT NG THC
1) Dựng cỏc phộp bin i thớch hp
2) Tam thc bc 2
3) Phng phỏp o hm, cc tr hm s
4) Quy np
5) Lng giỏc húa
6) Phng phỏp hỡnh hc
7) Cỏc BT thụng dng
8) Mt s phng phỏp khỏc
I. S dng cỏc phộp bin i.
Vớ d 1: CM vi a,b,c l 3 s dng thỡ

ac
c
cba
b
cb
b
cba
a
ba
a
++
>
+++
>
+++
>
+
ac
c
cb
b
ba
a
+
+
+
+
+
<1
cba

ba
a
Rx
3
2
258
>+ xxxx
Rxx
x
x
x
xxx
xxxxxx
>+








+






=

22
48258
3
2
258
>+ xxxx
Nn
nn
<
+
+++ 1
)1(
1

3.2
1
2.1
1
)(
1
11
)1(
1
*
Nk
kkkk

+
=
+

1
1
1
11

3
1
2
1
2
1
1
)1(
1

3.2
1
2.1
1
<
+
=
+
+++=
+
+++
nnnnn
11
5913
423

5913
0102611
0)53)(24(0
2
2'
+



+

P
PP
PPP
11
5913
423
25
11
5913
2
2
+

++
+


xx
x

)(' =
ab
afbf
xf


=
)()(
)('
0
3
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
Vỡ b<x
0
<a nờn suy ra
pcm.
Vớ d 3: Cho a,b,c,d l 4 s dng bt kỡ. CM
Gii: Khụng mt tớnh TQ gi s
Xột hm s
f(x) l mt hm s liờn tc v cú o hm trờn R
Vỡ f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=0 v f(x) l mt
hm bc 3 nờn tn ti sao cho
sao cho
Vy
Trong khai trin ta cú
Theo BT Cauchy
IV. Phng phỏp quy np.
Phng phỏp ny c ỏp dng khi BT ph thuc 1 tham s , vi cỏc bc
chng minh nh sau:
+ Bc 1. C/m BT ỳng vi n=n

3
cdbdbcadacabbcdacdabdabc +++++

+++
dcba
))()()(()( dxcxbxaxxfy ==
321
,, yyy
dycybya
321
0)(')(')('
321
=== yfyfyf
))()((4)('
321
yxyxyxxf =
)(2)(4
)(4
133221
321
cdbdbcadacabyyyyyy
bcdabdacdabcyyy
+++++=++
+++=
3
2
321
133221
)(
3

1
+
<

n
n
n
<
7
1
8
3
(*)
13
1
2
12

6
5
.
4
3
.
2
1
+
<

k

Do ú ta cú:
+Vy theo nguyờn lớ quy np ta cú BT ỳng vi
V. S dng phng phỏp lng giỏc húa.
s dng phng phỏp lng giỏc húa, trc ht hc sinh phi nm vng cỏc tớnh cht,
cụng thc v cỏc phộp bin i lng giỏc. Trờn c s ú, trong mt s bi toỏn nu t cỏc
giỏ tr n thớch hp qua cỏc hm s lng giỏc thỡ rt thun tin.
Vớ d 1: CMR ta cú:
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
1420419
)484)(13()43)(144(
)22.(1343).12(
43
1
1)1(3
1
22
12
.
13
1
22
>+<+
+++<+++
++<++
+
=
++
<
+
+

>+>>>

xxexedydye
xx
xx
x
0)1( > xk
!

!3!2
1
32
k
xxx
xe
k
x
+++++>
)!1(

!3!2
1
132
+
+++++>
+
k
xxx
xe
k

2 3 1
(1 )
2! !
1
2! 3! ( 1)!
x x
k
y
k
x
y y
e dy y dy
k
x x x
e x
k
+
> + + + +
> + + + +
+

2 3 1
1
2! 3! ( 1)!
k
x
x x x
e x
k
+

Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
4
1
1()1(
)1)((
4
1
2
)222
2222

++


yx
yxyx







<<

==
2
,
2


2222
2222
)222
2222
2





Ryx ,
2
1
)1)(1(
)1)((
2
1
22

++
+

yx
xyyx





=+

buc no ca cỏc biờn cũn nu cú s rng buc thỡ ta thng dựng phng phỏp ta .
b) Phng phỏp ta :
Vớ d 4: Cho a,b thừa món a 2b + 2 = 0.
CMR
Gii: Chn A(3; 5) B(5; 7)
M(a; b) vỡ thừa món a 2b + 2 = 0 nờn nm trờn ng thng x- 2y + 2=0 . Ly A

i xng A qua ta cú A

(5; 1)
Ta cú MA+MB=MA

+MBA

B
Hay
Du = xy ra
c) Cỏc phng phỏp khỏc:
Vớ d 5: Cho 0<x, y, z<1. CM
Gii: Dng tam giỏc u cnh 1 nh hỡnh v
Ta cú

Vớ d 6: Cho a, b,
c dng. CM
Gii: Dng
hỡnh nh hỡnh v sao cho:
OA=a ; OB=b ; OC=c
p dng nh lớ hm s cosin
trong tam giỏc ta cú:
Vy tc l

SSSS
ABCBNMCPNAMP
222222
3232 cacacbcbbaba ++++
00
3045 == BOCAOB
2 2
2 2
2
3
AB a ab b
BC b bc c
= +
= +
0 0 0 0 0 0
cos cos(45 30 ) cos45 cos30 sin45 sin30
1 3 1 1 1 3 1 1
. . . 2 3
2 2 2 2
2 2 2
AOC = + =

= = =
22
32 cacaAC +=
222222
3232 cacacbcbbaba ++++
7
x
y

. Du =
Dng khỏc Du =
b. Tng quỏt cho n s khụng õm
ta cú
Vớ d 1 : Cho a, b, c l 3 s
dng tựy ý
CMR ta cú
Gii : p dng BT
Cauchy cho cỏc cp s dng ta cú :
Cng v theo v ta cú ta cú
pcm.
Du = xy ra khi v ch
khi x=0.
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
0
2 1 2 3
sin75
4 4 2
AOB BOC AOC
ab bc ac
S S S ac b
a c

+
+ = + = =
+





5
16
22
+ yx
xy
yx

+
2
yx =
baba +
+
411
ba =
n
aaa , ,,
21
n
n
n
aaa
n
aaa21
21

+++
Rx


x
xxx
x
xxx
x
xxx
a
bc
abca
c
ab
b
ca
c
ab
cabc
b
ca
a
bc
b
ca
bcab
a
bc
c
ab
2
.













+






=











Li ỏp dng cho m s dng ta cú
T (1) v (2) ta cú
()
Tng t
cho cỏc phõn thc cũn li cui cựng cng cỏc bt dng nh (*) li v theo v ta cú
*) Mt s bi tp
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
cabcab
a
c
c
b
b
a
++++
333
2
33
2
33
2
33
2.2
2.2
2.2
cca
a
c
ca
a

++++
++=++
222
222222
0)()()(
2
1
n
aaa , ,,
21
0(
1

11
21
>=+++ kk
aaa
n
1 1 2 2 2 1 3 2 1
1 1 2 1 1 2
1 11

n n n
n n n n
m a m a m a m a m a m a
k
m a m a m a m m m

m
m
n
mm
n
n
n
aaa
m
a
m
a
m
a
m
+++
nn
amamam +++
2211
2
2
2
1
1
m
a
m
a
m
a


++++
+++

n
n
nn
a
m
a
m
a
m
m
amamam
nnnnnn
mm
k
km
m
amamamamamam ++
=
+++
++
+++


).(
1


s dng
CMR
b) CMR
Gii: a) p dng BT
BCS cho 2 b s dng
v
Ta cú
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
accbbacba +
+
+
+
+
++
222111
3
abc
cba
a
c
c
b
b
a ++
++
n
n
n
kkk
aaa








+











+
>
1
0,
ba
ba
ab
abS
1
+=
( )

2
1
1
22
2
2
1

n
aaa +++
22
2
2
1

n
aaa +++
) )( () (
00)(
) () (2) ()(
)( )()()(
22
2
2
1
22
2
2
1
2

+ yx
( )
3
8
32321
2
1
3.12.
2
1
2222
2
++






+






+ yxyxyx




n
n
bbb
aaa
b
a
b
a
b
a
+++
+++
+++
21
2
21
2
2
2
2
1
2
1
0,1
21
1
22

b
a
; ;;
2
2
1
1
( )
n
bbb ; ;;
21
( )
) (
) (

) (
21
2
21
2
2
2
2
1
2
1
21
2
2
2

+++
+++
+++
+++








++++++
10
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
b) p dng kt qu a) ta cú
pcm
Vớ d 3: Cho
ab+bc+ca=1 a, b, c l 3 s dng
CMR
Gii: p dng BT BCS ta cú a,
b, c dng nờn
=
VII. Cỏc phng phỏp
khỏc
1. S dng khai trin nh thc Newton
c/m AB ta cú th lm nh sau
a) Nu a A v dng
Ta tỡm cỏch c/m B
khụng ln hn tng T ca mt s phn t ca chui thỡ (cỏch ngt chui dng)

2
2
2
abbaab
ba
ab
ba
b
ab
a
2
)( cba
a
c
c
b
b
a
++++
( )
2
2
2
)(
)(
cba
a
c
c
b





++=++
3
1
===== cba
a
c
ac
c
b
bc
b
a
ab


=

=+=
n
i
iini
n
n
baCbaA
0
)(


=

++++=++=
n
i
iini
n
nnnn
xxCxxxx
1
)1()1()1()1()11(2
1<x
1, 2,10)1()1( >+

nixx
iin
nnn
xx )1()1(2 ++>
m


)1(1
1
1
1.
1
2
12
2

m m m m m
+ +

+ > + + > + +
ữ ữ ữ


11
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Mt khỏc ta cú:
pcm
Vớ d 3: Nu
n l s t nhiờn ln hn 1. CM
Gii: Vỡ . t . Lỳc ú ta cú
2. S dng phng phỏp phõn chia.
a) Nu hm s bin thiờn phc tp trong tp xỏc nh ta chia tp xỏc nh D thnh cỏc tp
con D
1
, D
2
,.sao cho vic tỡm cc tr ca hm s trờn cỏc tp con d dng hn.
b) Nu tớnh cht ca hm thay i c trờn cỏc tp con thỡ ta phõn tớch hm thnh tng ca
cỏc hm n gin hn tỡm cc tr ca cỏc hm thnh phn.
Vớ d 1: Tỡm Max ca vi x,y l
cỏc s thc thừa món
Gii:
+ Khi ta cú . Du = xy ra
+ Khi ta cú
p dng BT Cauchy cho 2004 s khụng õm ta c

)12)(12(
)1(
)12(
1
12
3314
232222
22

+

>

+
+

+
+

+

>
m
mm
mmm
m
mm
m
m
mm

2
)1(
1
2
)1(
1)1(
222
+<+<+
<<

+>++

++=+=
)4(),(
2002
yxyxyxF =





+


6
0
0
yx
y
x

2002
501
' ' 4
1
2002
501
x
x
y x y
y

=


= = =


=


2004
2002
501
2002
F
RxxxxF += 200220011)(
2002x
2002''
1)(40032)(
==

i ta cú:
Vi mt s mi quan h nh
trờn ta cú nhiu bt. Vỡ vy trong c/m cn s dng khộo lộo quan h ú.
Phn II: BT NG THC LNG GIC TRONG TAM GIC
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
( )
1)(2002,2001 = xFx
124003)(2001 = xxFx
2001''
==
x
[ ]
2002,20011)( = xxF
)()( yxzzyxA +++=
1
222
=++ zyx
2121
; AAAzxAzxyzxyA +==++=
2
1
020)(
11
2222
+++++ AAzyxzyx



=++
=++

1 1
1; ' ' 0
(2)
2 2
1
2
x
A y
z

=





+ = = =

ữ ữ




=


1=++ zxyzxy
20)(
2222
++++ zyxzyx



+
+

+
+

+









+
+







+
+


ca
cb
bc
ba
ab
4
9
)()()(
3
33
3
33
3
33



+


+


ac
ac
cb
cb
ba
ba
13

p
44
)(
))((
44
)(
))((
44
)(
))((
22
22
22
bapcp
apcp
acpbp
cpbp
cbpap
bpap
=
+

=
+

=
+

[ ]
2



)(2
2
1
1
2
3
1coscoscos
2
sin
2
sin
2
sin4
2
cos
2
cos
2
cos4
sinsinsin2
sinsinsin
sinsinsin2
2
sinsinsin2
sinsinsin2sin
2
1
2

2
cba
R
abc
abc
p
R
abc
abc
p
S
++








)4(sinsinsinsinsinsin4 CBACBA ++
2
3
coscoscos
1
2
sin
2
sin
2

Túm li, gia cỏc BT tam
giỏc trụng rt khỏc nhau nhng li cú mt mi quan h tng ng hoc h qu.
d nh v CM cỏc BT ta thng i t mt h thc hoc mt BT quen thuc ri
bin i v cỏc BT mi, t ú suy ra cỏch CM BT ú khi gp.
Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình
)5(
4
1
4
1111
1
)3()1(
2
2
222
2
R
S
hhhhhh
RS
hhhhhh
R
abcabc
R
abc
cba
accbba
accbba
++


r r r r r r h h h h h h
+ +

+ +
ữ
+ + + +
ữ


+ +
+ +
+ + + +
( ) ( ) ( ) 1 1 1
8
( )( )( )
1 1 1 1 1 1
8
( )( ) ( )( ) ( )( )
p a p b p c
p a p b p c ab bc ca
p b p c p c p a p a p b ab bc ca
+ +

+ +
ữ



8
R
S
rrrrrr
accbba
++
15
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
Vớ d 2: Ta cú 2 h thc trong tam giỏc
T (1) ta cú th suy ra
cỏc BT
(3)
(4)
Vy t (1) cú
c (3),(4),
(5),(6).
Xut phỏt t (2) ta cú:
T (3) v (9)
(10)
Túm li
t mt s h
thc ta cú th
thy trong nú
n cha nhiu
BT cn
c khai
thỏc.
II. Nhng
phng phỏp chng minh chn lc cỏc BT tam giỏc.
Vic la chn phng phỏp chng minh cỏc BT c bn quen thuc trong tam giỏc

tg
tgAtgBtgCtgCtgBtgA
33++ tgCtgBtgA
33tgAtgBtgC
)6(9)5(
)5(93)4(
222
3
222
++++
++
tgCtgAtgBtgCtgAtgBCtgBtgAtg
CBtgAtgtgtgCtgAtgBtgCtgAtgB
)9(
33
1
222
1
222222222
3
)8(1
2223
1
222
)7(
)7(3
222
3
222222
3

=






++






++
C
tg
B
tg
A
tg
A
tg
C
tg
C
tg
B
tg
B

tg
C
tg
B
tg
B
tg
A
tg
C
tg
B
tg
A
tg
222
27
C
tg
B
tg
A
tgtgCtgBtgA ++
2
33
sinsinsin ++ CBA
2
33
1
2

22
=






+













+=








CCCBAC
CBA
)2(
2
3
coscoscos ++ CBA
16
Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức
Vớ d 3: CM BT
(3) c cm d dng t (1), nhng ta cng cú th cm (3) nh sau
Vớ d 4: CM BT
Ta cú
Vớ d 5 :
CM
Ta cú
C. KT LUN
Trờn õy l mt s kinh nghim ỳc rỳt trong quỏ trỡnh ging dy hn 30 nm qua, c
bit l trong quỏ trỡnh bi dng hc sinh gii. T nhng vn trỡnh by trờn õy cú th rỳt
ra kt lun rng: vic nghiờn cu gii cỏc bi toỏn v bt ng thc i vi hc sinh phi l
mt quỏ trỡnh thng xuyờn v c bit l phi c nghiờn cu chu ỏo ngay t nhng kin
thc c bn lp 10. Trong ú phng phỏp chng minh BT theo sut chng trỡnh t lp
10 v c hon thin lp 12 l tỡm cc tr v GTLN, GTNN ca hm s. BT lng giỏc
trong tam giỏc l mt s vn dng ca BT v cỏc h thc lng trong tam giỏc nhng li n
cha nhng phộp bin i rt tinh vi m ớt ngi cú th thy c.
Mc dự cú th cũn nhiu hn ch nhng tụi hy vng rng ti ny s úng gúp rt tt
cho cỏc bn ng nghip v hc sinh cú th tỡm hiu sõu sc hn v bt ng thc nhm nõng
cao hiu qu trong ging dy v hc tp. Tụi rt mong nhn c ý kin úng gúp ca c
gi.
D. TI LIU THAM KHO
1. B sỏch giỏo khoa hp nht nm 2000.

33
3
cos21
8
3
3.
3
sin
cos1
4
1
.
2
1
3
3
sin
)cos1(
2
1
sin.cos)cos(
2
1
sinsinsin
22






C
C
C
C
CCCBACBA
)4(
8
1
coscoscos CBA
8
1
)coscos1(
4
1
.
2
1
cos)cos1(
2
1
coscos
2
cos
2
1
coscoscos
2
=+



sin
2
sin
2
BABABACBA +
+
+
=++
2
3
2
3
2
1
4
sin2
4
sin21
4
sin2
2
2
+